Término general de una sucesión

El término general de una sucesión es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión, se representa por a_n.

1. Comprobar si la sucesión es una progresión aritmética.

8, 3, −2, −7, −12, ...

3 − 8 = −5

−2 − 3 = −5

−7 − (−2) = −5

−12 − (−7) = −5

d = −5

a_n = 8 + (n − 1) (−5) = 8 − 5n +5 = −5n + 13

2. Comprobar si la sucesión es una progresión geométrica.

3, 6, 12, 24, 48, ...

6/3 = 2

12 6 = 2

24/12 = 2

48/24 = 2

r = 2

a_n = 3 · 2 ⁿ⁻¹

3. Comprobar si los términos de la sucesión son cuadrados perfectos.

4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

2², 3², 4², 5², 6², 7², ...

Observamos que las bases están en progresión aritmética, siendo d = 1, y el exponente es constante

b_n = 2 + (n − 1) · 1 = 2 + n − 1 = n + 1

Por lo que el término general es:

a_n= (n + 1)²

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos

5, 10, 17, 26, 37, 50, ...

2² + 1 , 3² + 1, 4² + 1, 5² + 1, 6² + 1 , 7² + 1, ...

Hallamos el término general como vimos en el ejemplo anterior y le sumamos 1.

a_n= (n + 1)² + 1

6, 11, 18, 27, 38, 51, ...

2² + 2 , 3² + 2, 4² + 1, 5² + 2, 6² + 2 , 7² + 2, ...

a_n= (n + 1)² + 2

3, 8, 15, 24, 35, 48, ...

2² − 1 , 3² − 1, 4² − 1, 5² − 1, 6² − 1 , 7² − 1, ...

a_n= (n + 1)² − 1

2, 7, 14, 23, 34, 47, ...

2² − 2 , 3² − 2, 4² − 2, 5² − 2, 6² − 2 , 7² − 2, ...

a_n= (n + 1) ² − 2

4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos a_n por (−1)ⁿ.

−4, 9, −16, 25, −36, 49, ...

a_n= (−1)ⁿ (n + 1)²

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos a_n por (−1)ⁿ⁻¹.

4, −9, 16, −25, 36, −49, ...

a_n= (−1)ⁿ⁻¹ (n + 1)²

5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

a_n= b_n /c _n

2/4, 5/9, 8/16, 11/25, 14/36,...

Tenemos dos sucesiones:

2, 5, 8, 11, 14, ...

4, 9, 16, 25, 36, ...

La primera es una progresión aritmética con d= 3, la segunda es una sucesión de cuadrados perfectos

a_n= (3n − 1)/(n + 1)²