Límites cuando la variable tiende a infinito

 

Es frecuente que, cuando se calcula el límite del cociente de polinomios por sustitución directa la operación se indetermine. Por ejemplo, en el siguiente caso, el cociente queda indeterminado cuando se realiza una sustitución directa:

\lim_{n \to \infty}\frac{2n^5-3n^2}{n^4-n^3}=\frac{\infty}{\infty}

En este caso, todavía no es posible afirmar si el límite existe o no.

En cambio, si se realiza un análisis gráfico de esta función se puede observar que conforme aumenta el valor de n también aumenta el valor de \frac{2n^5-3n^2}{n^4-n^3} ; así se puede deducir que el límite de este cociente, cuando n tiende a infinito, es infinito.

Análisis gráfico de cociente de límites al infinito

Para poder calcularlo algebraicamente, en ocasiones se debe operar el cociente con un "valor conveniente" de tal manera que permita simplificar la expresión para determinar el límite. Retomando el ejemplo inicial, podemos multiplicar el cociente por 1 y reescribirlo como:

1=\frac{\frac{1}{n^5}}{\frac{1}{n^5}}\

Así multiplicando el numerador y el denominador del cociente por\frac{1}{n^5} , se obtiene la siguiente expresión:

\lim_{n\to \infty}\frac{\frac{2n^5}{n^5}-\frac{3n^2}{n^5}}{\frac{n^4}{n^5}-\frac{n^3}{n^5}}

La cual se puede simplificar para finalmente concluir que el límite es infinito:

\lim_{n\to \infty}\frac{2-\frac{3}{n^3}}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}=\frac{2-0}{0-0}=\infty

Como se puede observar no siempre es posible o eficiente realizar un análisis gráfico o bien determinar cómo se puede manipular la expresión algebraica para concluir si el límite existe y cuál es. Por ello, es conveniente conocer algunas reglas que permiten calcularlos de forma inmediata.

 

Si el numerador y denominador tienen el mismo grado el límite cuando n tiende a infinito es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

\mbox{\boldmath{\lim_{n\to \infty} \frac{an^k+...}{bn^k+...}=\frac{a}{b}}}

Ejemplos

1 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{5n^4+3n^3+2n+\pi}{n^4+8n^2}.

Como se puede observar, el grado del polinomio del numerador y del denominador es 4, por lo tanto el limite es el cociente de los coeficientes de los monomios de grado mayor, es decir:

\lim_{n\to \infty} \frac{5n^4+3n^3+2n+\pi}{n^4+8n^2}=\frac{5}{1}=5

2 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{\sqrt{2}n^{10}+3n^3}{3n^{10}+8n^2}.

En este caso, el grado del polinomio del numerador y del denominador es 10, por lo tanto el limite es el cociente de los monomios de grado mayor, es decir:

\lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{2} n^{10}+3n^3}{3n^{10}+8n^2}=\frac{\sqrt{2}}{3}

Límite de cociente de polinomios en el cual el numerador tiene grado mayor que el denominador

Si el numerador es de grado mayor que el denominador el limite cuando n tiende a infinito es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

\mbox{\boldmath{\lim_{n\to \infty} \frac{\pm an^{k+r}+...}{bn^k+...}=\pm \infty, \;con\;r \in \mathbb{R}^+}}

Ejemplos

1 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{2n^4+3n^3+2n}{n^2+50n}.

Como se puede observar, el grado del polinomio del numerador es 4 y el del denominador es 2, por lo cuál el limite debe de ser infinito, además como el coeficiente es positivo es limite es infinito positivo, es decir:

\lim_{n\to \infty} \frac{2n^4+3n^3+2n}{n^2+50n}=+\infty

2 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{-n^4+8n^3}{n^2}.

En este ejemplo, el grado del polinomio del numerador es 4 y el del denominador es 2, por lo cuál el limite debe de ser infinito, sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, como el coeficiente del monomio de grado mayor en el numerador es negativo entonces el límite es infinito positivo, es decir:

\lim_{n\to \infty} \frac{-n^4+8n^3}{n^2}=-\infty

Límite del cociente cuando el denominador tiene grado mayor grado que el numerador

Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

\mbox{\boldmath{\lim_{n\to \infty} \frac{\pm an^{k}+...}{bn^{k+r}+...}=0, \;con\;r \in \mathbb{R}^+}}

Ejemplos

1 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{n}{n^2}.

\lim_{n\to \infty} \frac{n}{n^2}=0

2 Calcula el límite cuando n tiende a infinito de \frac{50n^9+2n^2}{n^{11}+5n^2+8n+5}.

\lim_{n\to \infty} \frac{50n^9+2n^2}{n^{11}+5n^2+8n+5}=0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗