Una sucesión es un conjunto ordenado de números llamados términos, que se designan con una letra y un subíndice que se corresponde con el lugar que ocupan. Generalmente se denotan de la siguiente forma,

    $$a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n},\dots$$

Como primer ejemplo tenemos la siguiente sucesión con término general a_{n}=3n,

    $$3,6,9,\dots,3n,\dots$$

Una sucesión tiene los siguiente elementos,

Los números a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n},\dots se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general a_{n} es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

Una sucesión se suele expresar entre llaves, \{a_{n}\} o entre paréntesis (a_{n}).

Determinación de una sucesión

Existen varias maneras de hallar cuales son los términos de una sucesión. Dos de los más importantes son a través del término general de la sucesión y a través de una recurrencia entre los términos de la sucesión.

Por el término general

El método del término general consiste en hallar un fórmula en función del valor n que indica la posición del término, al reemplazar una posición especifica obtendremos el valor exacto de dicho término. A continuación presentamos un ejemplo,

Consideremos la siguiente sucesión de números naturales,

    $$a_{1}=2\cdot 1-1=1,$$

    $$a_{2}=2\cdot 2-1=3,$$

    $$a_{3}=2\cdot 3-1=5,$$

    $$a_{4}=2\cdot 4-1=7,$$

el término general de esta sucesión esta dado por la siguiente formula, a_{n}=2\cdot n-1, es decir, para obtener cualquier valor de la sucesión solo debemos reemplazar el valor de la posición n que deseamos y listo. El valor en el posición n=375 esta dado por a_{n}=2\cdot 375-1=749. Podemos notar que esta sucesión es la sucesión de números naturales impares.

Cabe notar que no todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos

    $$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,\dots$$

Hallar un término general para los números primos constituye uno de los problemas más difíciles en matemáticas aún sin resolver.

Por una ley de recurrencia

El método de recurrencia consiste en obtener el valor de un término de la sucesión a través de operar con los anteriores términos. Para esclarecer esta idea veamos el siguiente ejemplo,

Escribir una sucesión cuyo primer término es 2, sabiendo que cada término es el cuadrado del anterior.

    $$a_{1}=2,$$

    $$a_{2}=a_{1}^{2}=2^{2}=4,$$

    $$a_{3}=a_{2}^{2}=4^{2}=16,$$

    $$a_{4}=a_{3}^{2}=16^{2}=256,$$

De esta descripción podemos obtener la siguiente formula a_{n}=a_{n-1}^{2}.

Un ejemplo notable de una sucesión por recurrencia es la Sucesión de Fibonacci, la cual esta dada por

    $$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,\dots$$

Los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores. es decir,

    $$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\quad n\geq3.$$

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Limite infinito de una sucesión de número naturales

El límite de una sucesión de número naturales puede ser finito o infinito. En el caso de ser finito la sucesión seria constante después de un número finito de pasos. Y el limite será infinito si cumple lo siguiente,

    $$\forall M>0\exists k\in\mathbb{N}\hbox{ tal que } \forall n>k, a_{n}>M.$$

Es decir, los términos de la sucesión son arbitrariamente grande a medida que la posición n crece. Como ejemplo tenemos la siguiente sucesión de números impares considerada anteriormente,

    $$a_{1}=2\cdot 1-1=1,$$

    $$a_{2}=2\cdot 2-1=3,$$

    $$a_{3}=2\cdot 3-1=5,$$

    $$a_{4}=2\cdot 4-1=7,$$

Para cada M>1 tenemos que para k=M, si n>k entonces

    $$a_{n}=2n-1>2M-1>M.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗