El límite de una sucesión { a_n } es cuando sus términos van aproximándose a un valor, digamos L. Y a éste valor se le denomina como límite. No siempre existe este límite, hay ocasiones en los que la sucesión no se acercara a un valor en particular o se acercara a varios, en estos caso en límite no existe pues este debe ser único.

Ahora bien, sean {a_n} y {b_n} sucesiones cuyo límite existe, es decir,

    \[ \lim_{n \to \infty} a_n = L_1 \quad \textrm{y} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = L_2\]

donde L_1, L_2 límites de las sucesiones {a_n} y {b_n}, respectivamente. Entonces, se cumplen las siguientes propiedades de los límites:

1 Límite de la suma:
\lim_{n \to \infty} {a_n + b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n
es decir
\lim_{n \to \infty} {a_n + b_n} = L_1 + L_2

2 Límite de la resta:
\lim_{n \to \infty} {a_n - b_n} = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n
por tanto
\lim_{n \to \infty} {a_n - b_n} = L_1 - L_2

3 Límite del producto:
\lim_{n \to \infty} {a_n \cdot b_n} = \(\lim_{n \to \infty} a_n \)\cdot \(\lim_{n \to \infty} b_n \)
es decir,
\lim_{n \to \infty} {a_n \cdot b_n} = L_1 \cdot L_2

4 Límite del cociente:
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n}
entonces
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{L_1}{L_2}

5 Límite de la raíz de una sucesión:

\lim_{n \to \infty} \sqrt{a_n} = \sqrt{\lim_{n \to \infty} a_n} = \sqrt{L_1}

6 Límite del producto por una constante:
\lim_{n \to \infty} k \cdot a_n = k \lim_{n \to \infty} a_n = k\cdot L_1

7 Límite de una expresión exponencial:
\lim_{n \to \infty} a_n^{k} = (\lim_{n \to \infty} a_n)^k
por tanto
\lim_{n \to \infty} a_n^{k} = (L_1)^k

Hay que adevertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente igualdades, puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de expresar resultados.

En el calculo de limites, es necesario operar con expresiones donde aparece el infinito, por lo que es necesario hacer algunas convenciones respecto a las operaciones con el infinito. A continuación tenemos las expresiones mas comunes o conocidas:

Suma y resta:

  • \infty \pm k = \infty , donde k \in \mathbb{R}
  • \infty + \infty = \infty
  • \infty - \infty = Indeterminado
    Nota: con indeterminado queremos decir que no podemos predecir el límite

Producto:

  • k\cdot \infty = \infty con k \neq 0
  • \infty \cdot \infty = \infty
  • 0 \cdot \infty = Indeterminado

Cociente

  • \frac{0}{k} = 0
  • \frac{k}{0} = \infty
  • \frac{k}{\infty} = 0
  • \frac{\infty}{k} = \infty
  • \frac{0}{0} = Indeterminado
  • \frac{\infty}{\infty} = Indeterminado

Potencia:

  • 0^{\infty} = 0
  • \infty^{\infty} = \infty
  • 0^{k}=\left\lbrace\begin{array}{c} 0 \quad \textrm{si} \quad k >0 \\ \infty \quad \textrm{si} \quad k < 0 \end{array}\right.
  • k^{\infty}=\left\lbrace\begin{array}{c} \infty \quad \textrm{si} \quad k >1 \\ 0 \quad \textrm{si} \quad 0 < k < 1 \end{array}\right.
  • 0^{0} = Indeterminado
  • \infty^{0} = Indeterminado
  • 1^{\infty} = Indeterminado
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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗