Progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

 

d = a_n - a_{n - 1}

 

Ejemplo: La sucesión de números 8, 3, -2, -7, -12, \dots respresenta una progresión aritmética.

 

Verificamos que la diferencia de cada cada número con su anterior sea la misma

 

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

 

Luego, la diferencia en la sucesión de números es d = -5

 

Así, es una progresión aritmética que se forma sumando -5 al término anterior. Los siguientes términos serían: 8, 3, -2, -7, -12, -17, -22, -27, \dots

 

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el primer término, entonces el término general se obtiene con la siguiente fórmula

 

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d

 

El término general de la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12, \dots es

 

a_n = 8 + (n - 1) \cdot (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13

 

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión, entonces el término general se obtiene con la siguiente fórmula

 

a_n = a_k + (n - k) \cdot d

 

El cuarto término de una progresión aritmética es a_4 = -7 y su diferencia d = -5. Su término general es

 

a_n = -7 + (n - 4) \cdot (-5) = -7 - 5n + 20 = -5n + 13

 

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón

 

a_n = a_{r-1} \cdot r

 

Ejemplo: La sucesión de números 3, 6, 12, 24, 48, \dots respresenta una progresión geométrica.

 

Verificamos que la razón de cada cada número con su anterior sea la misma

 

\cfrac{6}{3} = 2

\cfrac{12}{6} = 2

\cfrac{24}{12} = 2

\cfrac{48}{24} = 2

 

Luego, la razón en la sucesión de números es r = 2

 

Así, es una progresión geométrica que se forma multiplicando 2 al término anterior. Los siguientes términos serían: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, \dots

Término general de una progresión geométrica

1 Si conocemos el primer término, entonces el término general es

 

a_n = a_1 \cdot r^{n-1}

 

El término general de la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, 48, \dots es

 

a_n = 3 \cdot 2^{n-1} = \cfrac{3}{2} \cdot 2^{n}

 

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión, entonces el término general es

 

a_n = a_k \cdot r^{n - k}

 

El cuarto término de una progresión geométrica es a_4 = 24 y su razón r = 2. Su término general es

 

a_n = 24 \cdot 2^{n - 4} = 24 \cdot 2^n \cdot 2^{-4} = \cfrac{3}{2} \cdot 2^{n}

 

Interpolación de términos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

 

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m

 

r = \sqrt[m+1]{\cfrac{b}{a}}

 

Ejemplo: Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

 

r = \sqrt[4]{\cfrac{48}{3}} = \sqrt[4]{16} = 2

 

La progresión geométrica que se obtiene es 3, 6, 12, 24, 48

 

Suma de n términos consecutivos

Para realizar la suma se requiere conocer la razón r, el primer elemento de la progresión geométrica a_1 y la cantidad de elementos a sumar n. La formula para la suma es

 

S_n = a_1 \cdot \left ( \cfrac{r^n - 1}{r - 1} \right )

 

Ejemplo: Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, \dots

 

Se calcula la razón

 

r = \cfrac{6}{3} = 2

 

Utilizando a_1 = 3 y n = 5, sustituimos en la fórmula de n términos consecutivos

 

S_5 = 3 \cdot \left ( \cfrac{2^5 - 1}{2 - 1} \right ) = 3 \cdot \cfrac{31}{1} = 93

 

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Cuando la razón se encuentra contenida entre -1 y 1, se puede obtener la suma de los infinitos términos de la progresión

 

S = \cfrac{a_1}{1 - r}

 

Ejemplo: Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada formada por a_1 = 2 y r = \cfrac{1}{2}

 

La sucesión es 2, 1, \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{4}, \cfrac{1}{8}, \dots

 

Sustituyendo en la fórmula se obtiene

 

S = \cfrac{2}{1 - \cfrac{1}{2}} = 4

 

Producto de dos términos equidistantes

Dos términos son equidistantes si estos se encuentran a la misma distancia de sus extremos próximos.

 

Para cualesquiera a_i, a_j dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

 

Para la progresión geométrica 3, 6, 12, 24, 48 se satisface

 

144 = 48 \cdot 3 = 6 \cdot 24

 

Producto de n términos consecutivos

Para obtener el producto de n términos a_1, \dots, a_n empleamos la fórmula

 

P_n = \sqrt{(a_1 \cdot a_n)^n}

 

Ejemplo: Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión 3, 6, 12, 24, 48, \dots

 

Los datos requeridos para aplicar la fórmula son: n=5, a_1 = 3, a_n = 48. Sustituyendo en la fórmula obtenemos

 

P_5 = \sqrt{(3 \cdot 48)^5} = 248832

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗