Name: Progresiones aritmeticas
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Definición de progresión aritmética
Calcular el término general
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Definición de progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por $d$ .

Entonces $d=a_n-a_{n-1}$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 - 8 = -5$

$-2 - 3 = -5$

$-7 - (-2) = -5$

$-12 - (-7) = -5$

$d=-5$

Es una progresión aritmética que se forma sumando $-5$ al término anterior. Así los siguientes términos serían:

$8, 3, -2, -7, -12, -17, -22, -27,...$

Notamos que la expresión $-5n+13$ nos da el término enésimo en la progresión.

Por ejemplo para obtener el cuarto término de la progresión sustituyo con $4$ ,

$-5(4)+13=-20+13=-7$

A esta expresión se le conoce como el término general.

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Calcular el término general

Para calcular el término general en una progresión aritmética consideramos los siguientes dos casos:

1 Si conocemos el 1^er término.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

Primer término $8$

Término general $a_n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13$

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_k + (n - k) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$a_4 = -7$

$d = -5$

Término general $a_n = -7 + (n - 4) \cdot (-5) = -7 -5n + 20 = -5n+13$

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos $a$ y $b$ , y el número de medios a interpolar $m$ . La diferencia está dada por:

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Ejemplo:

Interpolar tres medios aritméticos entre $8$ y $-12$ .

Tenemos los datos

$a = -12$

$b = 8$

Usando la fórmula

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Podemos obtener el valor de $d$

$\displaystyle d=\frac{8-(-12)}{3+1}=\frac{20}{4}=5$

Finalmente

$8, 3, -2, -7, -12$

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean $a_i$ y $a_j$ dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

$a_i+ a_j = a_1 + a_n$

Entonces, es cierto que

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=...$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)$

$-4 = -4 = -4$

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

$\displaystyle S_n =\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros $5$ términos de la progresión: $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$\displaystyle S_5=\frac{(8-12)\cdot 5}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Teoría

Indeterminacion cero por infinito

Que es una sucesión matemática

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Mery

Noviembre 2022

Quiero descargar ese aplicación

Superprof

Noviembre 2022

Hola, Mery: De momento no tenemos aplicación para Superprof Apuntes, pero puedes entrar en la web desde tu móvil :)

Kenlly Lorenty

Junio 2022

El tercer término de una progresion aritmética es 21y el quinto es 31. Hallar la diferencia de los cincoterminos de la progresión y la suma de los mismos

Karla Jiménez

Enero 2022

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