Name: Progresiones aritmeticas
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Definición de progresión aritmética
Calcular el término general
Interpolación de términos en una progresión aritmética
Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética
Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Definición de progresión aritmética

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por $d$ .

Entonces $d=a_n-a_{n-1}$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 - 8 = -5$

$-2 - 3 = -5$

$-7 - (-2) = -5$

$-12 - (-7) = -5$

$d=-5$

Es una progresión aritmética que se forma sumando $-5$ al término anterior. Así los siguientes términos serían:

$8, 3, -2, -7, -12, -17, -22, -27,...$

Notamos que la expresión $-5n+13$ nos da el término enésimo en la progresión.

Por ejemplo para obtener el cuarto término de la progresión sustituyo con $4$ ,

$-5(4)+13=-20+13=-7$

A esta expresión se le conoce como el término general.

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Calcular el término general

Para calcular el término general en una progresión aritmética consideramos los siguientes dos casos:

1 Si conocemos el 1^er término.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

Primer término $8$

Término general $a_n = 8 + (n - 1) (-5) = 8 -5n +5 = -5n + 13$

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

El término general está dado por la fórmula $a_n = a_k + (n - k) \cdot d$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$a_4 = -7$

$d = -5$

Término general $a_n = -7 + (n - 4) \cdot (-5) = -7 -5n + 20 = -5n+13$

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos $a$ y $b$ , y el número de medios a interpolar $m$ . La diferencia está dada por:

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Ejemplo:

Interpolar tres medios aritméticos entre $8$ y $-12$ .

Tenemos los datos

$a = -12$

$b = 8$

Usando la fórmula

$\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}$

Podemos obtener el valor de $d$

$\displaystyle d=\frac{8-(-12)}{3+1}=\frac{20}{4}=5$

Finalmente

$8, 3, -2, -7, -12$

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean $a_i$ y $a_j$ dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

$a_i+ a_j = a_1 + a_n$

Entonces, es cierto que

$a_1+a_n=a_2+a_{n-1}=a_3+a_{n-2}=...$

Ejemplo:

Progresión aritmética $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)$

$-4 = -4 = -4$

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

$\displaystyle S_n =\frac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}$

Ejemplo:

Calcular la suma de los primeros $5$ términos de la progresión: $8, 3, -2, -7, -12, ...$

$\displaystyle S_5=\frac{(8-12)\cdot 5}{2}=\frac{-20}{2}=-10$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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PERALTA
Guest

18 May.

Hola,
¿Me podrían ayudar con este problema?
Aplica las fórmulas de progresión aritmética para el cálculo de cualquiera de los elementos de la progresión que va del 1 al millón.
Muchas gracias por su atención.

Diaz
Guest

19 May.

Si instructivo y utik

Progresión aritmética

Definición de progresión aritmética

Calcular el término general

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

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Resumen

Sucesiones y progresiones

Teoría

Limites de sucesiones parte I

Progresiones

Propiedades de los límites. Infinitésimos

Límite de sucesiones

Limites de sucesiones parte II

Límite infinito de una sucesión

Operaciones con límites

Sucesiones – Indeterminación infinito partido infinito sucesiones

Indeterminacion cero por infinito

Indeterminación cero partido por cero

Indeterminación uno elevado a infinito

Sucesiones

Sucesión

Operaciones con sucesiones

Límite de una sucesión

Progresiones geometricas

Termino general de una sucesion

Indeterminacion infinito menos infinito en sucesiones

Tipos de sucesiones

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de progresiones geométricas

Ejercicios interactivos de sucesiones

Ejercicios interactivos de operaciones con sucesiones

Ejercicios interactivos de límite de una sucesión

Ejercicios interactivos de tipos de sucesiones

Ejercicios interactivos de progresiones aritméticas

Problemas interactivos: progresiones aritmeticas y geometricas

Ejercicios interactivos del término general de una sucesión

Otros ejercicios

Problemas de sucesiones y progresiones

Ejercicios de sucesiones y progresiones II

Ejercicios de sucesiones

Ejercicios de progresiones geometricas

Ejercicios de límites de sucesiones

Limites de sucesiones part III

Ejercicios de límites de sucesiones II

Ejercicios de progresiones aritmeticas

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