Sucesiones convergentes

 

Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

 

a_{n}=-1,\cfrac{1}{2},-\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},-\cfrac{1}{5},...,\cfrac{(-1)^{n}}{n}

 

Límite =0

 

\cfrac{1}{2},\cfrac{2}{3},\cfrac{3}{4},\cfrac{4}{5},\cfrac{5}{6},...,\cfrac{n}{n+1}

 

Límite = 1

 

 

Superprof

Sucesiones divergentes

 

Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito.

 

1,2,4,8,16,32,...

 

Límite =\infty

 

 

Sucesiones oscilantes

 

Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

 

\begin{matrix} a_{1}=-1\\ a_{2}=1\; \; \; \\ a_{3}=-1\\ \vdots \\ a_{100}=1\\ \; \; \; a_{101}=-1\\ a_{102}=1\\ \vdots \\ a_{1000}=1\\ \; \; \; a_{1001}=-1\\ a_{1002}=1 \end{matrix}

 

Sucesiones alternadas

 

Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser:

 

Convergentes

 

1,-1,0.5,-0.5,0.25,-0.25,0.125,-0.125,...

 

Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0.

 

Divergentes

 

1,1,2,4,3,9,4,16,5,25,...

 

Tantos los términos pares como los impares tienen de límite +\infty.

 

Oscilantes

 

-1,2,-3,4,-5,...,(-1)^{n}\cdot n

 

Sucesiones monótonas

 

\textup{Sucesiones mon\'{o}tonas}\left\{\begin{matrix} \textup{Estrictamente crecientes}\\ \textup{Crecientes}\\ \textup{Estrictamente decrecientes}\\ \textup{Decrecientes} \end{matrix}\right.

 

 

Sucesiones estrictamente crecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor que el anterior.

 

a_{n+1}> a_{n}

 

2,5,8,11,14,17,...

 

5> 2;8> 5;11> 8;...

 

Sucesiones crecientes

 

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

 

a_{n+1}\geq a_{n}

 

2,2,4,4,8,8,...

 

2\geq 2;4\geq 2;4\geq 4;...

 

Sucesiones estrictamente decrecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

 

a_{n+1}< a_{n}

 

1,\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{3},\cfrac{1}{4},\cfrac{1}{5},\cfrac{1}{6},...

 

\cfrac{1}{2}< 1;\cfrac{1}{3}< \cfrac{1}{2};\cfrac{1}{4}< \cfrac{1}{3};...

 

 

Sucesiones decrecientes

 

Se dice que una sucesión es decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

 

a_{n+1}\leq a_{n}

 

10,10,8,8,6,6,4,4,...

Edit date and time

 

10\leq 10;8\leq 10;8\leq 8;6\leq 8;...

 

 

Sucesiones constantes

 

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, a_{n}=k.

 

a_{n}=a_{n+1}

 

5,5,5,5,...

 

 

Sucesiones acotadas inferiormente

 

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

 

a_{n}\geq k

 

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo.

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

 

 

Sucesiones acotadas superiormente

 

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

 

a_{n}\leq k\, '

 

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

 

 

 

Sucesiones acotadas

 

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

 

k\leq a_{n}\leq K\, '

 

 

Ejemplos de sucesiones

 

1 a_{n}=1,2,3,4,5,...,n

 

Es creciente

Está acotada inferiormente en 1

El mínimo es 1

No está acotada superiormente

Divergente

 

 

2 b_{n}=-1,-2,-3,-4,-5,...,-n

 

Es decreciente

Está acotada superiormente

El máximo es -1

No está acotada inferiormente

Divergente

 

 

3 c_{n}=2,\cfrac{3}{2},\cfrac{4}{3},\cfrac{5}{4},...,n+\cfrac{1}{n}

 

Es decreciente

Está acotada superiormente

El máximo es 2

Está acotada inferiormente

El ínfimo es 1

Convergente, límite = 1

 

 

4 d_{n}=2,-4,8,-16,32,...,(-1)^{n-1}\cdot 2^{n}

 

No es monótona

No está acotada

No es convergente ni divergente

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Marta

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guzman
guzman
Guest
14 Nov.

hola que tal porfa sera que me puede ayudar con una investigación gracias

Superprof
Superprof
Admin
15 Nov.

¿Nos puedes detallar el problema?

Meksa
Meksa
Guest
19 Nov.

¡Gran trabajo!