Elige la opción correcta:

1La sucesión (a_n)=(3.5 - 0.5n)\dots


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1Calculamos los primeros tres términos

a_1=3.5,

a_2=3,

a_3=2.5,

 

2Calculamos los términos 100, 1000 y 1000000

\begin{array}{l}a_{100}=-46.5,\\ \vdots\\ a_{1000}=-496.5,\\ \vdots\\ a_{1000000}=-499996.5\end{array}

 

3Como los términos decrecen y no tienen límite finito, entonces la sucesión es divergente y su límite es -\infty.

 

2La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{3n}{2n-1}\right)\dots

1Calculamos los primeros tres términos

a_1=\cfrac{3}{1}=3,

a_2=\cfrac{6}{3}=2,

a_3=\cfrac{9}{5}=1.8,

 

2Calculamos los términos 100, 1000 y 1000000

\begin{array}{l}a_{100}=\cfrac{300}{199}=1.507,\\ \vdots\\ a_{1000}=\cfrac{3000}{1999}=1.5007,\\ \vdots\\ a_{1000000}=\cfrac{3000000}{1999999}=1.5000007\end{array}

 

3Como los términos decrecen y tienen límite finito, entonces la sucesión es convergente y su límite es 1.5=\cfrac{3}{2}.

 

3La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{3}{n}\right)\dots

1Calculamos los primeros tres términos

a_1=\cfrac{3}{1}=3,

a_2=\cfrac{3}{2}=1.5,

a_3=\cfrac{3}{3}=1,

 

2Calculamos los términos 100, 1000 y 1000000

\begin{array}{l}a_{100}=\cfrac{3}{100}=0.03,\\ \vdots\\ a_{1000}=\cfrac{3}{1000}=0.003,\\ \vdots\\ a_{1000000}=\cfrac{3}{1000000}=0.000003\end{array}

 

3Como los términos decrecen y tienen límite finito, entonces la sucesión es convergente y su límite es 0.

 

4La sucesión (a_n)=(2,0,3,0,4,0,\dots)

1Los términos de esta sucesión alternan de mayor a menor y viceveresa, con lo que la sucesión no es convergente ni divergente. Este tipo de sucesiones se llama oscilante.

Elige la opción correcta:

5La sucesión (a_n)=(2,5,8,11,14,\dots)

1Comparamos los primeros dos términos

2<5 \ \ \Longrightarrow \ \ a_1<a_2

 

2Comparamos los siguientes términos

5<8 \ \ \Longrightarrow \ \ a_2<a_3

8<11 \ \ \Longrightarrow \ \ a_3<a_4

11<14 \ \ \Longrightarrow \ \ a_4<a_5

 

3Como los términos siempre crecen, entonces la sucesión es estrictamente creciente.

 

6La sucesión (b_n)=(5,4,3,3,2,1,0,0,\dots)

1Comparamos los primeros dos términos

5>4 \ \ \Longrightarrow \ \ b_1>b_2

 

2Comparamos los siguientes términos

4>3 \ \ \Longrightarrow \ \ b_2>b_3

3=3 \ \ \Longrightarrow \ \ b_3=b_4

3>2 \ \ \Longrightarrow \ \ b_4>b_5

2>1 \ \ \Longrightarrow \ \ b_5>b_6

1>0 \ \ \Longrightarrow \ \ b_6>b_7

0=0 \ \ \Longrightarrow \ \ b_7=b_8

 

3Como los términos decrecen o son iguales, entonces la sucesión es monótona decreciente.

 

7La sucesión (b_n) = (20, 10, 5, 2.5, 1.25, \dots)

1Comparamos los primeros dos términos

20>10 \ \ \Longrightarrow \ \ b_1>b_2

 

2Comparamos los siguientes términos

10>5 \ \ \Longrightarrow \ \ b_2>b_3

5>2.5 \ \ \Longrightarrow \ \ b_3>b_4

2.5>1.25 \ \ \Longrightarrow \ \ b_4>b_5

 

3Como los términos decrecen, entonces la sucesión es monótona decreciente.

 

8La sucesión (a_n) = (2, 4, 3, 5, 4, 6,\dots)

1Comparamos los primeros dos términos

2<4 \ \ \Longrightarrow \ \ a_1<a_2

 

2Comparamos los siguientes términos

4>3 \ \ \Longrightarrow \ \ a_2>a_3

3<5 \ \ \Longrightarrow \ \ a_3<a_4

5>4 \ \ \Longrightarrow \ \ a_4>a_5

4<6 \ \ \Longrightarrow \ \ a_5<a_6

 

3Como los términos se alternan de mayor a menor, entonces la sucesión no es monótona.

 

9La sucesión (a_n) = (1, 1, 2, 3, 4, 4, 5,\dots)

1Comparamos los primeros dos términos

1=1 \ \ \Longrightarrow \ \ a_1=a_2

 

2Comparamos los siguientes términos

1<2 \ \ \Longrightarrow \ \ a_2<a_3

2<3 \ \ \Longrightarrow \ \ a_3<a_4

3<4 \ \ \Longrightarrow \ \ a_4<a_5

4=4 \ \ \Longrightarrow \ \ a_5=a_6

4<5 \ \ \Longrightarrow \ \ a_6<a_7

 

3Como los términos crecen o son iguales, entonces la sucesión es monótona creciente.

 

10La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{4n^2+1}{3}\right)\dots

1Calculamos los primeros cinco términos

a_1=\cfrac{5}{3}=1.\overline{6},

a_2=\cfrac{17}{3}=5.\overline{6},

a_3=\cfrac{37}{3}=12.\overline{3},

a_4=\cfrac{65}{3}=21.\overline{6},

a_5=\cfrac{101}{3}=33.\overline{6},

 

2Observamos que

a_1<a_2<a_3<a_4<a_5

 

3Como los términos crecen, entonces la sucesión es estrictamente creciente.

 

Elige la opción más correcta:

11La sucesión (a_n) = (1, 3, 5, 7, \dots)

1Se trata de una sucesión estrictamente creciente, por lo que no puede estar acotada superiormente.

 

2 Por ser creciente, el primer término de la sucesión será menor que todos los demás

 

3 Luego la sucesión está acotada inferiormente y su cota ínfimo (y mínimo a la vez) es 1

.

12La sucesión (a_n) = (-1, 1, -1, 1, \dots)

1Se trata de una sucesión oscilante, donde 1 es una cota superior y −1 es una cota inferior, por tanto, la sucesión está acotada inferior y superiormente, es decir, está acotada

.

13La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{3}{n}\right)\dots

1La sucesión es (a_n) = (3, 1.5, 1, 0.75,\dots), que es decreciente.

 

2Todos los términos son menores o iguales que 3 y mayores que 0, por lo que está acotada inferiormente por 0 y superiormente por 3

.

14La sucesión (a_n)=\left(2,0,3,0,4,0, \dots\right)

1Podemos observar que todos los términos son superiores o iguales a cero, por lo que la sucesión está acotada inferiormente y 0 es una cota inferior

.

Elige la opción más correcta:

15La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{5}{n}\right)\dots

1La sucesión está acotada, pues está acotada superior e inferiormente.

 

2Su supremo (y también máximo) es 5 y su ínfimo es 0. Además, es decreciente.

 

3Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión, con lo que (a_n) tiende a su ínfimo, es decir, tiende a 0.

 

16La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{3n^2+5}{n}\right)\dots

1La sucesión es estrictamente creciente y aunque está acotada inferiormente y su ínfimo (y mínimo) es 8, no está acotada superiormente.<\p>

2Por otra parte, es fácil comprobar que es divergente y tiende a +\infty, es decir, no es convergente.

 

3Luego, las tres primeras respuestas son correctas.

17La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{3n+8}{n^3+1}\right)\dots

1La sucesión está acotada, pues lo está superior e inferiormente

 

2Su supremo (y máximo) es 5.5 y su ínfimo es 0. Además es decreciente.

 

3Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión, con lo que (a_n) tiende a su ínfimo, es decir, tiende a 0.

 

4Luego, las tres primeras respuestas son correctas.

18La sucesión (a_n) = (4n + 7)\dots

1La sucesión es estrictamente creciente y no está acotada superiormente.

 

2 Está acotada inferiormente y su ínfimo (y mínimo) es 11.

 

3Además esta sucesión es divergente, su límite es +\infty.

19La sucesión (a_n) = (8, 4, 2, 1, 0.5, \dots)

1La sucesión está acotada, pues lo está superior e inferiormente. Su supremo (y también máximo) es 8 y su ínfimo es 0, luego la opción correcta es está acotada inferiormente y su ínfimo es 0.

 

2Además es decreciente. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente y su límite es igual al ínfimo de la sucesión, con lo que (a_n) tiende a su ínfimo, es decir, tiende a 0.

20La sucesión (a_n)=\left(\cfrac{4n^2-1}{n^3}\cdot\cfrac{n}{2}\right)\dots

1La sucesión es

(a_n)=\left(\cfrac{4n^2-1}{n^3}\cdot\cfrac{n}{2}\right)=\left(\cfrac{4n^3-n}{2n^3}\right)

 

2Está acotada, pues lo está superior e inferiormente. Su ínfimo (y mínimo) es 1.5 y su supremo es 2. Además es creciente

 

3Toda sucesión creciente y acotada superiormente es convergente y su límite es igual al supremo de la sucesión, con lo que nuestra sucesión tiende a su supremo, es decir, tiende a 2.

 

4Por tanto, la opción correcta es la tercera: es creciente, acotada superiormente, con supremo 2 y converge a 2

.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗