1 El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribe la progresión.

 

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progresión.

 

1 Los datos que sabemos sobre la progresión son:

 

a_4=10 y a_6=16

 

2 Una progresión aritmética cumple con la expresión:

 

a_n=a_k+(n-k) \cdot d

 

3 Sustituimos los datos y obtenemos la diferencia "d" entre los términos de la progresión:

 

16=10+(6-4) \cdot d \ \ \ \Rightarrow \ \ \ d=3

 

4 Obtenemos el valor del primer término de la progresión:

 

a_1=a_4-3d

 

a_1=10-9=1

 

5 La progresión aritmética es:

 

1, 4, 7, 10, 13, ...

 

2 Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

 

Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23.

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a = 3 y b = 23

 

2 Para encontrar la diferencia entre los términos de la progresión se utiliza la fórmula:

 

\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

\displaystyle d=\frac{23-3}{3+1} = 5

 

4 La progresión es:

 

3, 8, 13, 18, 23

 

3 Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

 

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a = 8 y b = -12

 

2 Para encontrar la diferencia entre los términos de la progresión se utiliza la fórmula:

 

\displaystyle d=\frac{b-a}{m+1}

 

3 Sustituimos y resolvemos:

 

\displaystyle d=\frac{-23-8}{3+1}=\frac{-20}{4}=-5

 

4 La progresión es:

 

8, 3, -2, -7, -12

 

 

4 El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

 

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimo quinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a_{1}=-1     y     a_{15}=27

 

2 En una progresión aritmética se cumple que:

 

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

 

3 Sustituimos los datos:

 

27=-1+(15-1)\cdot d

 

28=14\cdot d

 

d=2

 

4 La diferencia entre los términos es d=2

 

5 Para calcular la suma de los primeros 15 términos usamos la fórmula:

 

\displaystyle S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

 

\displaystyle S_{15} = \frac{(-1+27)15}{2}=195

 

 

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5 Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5.

 

Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a_{1}=5, d=5     y    n=15

 

2 En una progresión aritmética se cumple que:

 

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

 

3 Sustituimos los datos para obtener el decimoquinto término:

 

a_{15}=5+14\cdot 5

 

a_{15}=75\cdot d

 

4 Para calcular la suma de los primeros 15 términos usamos la fórmula:

 

\displaystyle S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

 

\displaystyle S_{15} = \frac{(5+75)15}{2}=600

 

 

6 Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5.

 

Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a_{1}=5, d=10     y    n=15

 

2 En una progresión aritmética se cumple que:

 

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

 

3 Sustituimos los datos para obtener el decimoquinto término:

 

a_{15}=5+14\cdot 10

 

a_{15}=145\cdot d

 

4 Para calcular la suma de los primeros 15 términos usamos la fórmula:

 

\displaystyle S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

 

\displaystyle S_{15} = \frac{(5+145)15}{2}=1125

 

7 Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5.

 

Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5

 

1 Los datos que tenemos son:

 

a_{1}=6, d=2     y    n=15

 

2 En una progresión aritmética se cumple que:

 

a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d

 

3 Sustituimos los datos para obtener el decimoquinto término:

 

a_{15}=6+14\cdot 2

 

a_{15}=34\cdot d

 

4 Para calcular la suma de los primeros 15 términos usamos la fórmula:

 

\displaystyle S_n = \frac{(a_1+a_n)n}{2}

 

\displaystyle S_{15} = \frac{(5+34)15}{2}=300

 

8 Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

 

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d = 25º.

 

1 Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º por lo que sustituyendo en la fórmula de la suma de los primeros términos obtenemos:

 

\displaystyle 360= \frac{(a_{1}+a_{4})\cdot4}{2}

 

2 También, sabemos que entre el primer y cuarto término existe la siguiente relación:

 

a_{4}=a_{1}+3\cdot 25

 

3 Sustituyendo la segunda expresión en la primera obtenemos:

 

\displaystyle 360=\cfrac{(a_{1}+a_{1}+3\cdot 25)\cdot 4}{2}

 

\displaystyle a_{1}=\cfrac{105}{2}=52^{\circ}30'

 

a_{2}=77^{\circ}30'

 

a_{3}=102^{\circ}30'

 

a_{4}=127^{\circ}30'

 

9 El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm.

Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

 

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm.

 

1 Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

 

a_{2}=8+d

 

a_{3}=8+2d

 

2 Aplicamos el teorema de Pitágoras

 

(8+2d)^2=(8+d)^2+(8)^2

 

4d^2+32d+64 = (d^2+16d+64) +64

 

4d^2+32d=  d^2+16d+64

 

4d^2-d^2+32d-16d= 64

 

3d^2+16d-64= 0

 

3 Resolvemos mediante la formula general para ecuaciones de segundo grado:

 

\displaystyle x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

 

\displaystyle x_1, x_2 = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 768}}{6}

 

\displaystyle x_1, x_2 = \frac{-16 \pm 32}{6}

 

\displaystyle x_1 = \frac{-16 + 32}{6} = \frac{16}{6}= \frac{8}{3}

 

\displaystyle x_2 = \frac{-16 -32}{6} = \frac{-48}{6}= -8

 

4 Cómo el resultado no puede ser negativo, obtenemos:

 

\displaystyle d=\cfrac{8}{3}

 

5 La solución negativa no es válida porque la longitud de los lados de un triángulo tiene que ser positiva

 

\displaystyle 8,\cfrac{32}{3},\cfrac{40}{3}

 

 

10 Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados \displaystyle \frac{511}{2}

 

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es \displaystyle \frac{511}{2}.

 

1 Consideremos que el término central es x

 

2 El primer término se expresaría como: x-d

 

3 El tercer término se expresaría como: x+d

 

4 La suma de los tres términos es 27, así que:

 

x-d+x+x+d=27

 

x=9

 

5 La suma de los cuadrados de los 3 números es \displaystyle \frac{511}{2}, por lo que podemos escribir:

 

\displaystyle (9-d)^{2}+81+(9+d)^{2}=\frac{511}{2}

 

\displaystyle 81-18d+d^{2}+81+81+18d+d^{2}=\frac{511}{2}

 

\displaystyle 2d^{2}+243=\frac{511}{2}

 

\displaystyle 2d^{2}=\frac{25}{2}

 

\displaystyle d^{2}=\frac{25}{4}

 

\displaystyle d=\sqrt{\frac{25}{4}}

 

\displaystyle d=\pm \frac{5}{2}

 

6 Tenemos dos progresiones que cumplen la condición (Una para el valor positivo de 'd' y otra para el valor negativo)

 

\displaystyle \frac{13}{2},9,\frac{23}{2}

 

\displaystyle \frac{23}{2},9,\frac{13}{2}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗