En este artículo introduciremos formalmente qué es una sucesión y mencionaremos definiciones importantes relacionadas con éstas.

 

Introducción

 

Una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a continuación de otro

 

 \{ a_n \} = a_1, a_2, \dots, a_n, \dots

 

A cada elemento dentro de la sucesión se le conoce como término de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.Así, en general, a_n denota al n-ésimo término de la sucesión \{ a_n \}. Por ejemplo, el décimo término de la sucesión \{ a_n \} es a_{10}.

 

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Vamos

Determinación de una sucesión

 

Término general

 

Podemos determinar una sucesión por medio de lo que conocemos término general. El término general nos ayuda a calcular el valor de cada término de la sucesión con base a su posición. En general, tenemos que

 

\displaystyle a_n = f(n)

 

y denotamos como

 

\displaystyle \{a_n\} = \{f(n)\}

 

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión \displaystyle \{ a_n \} = \{ 3n + 1 \}

 

La sucesión está dada por el término general f(n) = 3n + 1

 

Para encontrar los términos de la sucesión, sustituimos los valores de n = 1, 2, 3, 4, 5

 

\displaystyle a_1 = 3(1) + 1 = 4,

 

\displaystyle a_2 = 3(2) + 1 = 7

 

\displaystyle a_3 = 3(3) + 1 = 10,

 

\displaystyle a_4 = 3(4) + 1 = 13

 

\displaystyle a_5 = 3(5) + 1 = 16

 

Formalmente las sucesiones se conocen como funciones que van del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales, esto es

 

\displaystyle x(n): \mathbb{N} \to \mathbb{R}.

 

Por recurrencia

 

Aunque la recurrencia no es muy formal es común ver sucesiones definidas por este método. La recurrencia consiste en definir un número finitos de términos por un valor específico y los demás por medio de operaciones entre los términos anteriores, estas operaciones las definimos por medio de una función de la forma

 

\displaystyle a_n = f(a_{n-1}, a_{n-2}, \dots, a_{n-j}).

 

Comúnmente sólo definimos el primer término con un valor específico y los demás términos como una función del término anterior inmediato.

 

Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión \displaystyle \{a_n\} definida por a_1 = 10 y a_n = a_{n-1} - 5 para n > 1.

 

Los términos de la sucesión vienen definidos a partir del término anterior, esto es, a partir conocer un término podemos encontra el término siguiente. Conocemos el primer término a_1, entonces podemos encontrar el segundo término a_2

 

\displaystyle a_2 = a_1 - 5 = 10 - 5 = 5,

 

Conocemos el segundo término a_2, entonces podemos encontrar el tercer término a_3

 

\displaystyle a_3 = a_2 - 5 = 5 - 5 = 0,

 

Conocemos el tercer término a_3, entonces podemos encontrar el cuarto término a_4

 

\displaystyle a_4 = a_3 - 5 = 0 - 5 = -5,

 

Conocemos el cuarto término a_4, entonces podemos encontrar el quinto término a_5

 

\displaystyle a_5 = a_4 - 5 = -5 - 5 = - 10,

 

dando como resultado

 

\displaystyle \{a_n\} = \{10, 5, 0, -5, - 10, \dots \}.

 

Operaciones entre sucesiones

 

Es esta parte veremos las operaciones que se pueden hacer entre sucesiones o bien entre una sucesión y un número real.

 

Suma de sucesiones

 

Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, la suma de estas sucesiones es una nueva sucesión \{c_n\}

 

\displaystyle \{c_n\} = \{a_n \} + \{b_n\} = \{a_n + b_n\}

 

en pocas palabras, sumamos los términos que están en la misma posición.

 

Ejemplo: Encuentra la suma de las siguientes sucesiones

 

\displaystyle \{a_n\} = \{2n + 1\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ \frac{n}{2} \right\}

 

Calculamos los términos de cada sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \{2n + 1\} = \{3, 5, 7, 9, \dots\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ \frac{n}{2} \right\} = \left\{ \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots \right\}

 

Sumando término a término se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \{c_n\} & = & \{a_n \} + \{b_n\} \\\\ & = & \{2n + 1\} + \left\{ \frac{n}{2} \right\} \\\\ & = & \{3, 5, 7, 9, \dots\} + \left\{ \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 3 + \cfrac{1}{2}, 5 + 1, 7 + \cfrac{3}{2}, 9 + 2, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ \cfrac{7}{2}, 6, \cfrac{17}{2}, 11, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 2n + 1 + \cfrac{n}{2} \right\} \end{array}

 

Notemos que el término general de la suma es igual a la suma de los términos generales de las sucesiones involucradas.

 

Propiedades de la suma de sucesiones

 

1 Conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, entonces se cumple que

 

\displaystyle \{a_n \} + \{b_n\} = \{b_n \} + \{a_n\}

 

2 Asociatividad: Si tenemos tres sucesiones \{a_n\}, \{b_n\} y \{c_n\}, entonces se cumple que

 

\displaystyle \left(\{a_n \} + \{b_n\}\right) + \{c_n\} = \{a_n \} + \left( \{b_n\} + \{c_n\} \right)

 

3 Elemento neutro: Existe la sucesión \{0\} = \{0, 0, 0, \cdots \} tal que

 

\displaystyle \{a_n \} + \{0\} = \{a_n + 0\} = \{a_n \}

 

4 Elemento inverso: Para toda sucesión \{a_n\} existe la sucesión \{-a_n\}, la cual tiene los mismo elementos que \{a_n\} pero con signo opuesto, tal que

 

\displaystyle \{a_n \} + \{-a_n \} = \{a_n - a_n\} = \{0 \}

 

Resta de sucesiones

 

Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, la resta \{c_n\} de estas sucesiones se define como

 

\displaystyle \{c_n\} = \{a_n \} - \{b_n\} = \{a_n - b_n\}

 

en pocas palabras, restamos los términos que están en la misma posición.

 

Ejemplo: Encuentra la resta de las siguientes sucesiones

 

\displaystyle \{a_n\} = \{2n + 1\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ \frac{n}{2} \right\}

 

Calculamos los términos de cada sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \{2n + 1\} = \{3, 5, 7, 9, \dots\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ \frac{n}{2} \right\} = \left\{ \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots \right\}

 

Restando término a término se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \{c_n\} & = & \{a_n \} - \{b_n\} \\\\ & = & \{2n + 1\} - \left\{ \frac{n}{2} \right\} \\\\ & = & \{3, 5, 7, 9, \dots\} - \left\{ \frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 3 - \cfrac{1}{2}, 5 - 1, 7 - \cfrac{3}{2}, 9 - 2, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ \cfrac{5}{2}, 4, \cfrac{11}{2}, 7, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 2n + 1 - \cfrac{n}{2} \right\} \end{array}

 

Notemos que el término general de la resta es igual a la resta de los términos generales de las sucesiones involucradas.

 

La resta de \{a_n\} y \{b_n\} es equivalente a la suma de \{a_n\} y \{-b_n\}, en donde \{-b_n\} es el inverso de \{b_n\} respecto a la suma.

 

Multiplicación de sucesiones

 

Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, la multiplicación de estas sucesiones se define como

 

\displaystyle \{c_n\} = \{a_n \} \cdot \{b_n\} = \{a_n \cdot b_n\}

 

en pocas palabras, multiplicamos los términos que están en la misma posición.

 

Ejemplo: Encuentra la multiplicación de las siguientes sucesiones

 

\displaystyle \{a_n\} = \{n^2\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ n \right\}

 

Calculamos los términos de cada sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \{n^2\} = \{1, 4, 9, 16, \dots\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ n \right\} = \left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}

 

Multiplicando término a término se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \{c_n\} & = & \{a_n \} \cdot \{b_n\} \\\\ & = & \{n^2\} \cdot \left\{ n \right\} \\\\ & = & \{1, 4, 9, 16, \dots\} \cdot \left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 1 \cdot 1, 4 \cdot 2, 9 \cdot 3, 16 \cdot 4, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 1, 8, 27, 64, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ n^2 \cdot n \right\} \end{array}

 

Notemos que el término general de la multiplicación es igual a la multiplicación de los términos generales de las sucesiones involucradas.

 

Propiedades de la multiplicación de sucesiones

 

1 Conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, entonces se cumple que

 

\displaystyle \{a_n \} \cdot \{b_n\} = \{b_n \} \cdot \{a_n\}

 

2 Asociatividad: Si tenemos tres sucesiones \{a_n\}, \{b_n\} y \{c_n\}, entonces se cumple que

 

\displaystyle \left(\{a_n \} \cdot \{b_n\}\right) \cdot \{c_n\} = \{a_n \} \cdot \left( \{b_n\} \cdot \{c_n\} \right)

 

3 Elemento neutro: Existe la sucesión \{1\} = \{1, 1, 1, \cdots \} tal que

 

\displaystyle \{a_n \} \cdot \{1\} = \{a_n \cdot 1\} = \{a_n \}

 

4 Elemento inverso: Para toda sucesión \{a_n\}, tal que a_n \neq 0 para todo n, existe la sucesión \left\{ \cfrac{1}{a_n} \right\}, la cual tiene los recíprocos de los elemetos de \{a_n\} y cumple que

 

\displaystyle \{a_n \} \cdot \left\{ \cfrac{1}{a_n} \right\} = \left\{ a_n \cdot \cfrac{1}{a_n} \right\} = \{1 \}

 

5 Distributividad respecto a la suma: Si tenemos tres sucesiones \{a_n\}, \{b_n\} y \{c_n\}, entonces se cumple que

 

\displaystyle \{a_n \} \cdot \left( \{b_n\} + \{c_n\} \right) = \{a_n \} \cdot \{b_n\} + \{a_n\} \cdot \{c_n\}

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División de sucesiones

 

Si tenemos dos sucesiones \{a_n\} y \{b_n\}, la divisón de estas sucesiones se define como

 

\displaystyle \{c_n\} = \frac{\{a_n \}}{\{b_n\}} = \left\{ \frac{a_n}{b_n} \right\}, \quad b_n \neq 0, \forall n

 

en pocas palabras, dividimos los términos que están en la misma posición. Notemos que todos los términos de \{b_n\} deben de ser distintos de cero, esto porque la división entre cero no está bien definida.

 

Ejemplo: Encuentra la división de \displaystyle \{a_n\}entre \displaystyle \{b_n\}

 

\displaystyle \{a_n\} = \{n^2\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ n \right\}

 

Calculamos los términos de cada sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \{n^2\} = \{1, 4, 9, 16, \dots\}

\displaystyle \{b_n\} = \left\{ n \right\} = \left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}

 

Dividiendo término a término se obtiene

 

\begin{array}{rcl} \{c_n\} & = & \cfrac{\{a_n \}}{\{b_n\}} \\\\ & = & \cfrac{\{n^2\}}{\left\{ n \right\}} \\\\ & = & \cfrac{\{1, 4, 9, 16, \dots\}}{\left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}} \\\\ & = & \left\{ \cfrac{1}{1}, \cfrac{4}{2}, \cfrac{9}{3}, \cfrac{16}{4}, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\} \\\\ & = & \left\{ \cfrac{n^2}{n} \right\} \end{array}

 

Notemos que el término general de la división es igual a la división de los términos generales de las sucesiones involucradas.

 

La división de \{a_n\} y \{b_n\} es equivalente a la multiplicación de \{a_n\} y  \cfrac{1}{b_n}, en donde  \cfrac{1}{a_n} es el inverso de \{b_n\} respecto a la multiplicación.

 

Límite de una sucesión

 

Dada una sucesión \{a_n\}, decimos que el límite de esta es el valor al cual se van acercandos los elementos de la sucesión conforme n crece. Comúnmente el límite se denota por L.

 

Ejemplo: Encuentra el límite de la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{ \cfrac{1}{n}\right\}

 

Lo términos de la sucesión son:

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{ 1, \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{3}, \cfrac{1}{4}, \cfrac{1}{5}, \dots \right\}

 

Hay que notar que conforme n crece, el término a_n se hace más pequeño.

 

La sucesión tiene como límite L = 0, esto ya que conforme n crece \frac{1}{n} se acerca al cero.

 

Ahora bien, no todas las sucesiones tienen límite, en este caso se tienen tres posibilidades:

 

1 Convergente. Una sucesión \{a_n\} se dice que converge si tiene límite.

 

2 No convergente. Una sucesión \{a_n\} se dice que no converge si no tiene límite.

 

3 Divergente. Una sucesión \{a_n\} se dice que diverge a infinito o menos infinito si sus términos se van aproximando a infinito (\infty) o a menos infinito (-\infty), respectivamente, conforme n crece.

 

Ejemplos: La sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{ 1, \cfrac{1}{2}, \cfrac{1}{3}, \cfrac{1}{4}, \cfrac{1}{5}, \dots \right\}

 

es convergente ya que L = 0.

 

La sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{ (-1)^{n}\right\} = \left \{ -1, 1, -1, 1, \dots \right\}

 

no tiene límite ya que sus elementos se van alternando entre -1 y 1, por lo cual no es convergente.

 

La sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{n\right\} = \left \{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}

 

es divergente ya que sus términos siguen y siguen creciendo sin parar conforme n crece.

 

Sucesiones monótonas

 

En esta parte clasificaremos las sucesiones respecto a la forma en que comparamos cada par consecutivo de términos.

 

Sucesión monótona creciente

 

Una sucesión \{a_n\} es monótona creciente (o monótonamente creciente) si para cada par de términos consecutivos a_n y a_{n + 1} se cumple que

 

\displaystyle a_n \leq a_{n + 1}

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{n^2\right\} = \left \{ 1, 4, 9, 16, \dots \right\}

 

notamos que

 

\begin{array}{rcl} n^2 & \leq & (n + 1)^2 \\\\ n^2 & \leq & n^2 + 2n + 1 \\\\ 0 & \leq & 2n + 1 \end{array}

 

La última inecuación se cumple para todo n, por lo tanto la sucesión es monónona creciente.

 

Sucesión estrictamente creciente

 

Una sucesión \{a_n\} es estrictamente creciente si para cada par de términos consecutivos a_n y a_{n + 1} se cumple que

 

\displaystyle a_n < a_{n + 1}

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{n\right\} = \left \{ 1, 2, 3, 4, \dots \right\}

 

notamos que

 

\begin{array}{rcl} n & < & n + 1 \\\\ 0 & < & 1\end{array}

 

La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente creciente.

 

Sucesión monótona decreciente

 

Una sucesión \{a_n\} es monótona decreciente (o monótonamente decreciente) si para cada par de términos consecutivos a_n y a_{n + 1} se cumple que

 

\displaystyle a_n \geq a_{n + 1}

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{\frac{1}{n}\right\} = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \dots \right\}

 

notamos que

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{1}{n} & \geq & \cfrac{1}{n + 1} \\\\ n & \leq & n + 1 \\\\ 0 & \leq & 1\end{array}

 

La última inecuación se cumple para todo n, por lo tanto la sucesión es monónona decreciente.

 

Sucesión estrictamente decreciente

 

Una sucesión \{a_n\} es estrictamente decreciente si para cada par de términos consecutivos a_n y a_{n + 1} se cumple que

 

\displaystyle a_n > a_{n + 1}

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{1 - n\right\} = \left \{ 0, -1, -2, -3 \dots \right\}

 

notamos que

 

\begin{array}{rcl} 1 - n & > & 1 - (n + 1) \\\\ 1 - n & > & 1 - n - 1 \\\\ 0 & > & -1\end{array}

 

La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente decreciente.

 

Sucesiones acotadas

 

Aquí veremos lo que es una sucesión acotada y los distintos tipos de cotas.

 

Sucesión acotada inferiomente

 

Una sucesión \{a_n\} está acotada inferiormente si existe un número real K_i \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle K_i \leq a_n, \quad \forall n

 

en pocas palabras, si K_i es menor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que K_i es una cota inferior de \{a_n\}. Notemos que todo número real c que cumpla que

 

\displaystyle c \leq a_n, \quad \forall n

 

es una cota inferior de \{a_n\}.

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \{n\} = \{1, 2, 3, 4, \dots\}

 

siempre se cumple que

 

0 \leq n

 

Así tenemos que 0 es una cota inferior de \{a_n\}. Por lo tanto \{a_n\} es una sucesión acotada inferiormente. Igual los números -1, -2 también son cotas inferiores de \{a_n\}.

 

Sucesión acotada superiormente

 

Una sucesión \{a_n\} está acotada superiormente si existe un número real K_s \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle K_s \geq a_n, \quad \forall n

 

en pocas palabras, si K_s es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que K_s es una cota superior de \{a_n\}. Notemos que todo número real c que cumpla que

 

\displaystyle c \geq a_n, \quad \forall n

 

es una cota superior de \{a_n\}.

 

Ejemplo: Para la sucesión

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{\cfrac{1}{n}\right\} = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \dots \right\}

 

siempre se cumple que

 

1 \geq \cfrac{1}{n}

 

Así tenemos que 1 es una cota superior de \{a_n\}. Por lo tanto \{a_n\} es una sucesión acotada superiormente. Igual los números 10, 100 también son cotas superiores de \{a_n\}.

 

Sucesión totalmente acotada

 

Una sucesión \{a_n\} está totalmente acotada si está acotada inferior y superiormente. En otras palabras, si existen números reales K_i, K_s \in \mathbb{R} tales que

 

\displaystyle K_i \leq a_n \leq K_s, \quad \forall n

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Otra definición equivalente es que \{a_n\} está totalmente acotada si existe número real K \in \mathbb{R} tal que

 

\displaystyle |a_n| \leq K, \quad \forall n

 

Ejemplo: Para la sucesión que analizamos previamente

 

\displaystyle \{a_n\} = \left \{\cfrac{1}{n}\right\} = \left \{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4} \dots \right\}

 

siempre se cumple que

 

1 \geq \cfrac{1}{n}

 

Así tenemos que 1 es una cota superior de \{a_n\}.

 

Además, -1 < 0 \leq \cfrac{1}{n} para toda n, por lo tanto

 

\displaystyle -1 \leq \frac{1}{n}\leq 1 \qquad \Rightarrow \qquad \left| \frac{1}{n} \right| \leq 1, \quad \forall n.

 

Así tenemos que \left \{\cfrac{1}{n}\right\} es una sucesión totalmente acotada.

 

Progresiones Aritméticas

 

Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término a_n es igual a un número fijo a más n - 1 veces una cantidad d (llamada diferencia). La fórmula está dada por

 

\displaystyle \{a_n\} = \{a + (n - 1)d\}

 

o bien

 

\displaystyle \{a_n\} = \{(a - d) + nd\}

 

Notemos que esta sucesión está completamente definida por a y d. Además la fórmula es muy parecida a la de una recta f(x) = a +xb en donde nuestros valores de x tomarían solo números naturales.

 

Notemos que en una sucesión aritmética siempre tenemos que

 

\displaystyle a_1 = a + (1-1)d = a,

 

por este motivo se suele decir que una sucesión aritmética tiene la forma

 

\displaystyle \{a_n\} = \{a_1 + (n - 1)d\}.

 

Ejemplo: Encontrar los términos de la sucesión aritmética

 

\displaystyle \{a_n\} = \{3 + (n - 1)2\}

 

Notamos que a = 3 y d = 2

 

Evaluamos el término general para los distintos valores de n

 

\displaystyle a_1 = 3 + (1 - 1)2 = 3

 

\displaystyle a_2 = 3 + (2 - 1)2 = 5

 

\displaystyle a_3 = 3 + (3 - 1)2 = 7

 

\displaystyle a_4 = 3 + (4 - 1)2 = 9

 

Observa que dos términos consecutivos difieren en d = 2

 

Progresiones geométricas

 

Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada término a_n es igual a un número fijo a multilpicado por una cantidad r (llamada razón) elevada a la potencia n-1. La fórmula está dada por

 

\displaystyle \{a_n\} = \{a \cdot r^{n - 1}\}

 

Notemos que esta sucesión está completamente definida por a y r.

 

Notemos que en una sucesión geométrica siempre tenemos que

 

\displaystyle a_1 = a \cdot r^{1 - 1} = a \cdot r^{0} = a,

 

por este motivo se suele decir que una sucesión geométrica tiene la forma

 

\displaystyle \{a_n\} = \{a_1 \cdot r^{n - 1}\}

 

Ejemplo: Encuentra los términos de la sucesión geométrica

 

\displaystyle \{a_n\} = \{3 \cdot 2^{n-1}\}

 

Notamos que a_1 = 3 y r = 2

 

Evaluamos el término general para los distintos valores de n

 

\displaystyle a_1 = 3 \cdot 2^{1-1} = 3

 

\displaystyle a_2 = 3 \cdot 2^{2-1} = 6

 

\displaystyle a_3 = 3 \cdot 2^{3-1} = 12

 

\displaystyle a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 24

 

Término general de una sucesión

 

Para poder obtener el término general aquí te dejamos algunas recomendaciones

 

1 Comprobar si es una progresión aritmética.

 

2 Comprobar si es una progresión geométrica.

 

3 Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

 

4 Si los términos de la sucesión cambian de signo de forma alternada. En estos casos suele haber un término (-1)^n (pares positivos) o (-1)^{n - 1} (impares positivos) multiplicando los término, haciendo que estos alternen.

 

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión), entonces se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

 

Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión

 

\displaystyle \{ a_n \} = \{-1, 2, -3, 4, -5, \dots\}

 

Observamos que en valor absoluto los términos son consecutivos.

 

El signo del primer término es negativo y luego estos se van alternando. Así, el término general viene dado por

 

\displaystyle \{ a_n \} = \{-1, 2, -3, 4, -5, \dots\} = \{ n(-1)^{n} \}

 

Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión

 

\displaystyle \{ a_n \} = \left\{1, \frac{4}{3}, \frac{6}{4}, \dots \right\}

 

Observamos que el numerador del segundo y tercer término son pares consecutivos por lo que proponemos 2n.

 

De la misma forma el denominador del segundo y tercer término son enteros consecutivos por lo que proponemos n+1.

 

El término general propuesto es \cfrac{2n}{n + 1}.

 

Verificamos que el término general propuesto satisface el primer término

 

a_1 = \cfrac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1.

 

Como los términos proporcionados satisfacen la expresión propuesta, concluimos que

 

\displaystyle \{ a_n \} = \left\{1, \frac{4}{3}, \frac{6}{4}, \dots \right\} = \left\{\frac{2n}{n + 1} \right\}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗