Capítulos
En este artículo introduciremos formalmente qué es una sucesión y mencionaremos definiciones importantes relacionadas con éstas.
Introducción
Una sucesión es un conjunto de elementos, comúnmente números, dispuestos uno a continuación de otro
A cada elemento dentro de la sucesión se le conoce como término de la sucesión. El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.Así, en general, 
denota al n-ésimo término de la sucesión 
. Por ejemplo, el décimo término de la sucesión es 
.
Determinación de una sucesión
Término general
Podemos determinar una sucesión por medio de lo que conocemos término general. El término general nos ayuda a calcular el valor de cada término de la sucesión con base a su posición. En general, tenemos que
y denotamos como
Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión 
La sucesión está dada por el término general 
Para encontrar los términos de la sucesión, sustituimos los valores de 
Formalmente las sucesiones se conocen como funciones que van del conjunto de los números naturales al conjunto de los números reales, esto es
Por recurrencia
Aunque la recurrencia no es muy formal es común ver sucesiones definidas por este método. La recurrencia consiste en definir un número finitos de términos por un valor específico y los demás por medio de operaciones entre los términos anteriores, estas operaciones las definimos por medio de una función de la forma
Comúnmente sólo definimos el primer término con un valor específico y los demás términos como una función del término anterior inmediato.
Ejemplo: Encontrar los primeros cinco términos de la sucesión 
definida por 
y 
para 
.
Los términos de la sucesión vienen definidos a partir del término anterior, esto es, a partir conocer un término podemos encontra el término siguiente. Conocemos el primer término 
, entonces podemos encontrar el segundo término 
Conocemos el segundo término , entonces podemos encontrar el tercer término 
Conocemos el tercer término , entonces podemos encontrar el cuarto término 
Conocemos el cuarto término , entonces podemos encontrar el quinto término 
dando como resultado
Operaciones entre sucesiones
Es esta parte veremos las operaciones que se pueden hacer entre sucesiones o bien entre una sucesión y un número real.
Suma de sucesiones
Si tenemos dos sucesiones 
y 
, la suma de estas sucesiones es una nueva sucesión 
en pocas palabras, sumamos los términos que están en la misma posición.
Ejemplo: Encuentra la suma de las siguientes sucesiones
Calculamos los términos de cada sucesión
Sumando término a término se obtiene
Notemos que el término general de la suma es igual a la suma de los términos generales de las sucesiones involucradas.
Propiedades de la suma de sucesiones
1 Conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones y , entonces se cumple que
2 Asociatividad: Si tenemos tres sucesiones , y , entonces se cumple que
3 Elemento neutro: Existe la sucesión 
tal que
4 Elemento inverso: Para toda sucesión existe la sucesión 
, la cual tiene los mismo elementos que pero con signo opuesto, tal que
Resta de sucesiones
Si tenemos dos sucesiones y , la resta de estas sucesiones se define como
en pocas palabras, restamos los términos que están en la misma posición.
Ejemplo: Encuentra la resta de las siguientes sucesiones
Calculamos los términos de cada sucesión
Restando término a término se obtiene
Notemos que el término general de la resta es igual a la resta de los términos generales de las sucesiones involucradas.
La resta de y es equivalente a la suma de y 
, en donde es el inverso de respecto a la suma.
Multiplicación de sucesiones
Si tenemos dos sucesiones y , la multiplicación de estas sucesiones se define como
en pocas palabras, multiplicamos los términos que están en la misma posición.
Ejemplo: Encuentra la multiplicación de las siguientes sucesiones
Calculamos los términos de cada sucesión
Multiplicando término a término se obtiene
Notemos que el término general de la multiplicación es igual a la multiplicación de los términos generales de las sucesiones involucradas.
Propiedades de la multiplicación de sucesiones
1 Conmutatividad: Si tenemos dos sucesiones y , entonces se cumple que
2 Asociatividad: Si tenemos tres sucesiones , y , entonces se cumple que
3 Elemento neutro: Existe la sucesión 
tal que
4 Elemento inverso: Para toda sucesión , tal que 
para todo 
, existe la sucesión 
, la cual tiene los recíprocos de los elemetos de y cumple que
5 Distributividad respecto a la suma: Si tenemos tres sucesiones , y , entonces se cumple que
Si vives en la capital, seguro que te interesan nuestras clases particulares matematicas madrid.
División de sucesiones
Si tenemos dos sucesiones y , la divisón de estas sucesiones se define como
en pocas palabras, dividimos los términos que están en la misma posición. Notemos que todos los términos de deben de ser distintos de cero, esto porque la división entre cero no está bien definida.
Ejemplo: Encuentra la división de entre 
Calculamos los términos de cada sucesión
Dividiendo término a término se obtiene
Notemos que el término general de la división es igual a la división de los términos generales de las sucesiones involucradas.
La división de y es equivalente a la multiplicación de y 
, en donde 
es el inverso de respecto a la multiplicación.
Límite de una sucesión
Dada una sucesión , decimos que el límite de esta es el valor al cual se van acercandos los elementos de la sucesión conforme crece. Comúnmente el límite se denota por 
.
Ejemplo: Encuentra el límite de la sucesión
Lo términos de la sucesión son:
Hay que notar que conforme crece, el término se hace más pequeño.
La sucesión tiene como límite 
, esto ya que conforme crece 
se acerca al cero.
Ahora bien, no todas las sucesiones tienen límite, en este caso se tienen tres posibilidades:
1 Convergente. Una sucesión se dice que converge si tiene límite.
2 No convergente. Una sucesión se dice que no converge si no tiene límite.
3 Divergente. Una sucesión se dice que diverge a infinito o menos infinito si sus términos se van aproximando a infinito (
) o a menos infinito (
), respectivamente, conforme crece.
Ejemplos: La sucesión
es convergente ya que .
La sucesión
no tiene límite ya que sus elementos se van alternando entre 
y 
, por lo cual no es convergente.
La sucesión
es divergente ya que sus términos siguen y siguen creciendo sin parar conforme crece.
Sucesiones monótonas
En esta parte clasificaremos las sucesiones respecto a la forma en que comparamos cada par consecutivo de términos.
Sucesión monótona creciente
Una sucesión es monótona creciente (o monótonamente creciente) si para cada par de términos consecutivos y 
se cumple que
Ejemplo: Para la sucesión
notamos que
La última inecuación se cumple para todo , por lo tanto la sucesión es monónona creciente.
Sucesión estrictamente creciente
Una sucesión es estrictamente creciente si para cada par de términos consecutivos y se cumple que
Ejemplo: Para la sucesión
notamos que
La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente creciente.
Sucesión monótona decreciente
Una sucesión es monótona decreciente (o monótonamente decreciente) si para cada par de términos consecutivos y se cumple que
Ejemplo: Para la sucesión
notamos que
La última inecuación se cumple para todo , por lo tanto la sucesión es monónona decreciente.
Sucesión estrictamente decreciente
Una sucesión es estrictamente decreciente si para cada par de términos consecutivos y se cumple que
Ejemplo: Para la sucesión
notamos que
La última inecuación se cumple siempre, por lo tanto la sucesión es estrictamente decreciente.
Sucesiones acotadas
Aquí veremos lo que es una sucesión acotada y los distintos tipos de cotas.
Sucesión acotada inferiomente
Una sucesión está acotada inferiormente si existe un número real 
tal que
en pocas palabras, si 
es menor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que es una cota inferior de . Notemos que todo número real 
que cumpla que
es una cota inferior de .
Ejemplo: Para la sucesión
siempre se cumple que
Así tenemos que 
es una cota inferior de . Por lo tanto es una sucesión acotada inferiormente. Igual los números , 
también son cotas inferiores de .
Sucesión acotada superiormente
Una sucesión está acotada superiormente si existe un número real 
tal que
en pocas palabras, si 
es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. En este caso decimos que es una cota superior de . Notemos que todo número real que cumpla que
es una cota superior de .
Ejemplo: Para la sucesión
siempre se cumple que
Así tenemos que es una cota superior de . Por lo tanto es una sucesión acotada superiormente. Igual los números 
, 
también son cotas superiores de .
Sucesión totalmente acotada
Una sucesión está totalmente acotada si está acotada inferior y superiormente. En otras palabras, si existen números reales 
tales que
¿Necesitas clases particulares matematicas?
Otra definición equivalente es que está totalmente acotada si existe número real 
tal que
Ejemplo: Para la sucesión que analizamos previamente
siempre se cumple que
Así tenemos que es una cota superior de .
Además, 
para toda , por lo tanto
Así tenemos que 
es una sucesión totalmente acotada.
Progresiones Aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual a un número fijo 
más 
veces una cantidad 
(llamada diferencia). La fórmula está dada por
o bien
Notemos que esta sucesión está completamente definida por y . Además la fórmula es muy parecida a la de una recta 
en donde nuestros valores de 
tomarían solo números naturales.
Notemos que en una sucesión aritmética siempre tenemos que
por este motivo se suele decir que una sucesión aritmética tiene la forma
Ejemplo: Encontrar los términos de la sucesión aritmética
Notamos que 
y 
Evaluamos el término general para los distintos valores de
Observa que dos términos consecutivos difieren en
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión de números donde cada término es igual a un número fijo multilpicado por una cantidad 
(llamada razón) elevada a la potencia 
. La fórmula está dada por
Notemos que esta sucesión está completamente definida por y .
Notemos que en una sucesión geométrica siempre tenemos que
por este motivo se suele decir que una sucesión geométrica tiene la forma
Ejemplo: Encuentra los términos de la sucesión geométrica
Notamos que 
y 
Evaluamos el término general para los distintos valores de
Término general de una sucesión
Para poder obtener el término general aquí te dejamos algunas recomendaciones
1 Comprobar si es una progresión aritmética.
2 Comprobar si es una progresión geométrica.
3 Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.
4 Si los términos de la sucesión cambian de signo de forma alternada. En estos casos suele haber un término 
(pares positivos) o 
(impares positivos) multiplicando los término, haciendo que estos alternen.
5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión), entonces se calcula el término general del numerador y denominador por separado.
Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión
Observamos que en valor absoluto los términos son consecutivos.
El signo del primer término es negativo y luego estos se van alternando. Así, el término general viene dado por
Ejemplo: Encontrar el término general de la sucesión
Observamos que el numerador del segundo y tercer término son pares consecutivos por lo que proponemos 
.
De la misma forma el denominador del segundo y tercer término son enteros consecutivos por lo que proponemos 
.
El término general propuesto es 
.
Verificamos que el término general propuesto satisface el primer término
.
Como los términos proporcionados satisfacen la expresión propuesta, concluimos que
¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!
Cargando...
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
en el ejercicio Nro. 5 hay una inconsistencia: para hallar a 1 seria 479 = a1 + 39(5) entonces 39*5 = 195 —- al despejar 479 -195 = a1 el resultado seria a1 = 284 ___ que seria el primer termino de la progresion …. entonces la progresion quedaria, así:
284 , 289 , 294 , 299 , 304 , 309 ,314 ,319, 324, 329, 334…
Hola agradecemos tus observaciones, pero no encontré el ejercicio que mencionas para poder corregirlo, podrías ser mas especifico seria de mucha ayuda.
Calcula los tres términos que siguen en estas sucesiones a partir de los datos que se dan.
a) a_1 = 3 a n + 1 =3+a n
b) a_1 = – 1 a n + 1 =n-2a n
hola podrias darme una idea de como podria hacer este ejercicio aplicando al formula CORRECTA Pedro ha decidido tomar un tour en sus vacaciones, para lo cual decide ahorrar de tal forma que el primer mes ahorra $ 300 y, luego, cada mes ahorra 3 veces lo ahorrado el mes anterior y así sucesivamente. ¿Cuánto ahorra al noveno mes?
Una disculpa, pero hubo una confusión con los artículos y se corrigió otro, te agradecemos tu paciencia y ahora si se corrigió, si no fuera así puedes mencionarlo otra vez y trabajaremos en ello.
50,45,39,32,
No se corrigió nada