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Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro:
Los números 
; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término general 
es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la
sucesión. Se dice que una sucesión que tomemos, existe un término , a partir del cual todos los términos de , siguientes a cumplen queLímite finito
tiene por límite 
si y sólo si para cualquiera número positivo 
tiene por límite si y sólo si para cualquier entorno de que
tomemos, por pequeño que sea su radio
, existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno. Si
representa un entorno de
de radio
, entonces
Límite infinito
Se dice que una sucesión tiene por límite 
cuando para toda 
existe un
término
, a partir del cual todos los términos de
, siguientes a
cumplen que
.
Se dice que una sucesión tiene por límite 
cuando para toda 
existe un
término
, a partir del cual todos los términos de
, siguientes a
cumplen que
tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismo límite que .3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.
4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.
5 Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.
6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.
Una sucesión La siguiente lista describe las propiedades usuales de los infinitésimos Propiedades: 1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo. 2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo. 3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo. 4 El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo. 5 Si una sucesión 6 Si una sucesión La siguiente lista describe las operaciones usuales con límites Infinitésimos
es un infinitésimo si tiene por límite cero. converge a , la sucesión 
es un infinitésimo. es divergente, su inversa es un infinitésimo.Operaciones con límites
1
2
3
4
5
6
7
Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:
Hay que advertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente
igualdades, puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de expresar resultados.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Una sucesión se puede determinar de dos formas distintas las cuales presentamos a continuación Podemos hallar un fórmula general para el -ésimo término de la sucesión, por ejemplo para la sucesión su término general es Determinación de una sucesión
Por el término general
Por una ley de recurrencia
Los términos se obtienen operando con los anteriores. Por ejemplo para la sucesión,
tenemos que
Dadas las sucesiones La suma de sucesiones se realiza término a término Así como en la suma usual de números tenemos las siguientes propiedades para la suma de sucesiones 1 Asociativa: 2 Conmutativa: 3 Elemento neutro 4 Sucesión opuesta La diferencia de sucesiones se realiza término a término El producto de sucesiones se realiza término a término Así como en el producto usual de números tenemos las siguientes propiedades para el producto de sucesiones 1 Asociativa: 2 Conmutativa: 3 Elemento neutro 4 Sucesión inversa 5 Distributiva respecto a la suma Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión es inversible, su inversa es: Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible. El siguiente diagrama nos muestra cada uno de los tipos de sucesiones monótonas que nos podemos encontrar A continuación explicamos cada uno de ellos Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior. Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior. Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales a una constante , es decir, Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número , que llamaremos cota inferior de la sucesión. A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo . Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo. Toda sucesión acotada inferiormente es creciente. Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número , que llamaremos cota superior de la sucesión. A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo. Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo. Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente. Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre y . Son las que tienen límite finito. Son las que tienen límite infinito No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. Por ejemplo Son aquellas que alternan los signos de sus términos. Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia representada por . Para una progresión de este estilo tenemos los siguientes tipos de término general 1 Si conocemos el 1er término. 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados. Sean los Sean de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos. Dada la sucesión, tenemos que La suma de de una progresión aritmética se obtiene a través de la siguiente fórmula Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija , llamada razón. Para una progresión de este estilo tenemos los siguientes tipos de término general 1 Si conocemos el 1er término. 2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión. Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados. La suma de consecutivos de una progresión geométrica se obtiene a través de la siguiente fórmula Para el caso de una progresión geométrica decreciente tenemos la siguiente fórmula Sean producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos. Dada la sucesión, tenemos que En el caso de términos equidistantes el producto esta dado por 1 Comprobar si es una progresión aritmética. 2 Comprobar si es una progresión geométrica. 3 Comprobar si los términos son cuadrados perfectos. También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos. 4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo. Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos por . Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos por 5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión). Se calcula el término general del numerador y denominador por separado. Se representa de la siguiente forma Solución: Se divide cada sumando por la potencia de mayor exponente. 1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado. 2 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0. Se representa de la siguiente forma Se saca factor común de la potencia de mayor exponente. El límite es Ponemos a común denominador, y si obtenemos indeterminación. Multiplicamos y dividimos por el conjugado. Se representa de la siguiente forma Se transforma a Utilizando la siguiente igualdad Se representa de la siguiente forma Se transforma a Se representa de la siguiente forma Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e . Sumamos y restamos 1 en la base. Ponemos a común denominador los últimos sumandos. Sustituimos por el inverso del inverso. Elevamos al denominador a su inverso. Dicha indeterminación se resuelve utilizando la siguiente igualdadOperaciones con sucesiones
, 
y 
podemos definir las siguientes propiedades:
Suma con sucesiones
Propiedades
Diferencia con sucesiones
Producto con sucesiones
Propiedades
Sucesión inversible
Cociente
Tipos de sucesiones
Sucesiones monótonas
Sucesiones estrictamente crecientes
Sucesiones crecientes
Sucesiones estrictamente decrecientes
Sucesiones constantes
Sucesiones acotadas inferiormente
Sucesiones acotadas superiormente
Sucesiones acotadas
Sucesiones convergentes
Sucesiones divergentes
ó .Sucesiones oscilantes
Sucesiones alternadas
Progresiones aritméticas
Término general de una progresión aritmética
Interpolación de términos
y 
, y el número de medios a interpolar 
.
Suma de términos equidistantes
y 
dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma
Suma de n términos consecutivos
Progresiones geométricas
Término general de una progresión geométrica
Interpolación de términos
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
y dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el
Producto de n términos equidistantes
Término general de una sucesión
Estudio de las indeterminaciones
Infinito partido infinito
Regla práctica
Infinito menos infinito
1. Sucesión entera.
Regla práctica:
, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.2. Sucesiones racionales.
resolvemos la3. Sucesiones irracionales.
Cero por infinito
.
Cero partido por cero
Uno elevado a infinito
1er Método
2º Método
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
el ejercicio 5 es incorrecto, asumiendo que el primer termino de la sucesión sea 679 tal como se concluye, entonces seria incongruente que a sub 40 sea igual a 400 algo, pues solo seria posible en caso de que la diferencia fuera negativa, pero en la explicacion del mismo ejercicio queda explicito que no.
Hola, agracemos tus observaciones, pero los datos que mencionas no los encontré en el artículo, podrías mencionarme el nombre del mismo para rectificarlo por favor.
el ejercicio 2 de sucesiones esta mal correjido ya que te dan el quinto y sexto termino, la diferencia es 12, y se ha copiado y pegado la respuesta del 1 en el 2
Hola podrías hacerme el favor de darme mas detalles pues no encontré el ejercicio que mencionas, nos ayudaría mucho.
en el ejercicio Nro. 5 hay una inconsistencia: para hallar a 1 seria 479 = a1 + 39(5) entonces 39*5 = 195 —- al despejar 479 -195 = a1 el resultado seria a1 = 284 ___ que seria el primer termino de la progresion …. entonces la progresion quedaria, así:
284 , 289 , 294 , 299 , 304 , 309 ,314 ,319, 324, 329, 334…
Hola agradecemos tus observaciones, pero no encontré el ejercicio que mencionas para poder corregirlo, podrías ser mas especifico seria de mucha ayuda.
hola podrias darme una idea de como podria hacer este ejercicio aplicando al formula CORRECTA Pedro ha decidido tomar un tour en sus vacaciones, para lo cual decide ahorrar de tal forma que el primer mes ahorra $ 300 y, luego, cada mes ahorra 3 veces lo ahorrado el mes anterior y así sucesivamente. ¿Cuánto ahorra al noveno mes?