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Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro:

    $$a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n}.$$

Los números   a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n};   se llaman términos de la sucesión.

 

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

 

El término general   a_{n} es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la

sucesión.

 

Límite de una sucesión

 

Límite finito

 

Se dice que una sucesión a_{n}  tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo \epsilon

que tomemos, existe un término a_{k}, a partir del cual todos los términos de  a_{n}, siguientes a

a_{k} cumplen que

    $$|a_{n}-L|<\epsilon.$$

Es decir,

    $$\lim a_{n}=L\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N}\setminus \forall n>k\quad|a_{n}-L|<\epsilon.$$

 

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

 

Se dice que una sucesión  a_{n} tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que

tomemos, por pequeño que sea su radio \epsilon, existe un término de la sucesión, a partir del cual,

los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

Si E(L,\epsilon) representa un entorno de L de radio \epsilon, entonces

    $$\lim a_{n}=L\Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k\in\mathbb{N}\setminus \forall n>k\quad a_{n}\in E(L,\epsilon).$$

Límite infinito

 

Se dice que una sucesión  a_{n}  tiene por límite  +\infty  cuando para toda M>0 existe un

término a_{k}, a partir del cual todos los términos de a_{n}, siguientes a  a_{k} cumplen que

a_{n}>M.

    $$\lim a_{n}=+\infty\Leftrightarrow \forall M>0,\exists k\in\mathbb{N}\setminus \forall n>k\quad a_{n}>M.$$

Se dice que una sucesión  a_{n} tiene por límite  -\infty cuando para toda  N>0 existe un

término  a_{k}, a partir del cual todos los términos de  a_{n}, siguientes a  a_{k} cumplen que

a_{n}<-N.

    $$\lim a_{n}=-\infty\Leftrightarrow \forall N>0,\exists k\in\mathbb{N}\setminus \forall n>k\quad a_{n}<-N.$$

 

Propiedades de los límites

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La siguiente lista describe las propiedades usuales de los límites

1 Si el límite existe, entonces es único.

 

2 Si una sucesión a_{n} tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismo límite que a_{n} .

 

3 Todas las sucesiones convergentes están acotadas.

 

4 Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.

 

5 Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.

 

6 Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

 

Infinitésimos

 

Una sucesión  a_{n} es un infinitésimo si tiene por límite cero.

La siguiente lista describe las propiedades usuales de los infinitésimos

Propiedades:

 

1 La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

 

2 El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

 

3 El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

 

4 El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

 

5 Si una sucesión  a_{n} converge a L, la sucesión (a_{n}-L) es un infinitésimo.

 

6 Si una sucesión a_{n} es divergente, su inversa es un infinitésimo.

 

Operaciones con límites

La siguiente lista describe las operaciones usuales con límites

1

    $$\lim(a_{n}+b_{n})=\lim(a_{n})+\lim(b_{n}).$$

2

    $$\lim(a_{n}-b_{n})=\lim(a_{n})-\lim(b_{n}).$$

3

    $$\lim(a_{n}\cdot b_{n})=\lim(a_{n})\cdot \lim(b_{n}).$$

4

    $$\lim(\sqrt{a_{n}})=\sqrt{\lim(a_{n})}.$$

5

    $$k\cdot\lim(a_{n})=\lim(k\cdot a_{n}).$$

6

    $$\lim(a_{n}^{k})=(\lim(a_{n}))^{k}.$$

7

    $$\lim({\rm log}_{a}a_{n})=\log_{a}\lim(a_{n}).$$

Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:

 

Hay que advertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente

igualdades, puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de

expresar resultados.

1

    $$\infty\pm k=\infty,\quad k\in\mathbb{R}.$$

2

    $$\infty+ \infty=\infty.$$

3

    $$\infty - \infty={\rm Indeterminado}.$$

4

    $$\infty\cdot k=\infty,\quad k\in\mathbb{R}.$$

5

    $$\infty\cdot \infty=\infty.$$

6

    $$\infty\cdot 0={\rm Indeterminado}.$$

7

    $$\cfrac{k}{\infty}=0,\quad\cfrac{\infty}{k}=\infty,\quad k\in\mathbb{R}.$$

8

    $$\cfrac{k}{0}=\infty,\quad\cfrac{0}{k}=0,\quad k\in\mathbb{R}.$$

9

    $$\cfrac{\infty}{0}=\infty,\quad\cfrac{0}{\infty}=0.$$

10

    $$\cfrac{0}{0}={\rm Indeterminado},\quad\cfrac{\infty}{\infty}={\rm Indeterminado}.$$

11

    $$k^{0}=1,\quad 0^{\infty}=0\quad \infty^{\infty}=\infty,\quad k\in\mathbb{R}.$$

12

    $$0^{k}=\begin{cases}\infty\text{ si }k<0,\\ 0\text{ si }k>0.\end{cases}\quad k\in\mathbb{R}.$$

13

    $$k^{\infty}=\begin{cases}\infty\text{ si }k>1,\\ 0\text{ si }0<k<1.\end{cases}\quad k\in\mathbb{R}.$$

14

    $$0^{0}={\rm Indeterminado},\quad \infty^{0}={\rm Indeterminado},$$

    $$1^{\infty}={\rm Indeterminado}.$$

 

    $$a_{n}=2n-1.$$

 

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores. Por ejemplo para la sucesión,

    $$a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=2,a_{4}=3,a_{5}=5,a_{6}=8,a_{7}=13,a_{8}=21,\dots$$

tenemos que

    $$a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},\quad n>2.$$

Operaciones con sucesiones

 

Dadas las sucesiones a_{n}, b_{n} y c_{n} podemos definir las siguientes propiedades:

    $$a_{n}=a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\dots$$

    $$b_{n}=b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},\dots$$

    $$c_{n}=c_{1},c_{2},c_{3},c_{4},\dots$$

Suma con sucesiones

La suma de sucesiones se realiza término a término

    $$a_{n}+b_{n}=a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},a_{3}+b_{3},a_{4}+b_{4},\dots$$

Propiedades

Así como en la suma usual de números tenemos las siguientes propiedades para la suma de sucesiones

1 Asociativa:

    $$(a_{n}+b_{n})+c_{n}=a_{n}+(b_{n}+c_{n}).$$

2 Conmutativa:

    $$(a_{n}+b_{n})=(b_{n}+a_{n}).$$

3 Elemento neutro

    $$(0)=(0,0,0,\dots).$$

    $$a_{n}+(0)=a_{n}.$$

4 Sucesión opuesta

    $$(-a_{n})=(-a_{1},-a_{2},-a_{3},\dots).$$

    $$a_{n}+(-a_{n})=(0).$$

Diferencia con sucesiones

La diferencia de sucesiones se realiza término a término

    $$a_{n}-b_{n}=a_{1}-b_{1},a_{2}-b_{2},a_{3}-b_{3},a_{4}-b_{4},\dots$$

Producto con sucesiones

El producto de sucesiones se realiza término a término

    $$a_{n}\cdot b_{n}=a_{1}\cdot b_{1},a_{2}\cdot b_{2},a_{3}\cdot b_{3},a_{4}\cdot b_{4},\dots$$

 

Propiedades

Así como en el producto usual de números tenemos las siguientes propiedades para el producto de sucesiones

 

1 Asociativa:

    $$(a_{n}\cdot b_{n})\cdot c_{n}=a_{n}\cdot (b_{n}+c_{n}).$$

2 Conmutativa:

    $$(a_{n}\cdot b_{n})=(b_{n}\cdot a_{n}).$$

3 Elemento neutro

    $$(1)=(1,1,1,\dots).$$

    $$a_{n}\cdot(1)=a_{n}.$$

4 Sucesión inversa

    $$(1/a_{n})=(1/a_{1},1/a_{2},1/a_{3},\dots).$$

    $$a_{n}+(1/a_{n})=(1).$$

5 Distributiva respecto a la suma

    $$a_{n}\cdot (b_{n} + c_{n})=(a_{n}\cdot b_{n})+ (a_{n}\cdot c_{n}).$$

 

Sucesión inversible

 

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de

cero. Si la sucesión b_{n} es inversible, su inversa es:

    $$\left(\cfrac{1}{b_{n}}\right)=\left(\cfrac{1}{b_{1}},\cfrac{1}{b_{2}},\cfrac{1}{b_{3}},\dots\right).$$

    $$b_{n}\cdot\left(\cfrac{1}{b_{n}}\right)=(1).$$

Cociente

 

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es

inversible.

    $$\left(\cfrac{a_{n}}{b_{n}}\right)=a_{n}\cdot\left(\cfrac{1}{b_{n}}\right).$$

 

Tipos de sucesiones

 

Sucesiones monótonas

El siguiente diagrama nos muestra cada uno de los tipos de sucesiones monótonas que nos podemos encontrar

 

    $$\text{Sucesiones monótonas}=\begin{cases}\text{Estrictamente crecientes}\\ \text{Crecientes}\\ \text{Estrictamente decrecientes}\\ \text{Decrecientes}\end{cases}$$

 

A continuación explicamos cada uno de ellos

Sucesiones estrictamente crecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o

igual que el anterior.

    $$a_{n+1}>a_{n}.$$

 

Sucesiones crecientes

 

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el

anterior.

    $$a_{n+1}\geq a_{n}.$$

 

Sucesiones estrictamente decrecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la

sucesión es menor que el anterior.

    $$a_{n+1}<a_{n}.$$

 

Sucesiones decrecientes

 

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la

sucesión es menor o igual que el anterior.

    $$a_{n+1}\leq a_{n}.$$

 

Sucesiones constantes

 

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales a una

constante k, es decir,

    $$a_{n}=a_{n+1}=k.$$

 

Sucesiones acotadas inferiormente

 

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o

iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

    $$a_{n}\geq K.$$

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

 

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

 

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

 

Sucesiones acotadas superiormente

 

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o

iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

    $$a_{n}\leq K'.$$

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

 

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

 

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

 

Sucesiones acotadas

 

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir

si hay un número K menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K'

mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los

términos de la sucesión están comprendidos entre K y K'.

    $$K\leq a_{n}\leq K'.$$

 

Sucesiones convergentes

 

Son las que tienen límite finito.

 

Sucesiones divergentes

 

Son las que tienen límite infinito  \infty  ó  -\infty.

 

Sucesiones oscilantes

 

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor

o viceversa. Por ejemplo

    $$1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7,\dots$$

 

Sucesiones alternadas

 

Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

 

Progresiones aritméticas

 

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de

ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia

representada por d.

 

Término general de una progresión aritmética

Para una progresión de este estilo tenemos los siguientes tipos de término general

1  Si conocemos el 1er término.

    $$a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d.$$

2  Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

    $$a_{n}=a_{k}+(n-k)\cdot d.$$

 

Interpolación de términos

 

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una

progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

 

Sean los a y b, y el número de medios a interpolar m.

    $$d=\cfrac{b-a}{m+1}.$$

 

Suma de términos equidistantes

 

Sean  a_{i} y a_{j} dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma

de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

    $$a_{i}+a_{j}=a_{1}+a_{n}.$$

Dada la sucesión,

    $$a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n-2},a_{n-1},a_{n}.$$

tenemos que

    $$a_{3}+a_{n-2}=a_{2}+a_{n-1}=a_{1}+a_{n}.$$

 

Suma de n términos consecutivos

La suma de n de una progresión aritmética se obtiene a través de la siguiente fórmula

    $$S_{n}=\cfrac{(a_{1}+a_{n})n}{2}.$$

 

 

Progresiones geométricas

 

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene

multiplicando al anterior por una cantidad fija r, llamada razón.

    $$r=\cfrac{a_{n}}{a_{n-1}}.$$

 

Término general de una progresión geométrica

Para una progresión de este estilo tenemos los siguientes tipos de término general

1  Si conocemos el 1er término.

    $$a_{n}=a_{1}\cdot r^{n-1}.$$

2  Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

    $$a_{n}=a_{k}\cdot r^{n-k}.$$

 

Interpolación de términos

 

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir

una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

    $$r=\sqrt[m+1]{\cfrac{b}{a}}.$$

 

Suma de n términos consecutivos

La suma de n consecutivos de una progresión geométrica se obtiene a través de la siguiente fórmula

    $$S_{n}=\cfrac{a_{n}\cdot r-a_{1}}{r-1}.$$

 

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Para el caso de una progresión geométrica decreciente tenemos la siguiente fórmula

    $$S=\cfrac{a_{1}}{1-r}.$$

 

Producto de dos términos equidistantes

 

Sean  a_{i}a_{j} dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el

producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

    $$a_{i}\cdot a_{j}=a_{1}\cdot a_{n}.$$

Dada la sucesión,

    $$a_{1},a_{2},a_{3},\dots,a_{n-2},a_{n-1},a_{n}.$$

tenemos que

    $$a_{3}\cdot a_{n-2}=a_{2}\cdot a_{n-1}=a_{1}\cdot a_{n}.$$

 

Producto de n términos equidistantes

En el caso de términos equidistantes el producto esta dado por

    $$P=\pm\sqrt{(a_{1}\cdot a_{n})^{n}}.$$

 

Término general de una sucesión

 

1 Comprobar si es una progresión aritmética.

 

2 Comprobar si es una progresión geométrica.

 

3 Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

 

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números

próximos a cuadrados perfectos.

 

4 Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

 

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos

a_{n} por (-1)^{n}.

 

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos

a_{n} por (-1)^{n-1}.

 

5 Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una

progresión).

 

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

 

Estudio de las indeterminaciones

 

Infinito partido infinito

Se representa de la siguiente forma

    $$\cfrac{\infty}{\infty}.$$

Solución: Se divide cada sumando por la potencia de mayor exponente.

 

Regla práctica

1 Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el

cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

    $$\lim\cfrac{ax^{k}+\dots}{bx^{k}+\dots}=\cfrac{a}{b}.$$

    $$\lim\cfrac{\pm ax^{k+r}+\dots}{bx^{k}+\dots}=\pm\infty,\quad r\in\mathbb{R}^{+}.$$

2 Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

    $$\lim\cfrac{ax^{k}+\dots}{bx^{k+r}+\dots}=0,\quad r\in\mathbb{R}^{+}.$$

 

Infinito menos infinito

Se representa de la siguiente forma

    $$\infty-\infty.$$

 

1. Sucesión entera.

 

Se saca factor común de la potencia de mayor exponente.

 

Regla práctica:

El límite es \pm\infty, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

 

2. Sucesiones racionales.

 

Ponemos a común denominador, y si obtenemos \cfrac{\infty}{\infty} resolvemos la

indeterminación.

 

3. Sucesiones irracionales.

 

Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

 

Cero por infinito

Se representa de la siguiente forma

    $$0\cdot \infty.$$

 

Se transforma a \cfrac{\infty}{\infty}.

Utilizando la siguiente igualdad

    $$a_{n}\cdot b_{n}=\cfrac{a_{n}}{\cfrac{1}{b_{n}}}=\cfrac{b_{n}}{\cfrac{1}{a_{n}}}.$$

 

Cero partido por cero

Se representa de la siguiente forma

    $$\cfrac{0}{0}.$$

Se transforma a \cfrac{\infty}{\infty}

 

Uno elevado a infinito

Se representa de la siguiente forma

    $$1^{\infty}.$$

 

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e .

    $${\rm e}=\lim\left(1+\cfrac{1}{n}\right)^{n}.$$

    $${\rm e}=2.7182818284591$$

    $${\rm e}=\lim\left(1+\cfrac{1}{a_{n}}\right)^{a_{n}}.$$

1er Método

Sumamos y restamos 1 en la base.

Ponemos a común denominador los últimos sumandos.

Sustituimos por el inverso del inverso.

Elevamos al denominador a su inverso.

2º Método

Dicha indeterminación se resuelve utilizando la siguiente igualdad

    $$\lim\left(\cfrac{a_{n}}{b_{n}}\right)^{c_{n}}={\rm e}^{\lim\left(\cfrac{a_{n}}{b_{n}}-1\right)}.$$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗