Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro:

 a1, a2 , a3 , ... , an

Los números   a1, a2 , a3 , ... , an ;   se llaman términos de la sucesión.

El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.

El término general   an    es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.

 

Límite de una sucesión

Límite finito

Se dice que una sucesión an  tiene por límite L si y sólo si para cualquiera número positivo ε que tomemos, existe un término  a, a partir del cual todos los términos de  a, siguientes a  ak   cumplen que   |an−L| < ε.

 

lim a_n = L si y solo si para todo epsilon >0 existe un K perteneciente a los Naturales tal que para todo n>k se cumpla que |a_n-L| <Epsilon

 

También podemos definir el límite de una sucesión mediante entornos:

Se dice que una sucesión  an   tiene por límite L si y sólo si para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε , existe un término de la sucesión, a partir del cual, los siguientes términos pertenecen a dicho entorno.

 

lim a_n = L si y solo si para todo epsilon >0 existe un K perteneciente a los Naturales tal que para todo n>k se cumpla que a_n pertenece al entorno (L, epsilon)

 

Límite infinito

Se dice que una sucesión  an  tiene por límite  +∞  cuando para toda  M>0  existe un término  ak , a partir del cual todos los términos de  an , siguientes a  a cumplen que  an >  M.

 

lim a_n = + infinito si y solo si para toda M>0 existe un K perteneciente a los Naturales tal que para todo n>K se cumpla que a_n>M

 

Se dice que una sucesión  a tiene por límite  − ∞  cuando para toda  N >0  existe un término  ak , a partir del cual todos los términos de  an , siguientes a  a cumplen que  an < −N.

 

lim a_n = -infinito si y solo si para todo N>0 existe un K perteneciente a los Naturales tal que para todo n>K se cumpla que a_n< (-N )

 

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Propiedades de los límites

1. Si el límite existe, entonces es único.

2. Si una sucesión an tiene límite, todas las subsucesiones tienen el mismo límite que an .

3. Todas las sucesiones convergentes están acotadas.

4. Hay sucesiones acotadas que no son convergentes.

5. Todas las sucesiones monótonas y acotadas son convergentes.

6. Hay sucesiones convergentes que no son monótonas.

 

Infinitésimos

Una sucesión  an es un infinitésimo si tiene por límite cero.

 

Propiedades:

1. La suma de dos infinitésimos es un infinitésimo.

2. El producto de un infinitésimo por una sucesión acotada es un infinitésimo.

3. El producto de infinitésimos es un infinitésimo.

4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.

5. Si una sucesión  an converge a L , la sucesión (an − L) es un infinitésimo.

6. Si una sucesión an es divergente, su inversa es un infinitésimo.

 

Operaciones con límites

 

lim (an + bn) = lim (an) + lim (bn)

lim (an − bn) = lim (an) − lim (bn)

lim (an · bn) = lim (an) · lim (bn)

lim (a_n)^{1/2} = (lim a_n)^{1/2}

lim k· an =k· lim an

lim ank = (lim an)k

lim loga an = loga lim an

 

Al aplicarse estas propiedades pueden presentarse estos casos:

Hay que advertir que las expresiones simbólicas que utilizamos no son exactamente igualdades, puesto que infinito no es número real, sino que es una forma convencional de expresar resultados.

 

Infinito (mas menos) k = Infinito

Infinito mas infinito = infinito

Infinito menos infinito = Indeterminado

Infinito * k = infinito

Infinito por infinito = infinito

Infinito * 0 = Indeterminado

0/k = 0 ; k/0= infinito

 

 k/infinito=0 ; infinito/k= infinito

 

0/infinito =0 ; infinito/0= infinito

 

0/0=Indeterminado ; infinito/infinito=indeterminado

 

k^0=1 ; 0^{infinito}=0 ; infinito^{infinito}= infinito

 

 0^k = 0 si k>0 ; 0^k=infinito si k<0

 

k^{infinito}= infinito si k>1 ; k^{infinito}=0 si 0<k<1

 

0^0 = indeterminado; (infinito)^0= indeterminado ; 1^{infinito}=indeterminado

 

Determinación de una sucesión

Por el término general

 

an=2n-1

 

Por una ley de recurrencia

Los términos se obtienen operando con los anteriores.

 

Operaciones con sucesiones

Dadas las sucesiones anbn:

an= a1, a2, a3, ..., an

bn= b1, b2, b3, ..., bn

 

Suma con sucesiones

(an) + (bn) = (an + bn)

(an) + (bn) = ( (a1 + b1), (a2 + b2) ,  (a3 + b3) , ... , (an + bn)  )

 

Propiedades

1. Asociativa:

(an + bn) + cn = an + (bn + c n)

2. Conmutativa:

an + bn = bn + a n

3. Elemento neutro

(0) = (0, 0, 0, ...)

an + 0 = an

4. Sucesión opuesta

(-an) = (-a1, -a2, -a3, ..., -an)

an + (-an) = 0

 

Diferencia con sucesiones

(an) - (bn) = (an - bn)

(an) - (bn) = (  (a1 - b1) , (a2 - b2) , (a3 - b3) , ... , (an - bn)  )

 

Producto con sucesiones

(an) · (bn) = (an · bn)

(an) · (bn) = (  (a1 · b1), (a2 · b2), (a3 · b3), ... , (an · bn)  )

 

Propiedades

1. Asociativa:

(an · bn) · c n = an · (bn · c n)

2. Conmutativa:

an · bn = bn · a n

3. Elemento neutro

(1) = (1, 1, 1, ..)

an · 1 = an

4. Sucesión inversa

1/an =1/a1, 1/a2, 1/a3, ..., 1/an

an ·( 1/an) = (a1 ·1/a1), (a2 ·1/a2), (a3 ·3/a1), ..., (an ·1/an) = (1,1,1,... ,1)

5. Distributiva respecto a la suma

an · (bn + c n) =( an · bn ) + ( an · c )

 

Sucesión inversible

Una sucesión es inversible o invertible si todos sus términos son distintos de cero. Si la sucesión bn es inversible, su inversa es:

 

(b_n)^{-1}=[ (b_1)^{-1},(b_2)^{-1}, (b_3)^{-1}, ... , (b_n)^{-1} ] ; [b_n]* [ (b_n)^{-1}]=(1)= (1,1,1, ... ,1 ))

 

Cociente

Sólo es posible el cociente entre dos sucesiones si el denominador es inversible.

 

( a_n / b_n ) = ( a_n ) (1/ b_n ) ;

 

Tipos de sucesiones

 

Sucesiones monótonas

 

existen 4 tipos de sucesiones monótonas, las "Crecientes" , "Decrecientes", "Estrictamente crecientes" y "Estrictamente decrecientes"

 

Sucesiones estrictamente crecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 > an

 

Sucesiones crecientes

Se dice que una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior.

an+1 ≥ an

 

Sucesiones estrictamente decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor que el anterior.

an+1 < an

 

Sucesiones decrecientes

Se dice que una sucesión es estrictamente decreciente si cada término de la sucesión es menor o igual que el anterior.

an+1 ≤ an

 

Sucesiones constantes

Se dice que una sucesión es constante si todos su términos son iguales, es decir, an= k.

an = an+1

 

Sucesiones acotadas inferiormente

Una sucesión está acotada inferiormente si todos sus términos son mayores o iguales que un cierto número K, que llamaremos cota inferior de la sucesión.

an ≥ k

A la mayor de las cotas inferiores se le llama extremo inferior o ínfimo .

Si el ínfimo de una sucesión es uno de sus términos se le llama mínimo.

Toda sucesión acotada inferiormente es creciente.

 

Sucesiones acotadas superiormente

Una sucesión está acotada superiormente si todos sus términos son menores o iguales que un cierto número K', que llamaremos cota superior de la sucesión.

an ≤ k'

A la menor de las cotas superiores se le llama extremo superior o supremo.

Si el supremo de una sucesión es uno de sus términos se llama máximo.

Toda sucesión acotada superiormente es monótona decreciente.

 

Sucesiones acotadas

Una sucesión se dice acotada si está acotada superior e inferiormente. Es decir si hay un número k menor o igual que todos los términos de la sucesión y otro K' mayor o igual que todos los términos de la sucesión. Por lo que todos los términos de la sucesión están comprendidos entre k y K'.

k ≤ an ≤ K'

 

Sucesiones convergentes

Son las que tienen límite finito.

 

Sucesiones divergentes

Son las que tienen límite infinito  +∞  ó  −∞.

 

Sucesiones oscilantes

No son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa.

1, 0, 3, 0 ,5, 0, 7, ...

 

Sucesiones alternadas

Son aquellas que alternan los signos de sus términos.

 

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia representada por d.

 

Término general de una progresión aritmética

1  Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

2  Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak + (n - k) · d

 

Interpolación de términos

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos números, es construir una progresión aritmética que tenga por extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

d= (b-a)/(m+1)

 

Suma de términos equidistantes

Sean  ay  ados términos equidistantes de los extremos, se cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a1, a2 , a3 , ... , an-2 , an-1 , a

a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an

 

Suma de n términos consecutivos

S_n= (a_1+a_n)*n 2/

 

 

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija  r , llamada razón.

r= a_n / a_{n-1}

 

Término general de una progresión geométrica

1  Si conocemos el 1er término.

an = a1 · rn-1

2  Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión.

an = ak · rn-k

 

Interpolación de términos

Interpolar medios geométricos o proporcionales entre dos números, es construir una progresión geométrica que tenga por extremos los números dados.

r= (b/a)^{1/m+1}

 

Suma de n términos consecutivos

S_n= [ (a_n)*r -a_1] /(r-1)

 

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

S= a_1/(1-r)

 

Producto de dos términos equidistantes

Sean  aiaj dos términos equidistantes de los extremos, se cumple que el producto de términos equidistantes es igual al producto de los extremos.

ai . aj = a1 . an

a3 , a2 , a1 , ... , an-2 , an-1 , an

a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an

 

Producto de n términos equidistantes

P= (mas menos) (a_1 * a_n)^{n/2}

 

Término general de una sucesión

1. Comprobar si es una progresión aritmética.

2. Comprobar si es una progresión geométrica.

3. Comprobar si los términos son cuadrados perfectos.

También nos podemos encontrar con sucesiones cuyos términos son números próximos a cuadrados perfectos.

4. Si los términos de la sucesión cambian consecutivamente de signo.

Si los términos impares son negativos y los pares positivos: Multiplicamos an por (-1)n.

Si los términos impares son positivos y los pares negativos: Multiplicamos an por (-1)n-1.

5. Si los términos de la sucesión son fraccionarios (no siendo una progresión).

Se calcula el término general del numerador y denominador por separado.

 

Estudio de las indeterminaciones

Infinito partido infinito

infinito / infinito

Se divide cada sumando por la potencia de mayor exponente.

Regla práctica

1. Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, el límite es el cociente entre los coeficientes de las potencias de mayor grado.

limite de ( a*n^k + ... / b*n^k + ...) = a/b

2. Si el numerador tiene mayor grado que el denominador el limite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

Lim [ (mas menos) a*n^{k+r} + ... ] / [ b*n^{k} + ... ]= (Mas menos)infinito ; donde r pertenece a los Reales positivos

3. Si el denominador tiene mayor grado el límite es 0.

Lim [a*n^{k} + ... ] / [ b*n^{k+r} + ... ]= 0 ; donde r pertenece a los Reales positivos

 

Infinito menos infinito

infinito menos infinito

 

1. Sucesión entera.

Se saca factor común de la potencia de mayor exponente.

Regla práctica:

El límite es ± ∞, dependiendo del signo del coeficiente de mayor grado.

 

2. Sucesiones racionales.

Ponemos a común denominador, y si obtenemos infinito / infinito resolvemos la indeterminación.

 

3. Sucesiones irracionales.

Multiplicamos y dividimos por el conjugado.

 

Cero por infinito

0 * infinito

Se transforma a Infinito / Infinito .

a_n * b_n = a_n / (1/b_n) = b_n / (1/a_n)

 

Cero partido por cero

0/0

Se transforma a Infinito / Infinito

 

Uno elevado a infinito

1^{infinito}

Se resuelve transformando la expresión en una potencia del número e .

e= Lim( 1+ (1/n) )^{n}

e= lim (1+(1/a_n) )^{a_n}

1er Método

Sumamos y restamos 1 en la base.
Ponemos a común denominador los últimos sumandos.
Sustituimos por el inverso del inverso.
Elevamos al denominador a su inverso.

2º Método

lim( (a_n)/(b_n) )^{c_n}= e^{ [ limc_n] * [ ((a_n)/(b_n)) - 1 ] }

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Marta

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Kent
Kent
Guest
18 Jun.

Licenciado, ¿cual sería un buen libro para empezar a estudiar de matemáticas para la universidad?

Antezana
Antezana
Guest
19 Jun.

Hola, tengo una practica de sucesiones. Necesito ayuda

Superprof
Superprof
Admin
19 Jun.

Hola, si necesitas ayuda no dudes en contactar con alguno de nuestros profes.

calizaya
calizaya
Guest
29 Jun.

Muy interesante.

Martin
Martin
Guest
22 Mar.

Cuál sería el término general para la sucesión
4, 8, 16, 32

Superprof
Superprof
Admin
27 Mar.

Hola Martin, el termino general de tu sucesión se calcula usando las fórmulas de la progresión geométrica, tal como explicado en nuestra página. Para ayudarte a empezar, la razón se calcula así:

r = an/an-1
r = 8/4
r = 2

El termino general es: an = a1 · r^n-1

¡Un saludo!

Altamirano
Altamirano
Guest
24 Mar.

Cual es el termino general de la sucesión 72,36,18…

Superprof
Superprof
Admin
27 Mar.

Hola Yanett, se trata de una progresión geométrica – una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija  r , llamada razón. Si miramos tu sucesión, vemos que 72 es su primer termino, el segundo, 36 es la mitad de 72, o 72 multiplicado por 1/2, y 18 la mitad del segundo termino, o 36 multiplicado por 1/2. Usando la fórmula de nuestro artículo, calculamos la razón: r= an/a n – 1 r= 36/72 = 1/2 El termino general es: an = a1 multiplicado por r ^n-1 Calculamos el segundo termino, teniendo los… Read more »

Mariño
Mariño
Guest
25 Mar.

Necesito 10 ejercicios que estén buenos..