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Ejercicios propuestos de sucesiones
Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con $\infty$ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Ejercicios propuestos de sucesiones

1 Demuestra que la sucesión ${a_n=\frac{2n + 4}{n}}$ tiene límite ${2}$ . Averigua los términos cuya distancia a ${2}$ es menor que ${0.1}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n=\frac{2n + 4}{n}}$ cuya distancia a ${2}$ es menos a ${0.1}$ , tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{2n+4}{n} - 2 \right| < \dfrac{1}{10}}$ ${\left|\dfrac{2n+4-2n}{n} \right| < \dfrac{1}{10}}$ ${\begin{matrix} \left|\dfrac{4}{n} \right| < \dfrac{1}{10} & \dfrac{4}{n} < \dfrac{1}{10}\end{matrix}}$

${n > 40}$

A partir de ${a_{41}}$ la distancia a ${2}$ será menor que una decima.

2 Probar que la sucesión ${a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}$ tiene por limite ${4}$ y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno ${(4 - 0.001, 4 + 0.001)}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}$ cuya distancia a ${4}$ quedan fuera del entorno ${(4 - 0.001, 4 + 0.001)}$ , tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{4n + 1}{n} - 4 \right| < \dfrac{1}{1000}}$ ${\left|\dfrac{4n + 1-4n}{n} \right| < \dfrac{1}{1000}}$ ${\begin{matrix} \left|\dfrac{1}{n} \right| < \dfrac{1}{1000} & \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{1000}\end{matrix}}$

${n > 1000}$

Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

3 Demuestra que la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}}$ tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno ${(1 , 0.001)}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}}$ cuya distancia a ${1}$ quedan fuera del entorno ${(1 , 0.001)}$ , tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{n^2}{n^2 + 3} - 1 \right| < \dfrac{1}{1000}}$ ${\left|\dfrac{n^2 - n^2 - 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}$ ${\left|\dfrac{- 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}$

${\dfrac{3}{n^2 + 3} < \dfrac{1}{1000}}$

${\begin{matrix} n^2 + 3 > 3000 & n^2 > 2997\end{matrix}}$

${n > 54}$

Los primeros ${54}$ términos quedan fuera del entorno.

4 Probar que ${\lim \dfrac{3n-8}{4n + 1} = \dfrac{3}{4}}$ . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.

Para averiguar los términos de la sucesión ${ \dfrac{3n-8}{4n + 1}}$ cuyo límite es ${\dfrac{3}{4}}$ son menores que ${(0.01}$ , tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{3n-8}{4n + 1} - \dfrac{3}{4} \right| < \dfrac{1}{100}}$ ${\left|\dfrac{12n - 32 -12n - 3}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}$ ${\left|\dfrac{- 35}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}$

${\dfrac{35}{16n + 4} < \dfrac{1}{100}}$

Haciendo el proceso inverso en los dos miembros:

${\begin{matrix} 16n + 4 > 3500 & n > 218.5 \end{matrix}}$

A partir de ${a_{219}}$ la distancia al límite será menor que una centésima.

5 Demuestra que la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}}$ tiene por limite ${+\infty}$ . Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

Para averiguar cuántos son los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}}$ que tienen por límite ${+\infty}$ , tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\dfrac{n^2 + 1}{4} > 1,000,000}$ ${n^2 + 1 > 4,000,000}$ ${n^2 > 3,999,999}$

${n > \sqrt{3,999,999}}$

${n > 1999}$

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

6 Demuestra que la sucesión ${a_n= - n^2}$ tiene por limite ${- \infty}$ . Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que ${- 10 000}$ .

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión ${a_n = -n^2}$ es ${- \infty}$ . ${-1, -4, -9, -16, -25, -36, -49, \dots}$ Recordemos que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo la desigualdad cambia ${\begin{matrix} - n^2 < -N & n > \sqrt{N} \end{matrix}}$

Si tomamos ${N = 10, 000}$ , su raíz cuadrada es ${100}$ , por tanto a partir de ${a_{101}}$ superará a ${-10, 000}$ .

${a_{101} = -101^2 = -10 201}$

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Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Ejercicios de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot \infty}$

1 ${\lim (2n - n^3 + 3n^2)}$

${\lim (2n + 3n^2- n^3) = \infty -\infty}$ Factorizando ${n^3}$ : ${\lim n^3\cdot(\dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n} - 1) = \infty \cdot (-1) = -\infty}$

2 ${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n}$

${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n = \infty -\infty}$
${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6-3n^2 - 6n}{n +2} = \dfrac{-2n -6}{n +2}= }$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ ${\lim \dfrac{-\dfrac{2n}{n} -\dfrac{6}{n}}{\dfrac{n}{n} +\dfrac{2}{n}}= \lim \dfrac{-2 -\dfrac{6}{n}}{1 +\dfrac{2}{n}} = -2}$

3 ${\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2})}$

${\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2}) = \infty -\infty}$ ${\lim \dfrac{n^2(n-2) - (n^2+1)(n-1)}{(n-1)(n-2)} = \lim \dfrac{n^3-2n^2 - n^3 -n + n^2 + 1}{n^2 -3n +2} = \lim \dfrac{-n^2 -n + 1}{n^2 -3n +2} =$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

${\lim \dfrac{-\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{3n}{n^2} +\dfrac{2}{n^2}} = \lim \dfrac{-1 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 -\dfrac{3}{n} +\dfrac{2}{n^2}} = -1}$

4 ${\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})}$

${\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty}$ Multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado ${\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}$ ${\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})} = }$

${\lim \dfrac{n^2 -2 - n^2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{-2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} =$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - \dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = \lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - 1}{\sqrt{1 -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{n}{n^2}}}} = }$

$\dfrac{-1}{1+1} = -\dfrac{1}{2}}$

5 ${\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})}$

${\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty}$ ${\lim (\sqrt{n^2 +3n} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})} = \lim \dfrac{n^2 +3n - n^2 - n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = }$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} +\dfrac{3n}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = }$

${\lim \dfrac{2}{\sqrt{1 +\dfrac{3}{n}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \frac{\infty}{\infty}}$

1 ${\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)}}$

${\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ ${\lim \dfrac{(9n^4 + 24n^3 + 16n^2)(n^6 - 6n^3 + 9)(2n-7)}{(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)(n^6 -6n^4 + 9n^2)(2n^2-17)} = }$ ${\lim \dfrac{9n^4\cdot n^6 \cdot 2n + \dots}{n^3\cdot n^6 \cdot 2n^2 + \dots} = }$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^{11}}$

${\lim \dfrac{18n^{11} + \dots}{2n^{11} + \dots} = 9}$

2 ${\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}$

${\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz pasa como ${n^2}$ ${\lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \lim\dfrac{\dfrac{3n}{n}-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2}+\dfrac{5}{n^2}}} = \lim\dfrac{3-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 +\dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{2}}}$

3 ${\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5}}$

${\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^4}$ ${\lim \dfrac{-\dfrac{2n^4}{n^4} - \dfrac{3n}{n^4} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{-2 - \dfrac{3}{n^3} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4}{n} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{-2}{0} = -\infty}$

4 ${\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5}}$

${\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5} = \dfrac{\infty}{\infty}}$
${\lim \dfrac{n^4 + 2n +1 - 3n^2 +3}{n^3 -5} = \lim \dfrac{n^4 - 3n^2 + 2n +4}{n^3 -5} = }$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^4}$ ${\lim \dfrac{\dfrac{n^4}{n^4} - \dfrac{3n^2}{n^4} + \dfrac{2n}{n^4} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{1 - \dfrac{3}{n^2} + \dfrac{2}{n^3} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{1}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{1}{0} = \infty}$

5 ${\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}}}$

${\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz cubica pasa como ${n^3}$ ${\lim \dfrac{\dfrac{7n}{n}-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{\dfrac{5n^3}{n^3} +\dfrac{4n}{n^3} -\dfrac{2}{n^3}}} = \lim \dfrac{7-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{5 +\dfrac{4}{n^2} -\dfrac{2}{n^3}}} = \dfrac{7}{\sqrt[3]{5}}}$

6 ${\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1}}$

${\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$ , recuerda que cuando la ${n^2}$ dentro de la raíz pasa como ${n^4}$ ${\lim \dfrac{\sqrt{\dfrac{4n^4}{n^4}+\dfrac{n^2}{n^4}+\dfrac{1}{n^4}}}{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}} = \lim \dfrac{\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^4}}}{\1+\dfrac{1}{n^2}} = \sqrt{4} = 2}$

7 ${\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}}$

${\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} = \dfrac{\infty}{\infty}}$ Separando ${2^{n+1} = 2^n \cdot 2}$ y lo mismo para ${3^{n+1}}$ , posteriormente dividiendo por ${3^n}$ ${\lim \frac{2^n\cdot 2 + 3^n \cdot 3 }{2^n + 3^n} = \lim \dfrac{2\cdot (\frac{2}{3})^n + 3 }{(\dfrac{2}{3})^n + 1} = 3}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot 0}$ y ${\lim a_n = \frac{0}{0}}$

1 ${\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}}}$

${\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}} = \infty\cdot 0}$ Introducimos el primer factor en la raíz, se transforma a ${\dfrac{\infty}{\infty}}$ . ${\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por ${n^2}$

${\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{n^2 + 14n +49}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{14n}{n^2} +\dfrac{49}{n^2}}{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2}}}= }$

${\lim \sqrt{\dfrac{1 + \dfrac{14}{n} +\dfrac{49}{n^2}}{4 + \dfrac{3}{n^2}}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}}$

2 ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \dfrac{0}{0}}$ Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$ . ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim \dfrac{3n - 3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}$ Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3n}{n} - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{5}{n^2}}} = \lim \dfrac{3 - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 + \dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}}$

3 ${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5})}$

${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5} = \infty \cdot 0}$ Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$ . ${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5}) = \lim \dfrac{6n^2}{n^2-7n-5}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

${\lim \dfrac{\dfrac{6n^2}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{7n}{n^2}-\dfrac{5}{n^2}} =$

${\lim \dfrac{6}{1-\dfrac{7}{n}-\dfrac{5}{n^2}} = 6$

4 ${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}})}$

${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \infty \cdot 0}$ Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$ . ${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \lim \dfrac{\sqrt{18n^2 + 1}}{\sqrt{32n^2 - 3}} =}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador dentro de la raíz por ${n^2}$

${\lim \sqrt{\dfrac{18n^2 + 1}{32n^2 - 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{18n^2}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{32n^2}{n^2} - \dfrac{3}{n^2}}}}$

${\sqrt{\dfrac{18}{32}}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}}} = \dfrac{3}{4}}$

5 ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}}}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}} = \dfrac{0}{0}}$ Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$ . Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$ , recuerda que cuando la ${n^2}$ dentro de la raíz pasa como ${n^4}$ ${\lim \dfrac{3\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{7}(n^2+1)} = \lim \dfrac{3\sqrt{\dfrac{n^2}{n^4}-\dfrac{1}{n^4}}}{\sqrt{7}(\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2})} = 0}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty^\infty}$

Para estos ejercicios es importante recordar las siguientes propiedades:

${\frac{0}{n} = 0, \, \frac{-n}{0} = -\infty, \, \frac{n}{0} = \infty}$ .

Donde ${n}$ es cualquier número positivo.

1 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^\infty = \infty}$

2 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^{-\infty} = \dfrac{1}{\infty} = \dfrac{1}{\infty} = 0}$

3 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} = \infty^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{\infty^3}} = \dfrac{1}{\infty} = 0}$

4 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{\frac{3}{5}} = 0}$

5 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0^\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0} = \infty}$

6 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^0 = 1}$

7 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{-\infty} = \left( \dfrac{3}{2}\right)^\infty = \infty}$

8 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{\infty} = 0}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = b^n}$

1 ${\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1}}$

${\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2-2-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-3} =}$ ${\dfrac{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2}}{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^3} = \dfrac{e}{1} = e}$

2 ${\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n}}$

${\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n} = 1^\infty}$ ${\lim \left(1 + \dfrac{-2}{3n}\right)^n = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^n }$ ${\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^{\dfrac{3n}{-2}}\right]^{\lim \dfrac{-2}{3n}n} = e^{\frac{-2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{e^2}} }$

3 ${\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}}}$

${\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = 1^\infty}$ ${\lim \left( 1 + \dfrac{-3}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n +4}{-3}}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} =}$ ${\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n+4}{-3}}\right)^{\dfrac{2n+4}{-3}}\right]^{\lim \dfrac{-3}{2n+4}\dfrac{n^2}{n+1}} = e^{\frac{-3}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e^3}} }$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones aritméticas y geométricas

3 ${\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)}$

${\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)= \lim \left( \dfrac{1+2+3+ \dots + n}{n^2}\right)}$ El numerador es la suma de los términos de una progresión aritmética. ${\lim \dfrac{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}{n^2} = \lim \dfrac{1+n}{2n} = \dfrac{1}{2}}$

2 ${\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}$

${\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}$ Tenemos la suma de infinitos términos de una progresión geométrica. ${S = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones raíz

1 ${\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}}}$

${\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}} = \lim \left( 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{8}} \cdot \dots \right) = }$ ${\lim 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots}= 3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}} = 3}$ En este ejercicio aplicamos en el penúltimo paso, la formula de la progresión geométrica infinita.

2 ${\sqrt{3}, \sqrt{\sqrt{3}}, \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}},\dots}$

Observemos que
${\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}}$ ${\sqrt{3\sqrt{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}$ ${\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8}}$

Entonces

${3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}}$

Siendo el exponente la suma ilimitada de una progresión geométrica decreciente es:

${3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}} = 3}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Sucesiones y progresiones

Teoría

Indeterminacion cero por infinito

Que es una sucesión matemática

Operaciones con sucesiones

Progresiones aritmeticas

Progresiones geometricas

Termino general de una sucesion

Indeterminacion infinito menos infinito en sucesiones

Tipos de sucesiones

Límite de una sucesión

Sucesiones – Indeterminación infinito partido infinito sucesiones

Limites de sucesiones parte I

Progresiones

Operaciones con límites

Sucesión

Limite infinito de una sucesion

Propiedades de los limites. Infinitesimos

Límite de sucesiones

Limites de sucesiones parte II

Indeterminación cero entre cero

Indeterminación uno elevado a infinito

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de progresiones geométricas

Ejercicios interactivos de sucesiones

Ejercicios interactivos de progresiones aritméticas

Problemas interactivos: progresiones aritmeticas y geometricas

Ejercicios interactivos del término general de una sucesión

Ejercicios interactivos de tipos de sucesiones

Ejercicios interactivos de operaciones con sucesiones

Ejercicios interactivos de limite de una sucesion

Otros ejercicios

Problemas de sucesiones y progresiones

Sucesiones Numericas – Ejercicios Resueltos

Ejercicios de progresiones geometricas

Ejercicios de progresiones aritmeticas

Ejercicios de sucesiones y progresiones II

Limites de sucesiones part III

Ejercicios de limites de sucesiones II

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Willanderlin

Noviembre 2021

Discul0e sera que alguien me puede ayudar a evaluar cada sucesion para n=1,4,6 Pn= 3n+1

ana

Octubre 2021

me puedes hacer el favor de explicar el siguiente ejercicio= lim 3/n -8

Franco

Octubre 2021

Necesito que me ayuden con este problema por favor Lim n➡️-4 (5n³- 3n²+20) Porfavor

Diego

Septiembre 2021

Excelente, gracias, me sirvió para orientarme en unas dudas que se presentaban. GRACIAS

Alexsandra

Junio 2022

Quiero que me ayuden xfavor Lim an=lim 3n--- sobre n+5

Julian

Junio 2021

Alguien sabe cual es el limite de la sucesion de 1+3/n

José

Agosto 2021

Julian es 1, a medida que aumente el valor de n, la expresión 3/n se acercara más a 0, pero al tener el 1, la sucesión se acercara a 1.

Deivi

Noviembre 2020

Necesito que me explique este ejercicio an=(1+3/3n)^(6n)

Eduardo Gómez Pérez

Enero 2021

Es una indeterminacion de 1 elevado a infinito. Tienes que aplicar esta formula: tu limite es igual a : e ^limite cuando tiende a infinito 6n*(1+3/3n-1) me da e elevado a la 6 Espero que te ayude

Jaqueline

Noviembre 2021

Porque la página no me deja ver la respuesta completa

Ejercicios de límites de sucesiones

Ejercicios propuestos de sucesiones

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Ejercicios de límites de sucesiones de la forma

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma y

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones aritméticas y geométricas

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones raíz

Resumen

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Limites de sucesiones parte II

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Indeterminación uno elevado a infinito

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Ejercicios de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot \infty}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \frac{\infty}{\infty}}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot 0}$ y ${\lim a_n = \frac{0}{0}}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty^\infty}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = b^n}$