Marta

29 abril 2021

Temas

 

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con \infty son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Ejercicios propuestos de sucesiones

1 Demuestra que la sucesión {a_n=\frac{2n + 4}{n}} tiene límite {2}. Averigua los términos cuya distancia a {2} es menor que {0.1}.

Para averiguar los términos de la sucesión {a_n=\frac{2n + 4}{n}}cuya distancia a {2} es menos a {0.1}, tenemos que resolver la siguiente inecuación:{\left|\dfrac{2n+4}{n} - 2 \right| < \dfrac{1}{10}} {\left|\dfrac{2n+4-2n}{n} \right| < \dfrac{1}{10}}[latex]{\begin{matrix}
\left|\dfrac{4}{n} \right| < \dfrac{1}{10} & \dfrac{4}{n} < \dfrac{1}{10}\end{matrix}}[/latex]

{n > 40}

A partir de {a_{41}} la distancia a {2} será menor que una decima.


2 Probar que la sucesión {a_n = \dfrac{4n + 1}{n}} tiene por limite {4} y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno {(4 - 0.001, 4 + 0.001)}.

Para averiguar los términos de la sucesión {a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}cuya distancia a {4} quedan fuera del entorno {(4 - 0.001, 4 + 0.001)}, tenemos que resolver la siguiente inecuación:{\left|\dfrac{4n + 1}{n} - 4 \right| < \dfrac{1}{1000}} {\left|\dfrac{4n + 1-4n}{n} \right| < \dfrac{1}{1000}}[latex]{\begin{matrix}
\left|\dfrac{1}{n} \right| < \dfrac{1}{1000} & \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{1000}\end{matrix}}[/latex]

{n > 1000}

Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.


3 Demuestra que la sucesión {a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}} tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno {(1 , 0.001)}.

Para averiguar los términos de la sucesión {a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}}cuya distancia a {1} quedan fuera del entorno {(1 , 0.001)}, tenemos que resolver la siguiente inecuación:{\left|\dfrac{n^2}{n^2 + 3} - 1 \right| < \dfrac{1}{1000}} {\left|\dfrac{n^2 - n^2 - 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}[latex]{\left|\dfrac{- 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}[/latex]

{\dfrac{3}{n^2 + 3} < \dfrac{1}{1000}}

{\begin{matrix} n^2 + 3 > 3000 & n^2 > 2997\end{matrix}}

{n > 54}

Los primeros {54} términos quedan fuera del entorno.


4 Probar que {\lim \dfrac{3n-8}{4n + 1} = \dfrac{3}{4}}. Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.

Para averiguar los términos de la sucesión { \dfrac{3n-8}{4n + 1}}cuyo límite es {\dfrac{3}{4}} son menores que {(0.01}, tenemos que resolver la siguiente inecuación:{\left|\dfrac{3n-8}{4n + 1} - \dfrac{3}{4} \right| < \dfrac{1}{100}} {\left|\dfrac{12n - 32 -12n - 3}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}[latex]{\left|\dfrac{- 35}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}[/latex]

{\dfrac{35}{16n + 4} < \dfrac{1}{100}}

Haciendo el proceso inverso en los dos miembros:

{\begin{matrix} 16n + 4 > 3500 & n > 218.5 \end{matrix}}

A partir de {a_{219}} la distancia al límite será menor que una centésima.


5 Demuestra que la sucesión {a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}} tiene por limite {+\infty}. Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

Para averiguar cuántos son los términos de la sucesión {a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}} que tienen por límite {+\infty}, tenemos que resolver la siguiente inecuación:{\dfrac{n^2 + 1}{4} > 1,000,000} {n^2 + 1 > 4,000,000}[latex]{n^2 > 3,999,999}[/latex]

{n > \sqrt{3,999,999}}

{n > 1999}

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.


6 Demuestra que la sucesión {a_n= - n^2} tiene por limite {- \infty}. Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que {- 10 000}.

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión {a_n = -n^2} es {- \infty}.{-1, -4, -9, -16, -25, -36, -49, \dots}Recordemos que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo la desigualdad cambia{\begin{matrix} - n^2 < -N & n > \sqrt{N} \end{matrix}}

Si tomamos {N = 10, 000}, su raíz cuadrada es {100}, por tanto a partir de {a_{101}} superará a {-10, 000}.

{a_{101} = -101^2 = -10 201}

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Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

 

Ejercicios de límites de sucesiones de la forma {\lim a_n = \infty \cdot \infty}

 

1 {\lim (2n - n^3 + 3n^2)}

{\lim (2n + 3n^2- n^3) = \infty -\infty}Factorizando {n^3}:{\lim n^3\cdot(\dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n} - 1) = \infty \cdot (-1) = -\infty}


2 {\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n}

{\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n = \infty -\infty}
{\lim \dfrac{3n^2 +4n -6-3n^2 - 6n}{n +2} = \dfrac{-2n -6}{n +2}= }Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}[latex]{\lim \dfrac{-\dfrac{2n}{n} -\dfrac{6}{n}}{\dfrac{n}{n} +\dfrac{2}{n}}= \lim \dfrac{-2 -\dfrac{6}{n}}{1 +\dfrac{2}{n}} = -2}[/latex]


3 {\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2})}

{\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2}) = \infty -\infty} {\lim \dfrac{n^2(n-2) - (n^2+1)(n-1)}{(n-1)(n-2)} = \lim \dfrac{n^3-2n^2 - n^3 -n + n^2 + 1}{n^2 -3n +2} = \lim \dfrac{-n^2 -n + 1}{n^2 -3n +2} = Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2}

{\lim \dfrac{-\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{3n}{n^2} +\dfrac{2}{n^2}} = \lim \dfrac{-1 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 -\dfrac{3}{n} +\dfrac{2}{n^2}} = -1}


4 {\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})}

{\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty}Multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado {\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}[latex]{\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})} = }[/latex]

{\lim \dfrac{n^2 -2 - n^2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{-2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} =

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz pasa como {n^2}

{\lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - \dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = \lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - 1}{\sqrt{1 -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{n}{n^2}}}} = }

\dfrac{-1}{1+1} = -\dfrac{1}{2}}


5 {\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})}

{\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty} {\lim (\sqrt{n^2 +3n} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})} = \lim \dfrac{n^2 +3n - n^2 - n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = }Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz pasa como {n^2}

{\lim \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} +\dfrac{3n}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = }

{\lim \dfrac{2}{\sqrt{1 +\dfrac{3}{n}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1}

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma {\lim a_n = \frac{\infty}{\infty}}

 

1 {\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)}}

{\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)} = \dfrac{\infty}{\infty}} {\lim \dfrac{(9n^4 + 24n^3 + 16n^2)(n^6 - 6n^3 + 9)(2n-7)}{(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)(n^6 -6n^4 + 9n^2)(2n^2-17)} = }[latex]{\lim \dfrac{9n^4\cdot n^6 \cdot 2n + \dots}{n^3\cdot n^6 \cdot 2n^2 + \dots} = }[/latex]

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^{11}}

{\lim \dfrac{18n^{11} + \dots}{2n^{11} + \dots} = 9}


2 {\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}

{\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz pasa como {n^2}[latex]{\lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \lim\dfrac{\dfrac{3n}{n}-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2}+\dfrac{5}{n^2}}} = \lim\dfrac{3-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 +\dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{2}}}[/latex]


3 {\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5}}

{\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^4}[latex]{\lim \dfrac{-\dfrac{2n^4}{n^4} - \dfrac{3n}{n^4} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{-2 - \dfrac{3}{n^3} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4}{n} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{-2}{0} = -\infty}[/latex]


4 {\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5}}

{\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5} = \dfrac{\infty}{\infty}}
{\lim \dfrac{n^4 + 2n +1 - 3n^2 +3}{n^3 -5} = \lim \dfrac{n^4 - 3n^2 + 2n +4}{n^3 -5} = }Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^4}[latex]{\lim \dfrac{\dfrac{n^4}{n^4} - \dfrac{3n^2}{n^4} + \dfrac{2n}{n^4} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{1 - \dfrac{3}{n^2} + \dfrac{2}{n^3} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{1}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{1}{0} = \infty}[/latex]


5 {\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}}}

{\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz cubica pasa como {n^3}[latex]{\lim \dfrac{\dfrac{7n}{n}-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{\dfrac{5n^3}{n^3} +\dfrac{4n}{n^3} -\dfrac{2}{n^3}}} = \lim \dfrac{7-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{5 +\dfrac{4}{n^2} -\dfrac{2}{n^3}}} = \dfrac{7}{\sqrt[3]{5}}}[/latex]


6 {\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1}}

{\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1} = \dfrac{\infty}{\infty}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2}, recuerda que cuando la {n^2} dentro de la raíz pasa como {n^4}[latex]{\lim \dfrac{\sqrt{\dfrac{4n^4}{n^4}+\dfrac{n^2}{n^4}+\dfrac{1}{n^4}}}{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}} = \lim \dfrac{\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^4}}}{\1+\dfrac{1}{n^2}} = \sqrt{4} = 2}[/latex]


7 {\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}}

{\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} = \dfrac{\infty}{\infty}}Separando {2^{n+1} = 2^n \cdot 2} y lo mismo para {3^{n+1}}, posteriormente dividiendo por {3^n}[latex]{\lim \frac{2^n\cdot 2 + 3^n \cdot 3 }{2^n + 3^n} = \lim \dfrac{2\cdot (\frac{2}{3})^n + 3 }{(\dfrac{2}{3})^n + 1} = 3}[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma {\lim a_n = \infty \cdot 0} y {\lim a_n = \frac{0}{0}}

 

1 {\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}}}

{\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}} = \infty\cdot 0}Introducimos el primer factor en la raíz, se transforma a {\dfrac{\infty}{\infty}}.{\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \dfrac{\infty}{\infty}}

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por {n^2}

{\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{n^2 + 14n +49}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{14n}{n^2} +\dfrac{49}{n^2}}{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2}}}= }

{\lim \sqrt{\dfrac{1 + \dfrac{14}{n} +\dfrac{49}{n^2}}{4 + \dfrac{3}{n^2}}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}}


2 {\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}

{\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \dfrac{0}{0}}Se transforma al tipo {\dfrac{\infty}{\infty}}.{\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim \dfrac{3n - 3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n}, recuerda que cuando la {n} dentro de la raíz pasa como {n^2}

{\lim \dfrac{\dfrac{3n}{n} - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{5}{n^2}}} = \lim \dfrac{3 - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 + \dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}}


3 {\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5})}

{\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5} = \infty \cdot 0}Se transforma al tipo {\dfrac{\infty}{\infty}}.{\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5}) = \lim \dfrac{6n^2}{n^2-7n-5}}

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2}

{\lim \dfrac{\dfrac{6n^2}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{7n}{n^2}-\dfrac{5}{n^2}} =

{\lim \dfrac{6}{1-\dfrac{7}{n}-\dfrac{5}{n^2}} = 6


4 {\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}})}

{\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \infty \cdot 0}Se transforma al tipo {\dfrac{\infty}{\infty}}.{\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \lim \dfrac{\sqrt{18n^2 + 1}}{\sqrt{32n^2 - 3}} =}

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador dentro de la raíz por {n^2}

{\lim \sqrt{\dfrac{18n^2 + 1}{32n^2 - 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{18n^2}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{32n^2}{n^2} - \dfrac{3}{n^2}}}}

{\sqrt{\dfrac{18}{32}}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}}} = \dfrac{3}{4}}


5 {\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}}}

{\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}} = \dfrac{0}{0}}Se transforma al tipo {\dfrac{\infty}{\infty}}. Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por {n^2}, recuerda que cuando la {n^2} dentro de la raíz pasa como {n^4}[latex]{\lim \dfrac{3\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{7}(n^2+1)} = \lim \dfrac{3\sqrt{\dfrac{n^2}{n^4}-\dfrac{1}{n^4}}}{\sqrt{7}(\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2})} = 0}[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma {\lim a_n = \infty^\infty}

 

Para estos ejercicios es importante recordar las siguientes propiedades:

{\frac{0}{n} = 0, \, \frac{-n}{0} = -\infty, \, \frac{n}{0} = \infty}.

Donde {n} es cualquier número positivo.

 

1 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^\infty = \infty}


2 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^{-\infty} = \dfrac{1}{\infty} = \dfrac{1}{\infty} = 0}


3 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} = \infty^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{\infty^3}} = \dfrac{1}{\infty} = 0}


4 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{\frac{3}{5}} = 0}


5 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0^\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0} = \infty}


6 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^0 = 1}


7 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{-\infty} = \left( \dfrac{3}{2}\right)^\infty = \infty}


8 {\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base:{\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{\infty} = 0}

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma {\lim a_n = b^n}

 

1 {\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1}}

{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2-2-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-3} =} {\dfrac{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2}}{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^3} = \dfrac{e}{1} = e}


2 {\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n}}

{\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n} = 1^\infty} {\lim \left(1 + \dfrac{-2}{3n}\right)^n = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^n }[latex]{\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^{\dfrac{3n}{-2}}\right]^{\lim \dfrac{-2}{3n}n} = e^{\frac{-2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{e^2}} }[/latex]


3 {\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}}}

{\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = 1^\infty} {\lim \left( 1 + \dfrac{-3}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n +4}{-3}}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} =}[latex]{\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n+4}{-3}}\right)^{\dfrac{2n+4}{-3}}\right]^{\lim \dfrac{-3}{2n+4}\dfrac{n^2}{n+1}} = e^{\frac{-3}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e^3}} }[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones aritméticas y geométricas

 

3 {\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)}

{\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)= \lim \left( \dfrac{1+2+3+ \dots + n}{n^2}\right)}El numerador es la suma de los términos de una progresión aritmética.{\lim \dfrac{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}{n^2} = \lim \dfrac{1+n}{2n} = \dfrac{1}{2}}

2 {\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}

{\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}Tenemos la suma de infinitos términos de una progresión geométrica.{S = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1}

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones raíz

 

1 {\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}}}

{\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}} = \lim \left( 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{8}} \cdot \dots \right) = } {\lim 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots}= 3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}} = 3}En este ejercicio aplicamos en el penúltimo paso, la formula de la progresión geométrica infinita.


2 {\sqrt{3}, \sqrt{\sqrt{3}}, \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}},\dots}

Observemos que
{\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}} {\sqrt{3\sqrt{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}[latex]{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8}}[/latex]

Entonces

{3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}}

Siendo el exponente la suma ilimitada de una progresión geométrica decreciente es:

{3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}} = 3}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗