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Ejercicios propuestos de sucesiones
Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con $\infty$ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Ejercicios propuestos de sucesiones

1 Demuestra que la sucesión ${a_n=\frac{2n + 4}{n}}$ tiene límite ${2}$ . Averigua los términos cuya distancia a ${2}$ es menor que ${0.1}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n=\frac{2n + 4}{n}}$

cuya distancia a ${2}$

es menos a ${0.1}$

, tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{2n+4}{n} - 2 \right| < \dfrac{1}{10}}$

${\left|\dfrac{2n+4-2n}{n} \right| < \dfrac{1}{10}}$

[latex]{\begin{matrix}
\left|\dfrac{4}{n} \right| < \dfrac{1}{10} & \dfrac{4}{n} < \dfrac{1}{10}\end{matrix}}[/latex]

${n > 40}$

A partir de ${a_{41}}$ la distancia a ${2}$ será menor que una decima.

2 Probar que la sucesión ${a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}$ tiene por limite ${4}$ y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno ${(4 - 0.001, 4 + 0.001)}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{4n + 1}{n}}$

cuya distancia a ${4}$

quedan fuera del entorno ${(4 - 0.001, 4 + 0.001)}$

, tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{4n + 1}{n} - 4 \right| < \dfrac{1}{1000}}$

${\left|\dfrac{4n + 1-4n}{n} \right| < \dfrac{1}{1000}}$

[latex]{\begin{matrix}
\left|\dfrac{1}{n} \right| < \dfrac{1}{1000} & \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{1000}\end{matrix}}[/latex]

${n > 1000}$

Quedan fuera del entorno los mil primeros términos de la sucesión.

3 Demuestra que la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}}$ tiene por limite 1 y averiguar cuántos términos de la sucesión están fuera del entorno ${(1 , 0.001)}$ .

Para averiguar los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2}{n^2 + 3}}$

cuya distancia a ${1}$

quedan fuera del entorno ${(1 , 0.001)}$

, tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{n^2}{n^2 + 3} - 1 \right| < \dfrac{1}{1000}}$

${\left|\dfrac{n^2 - n^2 - 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}$

[latex]{\left|\dfrac{- 3}{n^2 + 3} \right| < \dfrac{1}{1000}}[/latex]

${\dfrac{3}{n^2 + 3} < \dfrac{1}{1000}}$

${\begin{matrix} n^2 + 3 > 3000 & n^2 > 2997\end{matrix}}$

${n > 54}$

Los primeros ${54}$ términos quedan fuera del entorno.

4 Probar que ${\lim \dfrac{3n-8}{4n + 1} = \dfrac{3}{4}}$ . Averigua los términos cuya distancia al límite es menor que 0.01.

Para averiguar los términos de la sucesión ${ \dfrac{3n-8}{4n + 1}}$

cuyo límite es ${\dfrac{3}{4}}$

son menores que ${(0.01}$

, tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\left|\dfrac{3n-8}{4n + 1} - \dfrac{3}{4} \right| < \dfrac{1}{100}}$

${\left|\dfrac{12n - 32 -12n - 3}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}$

[latex]{\left|\dfrac{- 35}{16n + 4} \right| < \dfrac{1}{100}}[/latex]

${\dfrac{35}{16n + 4} < \dfrac{1}{100}}$

Haciendo el proceso inverso en los dos miembros:

${\begin{matrix} 16n + 4 > 3500 & n > 218.5 \end{matrix}}$

A partir de ${a_{219}}$ la distancia al límite será menor que una centésima.

5 Demuestra que la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}}$ tiene por limite ${+\infty}$ . Y calcula cuántos términos de la sucesión son menores que un millón.

Para averiguar cuántos son los términos de la sucesión ${a_n = \dfrac{n^2 + 1}{4}}$

que tienen por límite ${+\infty}$

, tenemos que resolver la siguiente inecuación: ${\dfrac{n^2 + 1}{4} > 1,000,000}$

${n^2 + 1 > 4,000,000}$

[latex]{n^2 > 3,999,999}[/latex]

${n > \sqrt{3,999,999}}$

${n > 1999}$

No llegan al millón los 1999 primeros términos de la sucesión.

6 Demuestra que la sucesión ${a_n= - n^2}$ tiene por limite ${- \infty}$ . Y calcula a partir de que término la sucesión toma valores menores que ${- 10 000}$ .

Vamos a comprobar que el límite de la sucesión ${a_n = -n^2}$

es ${- \infty}$

. ${-1, -4, -9, -16, -25, -36, -49, \dots}$

Recordemos que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo la desigualdad cambia ${\begin{matrix} - n^2 < -N & n > \sqrt{N} \end{matrix}}$

Si tomamos ${N = 10, 000}$ , su raíz cuadrada es ${100}$ , por tanto a partir de ${a_{101}}$ superará a ${-10, 000}$ .

${a_{101} = -101^2 = -10 201}$

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Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Ejercicios de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot \infty}$

1 ${\lim (2n - n^3 + 3n^2)}$

${\lim (2n + 3n^2- n^3) = \infty -\infty}$

Factorizando ${n^3}$

: ${\lim n^3\cdot(\dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n} - 1) = \infty \cdot (-1) = -\infty}$

2 ${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n}$

${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6}{n +2} - 3n = \infty -\infty}$

${\lim \dfrac{3n^2 +4n -6-3n^2 - 6n}{n +2} = \dfrac{-2n -6}{n +2}= }$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$

[latex]{\lim \dfrac{-\dfrac{2n}{n} -\dfrac{6}{n}}{\dfrac{n}{n} +\dfrac{2}{n}}= \lim \dfrac{-2 -\dfrac{6}{n}}{1 +\dfrac{2}{n}} = -2}[/latex]

3 ${\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2})}$

${\lim (\dfrac{n^2}{n-1} - \dfrac{n^2 + 1}{n-2}) = \infty -\infty}$

${\lim \dfrac{n^2(n-2) - (n^2+1)(n-1)}{(n-1)(n-2)} = \lim \dfrac{n^3-2n^2 - n^3 -n + n^2 + 1}{n^2 -3n +2} = \lim \dfrac{-n^2 -n + 1}{n^2 -3n +2} =$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

${\lim \dfrac{-\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{n}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{3n}{n^2} +\dfrac{2}{n^2}} = \lim \dfrac{-1 -\dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n^2}}{1 -\dfrac{3}{n} +\dfrac{2}{n^2}} = -1}$

4 ${\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})}$

${\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty}$

Multiplicando y dividiendo por el binomio conjugado ${\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}$

[latex]{\lim (\sqrt{n^2 -2} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n})} = }[/latex]

${\lim \dfrac{n^2 -2 - n^2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{-2 - n}{\sqrt{n^2 -2} + \sqrt{n^2 + n}} =$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$ , recuerda que cuando la ${n}$ dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - \dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = \lim \dfrac{-\dfrac{2}{n} - 1}{\sqrt{1 -\dfrac{2}{n^2}} + \sqrt{1 + \dfrac{n}{n^2}}}} = }$

$\dfrac{-1}{1+1} = -\dfrac{1}{2}}$

5 ${\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})}$

${\lim (\sqrt{n^2 + 3n} - \sqrt{n^2 + n})= \infty -\infty}$

${\lim (\sqrt{n^2 +3n} - \sqrt{n^2 + n})\cdot\dfrac{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})}{(\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n})} = \lim \dfrac{n^2 +3n - n^2 - n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = }$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$

, recuerda que cuando la ${n}$

dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{2n}{\sqrt{n^2 +3n} + \sqrt{n^2 + n}} = \lim \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} +\dfrac{3n}{n^2}} + \sqrt{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{n}{n^2}}} = }$

${\lim \dfrac{2}{\sqrt{1 +\dfrac{3}{n}} + \sqrt{1 + \dfrac{1}{n}}} = \dfrac{2}{2} = 1}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \frac{\infty}{\infty}}$

1 ${\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)}}$

${\lim \dfrac{(3n^2 + 4n)^2(n^3 - 3)^2(2n-7)}{(n + 2)^3(n^3 -3n)^2(2n^2-17)} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

${\lim \dfrac{(9n^4 + 24n^3 + 16n^2)(n^6 - 6n^3 + 9)(2n-7)}{(n^3 + 6n^2 + 12n + 8)(n^6 -6n^4 + 9n^2)(2n^2-17)} = }$

[latex]{\lim \dfrac{9n^4\cdot n^6 \cdot 2n + \dots}{n^3\cdot n^6 \cdot 2n^2 + \dots} = }[/latex]

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^{11}}$

${\lim \dfrac{18n^{11} + \dots}{2n^{11} + \dots} = 9}$

2 ${\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}$

${\lim\dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2+5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$

, recuerda que cuando la ${n}$

dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

[latex]{\lim\dfrac{3(n-1)}{\sqrt{4n^2+5}} = \lim\dfrac{\dfrac{3n}{n}-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2}+\dfrac{5}{n^2}}} = \lim\dfrac{3-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 +\dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{2}}}[/latex]

3 ${\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5}}$

${\lim \dfrac{-2n^4 -3n +2}{4n^4 - 5} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^4}$

[latex]{\lim \dfrac{-\dfrac{2n^4}{n^4} - \dfrac{3n}{n^4} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{-2 - \dfrac{3}{n^3} + \dfrac{2}{n^4}}{\dfrac{4}{n} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{-2}{0} = -\infty}[/latex]

4 ${\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5}}$

${\lim \dfrac{(n^2 +1)^2 -3n^2 +3}{n^3 -5} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

${\lim \dfrac{n^4 + 2n +1 - 3n^2 +3}{n^3 -5} = \lim \dfrac{n^4 - 3n^2 + 2n +4}{n^3 -5} = }$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^4}$

[latex]{\lim \dfrac{\dfrac{n^4}{n^4} - \dfrac{3n^2}{n^4} + \dfrac{2n}{n^4} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{n^3}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \lim \dfrac{1 - \dfrac{3}{n^2} + \dfrac{2}{n^3} + \dfrac{4}{n^4}}{\dfrac{1}{n^4} - \dfrac{5}{n^4}} = \dfrac{1}{0} = \infty}[/latex]

5 ${\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}}}$

${\lim \dfrac{7n-1}{\sqrt[3]{5n^3 +4n -2}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$

, recuerda que cuando la ${n}$

dentro de la raíz cubica pasa como ${n^3}$

[latex]{\lim \dfrac{\dfrac{7n}{n}-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{\dfrac{5n^3}{n^3} +\dfrac{4n}{n^3} -\dfrac{2}{n^3}}} = \lim \dfrac{7-\dfrac{1}{n}}{\sqrt[3]{5 +\dfrac{4}{n^2} -\dfrac{2}{n^3}}} = \dfrac{7}{\sqrt[3]{5}}}[/latex]

6 ${\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1}}$

${\lim \dfrac{\sqrt{4n^4+n^2+1}}{n^2+1} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

, recuerda que cuando la ${n^2}$

dentro de la raíz pasa como ${n^4}$

[latex]{\lim \dfrac{\sqrt{\dfrac{4n^4}{n^4}+\dfrac{n^2}{n^4}+\dfrac{1}{n^4}}}{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}} = \lim \dfrac{\sqrt{4+\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^4}}}{\1+\dfrac{1}{n^2}} = \sqrt{4} = 2}[/latex]

7 ${\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n}}$

${\lim \dfrac{2^{n+1} + 3^{n+1}}{2^n + 3^n} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Separando ${2^{n+1} = 2^n \cdot 2}$

y lo mismo para ${3^{n+1}}$

, posteriormente dividiendo por ${3^n}$

[latex]{\lim \frac{2^n\cdot 2 + 3^n \cdot 3 }{2^n + 3^n} = \lim \dfrac{2\cdot (\frac{2}{3})^n + 3 }{(\dfrac{2}{3})^n + 1} = 3}[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty \cdot 0}$ y ${\lim a_n = \frac{0}{0}}$

1 ${\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}}}$

${\lim (n+7)\cdot \sqrt{\dfrac{1}{4n^2 + 3}} = \infty\cdot 0}$

Introducimos el primer factor en la raíz, se transforma a ${\dfrac{\infty}{\infty}}$

. ${\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \dfrac{\infty}{\infty}}$

Dividiendo tanto el numerador como el denominador por ${n^2}$

${\lim \sqrt{\dfrac{(n+7)^2}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{n^2 + 14n +49}{4n^2 + 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{n^2}{n^2} + \dfrac{14n}{n^2} +\dfrac{49}{n^2}}{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2}}}= }$

${\lim \sqrt{\dfrac{1 + \dfrac{14}{n} +\dfrac{49}{n^2}}{4 + \dfrac{3}{n^2}}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}}$

2 ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}}}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \dfrac{0}{0}}$

Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$

. ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}{\dfrac{1}{n-1}} = \lim \dfrac{3n - 3}{\sqrt{4n^2 + 5}}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n}$

, recuerda que cuando la ${n}$

dentro de la raíz pasa como ${n^2}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3n}{n} - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{\dfrac{4n^2}{n^2} + \dfrac{5}{n^2}}} = \lim \dfrac{3 - \dfrac{3}{n}}{\sqrt{4 + \dfrac{5}{n^2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{4}} = \dfrac{3}{2}}$

3 ${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5})}$

${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5} = \infty \cdot 0}$

Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$

. ${\lim (3n \cdot\dfrac{2n}{n^2-7n-5}) = \lim \dfrac{6n^2}{n^2-7n-5}}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

${\lim \dfrac{\dfrac{6n^2}{n^2}}{\dfrac{n^2}{n^2}-\dfrac{7n}{n^2}-\dfrac{5}{n^2}} =$

${\lim \dfrac{6}{1-\dfrac{7}{n}-\dfrac{5}{n^2}} = 6$

4 ${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}})}$

${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \infty \cdot 0}$

Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$

. ${\lim (\sqrt{18n^2 + 1}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{32n^2 - 3}}) = \lim \dfrac{\sqrt{18n^2 + 1}}{\sqrt{32n^2 - 3}} =}$

Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador dentro de la raíz por ${n^2}$

${\lim \sqrt{\dfrac{18n^2 + 1}{32n^2 - 3}} = \lim \sqrt{\dfrac{\dfrac{18n^2}{n^2} + \dfrac{1}{n^2}}{\dfrac{32n^2}{n^2} - \dfrac{3}{n^2}}}}$

${\sqrt{\dfrac{18}{32}}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}}} = \dfrac{3}{4}}$

5 ${\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}}}$

${\lim \dfrac{\dfrac{3}{n^2+2}}{\sqrt{\dfrac{7}{n^2-1}}} = \dfrac{0}{0}}$

Se transforma al tipo ${\dfrac{\infty}{\infty}}$

. Dividimos cada factor tanto del numerador como del denominador por ${n^2}$

, recuerda que cuando la ${n^2}$

dentro de la raíz pasa como ${n^4}$

[latex]{\lim \dfrac{3\sqrt{n^2-1}}{\sqrt{7}(n^2+1)} = \lim \dfrac{3\sqrt{\dfrac{n^2}{n^4}-\dfrac{1}{n^4}}}{\sqrt{7}(\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2})} = 0}[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = \infty^\infty}$

Para estos ejercicios es importante recordar las siguientes propiedades:

${\frac{0}{n} = 0, \, \frac{-n}{0} = -\infty, \, \frac{n}{0} = \infty}$ .

Donde ${n}$ es cualquier número positivo.

1 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^\infty = \infty}$

2 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \infty^{-\infty} = \dfrac{1}{\infty} = \dfrac{1}{\infty} = 0}$

3 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} = \infty^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{\sqrt[5]{\infty^3}} = \dfrac{1}{\infty} = 0}$

4 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{\frac{3}{5}} = 0}$

5 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^3+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n^2 - 3}} =0^{-\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0^\frac{3}{5}} = \dfrac{1}{0} = \infty}$

6 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n + 2}{5n^2 - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^0 = 1}$

7 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{-3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{-\infty} = \left( \dfrac{3}{2}\right)^\infty = \infty}$

8 ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}}}$

Evaluando directamente tanto el límite de la potencia como el límite de la base: ${\lim \left(\dfrac{2n^2}{3n^2+1}\right)^{\dfrac{3n^2 + 2}{5n - 3}} = \left( \dfrac{2}{3}\right)^{\infty} = 0}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones de la forma ${\lim a_n = b^n}$

1 ${\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1}}$

${\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2-2-1} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n-3} =}$

${\dfrac{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^{n+2}}{\lim \left(1 + \dfrac{1}{n+2}\right)^3} = \dfrac{e}{1} = e}$

2 ${\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n}}$

${\lim \left(1 - \dfrac{2}{3n}\right)^{n} = 1^\infty}$

${\lim \left(1 + \dfrac{-2}{3n}\right)^n = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^n }$

[latex]{\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{3n}{-2}}\right)^{\dfrac{3n}{-2}}\right]^{\lim \dfrac{-2}{3n}n} = e^{\frac{-2}{3}} = \dfrac{1}{\sqrt[3]{e^2}} }[/latex]

3 ${\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}}}$

${\lim \left(\dfrac{2n+1}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = 1^\infty}$

${\lim \left( 1 + \dfrac{-3}{2n+4}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} = \lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n +4}{-3}}\right)^{\dfrac{n^2}{n+1}} =}$

[latex]{\left[\lim \left(1 + \dfrac{1}{\dfrac{2n+4}{-3}}\right)^{\dfrac{2n+4}{-3}}\right]^{\lim \dfrac{-3}{2n+4}\dfrac{n^2}{n+1}} = e^{\frac{-3}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{e^3}} }[/latex]

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones aritméticas y geométricas

3 ${\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)}$

${\lim \left(\dfrac{1}{n^2} + \dfrac{2}{n^2} + \dfrac{3}{n^2} + \dots + \dfrac{n}{n^2}\right)= \lim \left( \dfrac{1+2+3+ \dots + n}{n^2}\right)}$

El numerador es la suma de los términos de una progresión aritmética. ${\lim \dfrac{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}{n^2} = \lim \dfrac{1+n}{2n} = \dfrac{1}{2}}$

2 ${\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}$

${\lim \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{16} + \dots \right)}$

Tenemos la suma de infinitos términos de una progresión geométrica. ${S = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{1 - \dfrac{1}{2}} = \dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}} = 1}$

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones raíz

1 ${\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}}}$

${\lim \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3 \dots}}}}} = \lim \left( 3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{\frac{1}{8}} \cdot \dots \right) = }$

${\lim 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots}= 3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}}} = 3}$

En este ejercicio aplicamos en el penúltimo paso, la formula de la progresión geométrica infinita.

2 ${\sqrt{3}, \sqrt{\sqrt{3}}, \sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}},\dots}$

Observemos que
${\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}}$

${\sqrt{3\sqrt{3}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}}}$

[latex]{\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} +\frac{1}{8}}[/latex]

Entonces

${3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}}$

Siendo el exponente la suma ilimitada de una progresión geométrica decreciente es:

${3^{\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}} = 3}$

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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oscar

Octubre 2020

construye terminos generales de sucesiones para cada condicion dada A.que tenga como limite 3 B.que crezca indefinidamente y sin cota. me ayudan?

Deivi

Noviembre 2020

Necesito que me explique este ejercicio an=(1+3/3n)^(6n)

Eduardo Gómez Pérez

Enero 2021

Es una indeterminacion de 1 elevado a infinito. Tienes que aplicar esta formula:
tu limite es igual a :

e ^limite cuando tiende a infinito 6n*(1+3/3n-1)
me da e elevado a la 6
Espero que te ayude

Julian

Junio 2021

Alguien sabe cual es el limite de la sucesion de 1+3/n

José

Agosto 2021

Julian es 1, a medida que aumente el valor de n, la expresión 3/n se acercara más a 0, pero al tener el 1, la sucesión se acercara a 1.

Diego

Septiembre 2021

Excelente, gracias, me sirvió para orientarme en unas dudas que se presentaban. GRACIAS

Franco

Octubre 2021

Necesito que me ayuden con este problema por favor

Lim
n➡️-4 (5n³- 3n²+20)
Porfavor

ana

Octubre 2021

me puedes hacer el favor de explicar el siguiente ejercicio= lim 3/n -8

Willanderlin

Noviembre 2021

Discul0e sera que alguien me puede ayudar a evaluar cada sucesion para n=1,4,6

Pn= 3n+1

Ejercicios de límites de sucesiones

Ejercicios propuestos de sucesiones

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones aritméticas y geométricas

Ejercicios propuestos de límites de sucesiones raíz

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Limites de sucesiones parte II

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