En ocasiones nos encontramos con que una función tiene una indeterminación de infinito dividido por infinito. Es decir, consideremos la función

 

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

 

tal que \lim_{x \to a}{g(x)} = \infty \; y \;\lim_{x \to a}{h(x)} = \infty. Así, nuestra función evaluada en a sería

 

\displaystyle f(a) = \frac{g(a)}{h(a)} = \frac{\infty}{\infty}

 

En este caso, decimos que la función está indeterminada en a, pues no es posible asignarle valor alguno a f(a). Sin embargo, podemos utilizar alguno de los siguientes dos métodos para encontrar el límite de la función en a —observemos que el límite en a no es lo mismo que el valor de f(a)—:

 

 

Primer método: comparación del orden de los polinomios

 

Estos métodos sólo funcionan con funciones racionales de la forma

 

\displaystyle f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

 

en donde P(x) y Q(x) son polinomios y algunos casos muy particulares como exponenciales y radicales. Cuando no se tienen estos casos, existen otros métodos como la regla de L'Hôpital.

 

El primer método consiste en comparar los grados de P(x) y Q(x):

 

El numerador tiene mayor grado que el denominador

 

Si el numerador P(x) tiene mayor grado que el denominador, entonces el límite será +\infty o -\infty. El signo del límite será el mismo signo que tiene la división de los coeficientes de mayor grado. En el segundo ejemplo de abajo, observemos que el límite es -\infty porque la división de los coeficientes es (-2)/1 = -2; es decir, tiene signo negativo.

 

 

    \begin{align*} & \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^5 - 3x^2}{x^4 - x^3} }   = \infty\\[8pt] & \lim_{x \to \infty}{\frac{-2x^5 - 3x^2}{x^4 - x^3}}  = -\infty \end{align*}

 

El grado del denominador es mayor al grado del numerador

 

Si el grado del denominador Q(x) es mayor al grado del numerador, entonces el límite siempre será 0. 

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^5 - 3x^2}{x^7 - x^3} } = 0

 

El numerador y el denominador tienen el mismo grado

 

Si el numerador y denominador tienen el mismo grado, entonces el límite es el cociente de los coeficientes de mayor grado. Observemos el ejemplo de abajo. El numerador tiene coeficiente principal 2, mientras que el denominador tiene coeficiente principal 3. Por lo tanto, como ambos polinomios tienen el mismo grado, entonces el límite es 2/3.

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{2x^5 - 3x^2}{3x^5 - x^3}} = \frac{2}{3}

 

Superprof

Casos particulares del método de comparación

 

Dada una función

 

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

 

existen casos donde podemos comparar a g(x) y h(x) de manera similar a como comparamos los polinomios. Estos casos involucran funciones exponenciales y funciones radicales.

 

1 Si g(x) o h(x) son exponenciales, entonces podemos pensar que su grado siempre es mayor al de cualquier polinomio (formalmente se dice que una exponencial es de mayor orden que un polinomio). Si tanto el numerador como el denominador son exponenciales, entonces tendrá mayor orden la exponencial con la base más grande.

 

    \begin{align*} & \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^5 - 3x^2}{6^x} }   = 0\\[8pt] & \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x}{x^4 - x^3}} = \infty\\[8pt] & \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x}{4^x}} = 0\end{align*}

 

 

2 Si el numerador o el denominador es un radical de la forma

 

\sqrt[m]{a_n x^n + a_{n-1} x^{n - 1} + \cdots},

 

entonces consideramos que su grado es n/m y su coeficiente de mayor grado es \sqrt[m]{a_n}.

 

    \begin{align*} & \lim_{x \to \infty}{ \frac{2x^3 - 3x^2}{\sqrt[3]{6x^2 + 1}} }   = \infty\\[8pt] & \lim_{x \to \infty}{\frac{\sqrt{3x^2 + 4}}{\sqrt{2x^2 + 1}}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\end{align*}

 

 

Segundo método: dividir por una misma función el numerador y denominador

 

Dado que

 

\displaystyle 1 = \frac{P(x)}{P(x)}

 

entonces podemos multiplicar y dividir una función por P(x) con el fin de calcular el límite de forma más sencilla. Esto debido a que

 

\displaystyle f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \cdot 1 = \frac{g(x)}{h(x)} \cdot \frac{P(x)}{P(x)} = \frac{g(x)P(x)}{h(x)P(x)}

 

Cociente de polinomios

 

Si se trata de cociente de polinomios, entonces dividimos ambos polinomios por la potencia de mayor grado. Por ejemplo, si tenemos

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{2x^5 - 3x^2}{x^4 - x^3}} = \frac{\infty}{\infty}

 

Dividimos cada polinomio por x^5, simplificamos las fracciones y aplicamos el límite:

 

\displaystyle \lim_{x\to \infty}{ \frac{ \frac{2x^5}{x^5} - \frac{3x^2}{x^2} }{ \frac{x^4}{x^5} - \frac{x^3}{x^5}  } } = \frac{ \lim_{x \to \infty}{ 2 - \frac{3}{x^3} } }{ \lim_{x \to \infty}{ \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} } } = \frac{2 - 0}{0 - 0} = \infty

 

Es importante que tomemos en cuenta el signo de los coeficientes de mayor grado del numerador y denominador, pues esto puede cambiar el signo del infinito. Al igual que con el método anterior, el signo será el mismo que el cociente de los coeficientes de mayor grado.

 

Funciones exponenciales

 

Si son funciones exponenciales, entonces dividimos por la exponencial de mayor base. Observemos el siguiente ejemplo: 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3^{x +2} + 2^x}{3^{x-2}} } = \frac{\infty}{\infty}

 

Primero aplicamos las propiedades del producto y del cociente de potencias, con el fin de quitar las sumas o restas de los exponentes:

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{\frac{3^x \cdot 3^2 + 2^x}{3^x \cdot 3^{-2}} }

 

Dividimos el numerador y el denominador por 3 a la equis

 

\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3^{x +2} + 2^x}{3^{x-2}} } = \lim_{x \to \infty}{\frac{ \frac{3^x \cdot 3^2}{3^x} + \frac{2^x}{3^x} }{ \frac{3^x \cdot 3^{-2}}{3^x} } } = \frac{9 + 0}{\frac{1}{9}} = 81

 

 

Ejemplos de la indeterminación infinito dividido por infinito

 

Vamos a resolver algunos ejemplos para poner en práctica lo que acabamos de ver.

 

1\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{3^x}{2^x}} = \infty

 

 

El resultado es \infty ya que el numerador es de orden mayor que el denominador.

 

 

2\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2^x}{3^x}} = 0

 

Ahora tenemos un denominador con orden superior al del numerador. Por lo tanto, el límite es 0.

 

 

3\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{\sqrt{x^7 - 2} }{ x^4  - 1} } = 0

 

 

En este caso tenemos una función radical en el numerador. Por lo tanto, suponemos que su grado es 7/2. Por consiguiente, debido a que 4 > 7/2, entonces el límite es 0.

 

 

4\displaystyle \lim_{x \to \infty}{ \frac{2^x}{x^23} } = \infty
 

 

Como mencionamos anteriormente, las funciones exponenciales siempre tienen mayor orden que los polinomios —aunque este sea de grado 23—. Por tanto, el límite es \infty.

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Marta

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Carlos Salazar
Carlos Salazar
Invité
16 Nov.

Por favor pido que se me sustente el ejercicio de la indefinicion de infinito sobre infinito …método 2 da como resultado infinito cuando divide un número sobre cero ,me parece que es incorrecto

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
13 Jun.

Hola,
 
los rango de 1/x y -1/x2 son ℝ-{0} y (-∞, 0) respectivamente, por lo que limx → ∞(1/x)=0 y limx → ∞(-1/x2)=0 indican que ambas funciones se aproximan a 0 pero no alcanzan este valor; luego el denominador es una cantidad infimamente pequeña e implica que el resultado del cociente sea sumamente grande.
 
Un saludo