Vamos a estudiar la indeterminación del tipo cero partido cero en dos casos.

 

Caso 1: Función racional

 

Este caso aplica cuando tenemos una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios.

A continuación se explican el procedimiento para obtener el límite cuando tienes una indeterminación del tipo cero entre cero.

 

1 Al intentar calcular el límite, se identifica la indeterminación del tipo cero sobre cero

 

2 Se descomponen en factores los polinomios de el numerador y denominador

 

3 Se simplifica la fracción

 

4 Se calcula el límite de la expresión simplificada

 

Ejemplos

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}

 

1 Si intentamos obtener el límite, veremos que es del tipo 0/0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\frac{(-1)^2+2\cdot (-1)+1}{(-1)^2-1}=\frac{1-2+1}{1-1}=\frac{0}{0}

 

2 Factorizamos

 

El numerador es un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos escribirlo como un binomio al cuadrado.

El denominador es una diferencia de cuadrados que es igual al producto de binomios conjugados. Esto es

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2+2x+1}{x^2-1}=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{(x+1)^2}{(x+1)(x-1)}

 

3 Simplificamos la fracción

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1} \frac{(x+1)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x+1)}(x-1)}=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{x+1}{x-1}

 

4 Ahora calculamos el límite

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1} \frac{x+1}{x-1}=\frac{-1+1}{-1-1}=\frac{0}{-2}=0

 

El límite es 0

 

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}

 

1 Si intentamos obtener el límite, veremos que es del tipo 0/0

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\frac{(-1)^2-1}{(-1)^2+2(-1)+1}=\frac{1-1}{1-2+1}=\frac{0}{0}

 

2 Factorizamos

 

El numerador es una diferencia de cuadrados que es igual al producto de binomios conjugados.

El denominador es un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos escribirlo como un binomio al cuadrado. Esto es

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1}\frac{x^2-1}{x^2+2x+1}=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{(x+1)(x-1)}{(x+1)^2}

 

3 Simplificamos la fracción

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1} \frac{\cancel{(x+1)}(x-1)}{(x+1)^{\cancel{2}}}=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{x-1}{x+1}

 

4 Ahora calculamos el límite

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1} \frac{x-1}{x+1}=\frac{-1-1}{0}=\frac{-2}{0}

 

Como obtuvimos cero solamente en el denominador, debemos identificar si este límite va a infinito positivo, negativo o no tiene límite (por un lado se va a infinito positivo y por el otro, negativo). Para esto tomamos límites laterales

 

Límite por la izquierda

Si le damos a la x un valor que se acerque a -1 por la izquierda como -1.1; tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por la izquierda será: +\infty

\displaystyle \frac{-1.1-1}{-1.1+1}=\frac{-2.1}{-0.1}=21

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{x-1}{x+1}=\infty

 

Límite por la derecha

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el límite por la derecha será: -\infty

\displaystyle \frac{-0.9-1}{-0.9+1}=\frac{-1.9}{0.1}=-19

\displaystyle \lim_{x\rightarrow -1^-} \frac{x-1}{x+1}=-\infty

 

Como el límite por la izquierda y derecha no son iguales se concluye que no existe el límite en x = −1

 

 

 

Este caso aplica cuando tenemos una fracción que tiene un radical, generalmente en el denominador.

A continuación se explica el procedimiento para obtener el límite cuando tienes una indeterminación del tipo cero entre cero.

 

1 Al intentar calcular el límite, se identifica la indeterminación del tipo cero sobre cero

 

2 Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión irracional.

 

\begin{matrix} \text{Expresi\'on} & \text{Conjugado}\\ a+\sqrt{b} & a-\sqrt{b}\\ a-\sqrt{b} & a+\sqrt{b} \end{matrix}

 

Ejemplo:

 

\begin{matrix} \text{Expresi\'on} & & \text{Conjugado}\\ \\ 3+\sqrt{7} & & 3-\sqrt{7}\\ \\ 2x-5\sqrt{x^2-1} & & 2x+5\sqrt{x^2-1} \end{matrix}

 

3 Se realizan las operaciones y se simplifica la fracción

 

Toma en cuenta que una expresión irracional multiplicada por su conjugado, da como resultado una diferencia de cuadrados

 

(a+\sqrt{b})(a-\sqrt{b})=a^2-b

 

Ejemplo:

 

  • (3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=9-5

  • (\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{2}-\sqrt{5})=2-5

  • (1+3\sqrt{5})(1-3\sqrt{5})=1-9\cdot 5=1-45

 

4 Se calcula el límite de la expresión simplificada

 

Ejemplo

  • \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1-\sqrt{1-x}}

 

1 Al intentar calcular el límite, se identifica la indeterminación del tipo cero sobre cero

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{1-\sqrt{1-x}}

 

2 Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(1+\sqrt{1-x})}{(1-\sqrt{1-x})(1+\sqrt{1-x})}

 

3 Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

 

En el denominador tenemos una suma por diferencia (binomios conjugados) que será igual a diferencia de cuadrados

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x(1+\sqrt{1-x})}{1-(1-x)}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cancel{x}(1+\sqrt{1-x})}{\cancel{x}}=\lim_{x\rightarrow 0} 1+\sqrt{1-x}

 

4 Calculamos el límite

 

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0} 1+\sqrt{1-x}=1+\sqrt{1-0}=2

 

El límite es 2

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗