Definición de deciles

 

Los deciles son los nueve valores que dividen una serie de datos ordenados en diez partes iguales.

 

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

 

El quinto decil coincide con la mediana:D_5=Me. Pero también, coincide con el segundo cuartil:D_5=Q_2Me.

 

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra    \displaystyle {\frac{k\cdot N}{10}, \quad k=1,2,...,9},   en la tabla de las frecuencias acumuladas.

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i \qquad k=1,2,...,9}

 

L_i es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil i-ésimo.

 

N es la suma de las frecuencias absolutas.

 

F_{i-1} es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil i-ésimo.

 

a_i  es la amplitud de la clase o longitud del intervalo correspondiente a la clase del decil i-ésimo.

 

Ejercicio de deciles

 

Calcular los deciles de la distribución de la tabla.

 

f_i
[50, 60)8
[60, 70)10
[70, 80)16
[80, 90)14
[90, 100)10
[100, 110)5
[110, 120)2

 

Solución:

En primer lugar crearemos una nueva columna con los valores de la frecuencia acumulada. Para obtener la frecuencia acumulada realizamos lo que se indica:

 

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta. En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a N=65 .

 

f_iF_i
[50, 60)88
[60, 70)1018
[70, 80)1634
[80, 90)1448
[90, 100)1058
[100, 110)563
[110, 120)
2

 

65
65

 

Cálculo del primer decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{1\cdot 65}{10}= 6.5}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 6.5.

 

La clase de D_i es: [50, 60)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 50

F_{i-1}= 0

f_i= 8

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_1 = 50 + \frac{6.5-0}{8}\cdot 10 = 58.12}

 

Cálculo del segundo decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

 \displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{2\cdot 65}{10}= 13}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 13.

 

La clase de D_2 es: [60, 70)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 60

F_{i-1}= 8

f_i= 10

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_2 = 60 + \frac{13-8}{10}\cdot 10 = 65 }

 

Cálculo del tercer decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{3\cdot 65}{10}= 19.5}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 19.5.

 

La clase de D_3 es: [70, 80)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 70

F_{i-1}= 18

f_i= 16

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_3 = 70 + \frac{19.5-18}{16}\cdot 10 = 70.94 }

 

Cálculo del cuarto decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{4\cdot 65}{10}= 26}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 26 .

 

La clase de D_4 es: [70, 80)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 70

F_{i-1}= 18

f_i= 16

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_4 = 70 + \frac{26-18}{16}\cdot 10 = 75 }

 

Cálculo del quinto decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{5\cdot 65}{10}= 32.5}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a  32.5 .

 

La clase de D_5 es: [70, 80)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 70

F_{i-1}= 18

f_i= 16

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_5 = 70 + \frac{32.5-18}{16}\cdot 10 = 79.06}

 

Cálculo del sexto decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{6\cdot 65}{10}= 39}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i)  el intervalo que contiene a 39.

 

La clase de D_6 es: [80, 90)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 80

F_{i-1}= 34

f_i= 14

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_6 = 80 + \frac{39-34}{14}\cdot 10 = 83.57 }

 

Cálculo del séptimo decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{7\cdot 65}{10}= 45.5}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 45.5.

 

La clase de D_7 es: [80, 90)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 80

F_{i-1}= 34

f_i= 14

a_i = 10

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_7 = 80 + \frac{45.5-34}{14}\cdot 10 = 88.21 }

 

Cálculo del octavo decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{8\cdot 65}{10}= 52}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 52.

 

La clase de D_8 es: [90, 100)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 90

F_{i-1}= 48

f_i= 10

a_i = 10

 

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_8 = 90 + \frac{52-48}{10}\cdot 10 = 94}

 

Cálculo del noveno decil

 

Buscamos la clase donde se encuentra el primer decil:

 

\displaystyle {\frac{k\cdot N}{10} = \frac{9\cdot 65}{10}= 58.5}

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 58.5.

 

La clase de D_9 es: [100, 110)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i= 100

F_{i-1}= 58

f_i= 5

a_i = 10

 

 

\displaystyle {D_k = L_i + \frac{\frac{k\cdot N}{10} - F_{i-1}}{f_i}\cdot a_i }

\displaystyle {D_9 = 100 + \frac{58.5-58}{5}\cdot 10 =101 }

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗