Name: Media aritmetica, medida de tendencia central
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Definición
Media aritmética para datos agrupados
Ejercicio de media aritmética para datos agrupados
Propiedades de la media aritmética
Observaciones sobre la media aritmética

Definición

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Denotamos la media con el símbolo $\overline{X}$ y la calculamos de la siguiente manera

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{N}{x_i}}{N}\\ \end{align*}$

en donde cada $x_i$ representa uno de nuestros datos y $N$ es el número total de datos que tenemos.

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: $84, 91, 72, 68, 87$ y $78 \; \text{kg}$ .

Hallar el peso medio.

Primero, notemos que tenemos seis datos, por lo tanto, $N = 6$ . Procedamos a calcular la media

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78}{6}\\ &= \frac{480}{6}\\ &= 80 \end{align*}$

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Media aritmética para datos agrupados

Cuando los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la
media es distinta. Supongamos que tenemos $K$ clases diferentes en nuestra tabla de frecuencias, en donde para cada clase $C_i$ , tenemos su media $x_i$ y su frecuencia $f_i$ correspondiente, entonces calculamos la media como:

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \cdots + x_K \cdot f_K}{f_1 + f_2 + \cdots + f_K}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{K}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ \end{align*}$

Debemos observar que ahora $N$ es la suma de las frecuencias de cada clase, esto es

$N = \sum_{j=1}^{K}{f_j}$ .

Además, cuando cada grupo o clase es un intervalo, la media de dicho intervalo es simplemente el punto medio entre los límites, así, suponiendo que un grupo es el intervalo $(a, b)$ , entonces su media es $\frac{a + b}{2}$ .

Como observación a considerar, notemos que al tener una tabla de frecuencias, al agrupar los datos, sustituimos cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece, y que la suma de todas las frecuencias es igual a la cantidad de datos que tendríamos si no agrupáramos, por lo tanto, al calcular la media en datos agrupados, lo que hacemos es simplemente reemplazar cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece. En caso de tener datos no agrupados, en general es mejor no agrupar ya que esto implica pérdida de información.

Ejercicio de media aritmética para datos agrupados

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla.

Calcula la puntuación media.

	$x_i$	$f_i$
$[10, 20)$	$15$	$1$
$[20, 30)$	$25$	$8$
$[30,40)$	$35$	$10$
$[40, 50)$	$45$	$9$
$[50, 60)$	$55$	$8$
$[60,70)$	$65$	$4$
$[70, 80)$	$75$	$2$

Podemos observar como cada $x_i$ es punto medio del correspondiente intervalo.

Para obtener la media, en primer lugar, vamos a calcular la sumatoria de $x_i \cdot f_i$ , crearemos una nueva columna para los productos de la variable con su correspondiente frecuencia absoluta y lo sumaremos todo. También tenemos que calcular $N$ que es la sumatoria de las frecuencias absolutas.

	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
$[10, 20)$	$15$	$1$	$15$
$[20, 30)$	$25$	$8$	$200$
$[30,40)$	$35$	$10$	$350$
$[40, 50)$	$45$	$9$	$405$
$[50, 60)$	$55$	$8$	$440$
$[60,70)$	$65$	$4$	$260$
$[70, 80)$	$75$	$2$	$150$
Sumas:		$42$	$1820$

Entonces, utilizando nuestros datos, la media está dada por

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{7}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ &= \frac{1820}{42}\\ &= 43.33 \end{align*}$

Propiedades de la media aritmética

Primero, una definición que nos ayudará a entender mejor las definiciones. Sea $x_1, x_2, \cdots x_N$ un conjunto de datos y $\overline{X}$ la media de los datos, entonces, definimos la desviación de un dato, $x_i$ , respecto a la media como

$\qquad x_i - \overline{X}\qquad$ .

1. La suma de las desviaciones de todos los datos de una distribución
respecto a la media de la misma igual a cero. Esto es

$\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})} = \sum_{i= 1}^{N}{(\overline{X} - x_i)} = 0$

La suma de las desviaciones de los números $8, 3, 5, 12, 10$ de su media aritmética $7.6$ es igual a $0$ :

$\begin{align*} \sum_{i= 1}^{5}{(x_i - \overline{X})} &= (8-7.6) + (3-7.6) + (5-7.6)\\ &+ (12-7.6) + (10 -7.6)\\ &= 0.4 - 4.6 - 2.6 + 4.4 + 2.4\\ &= 0 \end{align*}$

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. En otras palabras, lo siguiente siempre se cumple

$\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})^2} \leq \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - a)^2}, \qquad a \in \mathbb{R}.$

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética de estos nuevos datos es a la media de los anteriores más la misma cantidad que se le sumó a los datos. Esto es, suponiendo que tenemos los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$ con media $\overline{X}$ , ahora, si le sumamos a todos los datos una cantidad $a$ , $x_1 + a, x_2 + a, \dots, x_N + a$ , la media de estos nuevos datos es

$\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} + a$

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número. Esto es, suponiendo que tenemos los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$ con media $\overline{X}$ , ahora, si multiplicamos a todos los datos por una cantidad $a$ , $x_1 \cdot a, x_2 \cdot a, \dots, x_N \cdot a$ , la media de estos nuevos datos es

$\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} \cdot a$

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas, también conocidos como valores atípicos. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

$65 \; \text{kg}, 69 \; \text{kg}, 65 \; \text{kg}, 72 \; \text{kg}, 66 \; \text{kg}, 75 \; \text{kg}, 70 \; \text{kg}, 110 \; \text{kg}$ .

La media es igual a $74 \; \text{kg}$ , que es una medida de centralización poco representativa
de la distribución, sin embargo esto pasa porque tenemos un dato muy alejado a los demás, $110$ .

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

	$x_i$	$f_i$
$[60, 63)$	$61.5$	$5$
$[63, 66)$	$64.5$	$18$
$[66, 69)$	$67.5$	$42$
$[69, 72)$	$70.5$	$27$
$[72, \infty )$		$8$
		$100$

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase
de último intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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oriana

Septiembre 2019

muy buen articulo !

Acosta

Octubre 2019

Muchas gracias, muy bueno. Por favor colocar fecha de publicación.

María sanchez

Septiembre 2020

Una pregunta , debo calcular la media aritmética pero me a parece un cera en los datos y no se si incluirlo o no , paro poder dividirlo con lo que me dio la suma

Superprof

Octubre 2020

Hola MAría, si hay que incluir todos los números en el cálculo. ¡Un saludo!

Gonzalez ruiz

Octubre 2019

Muy bueno

Mateo

Octubre 2019

Thanks ☺

Superprof

Octubre 2019

You’re welcome!

Gpe gardea

Abril 2021

Hola se puede sacar lamefia aritmetica de palabras?

Andrés Felipe Castillo Álvarez

Julio 2020

Muy buena💯💯

Snaider

Julio 2020

1-Una lancha atraviesa un rio de 150 mts de ancho en direccion perpendicular a la corriente, la velocidad de la lancha con respecto al agua es de 23 m/s, y se mueve a 42 m/s.
Calcular:

La velocidad de la lancha respecto a la tierra
La velocidad de la corriente respecto a la tierra
La direccion del desplazamiento

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto 2020

¡Hola!

1) En el problema se te menciona que la lancha es 42 m/s (donde 23 m/s es la velocidad respecto al agua). Como no se menciona respecto a qué marco se da esta velocidad, entonces se supone que es respecto a la tierra. Es decir, la velocidad de la lancha respecto a la tierra es 42 m/s.

2) Como ya tenemos la velocidad respecto a la tierra y la velocidad respecto al agua, entonces podemos calcular la velocidad respecto al agua. Sabemos que la velocidad respecto a la tierra es la suma (vectorial) de la velocidad del agua respecto a la tierra y la velocidad de la lancha respecto al agua (como se ve en la figura). Entonces podemos utilizar el teorema de pitágoras para determinar la velocidad (en realidad estamos hablando de rapidez):

$v_a = \sqrt{42^2 - 23^2} = 35.14$

Es decir, la velocidad del agua respecto a la tierra es de 35.14 m/s

3) Por último necesitamos determinar la dirección del desplazamiento. No tenemos un marco de referencia (o algún sistema coordenado), pero esto no debe ser ningún problema. Podemos dar la respuesta según el ángulo que se forma con la corriente. Tenemos que

$\sin \theta = \frac{23}{42} = 0.5476$

Calculando el arcoseno, obtenemos que $\theta = \arcsin 0.5476 = 0.5795$ . Es decir, la dirección del desplazamiento forma un ángulo de 0.5795 radianes de la dirección de la corriente del agua.

La gráfica es la siguiente:
vectores

Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas.

Luisa Dayara

Agosto 2020

1._ el tema es Promedio de Razonamiento Lógico

el ejercicio es :

1._ la media aritmética de veinte números es 14 , mientras que la media aritmética de otros treintas es 22 . Determinar la media aritmética de todos los números

me dan al ter nativas que son :

a) 18,8 b) 17,5 c) 16,8 d) 20,8 e) 13,8

la fecha es 29/08/2020

Gaspar Leon

Octubre 2020

Hola,

la media de 20 números que es igual a 14 se escribe de la forma

$\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{20} x_i}{20} =14$

entonces

$\displaystyle \sum_{i=1}^{20} x_i =(14)(20)$

La media de los otros 30 números que es igual a 22 se escribe de la forma

$\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{30} y_i}{30} =22$

entonces

$\displaystyle \sum_{j=1}^{30} y_i =(22)(30)$

La media aritmética de todos los números viene dada por

$\displaystyle \frac{\left(\displaystyle\sum_{i=i}^{20} x_i\right) + \left(\displaystyle\sum_{j=1}^{30} y_i\right)}{20+30}=\frac{(14)(20)+(22)(30)}{50} =18.8$

Espero te sea de utilidad.
Un saludo.

ashley

Septiembre 2020

no entiendo nada, soy muy mala para la mate😪😕

nuria

Mayo 2021

Y yooo 🙁

HELEN DAYANA CORAL ERASO

Septiembre 2020

Seis familiares viven en las ciudades que se detallan en el siguiente diagrama(las distancias entre ciudad y
ciudad aparecen en kilómetros).
34 kms ____________ 63 kms_____________ 33kms ___________99 kms _________________46kms
Ahuac. Sta. Ana S.S Cojute. SanMiguel La Unión
Si desean reunirse en la casa de uno cualquiera de ellos, para celebrar juntos la navidad. ¿Dónde deberán hacerlo
para que el número medio de kilómetros recorridos por todos sea mínimo., en qué lugar el número medio de
kilómetros recorridos por todos sería máximo?.

daniela ramos

Enero 2021

Dadas las siguientes observaciones de frecuencia: determine el valor de la media aritmetica

Seleccione una:
a. Media = 2,39
b. Media = 2,93
c. Media = 3,39
d. Media = 3,93

Jesja

Enero 2021

La media aritmética de una variable cuántica a siempre es un valor de la variable??

candelaria

Junio 2021

una duda : la media de 10 numeros es 75.cual es el promedio si se añade 80 y 76

ANDREA

Septiembre 2021

¿la media aritmética, siempre coincide con algún valor del conjunto o podría a veces no coincidir? ¿PORQUE ?

Superprof

Septiembre 2021

Hola, Andrea:

La media aritmética no tiene por qué coincidir con alguno de los valores, como en el ejemplo del artículo. Te pongo aquí otro ejemplo:

Imagina que en una asignatura has hecho 2 exámenes, en el primero tienes un 4 y en el segundo un 6.

4 + 6 = 10
10/2 = 5

En este caso la media es 5 y no coincide con ninguno de los valores.

¡Un saludo!

Nadia Ruiz

Diciembre 2021

Buen dia, tengo una consulta me dan 2 tablas de frecuencias con intervalos de clase para calcular cual es mas homogenea, el tema es que no todos los intervalos estan cerrados, 0 / 1-2 / 3-4 / 5-6 / 7. Es igual para las dos tablas. El 7 no hay problema sigo el criterio de la misma amplitud lo cierro en 8, pero el 0 no tengo forma, lo dejo asi que me va a dar 0.

La media aritmética

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Media aritmética para datos agrupados

Ejercicio de media aritmética para datos agrupados

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