Name: Media aritmetica, medida de tendencia central
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Temas

Definición
Media aritmética para datos agrupados
Ejercicio de media aritmética para datos agrupados
Propiedades de la media aritmética
Observaciones sobre la media aritmética

Definición

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Denotamos la media con el símbolo $\overline{X}$ y la calculamos de la siguiente manera

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{N}{x_i}}{N}\\ \end{align*}$

en donde cada $x_i$ representa uno de nuestros datos y $N$ es el número total de datos que tenemos.

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: $84, 91, 72, 68, 87$ y $78 \; \text{kg}$ .

Hallar el peso medio.

Primero, notemos que tenemos seis datos, por lo tanto, $N = 6$ . Procedamos a calcular la media

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78}{6}\\ &= \frac{480}{6}\\ &= 80 \end{align*}$

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Media aritmética para datos agrupados

Cuando los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la
media es distinta. Supongamos que tenemos $K$ clases diferentes en nuestra tabla de frecuencias, en donde para cada clase $C_i$ , tenemos su media $x_i$ y su frecuencia $f_i$ correspondiente, entonces calculamos la media como:

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \cdots + x_K \cdot f_K}{f_1 + f_2 + \cdots + f_K}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{K}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ \end{align*}$

Debemos observar que ahora $N$ es la suma de las frecuencias de cada clase, esto es

$N = \sum_{j=1}^{K}{f_j}$ .

Además, cuando cada grupo o clase es un intervalo, la media de dicho intervalo es simplemente el punto medio entre los límites, así, suponiendo que un grupo es el intervalo $(a, b)$ , entonces su media es $\frac{a + b}{2}$ .

Como observación a considerar, notemos que al tener una tabla de frecuencias, al agrupar los datos, sustituimos cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece, y que la suma de todas las frecuencias es igual a la cantidad de datos que tendríamos si no agrupáramos, por lo tanto, al calcular la media en datos agrupados, lo que hacemos es simplemente reemplazar cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece. En caso de tener datos no agrupados, en general es mejor no agrupar ya que esto implica pérdida de información.

Ejercicio de media aritmética para datos agrupados

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla.

Calcula la puntuación media.

	$x_i$	$f_i$
$[10, 20)$	$15$	$1$
$[20, 30)$	$25$	$8$
$[30,40)$	$35$	$10$
$[40, 50)$	$45$	$9$
$[50, 60)$	$55$	$8$
$[60,70)$	$65$	$4$
$[70, 80)$	$75$	$2$

Podemos observar como cada $x_i$ es punto medio del correspondiente intervalo.

Para obtener la media, en primer lugar, vamos a calcular la sumatoria de $x_i \cdot f_i$ , crearemos una nueva columna para los productos de la variable con su correspondiente frecuencia absoluta y lo sumaremos todo. También tenemos que calcular $N$ que es la sumatoria de las frecuencias absolutas.

	$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$
$[10, 20)$	$15$	$1$	$15$
$[20, 30)$	$25$	$8$	$200$
$[30,40)$	$35$	$10$	$350$
$[40, 50)$	$45$	$9$	$405$
$[50, 60)$	$55$	$8$	$440$
$[60,70)$	$65$	$4$	$260$
$[70, 80)$	$75$	$2$	$150$
Sumas:		$42$	$1820$

Entonces, utilizando nuestros datos, la media está dada por

$\begin{align*} \overline{X} &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{7}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ &= \frac{1820}{42}\\ &= 43.33 \end{align*}$

Propiedades de la media aritmética

Primero, una definición que nos ayudará a entender mejor las definiciones. Sea $x_1, x_2, \cdots x_N$ un conjunto de datos y $\overline{X}$ la media de los datos, entonces, definimos la desviación de un dato, $x_i$ , respecto a la media como

$\qquad x_i - \overline{X}\qquad$ .

1. La suma de las desviaciones de todos los datos de una distribución
respecto a la media de la misma igual a cero. Esto es

$\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})} = \sum_{i= 1}^{N}{(\overline{X} - x_i)} = 0$

La suma de las desviaciones de los números $8, 3, 5, 12, 10$ de su media aritmética $7.6$ es igual a $0$ :

$\begin{align*} \sum_{i= 1}^{5}{(x_i - \overline{X})} &= (8-7.6) + (3-7.6) + (5-7.6)\\ &+ (12-7.6) + (10 -7.6)\\ &= 0.4 - 4.6 - 2.6 + 4.4 + 2.4\\ &= 0 \end{align*}$

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. En otras palabras, lo siguiente siempre se cumple

$\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})^2} \leq \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - a)^2}, \qquad a \in \mathbb{R}.$

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética de estos nuevos datos es a la media de los anteriores más la misma cantidad que se le sumó a los datos. Esto es, suponiendo que tenemos los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$ con media $\overline{X}$ , ahora, si le sumamos a todos los datos una cantidad $a$ , $x_1 + a, x_2 + a, \dots, x_N + a$ , la media de estos nuevos datos es

$\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} + a$

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número. Esto es, suponiendo que tenemos los datos $x_1, x_2, \dots, x_N$ con media $\overline{X}$ , ahora, si multiplicamos a todos los datos por una cantidad $a$ , $x_1 \cdot a, x_2 \cdot a, \dots, x_N \cdot a$ , la media de estos nuevos datos es

$\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} \cdot a$

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas, también conocidos como valores atípicos. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

$65 \; \text{kg}, 69 \; \text{kg}, 65 \; \text{kg}, 72 \; \text{kg}, 66 \; \text{kg}, 75 \; \text{kg}, 70 \; \text{kg}, 110 \; \text{kg}$ .

La media es igual a $74 \; \text{kg}$ , que es una medida de centralización poco representativa
de la distribución, sin embargo esto pasa porque tenemos un dato muy alejado a los demás, $110$ .

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

	$x_i$	$f_i$
$[60, 63)$	$61.5$	$5$
$[63, 66)$	$64.5$	$18$
$[66, 69)$	$67.5$	$42$
$[69, 72)$	$70.5$	$27$
$[72, \infty )$		$8$
		$100$

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase
de último intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de estadistica descriptiva

Teoría

Diagrama de barras y poligonos de frecuencias

¿Que es una histograma?

¿Que es la mediana y como calcularla?

Deciles, medidas de posición

Percentiles – ¿Qué son y cómo calcularlos?

Desviacion tipica concepto y calculo

Coeficiente de variacion y puntuaciones tipicas

Gráficas de estadística

La varianza, medida de dispercion

Estadistica

Tablas de frecuencia y marcas de clase

Parametros estadisticos

Desviacion absoluta promedio

Calculo de cuartiles para datos agrupados

Moda medida de tendencia central

Diagrama de sectores

Variables estadisticas

Poligonos de frecuencia

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de variables estadisticas

Ejercicios interactivos de tablas estadísticas

Ejercicios interactivos de diagramas de barras y polígonos de frecuencias

Ejercicios interactivos de la mediana

Ejercicios interactivos de diagramas de sectores

Ejercicios interactivos de la moda

Ejercicios interactivos de la desviación típica

Ejercicios interactivos de desviacion media

Ejercicios interactivos de la varianza

Ejercicios interactivos de la media aritmética

Ejercicios interactivo de estadistica

Otros ejercicios

Ejercicios de la moda

Ejercicios resueltos de la media aritmetica

Ejercicios y problemas de la varianza

Ejercicios de desviacion tipica

Ejercicios y problemas de desviacion media

Ejercicios de deciles

Ejercicios de estadistica I

Ejercicios de la mediana

Ejercicios de calculo de percentiles

Ejercicios de estadistica II

Ejercicios de tablas estadisticas

Ejercicios resueltos de frecuencias

Ejercicios resueltos de cuartiles

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Nadia Ruiz

Diciembre 2021

Buen dia, tengo una consulta me dan 2 tablas de frecuencias con intervalos de clase para calcular cual es mas homogenea, el tema es que no todos los intervalos estan cerrados, 0 / 1-2 / 3-4 / 5-6 / 7. Es igual para las dos tablas. El 7 no hay problema sigo el criterio de la misma amplitud lo cierro en 8, pero el 0 no tengo forma, lo dejo asi que me va a dar 0.

ANDREA

Septiembre 2021

¿la media aritmética, siempre coincide con algún valor del conjunto o podría a veces no coincidir? ¿PORQUE ?

Suco aman

Febrero 2022

Medidas de Tendencia Central

Valor de las medidas de Tendencia Central
Media Aritmética

0,06
Mediana

1,63
Moda

1,66
Ancho del Intervalo

1,65
Ayudaaaaaaa dónde la media mediana y moda

Superprof

Septiembre 2021

Hola, Andrea:

La media aritmética no tiene por qué coincidir con alguno de los valores, como en el ejemplo del artículo. Te pongo aquí otro ejemplo:

Imagina que en una asignatura has hecho 2 exámenes, en el primero tienes un 4 y en el segundo un 6.

4 + 6 = 10
10/2 = 5

En este caso la media es 5 y no coincide con ninguno de los valores.

¡Un saludo!

candelaria

Junio 2021

una duda : la media de 10 numeros es 75.cual es el promedio si se añade 80 y 76

Jesja

Enero 2021

La media aritmética de una variable cuántica a siempre es un valor de la variable??

daniela ramos

Enero 2021

Dadas las siguientes observaciones de frecuencia: determine el valor de la media aritmetica

Seleccione una:
a. Media = 2,39
b. Media = 2,93
c. Media = 3,39
d. Media = 3,93