Definición

 

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Denotamos la media con el símbolo \overline{X} y la calculamos de la siguiente manera

 

     \begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{N}{x_i}}{N}\\ \end{align*}

 

en donde cada x_i representa uno de nuestros datos y N es el número total de datos que tenemos.

 

Ejemplo:

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 \; \text{kg}.

 

Hallar el peso medio.

 

Primero, notemos que tenemos seis datos, por lo tanto, N = 6. Procedamos a calcular la media

 

     \begin{align*} \overline{X} &= \frac{84 + 91 + 72 + 68 + 87 + 78}{6}\\ &= \frac{480}{6}\\ &= 80 \end{align*}

 

 

Cuando los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la
media es distinta. Supongamos que tenemos K clases diferentes en nuestra tabla de frecuencias, en donde para cada clase C_i, tenemos su media x_i y su frecuencia f_i correspondiente, entonces calculamos la media como:

 

     \begin{align*} \overline{X} &= \frac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \cdots + x_K \cdot f_K}{f_1 + f_2 + \cdots + f_K}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{K}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{K}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ \end{align*}

 

Debemos observar que ahora N es la suma de las frecuencias de cada clase, esto es

 

N = \sum_{j=1}^{K}{f_j}.

 

Además, cuando cada grupo o clase es un intervalo, la media de dicho intervalo es simplemente el punto medio entre los límites, así, suponiendo que un grupo es el intervalo (a, b), entonces su media es \frac{a + b}{2}.

 

Como observación a considerar, notemos que al tener una tabla de frecuencias, al agrupar los datos, sustituimos cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece, y que la suma de todas las frecuencias es igual a la cantidad de datos que tendríamos si no agrupáramos, por lo tanto, al calcular la media en datos agrupados, lo que hacemos es simplemente reemplazar cada dato por la media del grupo o clase al que pertenece. En caso de tener datos no agrupados, en general es mejor no agrupar ya que esto implica pérdida de información.

 

Ejercicio de media aritmética para datos agrupados

 

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones
que muestra la tabla.

 

Calcula la puntuación media.

 

x_if_i
[10, 20)151
[20, 30)258
[30,40)3510
[40, 50)459
[50, 60)558
[60,70)654
[70, 80)752

 

Podemos observar como cada x_i es punto medio del correspondiente intervalo.

 

Para obtener la media, en primer lugar, vamos a calcular la sumatoria de x_i \cdot f_i, crearemos una nueva columna para los productos de la variable con su correspondiente frecuencia absoluta y lo sumaremos todo. También tenemos que calcular N que es la sumatoria de las frecuencias absolutas.

 

x_if_ix_i \cdot f_i
[10, 20)15115
[20, 30)258200
[30,40)3510350
[40, 50)459405
[50, 60)558440
[60,70)654260
[70, 80)752150
Sumas:421820

 

Entonces, utilizando nuestros datos, la media está dada por

 

     \begin{align*} \overline{X} &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{\sum_{j=1}^{7}{f_j}}\\ &= \frac{\sum_{i=1}^{7}{x_i \cdot f_i}}{N}\\ &= \frac{1820}{42}\\ &= 43.33 \end{align*}

 

Propiedades de la media aritmética

 

Primero, una definición que nos ayudará a entender mejor las definiciones. Sea x_1, x_2, \cdots x_N un conjunto de datos y \overline{X} la media de los datos, entonces, definimos la desviación de un dato, x_i, respecto a la media como

 

\qquad x_i - \overline{X}\qquad.

 

1. La suma de las desviaciones de todos los datos de una distribución
respecto a la media de la misma igual a cero. Esto es

 

\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})} = \sum_{i= 1}^{N}{(\overline{X} - x_i)} = 0

 

La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

 

     \begin{align*} \sum_{i= 1}^{5}{(x_i - \overline{X})} &= (8-7.6) + (3-7.6) + (5-7.6)\\ &+ (12-7.6) + (10 -7.6)\\ &= 0.4 - 4.6 - 2.6 + 4.4 + 2.4\\ &= 0 \end{align*}

 

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética. En otras palabras, lo siguiente siempre se cumple

 

\displaystyle \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - \overline{X})^2} \leq \sum_{i= 1}^{N}{(x_i - a)^2}, \qquad a \in \mathbb{R}.

 

3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética de estos nuevos datos es a la media de los anteriores más la misma cantidad que se le sumó a los datos. Esto es, suponiendo que tenemos los datos x_1, x_2, \dots, x_N con media \overline{X}, ahora, si le sumamos a todos los datos una cantidad a, x_1 + a, x_2 + a, \dots, x_N + a, la media de estos nuevos datos es

 

\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} + a

 

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media
aritmética queda multiplicada por dicho número. Esto es, suponiendo que tenemos los datos x_1, x_2, \dots, x_N con media \overline{X}, ahora, si multiplicamos a todos los datos por una cantidad a, x_1 \cdot a, x_2 \cdot a, \dots, x_N \cdot a, la media de estos nuevos datos es

 

\displaystyle \overline{X_a} = \overline{X} \cdot a

 

Observaciones sobre la media aritmética

 

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

 

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

 

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas, también conocidos como valores atípicos. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

 

65 \; \text{kg}, 69 \; \text{kg}, 65 \; \text{kg}, 72 \; \text{kg}, 66 \; \text{kg}, 75 \; \text{kg}, 70 \; \text{kg}, 110 \; \text{kg}.

 

La media es igual a 74 \; \text{kg}, que es una medida de centralización poco representativa
de la distribución, sin embargo esto pasa porque tenemos un dato muy alejado a los demás, 110.

 

 

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

 

x_if_i
[60, 63)61.55
[63, 66)64.518
[66, 69)67.542
[69, 72)70.527
[72, \infty )8
100

 

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase
de último intervalo.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗