1 Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

 

a  2, 3, 6, 8, 11.

b 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

Solución:

a Para la serie de números x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=6, x_{4}=8, x_{5}=11 con n=5=N tenemos los siguientes cálculos.

Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.

Media

\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }

\displaystyle { \bar{x} = \frac{2+3+6+8+11}{5} =  6 }

Luego, calculamos el valor de la desviación media.

Desviación media

\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }

\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid 2 - 6 \mid + \mid 3 - 6 \mid +\mid 6 - 6 \mid + \mid 8-6 \mid + \mid 11-6 \mid}{5}= \frac{14}{5} = 2.8 }

Ahora, calculamos el valor de la varianza.

Varianza

\displaystyle{\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }

\displaystyle{ \sigma^2=\frac{(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(11-6)^2}{5} = \frac{54}{5}= 10.8 }

Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.

Desviación típica

\displaystyle{\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }

\displaystyle{ \sigma = \sqrt{10.8} = 3.28 }

 

b Para la serie de números x_{1}=12, x_{2}=6, x_{3}=7, x_{4}=3, x_{5}=15, x_{6}=10, x_{7}=18, x_{8}=5 con n=8=N tenemos los siguientes cálculos.

 

Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.

Media

\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }

\displaystyle { \bar{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = \frac{76}{8}=9.5 }

Luego, calculamos el valor de la desviación media.

Desviación media

\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }

\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid 12 - 9.5 \mid + \mid 6 - 9.5 \mid +\mid 7 - 9.5 \mid + \mid 3-9.5 \mid + \mid 15-9.5 \mid + \mid 10-9.5 \mid + \mid 18-9.5 \mid + \mid 5-9.5 \mid}{8}= \frac{34}{8} = 4.25 }

Ahora, calculamos el valor de la varianza.

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }

\displaystyle { \sigma^2 = \frac{12^2+6^2+7^2+3^2+15^2+10^2+18^2+5^2}{8}-9.5^2 = 23.75 }

Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.

Desviación típica

\displaystyle {\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }

\displaystyle { \sigma = \sqrt{23.75} = 4.87}

 

2Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez. Calcular la varianza.

 

MesesNiños
91
104
119
1216
1311
148
151

Solución:

Completamos la tabla con:

1 El producto de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) para calcular la media.

2 El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (xi² · fi) para calcular la varianza y la desviación típica.

 

xifixi · fii · fi
91981
10440400
119991089
12161922304
13111431859
1481121568
15115225
506107526

 

Media aritmética

\displaystyle {\bar{x}=\frac{610}{50} = 12.2}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{7526}{50} - 12.2^2 = 1.68}

 

3El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla. Calcular la varianza.

 

SumasVeces
23
38
49
511
620
719
816
913
1011
116
124

 

Solución:

Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xifixi · fixi² · fi
23612
382472
4936144
51155275
620120720
719133931
8161281024
9131171053
10111101100
11666726
12448576
1208436633

 

Media aritmética

\displaystyle {\bar{x}=\frac{843}{120} = 7.025}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{6633}{120} - 7.025^2 = 5.92}

 

4Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla.

 

fi
[10, 15)3
[15, 20)5
[20, 25)7
[25, 30)4
[30, 35)2

Solución:

Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xi fixi · fix · fi
[10, 15)12.5337.5468.75
[15, 20)17.5587.51531.25
[20, 25)22.57157.53543.75
[25, 30)27.541103025
[30, 35)32.52652112.5
21457.510681.25

 

Solución:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{10681.25}{21} - 21.79^2=33.83 }

 

5Calcular la varianza de la distribución de la tabla.

 

xifixi · fixi² · fi
[10, 20)15115225
[20, 30)2582005000
[30,40)351035012 250
[40, 50)45940518 225
[50, 60)55844024 200
[60,70)65426016 900
[70, 80)75215011 250
421 82088 050

 

Solución:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{1820}{42} = 43.33}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{88050}{42} - 43.33^2=218.94 }

 

6Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla. Calcula la varianza.

 

AlturaNº de Jugadores
[1.70, 1.75)1
[1.75, 1.80)3
[1.80, 1.85)4
[1.85, 1.90)8
[1.90, 1.95)5
[1.95, 2.00)2

 

Solución:

Completamos la tabla con las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xi fi Fi xi · fix · fi
[1.70, 1.75)1.725111.7252.976
[1.75, 1.80)1.775345.3259.452
[1.80, 1.85)1.825487.313.323
[1.85, 1.90)1.8758161528.125
[1.90, 1.95)1.9255219.62518.53
[1.95, 2.00)1.9752233.957.802
2342.92580.213

 

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{42.925}{23} = 1.866}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{80.213}{23} - 1.866^2=0.0056 }

 

7Dada la distribución estadística. Calcular la varianza.

 

fi
[0, 5)3
[5, 10)5
[10, 15)7
[15, 20)8
[20, 25)2
[25, ∞)6

 

xi fiFi
[0, 5)2.533
[5, 10)7.558
[10, 15)12.5715
[15, 20)17.5823
[20, 25)22.5225
[25, ∞)631
31

 

Solución:

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

 

Varianza

Si no hay media no es posible hallar la varianza.

 

8Considérese los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1 Calcular su media y su varianza.

2 Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

 

xixi²
24
39
416
636
864
10100
33229

 

Solución:

1 Media y varianza:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5}

 

Varianza

\displaystyl {\sigma^2=\frac{229}{6} - 5.5^2=7.92 }

 

2 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la media queda multiplicada por 3 y la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

Media

\displaystyle {\bar{x} = 5.5\cdot 3 = 16.5}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=7.92\cdot 3^2 = 71.28 }

 

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Marta

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Garcia
Garcia
Invité
20 Sep.

No entendí absolutamente nada. Desconozco todo de este tema. Pero me gustaría poder aprender, aunque se ve dificil.

Superprof
Superprof
Administrateur
20 Sep.

¡Hola! Te aconsejamos leer la teoría antes de intentar los ejercicios
La estadística no es fácil de entender, pero estamos seguros de que podrás conseguirlo.

Herrera
Herrera
Invité
27 Abr.

Muy bien esta pagina me salvo de muchas cosas que no me explicaron en el colegio, y ahora en las clases online me ha salvado mucho gracias (5 Estrella a esta pagina)

Superprof
Superprof
Administrateur
28 Abr.

¡Muchas gracias! Es un gran placer leer tu comentario :).

Juan
Juan
Invité
27 Abr.

Hallar la varianza y la desviación estándar de la siguiente distribución 4 6 8 9

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
28 Jun.

Buen día,

Tendrías que hacer lo mismo que hicimos en el ejercicio número 1, solo que será incluso más fácil ya que sólo cuentas con 4 datos, te invito a intentarlo, empieza con la media ya que la necesitarás para los demás. Cualquier duda en el proceso, estoy para apoyarte.

Saludos

Cardona restrepo
Cardona restrepo
Invité
6 May.

Determinar las medidas de dispersión para la siguiente serie
10,3. 12,5 13,5, 13,7 8.5 10,1 8,7 9,4
Quién me puede colaborar con este ejercicio

Luis Ernesto Sanchez Perez
Luis Ernesto Sanchez Perez
Editor
12 Jun.

¡Buen día! Resolvamos el ejercicio. Existen diversas medidas de dispersión, entre ellas la desviación media, desviación típica, varianza, rango, etc. Sin embargo, aquí solo te ayudaré a calcular desviación media y varianza (la desviación típica es solo la raíz cuadrada de la varianza, no tiene caso agregarlo). Para poder calcular estas medidas de dispersión, primero necesitamos calcular la media de tus datos. M = (10.3 + 12.5 + 13.5 + 13.7 + 8.5 + 10.1 + 8.7 + 9.4)/8 = 10.8375 Ahora, calculemos la desviación media y la varianza: DM = (|10.8375 – 10.3| + | 10.8375 – 12.5| +… Lire la suite »

Garcia
Garcia
Invité
12 May.

En el problema 2 la respuesta es 1.68, no 12.68

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jun.

Muchas gracias por el comentario y por ayudarnos a mejorar nuestra web. Hemos corregido el error. ¡Un saludo!

alvarado
alvarado
Invité
13 May.

hola, una pregunta, la respuesta del ejercicio 2. la varianza no es 1.68? de ninguna forma me da el 12.68

Superprof
Superprof
Administrateur
8 Jun.

Hola Alvarado, llevas razón, había un error en la página. Gracias por tu comentario y por ayudarnos en la mejora de nuestras respuestas. ¡Un saludo!

Lopez
Lopez
Invité
4 Jun.

Cual es la varíanza de 5,3,1,6 y 10?

Superprof
Superprof
Administrateur
18 Jun.

Hola Lopez, primero tenemos que calcular la media:

(5 + 3 + 1 + 6 + 10)/5 = 25/5 = 5

Ahora podemos calcular la varianza:

[(5-5)^2 + (3-5)^2 + (1-5)^2 + (6-5)^2 + (10 – 5)^2]/5 =
(0 + 4 + 16 + 1 + 25)/5 = 46/5 = 9.2

¡Un saludo!

Simeoni
Simeoni
Invité
17 Jun.

Hola, necesitaría si alguien me puede colaborar con dos ejercicios. Por mail se los paso a los ejercicios.

Superprof
Superprof
Administrateur
1 Jul.

Hola Simeoni, nos puedes escribir los ejercicios en los comentarios directamente. Intentaremos contestarte lo más rápido posible. ¡Un saludo!

David
David
Invité
26 Jun.

Muchas gracias, esta página es lo máximo, me sirvió mucho en estas clases virtuales.

Me graduó este año, y se me dan la
oportunidad de hablar durante el grado no olvidaré mencionar esta página.

Gracias!

Superprof
Superprof
Administrateur
29 Jun.

Muchas gracias por tu comentario David, es un placer enorme leer que nuestro trabajo te ha servido y que te hemos podido acompañar en tu camino de aprendizaje :). Nosotros también pensaremos en ti cada vez que mejoramos nuestras páginas. ¡Un abrazo! <3

Quintero
Quintero
Invité
28 Jun.

Cuando me la dan con m, cm o seg. cómo sería?
Ejemplo:
Calcular la medía, mediana, varianza y desviación estándar de las siguientes observaciones sobre diámetros a la altura del pecho en anotado en una parcela de teca?
0.98m; 0.90m; 1.15m; 0.88m; 1.07m; 0.93m; 0.91m; 1.0m; 0.99m; 0.95m; 0.89m; 1.17m

Superprof
Superprof
Administrateur
6 Jul.

Hola Quintero, resuelves el problema igual como si no hubiera m. ;). ¡Un saludo!

García
García
Invité
5 Jul.

Hola, muy buen día.
Espero me puedan apoyar por favor con dos dudas que tengo en cuanto al primer problema, específicamente el inciso b, siento que son muy absurdas pero no logro comprender.
La primera duda es en cuanto a la desviación media ¿Para que se ocupa realmente? Ademas no me sale el resultado, me sale otro totalmente distinto y es negativo el que me resulta.
La segunda es en cuanto a la varianza, igualmente haciéndola de las dos formas no logro llegar a ese resultado.
Muchas gracias y disculpen las molestias.

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
18 Jul.

Hola,   lo ideal es que todas las observaciones sean iguales por lo que al calcular la media, esta sería igual a la observación; lamentablemente no siempre se tienen las mismas observaciones por lo que podemos calcular el error que existe, para esto al dato le restamos la media pero resulta que al sumar todos los errores, los errores negativos cancelan a los positivos y el resultado es cero. Entonces para evitar lo anterior se consideran los valores absolutos de los errores. Finalment a desviación media puede considerarse como la media o promedio de los errores.   Respecto al resultado… Lire la suite »