1 Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

 

a  2, 3, 6, 8, 11.

b 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

Solución:

a Para la serie de números x_{1}=2, x_{2}=3, x_{3}=6, x_{4}=8, x_{5}=11 con n=5=N tenemos los siguientes cálculos.

Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.

Media

\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }

\displaystyle { \bar{x} = \frac{2+3+6+8+11}{5} =  6 }

Luego, calculamos el valor de la desviación media.

Desviación media

\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }

\displaystyle{ D_{\bar{x}} = \frac{\mid 2 - 6 \mid + \mid 3 - 6 \mid +\mid 6 - 6 \mid + \mid 8-6 \mid + \mid 11-6 \mid}{5}= \frac{14}{5} = 2.8 }

Ahora, calculamos el valor de la varianza.

Varianza

\displaystyle{\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }

\displaystyle{ \sigma^2=\frac{(2-6)^2+(3-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(11-6)^2}{5} = \frac{54}{5}= 10.8 }

Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.

Desviación típica

\displaystyle{\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }

\displaystyle{ \sigma = \sqrt{10.8} = 3.28 }

 

b Para la serie de números x_{1}=12, x_{2}=6, x_{3}=7, x_{4}=3, x_{5}=15, x_{6}=10, x_{7}=18, x_{8}=5 con n=8=N tenemos los siguientes cálculos.

 

Para la desviación media primero necesitamos calcular el valor de la media.

Media

\displaystyle { \bar{x} = \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} }

\displaystyle { \bar{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = \frac{76}{8}=9.5 }

Luego, calculamos el valor de la desviación media.

Desviación media

\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid x_1 - \bar{x} \mid + \mid x_2 - \bar{x} \mid +...+ \mid x_N - \bar{x} \mid}{N} }

\displaystyle { D_{\bar{x}} = \frac{\mid 12 - 9.5 \mid + \mid 6 - 9.5 \mid +\mid 7 - 9.5 \mid + \mid 3-9.5 \mid + \mid 15-9.5 \mid + \mid 10-9.5 \mid + \mid 18-9.5 \mid + \mid 5-9.5 \mid}{8}= \frac{32}{8} = 4 }

Ahora, calculamos el valor de la varianza.

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N} \qquad \mbox{\'o} \qquad \sigma^2=\frac{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2}{N}-\bar{x}^2 }

\displaystyle { \sigma^2 = \frac{12^2+6^2+7^2+3^2+15^2+10^2+18^2+5^2}{8}-9.5^2 = 23.75 }

Y finalmente, calculamos el valor de la desviación típica.

Desviación típica

\displaystyle {\sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+...+(x_n-\bar{x})^2}{N}} }

\displaystyle { \sigma = \sqrt{23.75} = 4.87}

 

2Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez. Calcular la varianza.

 

Meses Niños
9 1
10 4
11 9
12 16
13 11
14 8
15 1

Solución:

Completamos la tabla con:

1 El producto de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) para calcular la media.

2 El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (xi² · fi) para calcular la varianza y la desviación típica.

 

xi fi xi · fi i · fi
9 1 9 81
10 4 40 400
11 9 99 1089
12 16 192 2304
13 11 143 1859
14 8 112 1568
15 1 15 225
50 610 7526

 

Media aritmética

\displaystyle {\bar{x}=\frac{610}{50} = 12.2}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{7526}{50} - 12.2^2 = 12.68}

 

3El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla. Calcular la varianza.

 

Sumas Veces
2 3
3 8
4 9
5 11
6 20
7 19
8 16
9 13
10 11
11 6
12 4

 

Solución:

Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xi fi xi · fi xi² · fi
2 3 6 12
3 8 24 72
4 9 36 144
5 11 55 275
6 20 120 720
7 19 133 931
8 16 128 1024
9 13 117 1053
10 11 110 1100
11 6 66 726
12 4 48 576
120 843 6633

 

Media aritmética

\displaystyle {\bar{x}=\frac{843}{120} = 7.025}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{6633}{120} - 7.025^2 = 5.92}

 

4Calcular la varianza de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla.

 

fi
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2

Solución:

Agregamos las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xi fi xi · fi x · fi
[10, 15) 12.5 3 37.5 468.75
[15, 20) 17.5 5 87.5 1531.25
[20, 25) 22.5 7 157.5 3543.75
[25, 30) 27.5 4 110 3025
[30, 35) 32.5 2 65 2112.5
21 457.5 10681.25

 

Solución:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{10681.25}{21} - 21.79^2=33.83 }

 

5Calcular la varianza de la distribución de la tabla.

 

xi fi xi · fi xi² · fi
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050

 

Solución:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{1820}{42} = 43.33}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{88050}{42} - 43.33^2=218.94 }

 

6Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla. Calcula la varianza.

 

Altura Nº de Jugadores
[1.70, 1.75) 1
[1.75, 1.80) 3
[1.80, 1.85) 4
[1.85, 1.90) 8
[1.90, 1.95) 5
[1.95, 2.00) 2

 

Solución:

Completamos la tabla con las columnas de xi · fi y de xi² · fi

 

xi fi Fi xi · fi x · fi
[1.70, 1.75) 1.725 1 1 1.725 2.976
[1.75, 1.80) 1.775 3 4 5.325 9.452
[1.80, 1.85) 1.825 4 8 7.3 13.323
[1.85, 1.90) 1.875 8 16 15 28.125
[1.90, 1.95) 1.925 5 21 9.625 18.53
[1.95, 2.00) 1.975 2 23 3.95 7.802
23 42.925 80.213

 

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{42.925}{23} = 1.866}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=\frac{80.213}{23} - 1.866^2=0.0056 }

 

7Dada la distribución estadística. Calcular la varianza.

 

fi
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, ∞) 6

 

xi fi Fi
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, ∞) 6 31
31

 

Solución:

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

 

Varianza

Si no hay media no es posible hallar la varianza.

 

8Considérese los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1 Calcular su media y su varianza.

2 Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

 

xi xi²
2 4
3 9
4 16
6 36
8 64
10 100
33 229

 

Solución:

1 Media y varianza:

Media

\displaystyle {\bar{x} = \frac{33}{6} = 5.5}

 

Varianza

\displaystyl {\sigma^2=\frac{229}{6} - 5.5^2=7.92 }

 

2 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la media queda multiplicada por 3 y la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

Media

\displaystyle {\bar{x} = 5.5\cdot 3 = 16.5}

 

Varianza

\displaystyle {\sigma^2=7.92\cdot 3^2 = 71.28 }

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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