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La Estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comparaciones y sacar conclusiones.

 

Conceptos de Estadística

 

Población

 

Una población es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico.

 

Individuo

 

Un individuo o unidad estadística es cada uno de los elementos que componen la población.

 

Muestra

 

Una muestra es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población.

 

Muestreo

 

El muestreo es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población.

 

Valor

 

Un valor es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz.

 

Dato

 

Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.

 

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Vamos

Variables estadísticas

 

Las variables estadísticas son de dos tipos: cualitativas o cuantitativas

 

Variable cualitativa

 

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Podemos distinguir dos tipos:

 

Variable cualitativa nominal

 

Una variable cualitativa nominal presenta modalidades no numéricas que no admiten un criterio de orden.

 

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa

 

Una variable cualitativa ordinal presenta modalidades no númericas en las que existe un orden.

 

Variable cuantitativa

 

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

 

Variable discreta

 

Una variable discreta es aquella que solo puede tomar un número finito de valores entre dos valores cualesquiera de una caraterística.

 

Variable continua

 

Una variable continua es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una caraterística.

 

Distribución de frecuencias

 

La distribución de frecuencias o tabla de frecuencias es una ordenación en forma de tabla de los datos estadísticos, asignando a cada dato su frecuencia correspondiente.

 

Diagrama de barras

 

Un diagrama de barras se utiliza para de presentar datos cualitativos o datos cuantitativos de tipo discreto.

 

Los datos se representan mediante barras de una altura proporcional a la frecuencia.

 

Polígonos de frecuencias

 

Un polígono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras mediante segmentos.

 

También se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y uniéndolos mediante segmentos.

 

Diagrama de sectores

 

Un diagrama de sectores se puede utilizar para todo tipo de variables, pero se usa frecuentemente para las variables cualitativas.

 

Los datos se representan en un círculo, de modo que el ángulo de cada sector es proporcional a la frecuencia absoluta correspondiente.

 

\alpha = \cfrac{360^o}{N} \cdot f_i

 

Histograma

 

Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

 

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

 

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

 

Medidas de centralización

 

Moda

 

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta. Se representa por M_o y se puede hallar para variables cualitativas y cuantitativas.

 

Cálculo de la moda para datos agrupados

 

1 Todos los intervalos tienen la misma amplitud.

 

M_o = L_i + \cfrac{f_{i + 1}}{f_{i - 1} + f_{i + 1}} \cdot a_i

 

2 Los intervalos tienen amplitudes distintas.

 

En primer lugar tenemos que hallar las alturas.

 

h_i = \cfrac{f_{i}}{a_{i}}}

 

La clase modal es la que tiene mayor altura.

 

M_o = L_i + \cfrac{h_{i + 1}}{h_{i - 1} + h_{i + 1}} \cdot a_i

 

Mediana

 

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor. La mediana se representa por M_e y se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

 

Cálculo de la mediana

 

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

 

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

 

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

 

Cálculo de la mediana para datos agrupados

 

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas, es decir, tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre \cfrac{N}{2}.

 

M_e = L_i + \cfrac{\cfrac{N}{2} - F_{i - 1}}{f_i} \cdot a_i

 

Media aritmética

 

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos y se representa por \overline{x}

 

\overline{x} = \cfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N} = \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^N x_i}{N}

 

Media aritmética para datos agrupados

 

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

 

\overline{x} = \cfrac{x_1 \cdot f_1 + x_2 \cdot f_2 + \cdots + x_n \cdot f_n}{N} = \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n x_i \cdot f_i}{N}

 

Medidas de posición

 

Cuartiles

 

Los cuartiles son los tres valores de la variable dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales. Q_1, Q_2 y Q_3 determinan los valores correspondientes al 25 \%, al 50 \% y al 75 \% de los datos.

 

Q_k = L_i + \cfrac{\cfrac{k \cdot N}{4} - F_{i - 1}}{f_{i}} \cdot a_i, \ \ \ \ \ k = 1, 2, 3

 

Deciles

 

Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales. Los deciles dan los valores correspondientes al 10 \%, al 20 \% \dots y al 90 \% de los datos.

 

D_k = L_i + \cfrac{\cfrac{k \cdot N}{10} - F_{i - 1}}{f_{i}} \cdot a_i, \ \ \ \ \ k = 1, 2, \dots, 9

 

Percentiles

 

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales. Los percentiles dan los valores correspondientes al 1 \%, al 2 \% \dots y al 99 \% de los datos.

 

P_k = L_i + \cfrac{\cfrac{k \cdot N}{100} - F_{i - 1}}{f_{i}} \cdot a_i, \ \ \ \ \ k = 1, 2, \dots, 99

 

Medidas de dispersión

 

Las medidas de dispersión nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución. Las medidas de dispersión son:

 

Rango o recorrido

 

El rango es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos de una distribución estadística.

 

Desviación media

 

La desviación respecto a la media es la diferencia entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

 

D_i = x_i - \overline{x}

 

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

 

La desviación media se representa por D_{\overline{x}}

 

\begin{array}{rcl}D_{\overline{x}} & = & \cfrac{|x_1 - \overline{x}| + |x_2 - \overline{x}| + \cdots + |x_n - \overline{x}|}{N} \\\\ & = & \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n|x_i - \overline{x}|}{N} \end{array}

 

Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

 

Primero calculamos la media

 

\overline{x} = \cfrac{9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9 + 18}{8} = 9

 

Calculamos la distribución media

 

\begin{array}{rcl}D_{\overline{x}} & = & \cfrac{|9 - 9| + |3 - 9| + |8 - 9| + |8 - 9| + |9 - 9| + |8 - 9| + |9 - 9| + |18 - 9|}{8} \\\\ & = &  2.25  \end{array}

 

Desviación media para datos agrupados

 

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

 

\begin{array}{rcl}D_{\overline{x}} & = & \cfrac{|x_1 - \overline{x}| \cdot f_1 + |x_2 - \overline{x}| \cdot f_2 + \cdots + |x_n - \overline{x}| \cdot f_n}{N} \\\\ & = & \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n|x_i - \overline{x}| \cdot f_i}{N} \end{array}

 

Ejemplo: Calcular la desviación media de la distribución:

 

x_i f_i x_i \cdot f_i |x_i - \overline{x}| |x_i - \overline{x}| \cdot f_i
[10, 15) 12.5 3 37.5 9.286 27.858
[15, 20) 17.5 5 87.5 4.286 21.43
[20, 25) 22.5 7 157.5 0.714 4.998
[25, 30) 27.5 4 110 5.714 22.856
[30, 35) 32.5 2 65 10.174 21.428
21 457.5 98.57

 

Realizamos las operaciones correspondientes para obtener la tabla.

 

Realizamos la suma de las últimas cuatro columnas y calculamos la media

 

\overline{x} = \cfrac{457.5}{21} = 21.786

 

La desviación media es

 

D_{\overline{x}} = \cfrac{98.57}{21} = 4.69

 

Varianza

 

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

 

La varianza se representa por \sigma^2.

 

\begin{array}{rcl} \sigma^2 & = & \cfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{N} \\\\ & = & \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2}{N} \end{array}

 

Varianza para datos agrupados

 

\begin{array}{rcl}\sigma^2 & = & \cfrac{(x_1 - \overline{x})^2 \cdot f_1 + (x_2 - \overline{x})^2 \cdot f_2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2 \cdot f_n}{N} \\\\ & = & \cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i}{N} \end{array}

 

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

 

\begin{array}{rcl} \sigma^2 & = & \cfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{N} - \overline{x}^2 \\\\ & = & \displaystyle \sum_{i = 1}^n\cfrac{x_i^2}{N} - \overline{x}^2 \end{array}

 

Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

 

Primero calculamos la media

 

\overline{x} = \cfrac{9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8 + 9 + 18}{8} = 9

 

Con el valor de la media, ya podemos encontrarla varianza

 

\begin{array}{rcl}\sigma^2 & = & \cfrac{(9 - 9)^2 + (3 - 9)^2 + (8 - 9)^2 + (8 - 9)^2 + (9 - 9)^2 + (8 - 9)^2 + (9 - 9)^2 + (18 - 9)^2}{8} \\\\ & = & 15 \end{array}

 

Ejemplo: Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

 

x_i f_i x_i \cdot  f_i x_i^2 \cdot f_i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60) 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1 820 88 050

 

Realizamos las operaciones correspondientes para obtener la tabla.

 

Realizamos la suma de las últimas tres columnas y calculamos la media

 

\overline{x} = \cfrac{1820}{42} = 43.33

 

La varianza es

 

\sigma^2 = \cfrac{88050}{42} - 43.33^2 = 218.94

 

Desviación típica

 

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

 

La desviación típica se representa por \sigma.

 

\begin{array}{rcl}\sigma & = & \sqrt{\cfrac{(x_1 - \overline{x})^2 + (x_2 - \overline{x})^2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2}{N}} \\\\ & = & \sqrt{\cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2}{N}} \end{array}

 

Desviación típica para datos agrupados

 

\begin{array}{rcl}\sigma & = & \sqrt{\cfrac{(x_1 - \overline{x})^2 \cdot f_1 + (x_2 - \overline{x})^2 \cdot f_2 + \cdots + (x_n - \overline{x})^2 \cdot f_n}{N}} \\\\ & = & \sqrt{\cfrac{\displaystyle \sum_{i = 1}^n(x_i - \overline{x})^2 \cdot f_i}{N}} \end{array}

 

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

 

\begin{array}{rcl} \sigma & = & \sqrt{\cfrac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{N} - \overline{x}^2} \\\\ & = & \sqrt{\displaystyle \sum_{i = 1}^n\cfrac{x_i^2}{N} - \overline{x}^2} \end{array}

 

Desviación típica para datos agrupados

 

\begin{array}{rcl}\sigma & = & \sqrt{\cfrac{x_1^2 \cdot f_1 + x_2^2 \cdot f_2 + \cdots + x_n^2 \cdot f_n}{N} - \overline{x}^2} \\\\ & = & \sqrt{\displaystyle \sum_{i = 1}^n\cfrac{x_i^2 \cdot f_i}{N} - \overline{x}^2} \end{array}

 

Coeficiente de variación

 

El coeficiente de variación es la relación entre la desviación típica de una muestra y su media.

 

C.V = \cfrac{\sigma}{\overline{x}} \cdot 100

 

Puntuaciones típicas

 

Las puntuaciones típicas son el resultado de dividir las puntuaciones diferenciales entre la desviación típica. Este proceso se llama tipificación.

 

z = \cfrac{x_i - \overline{x}}{\sigma}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗