$x_i$	Recuento	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$13$	$\text{III}$	$3$	$3$	$0.15$	$0.15$
$14$	$\text{I}$	$1$	$4$	$0.05$	$0.20$
$15$	$\text{V}$	$5$	$9$	$0.25$	$0.45$
$16$	$\text{IIII}$	$4$	$13$	$0.20$	$0.65$
$18$	$\text{III}$	$3$	$16$	$0.15$	$0.80$
$19$	$\text{I}$	$1$	$17$	$0.05$	$0.85$
$20$	$\text{II}$	$2$	$19$	$0.10$	$0.95$
$22$	$\text{I}$	$1$	$20$	$0.05$	$1$
		$20$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $N = 20$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas, $n_i$ , que
  son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

Polígono de frecuencias

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas

2 El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

$\begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

$\begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}$

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el diagrama de barras.

$x_i$	Recuento	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$1$	$\text{VI}$	$6$	$6$	$0.158$	$0.158$
$2$	$\text{XII}$	$12$	$18$	$0.316$	$0.474$
$3$	$\text{XVI}$	$16$	$34$	$0.421$	$0.895$
$4$	$\text{IIII}$	$4$	$38$	$0.105$	$1$
		$38$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 38$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que
  son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

Diagrama de barras

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

3 Las calificaciones de $50$ alumnos han sido las siguientes:

$\begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

Las calificaciones de $50$ alumnos han sido las siguientes:

$\begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}$

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el
diagrama de barras.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$0$	$1$	$1$	$0.02$	$0.02$
1	$1$	$2$	$0.02$	$0.04$
$2$	$2$	$4$	$0.04$	$0.08$
$3$	$3$	$7$	$0.06$	$0.14$
$4$	$6$	$13$	$0.12$	$0.26$
$5$	$11$	$24$	$0.22$	$0.48$
$6$	$12$	$36$	$0.24$	$0.72$
$7$	$7$	$43$	$0.14$	$0.86$
$8$	$4$	$47$	$0.08$	$0.94$
$9$	$2$	$49$	$0.04$	$0.98$
$10$	$1$	$50$	$0.02$	$1$
	$50$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 50$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$

Diagrama de barras

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias

1 Los pesos de los $65$ empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	$f_i$
$[50, 60)$	$8$
$[60, 70)$	$10$
$[70, 80)$	$16$
$[80,90)$	$14$
$[90, 100)$	$10$
$[100, 110)$	$5$
$[110, 120)$	$2$

a) Construir la tabla de frecuencias.

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

Los pesos de los $65$ empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	$f_i$
$[50, 60)$	$8$
$[60, 70)$	$10$
$[70, 80)$	$16$
$[80,90)$	$14$
$[90, 100)$	$10$
$[100, 110)$	$5$
$[110, 120)$	$2$

a) Construir la tabla de frecuencias.

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$[50, 60)$	$55$	$8$	$8$	$0.12$	$0.12$
$[60, 70)$	$65$	$10$	$18$	$0.15$	$0.27$
$[70, 80)$	$75$	$16$	$34$	$0.24$	$0.51$
$[80,90)$	$85$	$14$	$48$	$0.22$	$0.73$
$[90, 100)$	$95$	$10$	$58$	$0.15$	$0.88$
$[100, 110)$	$105$	$5$	$63$	$0.08$	$0.96$
$[110, 120)$	$115$	$2$	$65$	$0.03$	$0.99$
		$65$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 65$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

Histograma

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

2Los $40$ alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre $50$ , en un examen de Física.

$\begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}$

a)Construir la tabla de frecuencias.

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias

Los $40$ alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre $50$ , en un examen de Física.

$\begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}$

a) Construir la tabla de frecuencias.

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$[0, 5)$	$2.5$	$1$	$1$	$0.025$	$0.025$
$[5, 10)$	$7.5$	$1$	$2$	$0.025$	$0.050$
$[10, 15)$	$12.5$	$3$	$5$	$0.075$	$0.125$
$[15, 20)$	$17.5$	$3$	$8$	$0.075$	$0.200$
$[20, 25)$	$22.5$	$3$	$11$	$0.075$	$0.275$
$[25, 30)$	$27.5$	$6$	$17$	$0.150$	$0.425$
$[30, 35)$	$32.5$	$7$	$24$	$0.175$	$0.600$
$[35, 40)$	$37.5$	$10$	$34$	$0.250$	$0.850$
$[40, 45)$	$47.5$	$4$	$38$	$0.100$	$0.950$
$[45, 50)$	$47.5$	$2$	$40$	$0.050$	$1.000$
		$40$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 40$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

Histograma

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

Ejercicios sobre medidas de tendencia central

1 Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$f_i$
$61$	$5$
$64$	$18$
$67$	$42$
$70$	$27$
$73$	$8$

Calcular:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$f_i$
$61$	$5$
$64$	$18$
$67$	$42$
$70$	$27$
$73$	$8$

Calcular:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

Completamos la tabla con:

- La frecuencia acumulada ( $F_i$ ) para calcular la mediana

- El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) para calcular la media

- La desviación respecto a la media $\left( |x - \overline{x}| \right)$ y su producto por la frecuencia absoluta $\left( |x - \overline{x}| f_i \right)$ para calcular la desviación media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta ( $x_i^2 f_i$ ) para calcular la varianza y la desviación típica

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$	$\|x_i - \overline{x}\|$	$\|x_i - \overline{x}\| f_i$	$x_i^2 f_i$
$61$	$5$	$5$	$305$	$6.45$	$32.25$	$18605$
$64$	$18$	$23$	$1152$	$3.45$	$62.10$	$73728$
$67$	$42$	$65$	$2814$	$0.45$	$18.90$	$188538$
$71$	$27$	$92$	$1890$	$2.55$	$68.85$	$132300$
$73$	$8$	$100$	$584$	$5.55$	$44.40$	$42632$
	$100$		$6745$		$226.50$	$455803$

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor, $42$ ,corresponde a $x_i = 67$ .

$\text{Moda} = 67$ .

Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N = 100$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra que la $F_i$ mas cercana a $50$ es $65$ y corresponde a $x_i = 67$ .

$\frac{100}{2} = 50$

$\text{Mediana} = 67$

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $6745$ y la dividimos por $N = 100$ .

$\overline{x} = \frac{6745}{100} = 67.45$

Desviación media

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes $\left( |x_i - \overline{x}| f_i \right)$ que es $226.5$ y dividimos por $N$ .

$D_{\overline{x}} = \frac{226.5}{100} = 2.265$

Rango

Realizamos la la diferencia entre el mayor y el menor de los valores

$r = 73 - 61 = 12$ .

Varianza

Calculamos la sumatoria de $x_i^2 f_i = 455803$ , la dividimos por $N = 100$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(67.45)^2$

$\sigma^2 = \frac{455803}{100} - 67.45^2 = 8.53$ .

Desviación típica

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

$\sigma = \sqrt{8.53} = 2.95$

2 Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.$

Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.$

Creamos una tabla con las siguientes columnas:

- Los valores de la variable ( $\qquad x_i \qquad$ ).

- Las frecuencias absolutas ( $\qquad f_i \qquad$ ).

- Las frecuencias acumuladas ( $\qquad F_i \qquad$ ) para calcular la mediana.

El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $\qquad x_i f_i\qquad$ ) para calcular la media.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$
$2$	$2$	$2$	$4$
$3$	$2$	$4$	$6$
$4$	$5$	$9$	$20$
$5$	$6$	$15$	$30$
$6$	$2$	$17$	$12$
$8$	$3$	$20$	$24$
	$20$		$96$

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor, $6$ , corresponde a $x_i = 5$ .

$\text{Moda} = 5$ .

Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N = 20$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra $10$ corresponde a $x_i = 5$ .

$\text{Mediana} = 5$ .

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $96$ y la dividimos por $N$ .

$\overline{x} = \frac{96}{20} = 4.8$ .

3 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

$\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

$\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Calculamos la media aritmética:

$\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5$ .

Aplicamos la fórmula de la varianza:

$\displaystyle \sigma^2 = \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2 = 23.75$ .

Realizamos la raíz cuadrada de la varianza:

$\displaystyle \sigma = \sqrt{23.75} \approx 4.87$ .

4 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.$

Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.$

Moda

La moda es $5$ porque es el valor que más se repite.

$\displaystyle \text{Moda} = 5$ .

Mediana

La serie tiene un número par de puntuaciones, la mediana será la media entre las dos puntuaciones centrales.

$\displaystyle \text{Mediana} = \frac{5 + 5}{2} = 5$ .

Media

Aplicamos la fórmula de la media.

$\displaystyle \overline{x} = \frac{3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 9 + 5 + 2 + 8 + 6}{10} = 5.1$ .

5Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

1 $2, 3, 6, 8, 11.$

2 $12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

1 $2, 3, 6, 8, 11.$

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 6 + 8 + 11}{5} = 6.$

Desviación media

$\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{|2 - 6| + |3 - 6 | + |6 - 6| + |8 - 6| + |11 - 6|}{5} = 2.8 .$

Varianza

$\displaystyle \sigma^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 6^2 + 8^2 + 11^2}{5} - 6^2 = 10.8$ .

Desviación típica

$\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{10.8} \approx 3.286$ .

2 $12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5$ .

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|12 - 9.5| + |6 - 9.5| + |7 - 9.5| + |3 - 9.5|}{8}\\ &+ \frac{|15 - 9.5| + |10 - 9.5| + |18 - 9.5| + |5 - 0.5|}{8}\\ &= 4.25 \end{align*}$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2\\ &= 23.75 \end{align*}$

Desviación típica

$\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{23.75} \approx 4.87$ .

6Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

	$f_i$
$[38, 44)$	$7$
$[44, 50)$	$8$
$[50, 56)$	$15$
$[56, 62)$	$25$
$[62, 68)$	$18$
$[68, 74)$	$9$
$[74, 80)$	$6$

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose las siguiente tabla:

	$f_i$
$[38, 44)$	$7$
$[44, 50)$	$8$
$[50, 56)$	$15$
$[56, 62)$	$25$
$[62, 68)$	$18$
$[68, 74)$	$9$
$[74, 80)$	$6$

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

Agregamos una nueva columna donde disponemos las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ):

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $N = 88$ .

	$f_i$	$F_i$
$[38, 44)$	$7$	$7$
$[44, 50)$	$8$	$15$
$[50, 56)$	$15$	$30$
$[56, 62)$	$25$	$55$
$[62, 68)$	$18$	$73$
$[68, 74)$	$9$	$82$
$[74, 80)$	$6$	$88$
	$88$

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7Dadas las series estadísticas:

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Calcular

- La moda, la mediana y la media.

- La desviación media, la varianza y la desviación típica.

- Los cuartiles $1$ y $3$ .

- Los deciles $2$ y $7$ .

Los percentiles $32$ y $85$ .

Dadas las series estadísticas:

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Calcular

- La moda, la mediana y la media.

- La desviación media, la varianza y la desviación típica.

- Los cuartiles $1$ y $3$ .

- Los deciles $2$ y $7$ .

Los percentiles $32$ y $85$ .

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

Moda

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

$\displaystyle 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.$

Por lo tanto la mediana es

$\displaystyle \text{Mediana} = 5$ .

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{7} = 5.143$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{7} - 5.143^2\\ &= 4.978 \end{align*}$

Desviación típica

$\begin{align*} \sigma &= \sqrt{4.978}\\ &\approx 2.231 \end{align*}$

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 5.143| + |3 - 5.143| + |4 - 5.143| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 5.143| + |7 - 5.143| + |9 - 5.143|}{7}\\ &= 1.878 \end{align*}$

Rango

$\displaystyle R = 9 - 2 = 7$

Cuartiles

$\displaystyle 2, \underbrace{3}_{Q_1}, 4, \underbrace{5}_{Q_2}, 6, \underbrace{7}_{Q_3}, 9$

Deciles

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n$

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{7}{10}\right) 2 = 1.4 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 3\\ \left( \frac{7}{10}\right) 7 = 4.9 \to 5 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}$

Percentiles

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n$

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{7}{100}\right) 32 = 2.24 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 4\\ \left( \frac{7}{100}\right) 85 = 5.95 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Moda

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

$\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.$

Por lo tanto la mediana es

$\displaystyle \text{Mediana} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$ .

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{8} = 4.625$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{8} - 4.625 ^2\\ &= 6.234 \end{align*}$

Desviación típica

$\begin{align*} \sigma &= \sqrt{6.234}\\ &\approx 2.497 \end{align*}$

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 4.625| + |3 - 4.625| + |4 - 4.625| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 4.625| + |7 - 4.625| + |9 - 4.625| + |1 - 4.625|}{8}\\ &= 2.123 \end{align*}$

Rango

$\displaystyle R = 9 - 1 = 8$

Cuartiles

$\displaystyle 1, \underbrace{2, 3}_{Q_1 = 2.5}, \underbrace{4, 5}_{Q_2 = 4.5}, \underbrace{6, 7}_{Q_3 = 6.5}, 9$

Deciles

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n$

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{8}{10}\right) 2 = 1.6 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 2\\ \left( \frac{8}{10}\right) 7 = 5.6 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}$

Percentiles

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n$

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{8}{100}\right) 32 = 2.56 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 3\\ \left( \frac{8}{100}\right) 85 = 6.8 \to 7 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}$

8 Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	$f_i$
$[10, 15)$	$3$
$[15, 20)$	$5$
$[20, 25)$	$7$
$[25, 30)$	$4$
$[30, 35)$	$2$

Hallar:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media y varianza.

c) Los cuartiles $1 \qquad$ y $\qquad 3$ .

d) Los deciles $\qquad 3 \qquad$ y $\qquad 6$ .

e) Los percentiles $\qquad 30 \qquad$ y $\qquad 70$ .

Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	$f_i$
$[10, 15)$	$3$
$[15, 20)$	$5$
$[20, 25)$	$7$
$[25, 30)$	$4$
$[30, 35)$	$2$

Hallar:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media y varianza.

c) Los cuartiles $1 \qquad$ y $\qquad 3$ .

d) Los deciles $\qquad 3 \qquad$ y $\qquad 6$ .

e) Los percentiles $\qquad 30 \qquad$ y $\qquad 70$ .

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada ( $F_i$ ) para calcular la mediana.

El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) para calcular la media.

La desviación respecto a la media $\qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) \qquad$ y su producto por la frecuencia absoluta $\qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) f_i \qquad$ para calcular la desviación media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta ( $x_i^2 f_i$ ) para calcular la varianza y la desviación típica

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$	$\qquad \left\| x - \overline{x} \right\| f_i \qquad$	$x_i^2 f_i$
$[10, 15)$	$12.5$	$3$	$3$	$37.5$	$27.857$	$468.75$
$[15, 20)$	$17.5$	$5$	$8$	$87.5$	$21.429$	$1537.3$
$[20, 25)$	$22.5$	$7$	$15$	$157.5$	$5$	$3543.8$
$[25, 30)$	$27.5$	$4$	$19$	$110$	$22.857$	$3025$
$[30, 35)$	$32.5$	$2$	$21$	$65$	$21.429$	$2112.5$
		$21$		$457.5$	$98.571$	$10681.25$

Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta ( $f_i$ )

La clase modal es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$\text{Límite inferior} = 20$ .

$f_i = 7$ .

$f_{i-1} = 5$ .

$f_{i + 1} = 4.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Moda} = 20 + \left( \frac{7 - 5}{(7 - 5) + (7 - 4)} \right) (5) = 22$

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N$ por $2$ porque la mediana es el valor central,

$\displaystyle \frac{21}{2} = 10.5$ .

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $10.5$

Clase de la mediana: $[20, 25)$ .

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20$ .

$\frac{21}{2} = 10.5$ .

$f_i = 7$ .

$F_{i - 1} = 8$ .

$a_i = 5$ .

$\displaystyle \text{Mediana} = 20 + \left( \frac{10.5 - 8}{7} \right) (5) = 21.786$ .

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $457.5$ y la dividimos por $N = 21$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79$

Desviación media

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes $\qquad \left( |x - \overline{x}| f_i \right)\qquad$ que es $\qquad 98.571 \qquad$ y dividimos por $\qquad N$

$\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{98.571}{21} = 4.694$

Varianza

Calculamos la sumatoria de $x_i^2 f_i = 10681.25$ , la dividimos por $N$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado, $21.79^2$ .

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{10681.25}{21} - 21.79^2 \\ &= 33.83 \end{align*}$

Desviación típica

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

$\displaystyle \sigma = \sqrt{33.83} \approx 5.83$

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando $1$ por $\qquad N = 25 \qquad$ y dividiendo por $\qquad 4$

$\displaystyle \frac{(1)(21)}{4} = 5.25$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $\qquad 5.25$

La clase de $Q_1$ es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_1 = 15 + \left( \frac{5.25 - 3}{5} \right)(5) = 17.25$

Cálculo del tercer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando $3$ por $N = 21$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(3)(25)}{4} = 15.75$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $15.75$

La clase de $Q_3$ es: $[25, 30)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 25.$

$F_{i-1} = 15.$

$f_i = 4.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_3 = 25 + \left( \frac{15.75 - 15}{4} \right)(5) = 25.94$

Deciles

Cálculo del tercer decil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer decil, multiplicando $3$ por $N = 21$ y dividiendo por $10$

$\displaystyle \frac{(3)(21)}{10} = 6.3$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $6.3$

La clase de $D_3$ es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle D_3 = 15 + \left( \frac{6.3 - 3}{5} \right)(5) = 18.3$

Cálculo del sexto decil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el sexto decil, multiplicando $6$ por $N = 21$ y dividiendo por $10$

$\displaystyle \frac{(6)(21)}{10} = 12.6$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $6.3$

La clase de $D_6$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 8.$

$f_i = 7.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle D_6 = 20 + \left( \frac{12.6 - 8}{7} \right)(5) = 23.29$

Percentiles

El percentil $30$ es igual al decil $3$

$\displaystyle P_{30} = D_3 = 18.3.$

Cálculo del percentil 70

Buscamos el intervalo donde se encuentra el percentil $70$ , multiplicando $70$ por $N = 21$ y dividiendo por $100$

$\displaystyle \frac{(70)(21)}{100} = 14.7$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $14.7$

La clase de $P_{70}$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de percentiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 8.$

$f_i = 7.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle P_{70} = 20 + \left( \frac{14.7 - 8}{7} \right)(5) = 24.79$

9Dada la distribución estadística:

	$f_i$
$[0, 5)$	$3$
$[5, 10)$	$5$
$[10, 15)$	$7$
$[15, 20)$	$8$
$[20, 25)$	$2$
$[25, \infty)$	$6$

Hallar:

a) La mediana y moda.

b) Cuartil $1$ y $3$ .

c) Media.

Dada la distribución estadística:

	$f_i$
$[0, 5)$	$3$
$[5, 10)$	$5$
$[10, 15)$	$7$
$[15, 20)$	$8$
$[20, 25)$	$2$
$[25, \infty)$	$6$

Calcular:

a) La mediana y moda.

b) Cuartil $1$ y $3$ .

c) Media.

Ampliamos la tabla con otra columna donde disponemos la frecuencia acumulada ( $F_i$ ):

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 31$ .

	$x_i$	$f_i$	$F_i$
$[0, 5)$	$2.5$	$3$	$3$
$[5, 10)$	$7.5$	$5$	$8$
$[10, 15)$	$12.5$	$7$	$15$
$[15, 20)$	$17.5$	$8$	$23$
$[20, 25)$	$22.5$	$2$	$25$
$[25, \infty)$		$6$	$31$
		$31$

Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta ( $f_i$ )

La clase modal es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Límite inferior: $15$

$f_i = 8.$

$f_{i-1} = 7.$

$f_{i+1} = 2.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Moda} = 15 + \left( \frac{8 - 7}{(8-7) + (8-2)} \right) (5) = 15.71$

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N$ por $2$ porque la mediana es el valor central

$\displaystyle \frac{31}{2} = 15.5$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_{i}$ ) el intervalo que contiene a $15.5$

Clase de la mediana: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$f_i = 8.$

$F_{i-1} = 15.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Mediana} = 15 + \left( \frac{15.5 - 15}{8} \right) (5) = 15.31$

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando $1$ por $N = 31$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(1)(31)}{4} = 7.75$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $7.75$

La clase de $Q_1$ es: $[5, 10)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 5.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i =5.$

$\displaystyle Q_1 = 5 + \left( \frac{7.75 - 3}{5} \right) (5) = 9.75$

Cálculo del tercer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando $3$ por $N = 31$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(3)(31)}{4} = 23.25$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas $F_i$ ) el intervalo que contiene a $23.25$

La clase de $Q_3$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 23.$

$f_i = 2.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_3 = 20 + \left( \frac{23.25 - 23}{2} \right) (5) = 20.63$

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Resumen

Resumen de estadistica descriptiva

Teoría

Diagrama de barras y poligonos de frecuencias

¿Que es una histograma?

¿Que es la mediana y como calcularla?

Deciles, medidas de posición

Calculo de percentiles

Desviacion tipica concepto y calculo

Coeficiente de variacion y puntuaciones tipicas

Gráficas de estadística

La varianza, medida de dispercion

Estadistica

Tablas de frecuencia y marcas de clase

Parametros estadisticos

Desviacion absoluta promedio

Calculo de cuartiles para datos agrupados

Moda medida de tendencia central

Diagrama de sectores

Variables estadisticas

Poligonos de frecuencia

Media aritmetica, medida de tendencia central

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de variables estadisticas

Ejercicios interactivos de tablas estadísticas

Ejercicios interactivos de diagramas de barras y polígonos de frecuencias

Ejercicios interactivos de la mediana

Ejercicio interactivo de estadística

Ejercicios interactivos de diagramas de sectores

Ejercicios interactivos de la moda

Ejercicios interactivos de la desviación típica

Ejercicios interactivos de desviacion media

Ejercicios interactivos de la varianza

Ejercicios interactivos de la media aritmética

Otros ejercicios

Ejercicios de la moda

Ejercicios resueltos de la media aritmetica

Ejercicios y problemas de la varianza

Ejercicios de desviacion tipica

Ejercicios y problemas de desviacion media

Ejercicios de deciles

Ejercicios de la mediana

Ejercicios de calculo de percentiles

Ejercicios de estadistica II

Ejercicios de tablas estadisticas

Ejercicios resueltos de frecuencias

Ejercicios resueltos de cuartiles

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Ruiz

Abril 2022

Pizza Palace ofrece tres tamaños de refresco de cola —chico, mediano y grande— para acompañar su pizza. Los refrescos cuestan $1.80, $1.90 y $2.20, respectivamente. 30% de los pedidos corresponde al tamaño chico; 50%, al mediano, y 20%, al grande. Organice el tamaño de los refrescos y la probabilidad de venta en una distribución de frecuencias.
a) ¿Se trata de una distribución de probabilidad discreta? Indique por qué.
b) ¿Cuál es la varianza de la cantidad que se cobra por un refresco de cola? ¿Cuál es la desviación estándar?

Juan Carlos

Abril 2022

En el ejercicio 1.19 de la página 31 pruebe la

bondad de ajuste entre las frecuencias de clase obser-
vadas y las frecuencias esperadas correspondientes de

una distribución normal con μ = 1.8 y σ = 0.4. Utilice
un nivel de significancia de 0.01.

me pueden ayudar por favor

Juan Carlos

Abril 2022

me podrian ayudar con este
Se lleva a cabo una investigación en dos ciuda-
des de Virginia para determinar la opinión de los votan-
tes respecto a dos candidatos a la gubernatura en una

elección próxima. En cada ciudad se seleccionaron 500
votantes al azar y se registraron los siguientes datos:
Ciudad
Opinión del votante Richmond Norfolk
A favor de A
A favor de B
Indeciso

204
211
85
225
198
77
A un nivel de significancia de 0.05 pruebe la hipótesis

nula de que las proporciones de votantes que están a fa-
vor del candidato A, a favor del candidato B o que están

indecisos son las mismas para cada ciudad.

paulaa.moraless_

Abril 2022

Holaa, me ha ayudado mucho, me gustaría que crearais más contenido.

Antony

Abril 2022

Descripción
Una universidad técnica realiza anualmente una prueba de admisión para decidir sobre el ingreso de los alumnos nuevos. El año anterior, la Oficina de Admisiones mostró que la nota promedio fue de 66, y que la desviación estándar fue de 16.
Determine la probabilidad que:
a. La nota sea menor a 66
b. La nota sea mayor a 66
c. Que la nota esté entre 70 y 85
d. Que la nota esté entre 90 y 100
e. Que la nota esté ente 60 y 70.

Diana Álvarez

Marzo 2022

Hola espero que estén bien, me podrían ayudar con este ejercicio por favor!😥

Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida a parecer resumida en la siguiente tabla:

Número de caries:. Fi. Ni
0 25 0.25
1 20 0.20
2 X X
3 15 0.15
4 Y 0.5
Completa la tabla y crea la frecuencia

Marzo 2022

Una población normal tiene una µ = 20 y una δ = 3.5. Usted selecciona una muestra aleatoria de 10. Calcule la probabilidad de que la media muestral sea 23

Cristina

Marzo 2022

Excelente me han ayudado

Karen lorena casallas

Marzo 2022

Hola pido por favor por favor ayuda es urgente Gracias

2. En lo corrido del año, 2018 mujeres han sido maltratadas por sus parejas y excompañeros sentimentales, según reveló un informe de la Universidad Libre. El estudio reveló además que Bogotá es la ciudad en donde más casos de maltrato y violencia se han reportado contra la mujer. Medicina legal dejar ver el registró del número de mujeres que han sido reportadas con algún tipo de maltrato o violencia los últimos días del primer semestre en la ciudad:
8 5 47 40 40 12 42 3 38 18
4 0 16 4 21 20 2 23 31 34
2 8 0 48 21 5 18 9 10 45
23 30 25 25 7 17 7 0 5
11 1 30 46 8 35 40 28 35
Construir una tabla de frecuencias calculando las clases que sean necesarias.
a) ¿Se podría afirmar que un 75% de los reportes diarios de Medicina Legal evidencian un máximo de 31 mujeres maltratadas? Justifique su respuesta.
b) ¿Cuántos días del último semestre se encontró que sean maltratadas máximo 23 mujeres?

Estadística, tipo de variables y cálculo de medidas de tendencia central

Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas

Ejercicios sobre construcción de tabla de distribución de frecuencias

Polígono de frecuencias

Diagrama de barras

Diagrama de barras

Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias

Histograma

Histograma

Ejercicios sobre medidas de tendencia central

Moda

Mediana

Media

Desviación media

Rango

Varianza

Desviación típica

Moda

Mediana

Media

Moda

Mediana

Media

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Moda

Mediana

Media

Varianza

Desviación típica

Desviación media

Rango

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Moda

Mediana

Media

Varianza

Desviación típica

Desviación media

Rango

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Moda

Mediana

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

Cálculo del tercer decil

Cálculo del sexto decil

Percentiles

Cálculo del percentil 70

Moda

Mediana

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Media

Resumen

Resumen de estadistica descriptiva

Teoría

Diagrama de barras y poligonos de frecuencias

¿Que es una histograma?

¿Que es la mediana y como calcularla?

Deciles, medidas de posición