Name: Ejercicios de estadistica I
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Los/as profes

Temas

Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas
De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas
Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas
Ejercicios sobre construcción de tabla de distribución de frecuencias
Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias
Ejercicios sobre medidas de tendencia central

Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas

Opta por las clases particulares matematicas madrid que te ofrecemos en Superprof para conseguir tus mejores resultados y alcanzar tus objetivos.

Para ello, te damos unas breves pautas de ejemplos de variables cualitativas y cuantitativas:

1 Comida Favorita.

2 Profesión que te gusta.

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

4 Número de alumnos de tu Instituto.

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

Indica cuáles variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

1 Comida Favorita.

Cualitativa

2 Profesión que te gusta.

Cualitativa

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

Cuantitativa

4 Número de alumnos de tu Instituto.

Cuantitativa

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

Cualitativa

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

Cuantitativa

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De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

3 Período de duración de un automóvil.

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

5 Número de hijos de $50$ familias.

6 Censo anual de los españoles.

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

Discreta

2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

Continua

3 Período de duración de un automóvil.

Continua

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

Continua

5 Número de hijos de $50$ familias.

Discreta

6 Censo anual de los españoles.

Discreta

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas

1 La nacionalidad de una persona.

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

3 Número de libros en un estante de librería.

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

5 La profesión de una persona.

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas.

1 La nacionalidad de una persona.

Cualitativa

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

Cuantitativa y continua

3 Número de libro en un estante de librería.

Cuantitativa y discreta

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

Cuantitativa y discreta

5 La profesión de una persona.

Cualitativa

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

Cuantitativa y continua

Ejercicios sobre construcción de tabla de distribución de frecuencias

1 Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

$\displaystyle 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el polígono de frecuencias.

Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

$\displaystyle 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
polígono de frecuencias.

$x_i$	Recuento	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$13$	$\text{III}$	$3$	$3$	$0.15$	$0.15$
$14$	$\text{I}$	$1$	$4$	$0.05$	$0.20$
$15$	$\text{V}$	$5$	$9$	$0.25$	$0.45$
$16$	$\text{IIII}$	$4$	$13$	$0.20$	$0.65$
$18$	$\text{III}$	$3$	$16$	$0.15$	$0.80$
$19$	$\text{I}$	$1$	$17$	$0.05$	$0.85$
$20$	$\text{II}$	$2$	$19$	$0.10$	$0.95$
$22$	$\text{I}$	$1$	$20$	$0.05$	$1$
		$20$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $N = 20$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas, $n_i$ , que
  son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

Polígono de frecuencias

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas

Polígono de frecuencias representacion grafica

2 El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

$\begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

$\begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}$

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el diagrama de barras.

$x_i$	Recuento	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$1$	$\text{VI}$	$6$	$6$	$0.158$	$0.158$
$2$	$\text{XII}$	$12$	$18$	$0.316$	$0.474$
$3$	$\text{XVI}$	$16$	$34$	$0.421$	$0.895$
$4$	$\text{IIII}$	$4$	$38$	$0.105$	$1$
		$38$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 38$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que
  son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

Diagrama de barras

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

diagrama Gráfica de barras

3 Las calificaciones de $50$ alumnos han sido las siguientes:

$\begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}$

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

Las calificaciones de $50$ alumnos han sido las siguientes:

$\begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}$

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el
diagrama de barras.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$0$	$1$	$1$	$0.02$	$0.02$
1	$1$	$2$	$0.02$	$0.04$
$2$	$2$	$4$	$0.04$	$0.08$
$3$	$3$	$7$	$0.06$	$0.14$
$4$	$6$	$13$	$0.12$	$0.26$
$5$	$11$	$24$	$0.22$	$0.48$
$6$	$12$	$36$	$0.24$	$0.72$
$7$	$7$	$43$	$0.14$	$0.86$
$8$	$4$	$47$	$0.08$	$0.94$
$9$	$2$	$49$	$0.04$	$0.98$
$10$	$1$	$50$	$0.02$	$1$
	$50$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 50$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$

Diagrama de barras

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

Gráfica de barras

Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias

1 Los pesos de los $65$ empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	$f_i$
$[50, 60)$	$8$
$[60, 70)$	$10$
$[70, 80)$	$16$
$[80,90)$	$14$
$[90, 100)$	$10$
$[100, 110)$	$5$
$[110, 120)$	$2$

a) Construir la tabla de frecuencias.

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

Los pesos de los $65$ empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

Peso	$f_i$
$[50, 60)$	$8$
$[60, 70)$	$10$
$[70, 80)$	$16$
$[80,90)$	$14$
$[90, 100)$	$10$
$[100, 110)$	$5$
$[110, 120)$	$2$

a) Construir la tabla de frecuencias.

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$[50, 60)$	$55$	$8$	$8$	$0.12$	$0.12$
$[60, 70)$	$65$	$10$	$18$	$0.15$	$0.27$
$[70, 80)$	$75$	$16$	$34$	$0.24$	$0.51$
$[80,90)$	$85$	$14$	$48$	$0.22$	$0.73$
$[90, 100)$	$95$	$10$	$58$	$0.15$	$0.88$
$[100, 110)$	$105$	$5$	$63$	$0.08$	$0.96$
$[110, 120)$	$115$	$2$	$65$	$0.03$	$0.99$
		$65$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 65$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

Histograma

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

Histograma y poligono de frecuencias

2Los $40$ alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre $50$ , en un examen de Física.

$\begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}$

a)Construir la tabla de frecuencias.

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias

Los $40$ alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre $50$ , en un examen de Física.

$\begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}$

a) Construir la tabla de frecuencias.

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$N_i$
$[0, 5)$	$2.5$	$1$	$1$	$0.025$	$0.025$
$[5, 10)$	$7.5$	$1$	$2$	$0.025$	$0.050$
$[10, 15)$	$12.5$	$3$	$5$	$0.075$	$0.125$
$[15, 20)$	$17.5$	$3$	$8$	$0.075$	$0.200$
$[20, 25)$	$22.5$	$3$	$11$	$0.075$	$0.275$
$[25, 30)$	$27.5$	$6$	$17$	$0.150$	$0.425$
$[30, 35)$	$32.5$	$7$	$24$	$0.175$	$0.600$
$[35, 40)$	$37.5$	$10$	$34$	$0.250$	$0.850$
$[40, 45)$	$47.5$	$4$	$38$	$0.100$	$0.950$
$[45, 50)$	$47.5$	$2$	$40$	$0.050$	$1.000$
		$40$		$1$

- En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada $F_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

- En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 40$ .

- En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas ( $n_i$ ) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por $N$ .

- En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada $N_i$ .

- En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $1$ .

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

Histograma

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

Histograma de frecuencias dibujo

Ejercicios sobre medidas de tendencia central

1 Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$f_i$
$61$	$5$
$64$	$18$
$67$	$42$
$70$	$27$
$73$	$8$

Calcular:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

$x_i$	$f_i$
$61$	$5$
$64$	$18$
$67$	$42$
$70$	$27$
$73$	$8$

Calcular:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

Completamos la tabla con:

- La frecuencia acumulada ( $F_i$ ) para calcular la mediana

- El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) para calcular la media

- La desviación respecto a la media $\left( |x - \overline{x}| \right)$ y su producto por la frecuencia absoluta $\left( |x - \overline{x}| f_i \right)$ para calcular la desviación media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta ( $x_i^2 f_i$ ) para calcular la varianza y la desviación típica

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$	$\|x_i - \overline{x}\|$	$\|x_i - \overline{x}\| f_i$	$x_i^2 f_i$
$61$	$5$	$5$	$305$	$6.45$	$32.25$	$18605$
$64$	$18$	$23$	$1152$	$3.45$	$62.10$	$73728$
$67$	$42$	$65$	$2814$	$0.45$	$18.90$	$188538$
$71$	$27$	$92$	$1890$	$2.55$	$68.85$	$132300$
$73$	$8$	$100$	$584$	$5.55$	$44.40$	$42632$
	$100$		$6745$		$226.50$	$455803$

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor, $42$ ,corresponde a $x_i = 67$ .

$\text{Moda} = 67$ .

Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N = 100$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra que la $F_i$ mas cercana a $50$ es $65$ y corresponde a $x_i = 67$ .

$\frac{100}{2} = 50$

$\text{Mediana} = 67$

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $6745$ y la dividimos por $N = 100$ .

$\overline{x} = \frac{6745}{100} = 67.45$

Desviación media

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes $\left( |x_i - \overline{x}| f_i \right)$ que es $226.5$ y dividimos por $N$ .

$D_{\overline{x}} = \frac{226.5}{100} = 2.265$

Rango

Realizamos la la diferencia entre el mayor y el menor de los valores

$r = 73 - 61 = 12$ .

Varianza

Calculamos la sumatoria de $x_i^2 f_i = 455803$ , la dividimos por $N = 100$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(67.45)^2$

$\sigma^2 = \frac{455803}{100} - 67.45^2 = 8.53$ .

Desviación típica

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

$\sigma = \sqrt{8.53} = 2.95$

2 Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.$

Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.$

Creamos una tabla con las siguientes columnas:

- Los valores de la variable ( $\qquad x_i \qquad$ ).

- Las frecuencias absolutas ( $\qquad f_i \qquad$ ).

- Las frecuencias acumuladas ( $\qquad F_i \qquad$ ) para calcular la mediana.

El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $\qquad x_i f_i\qquad$ ) para calcular la media.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$
$2$	$2$	$2$	$4$
$3$	$2$	$4$	$6$
$4$	$5$	$9$	$20$
$5$	$6$	$15$	$30$
$6$	$2$	$17$	$12$
$8$	$3$	$20$	$24$
	$20$		$96$

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor, $6$ , corresponde a $x_i = 5$ .

$\text{Moda} = 5$ .

Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N = 20$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra $10$ corresponde a $x_i = 5$ .

$\text{Mediana} = 5$ .

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $96$ y la dividimos por $N$ .

$\overline{x} = \frac{96}{20} = 4.8$ .

3 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

$\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

$\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Calculamos la media aritmética:

$\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5$ .

Aplicamos la fórmula de la varianza:

$\displaystyle \sigma^2 = \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2 = 23.75$ .

Realizamos la raíz cuadrada de la varianza:

$\displaystyle \sigma = \sqrt{23.75} \approx 4.87$ .

4 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.$

Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

$\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.$

Moda

La moda es $5$ porque es el valor que más se repite.

$\displaystyle \text{Moda} = 5$ .

Mediana

La serie tiene un número par de puntuaciones, la mediana será la media entre las dos puntuaciones centrales.

$\displaystyle \text{Mediana} = \frac{5 + 5}{2} = 5$ .

Media

Aplicamos la fórmula de la media.

$\displaystyle \overline{x} = \frac{3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 9 + 5 + 2 + 8 + 6}{10} = 5.1$ .

5Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

1 $2, 3, 6, 8, 11.$

2 $12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

1 $2, 3, 6, 8, 11.$

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 6 + 8 + 11}{5} = 6.$

Desviación media

$\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{|2 - 6| + |3 - 6 | + |6 - 6| + |8 - 6| + |11 - 6|}{5} = 2.8 .$

Varianza

$\displaystyle \sigma^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 6^2 + 8^2 + 11^2}{5} - 6^2 = 10.8$ .

Desviación típica

$\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{10.8} \approx 3.286$ .

2 $12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.$

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5$ .

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|12 - 9.5| + |6 - 9.5| + |7 - 9.5| + |3 - 9.5|}{8}\\ &+ \frac{|15 - 9.5| + |10 - 9.5| + |18 - 9.5| + |5 - 0.5|}{8}\\ &= 4.25 \end{align*}$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2\\ &= 23.75 \end{align*}$

Desviación típica

$\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{23.75} \approx 4.87$ .

6Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

	$f_i$
$[38, 44)$	$7$
$[44, 50)$	$8$
$[50, 56)$	$15$
$[56, 62)$	$25$
$[62, 68)$	$18$
$[68, 74)$	$9$
$[74, 80)$	$6$

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose las siguiente tabla:

	$f_i$
$[38, 44)$	$7$
$[44, 50)$	$8$
$[50, 56)$	$15$
$[56, 62)$	$25$
$[62, 68)$	$18$
$[68, 74)$	$9$
$[74, 80)$	$6$

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

Agregamos una nueva columna donde disponemos las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ):

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a $N = 88$ .

	$f_i$	$F_i$
$[38, 44)$	$7$	$7$
$[44, 50)$	$8$	$15$
$[50, 56)$	$15$	$30$
$[56, 62)$	$25$	$55$
$[62, 68)$	$18$	$73$
$[68, 74)$	$9$	$82$
$[74, 80)$	$6$	$88$
	$88$

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas

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7Dadas las series estadísticas:

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Calcular

- La moda, la mediana y la media.

- La desviación media, la varianza y la desviación típica.

- Los cuartiles $1$ y $3$ .

- Los deciles $2$ y $7$ .

Los percentiles $32$ y $85$ .

Dadas las series estadísticas:

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Calcular

- La moda, la mediana y la media.

- La desviación media, la varianza y la desviación típica.

- Los cuartiles $1$ y $3$ .

- Los deciles $2$ y $7$ .

Los percentiles $32$ y $85$ .

a) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.$

Moda

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

$\displaystyle 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.$

Por lo tanto la mediana es

$\displaystyle \text{Mediana} = 5$ .

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{7} = 5.143$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{7} - 5.143^2\\ &= 4.978 \end{align*}$

Desviación típica

$\begin{align*} \sigma &= \sqrt{4.978}\\ &\approx 2.231 \end{align*}$

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 5.143| + |3 - 5.143| + |4 - 5.143| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 5.143| + |7 - 5.143| + |9 - 5.143|}{7}\\ &= 1.878 \end{align*}$

Rango

$\displaystyle R = 9 - 2 = 7$

Cuartiles

$\displaystyle 2, \underbrace{3}_{Q_1}, 4, \underbrace{5}_{Q_2}, 6, \underbrace{7}_{Q_3}, 9$

Deciles

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n$

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{7}{10}\right) 2 = 1.4 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 3\\ \left( \frac{7}{10}\right) 7 = 4.9 \to 5 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}$

Percentiles

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n$

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{7}{100}\right) 32 = 2.24 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 4\\ \left( \frac{7}{100}\right) 85 = 5.95 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}$

b) $3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.$

Moda

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

$\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.$

Por lo tanto la mediana es

$\displaystyle \text{Mediana} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5$ .

Media

$\displaystyle \overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{8} = 4.625$

Varianza

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{8} - 4.625 ^2\\ &= 6.234 \end{align*}$

Desviación típica

$\begin{align*} \sigma &= \sqrt{6.234}\\ &\approx 2.497 \end{align*}$

Desviación media

$\begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 4.625| + |3 - 4.625| + |4 - 4.625| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 4.625| + |7 - 4.625| + |9 - 4.625| + |1 - 4.625|}{8}\\ &= 2.123 \end{align*}$

Rango

$\displaystyle R = 9 - 1 = 8$

Cuartiles

$\displaystyle 1, \underbrace{2, 3}_{Q_1 = 2.5}, \underbrace{4, 5}_{Q_2 = 4.5}, \underbrace{6, 7}_{Q_3 = 6.5}, 9$

Deciles

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n$

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{8}{10}\right) 2 = 1.6 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 2\\ \left( \frac{8}{10}\right) 7 = 5.6 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}$

Percentiles

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

$\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n$

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

$\begin{align*} \left( \frac{8}{100}\right) 32 = 2.56 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 3\\ \left( \frac{8}{100}\right) 85 = 6.8 \to 7 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}$

8 Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	$f_i$
$[10, 15)$	$3$
$[15, 20)$	$5$
$[20, 25)$	$7$
$[25, 30)$	$4$
$[30, 35)$	$2$

Hallar:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media y varianza.

c) Los cuartiles $1 \qquad$ y $\qquad 3$ .

d) Los deciles $\qquad 3 \qquad$ y $\qquad 6$ .

e) Los percentiles $\qquad 30 \qquad$ y $\qquad 70$ .

Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

	$f_i$
$[10, 15)$	$3$
$[15, 20)$	$5$
$[20, 25)$	$7$
$[25, 30)$	$4$
$[30, 35)$	$2$

Hallar:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media y varianza.

c) Los cuartiles $1 \qquad$ y $\qquad 3$ .

d) Los deciles $\qquad 3 \qquad$ y $\qquad 6$ .

e) Los percentiles $\qquad 30 \qquad$ y $\qquad 70$ .

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada ( $F_i$ ) para calcular la mediana.

El producto de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) para calcular la media.

La desviación respecto a la media $\qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) \qquad$ y su producto por la frecuencia absoluta $\qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) f_i \qquad$ para calcular la desviación media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta ( $x_i^2 f_i$ ) para calcular la varianza y la desviación típica

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i f_i$	$\qquad \left\| x - \overline{x} \right\| f_i \qquad$	$x_i^2 f_i$
$[10, 15)$	$12.5$	$3$	$3$	$37.5$	$27.857$	$468.75$
$[15, 20)$	$17.5$	$5$	$8$	$87.5$	$21.429$	$1537.3$
$[20, 25)$	$22.5$	$7$	$15$	$157.5$	$5$	$3543.8$
$[25, 30)$	$27.5$	$4$	$19$	$110$	$22.857$	$3025$
$[30, 35)$	$32.5$	$2$	$21$	$65$	$21.429$	$2112.5$
		$21$		$457.5$	$98.571$	$10681.25$

Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta ( $f_i$ )

La clase modal es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$\text{Límite inferior} = 20$ .

$f_i = 7$ .

$f_{i-1} = 5$ .

$f_{i + 1} = 4.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Moda} = 20 + \left( \frac{7 - 5}{(7 - 5) + (7 - 4)} \right) (5) = 22$

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N$ por $2$ porque la mediana es el valor central,

$\displaystyle \frac{21}{2} = 10.5$ .

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $10.5$

Clase de la mediana: $[20, 25)$ .

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20$ .

$\frac{21}{2} = 10.5$ .

$f_i = 7$ .

$F_{i - 1} = 8$ .

$a_i = 5$ .

$\displaystyle \text{Mediana} = 20 + \left( \frac{10.5 - 8}{7} \right) (5) = 21.786$ .

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta ( $x_i f_i$ ) que es $457.5$ y la dividimos por $N = 21$

$\displaystyle \overline{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79$

Desviación media

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes $\qquad \left( |x - \overline{x}| f_i \right)\qquad$ que es $\qquad 98.571 \qquad$ y dividimos por $\qquad N$

$\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{98.571}{21} = 4.694$

Varianza

Calculamos la sumatoria de $x_i^2 f_i = 10681.25$ , la dividimos por $N$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado, $21.79^2$ .

$\begin{align*} \sigma^2 &= \frac{10681.25}{21} - 21.79^2 \\ &= 33.83 \end{align*}$

Desviación típica

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

$\displaystyle \sigma = \sqrt{33.83} \approx 5.83$

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando $1$ por $\qquad N = 25 \qquad$ y dividiendo por $\qquad 4$

$\displaystyle \frac{(1)(21)}{4} = 5.25$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $\qquad 5.25$

La clase de $Q_1$ es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_1 = 15 + \left( \frac{5.25 - 3}{5} \right)(5) = 17.25$

Cálculo del tercer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando $3$ por $N = 21$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(3)(25)}{4} = 15.75$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $15.75$

La clase de $Q_3$ es: $[25, 30)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 25.$

$F_{i-1} = 15.$

$f_i = 4.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_3 = 25 + \left( \frac{15.75 - 15}{4} \right)(5) = 25.94$

Deciles

Cálculo del tercer decil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer decil, multiplicando $3$ por $N = 21$ y dividiendo por $10$

$\displaystyle \frac{(3)(21)}{10} = 6.3$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $6.3$

La clase de $D_3$ es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle D_3 = 15 + \left( \frac{6.3 - 3}{5} \right)(5) = 18.3$

Cálculo del sexto decil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el sexto decil, multiplicando $6$ por $N = 21$ y dividiendo por $10$

$\displaystyle \frac{(6)(21)}{10} = 12.6$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $6.3$

La clase de $D_6$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 8.$

$f_i = 7.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle D_6 = 20 + \left( \frac{12.6 - 8}{7} \right)(5) = 23.29$

Percentiles

El percentil $30$ es igual al decil $3$

$\displaystyle P_{30} = D_3 = 18.3.$

Cálculo del percentil 70

Buscamos el intervalo donde se encuentra el percentil $70$ , multiplicando $70$ por $N = 21$ y dividiendo por $100$

$\displaystyle \frac{(70)(21)}{100} = 14.7$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $14.7$

La clase de $P_{70}$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de percentiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 8.$

$f_i = 7.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle P_{70} = 20 + \left( \frac{14.7 - 8}{7} \right)(5) = 24.79$

9Dada la distribución estadística:

	$f_i$
$[0, 5)$	$3$
$[5, 10)$	$4$
$[10, 15)$	$7$
$[15, 20)$	$8$
$[20, 25)$	$2$
$[25, \infty)$	$6$

Hallar:

a) La mediana y moda.

b) Cuartil $1$ y $3$ .

c) Media.

Dada la distribución estadística:

	$f_i$
$[0, 5)$	$3$
$[5, 10)$	$4$
$[10, 15)$	$7$
$[15, 20)$	$8$
$[20, 25)$	$2$
$[25, \infty)$	$6$

Calcular:

a) La mediana y moda.

b) Cuartil $1$ y $3$ .

c) Media.

Ampliamos la tabla con otra columna donde disponemos la frecuencia acumulada ( $F_i$ ):

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a $N = 31$ .

	$x_i$	$f_i$	$F_i$
$[0, 5)$	$2.5$	$3$	$3$
$[5, 10)$	$7.5$	$5$	$8$
$[10, 15)$	$12.5$	$7$	$15$
$[15, 20)$	$17.5$	$8$	$23$
$[20, 25)$	$22.5$	$2$	$25$
$[25, \infty)$		$6$	$31$
		$31$

Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta ( $f_i$ )

La clase modal es: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Límite inferior: $15$

$f_i = 8.$

$f_{i-1} = 7.$

$f_{i+1} = 2.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Moda} = 15 + \left( \frac{8 - 7}{(8-7) + (8-2)} \right) (5) = 15.71$

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N$ por $2$ porque la mediana es el valor central

$\displaystyle \frac{31}{2} = 15.5$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_{i}$ ) el intervalo que contiene a $15.5$

Clase de la mediana: $[15, 20)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 15.$

$f_i = 8.$

$F_{i-1} = 15.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle \text{Mediana} = 15 + \left( \frac{15.5 - 15}{8} \right) (5) = 15.31$

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando $1$ por $N = 31$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(1)(31)}{4} = 7.75$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas ( $F_i$ ) el intervalo que contiene a $7.75$

La clase de $Q_1$ es: $[5, 10)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 5.$

$F_{i-1} = 3.$

$f_i = 5.$

$a_i =5.$

$\displaystyle Q_1 = 5 + \left( \frac{7.75 - 3}{5} \right) (5) = 9.75$

Cálculo del tercer cuartil

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando $3$ por $N = 31$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{(3)(31)}{4} = 23.25$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas $F_i$ ) el intervalo que contiene a $23.25$

La clase de $Q_3$ es: $[20, 25)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i = 20.$

$F_{i-1} = 23.$

$f_i = 2.$

$a_i = 5.$

$\displaystyle Q_3 = 20 + \left( \frac{23.25 - 23}{2} \right) (5) = 20.63$

Media

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

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Marta

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herrera
Invité

15 May.

Me ayudó mucho estos ejercicios (algunos porque otros no los e visto) pero en general me ayudó a poder aclarar algunas dudas.

maría cubillos
Invité

23 Ago.

Buen día. Agradezco el que usted comparta su conocimiento con las diferentes personas que acuden a su página. Es interesante y útil para quienes no nos gusta la estadística por el miedo que ciertos docentes nos inculcaron acerca de la matemática y nos crearon una limitante. Gracias.

Superprof
Administrateur

5 Sep.

Hola María, gracias por tu mensaje. Nos alegramos mucho saber que nuestros Superestudiantes aprecian nuestro trabajo. 😉

Flores
Invité

4 Oct.

Muchísimas gracias Licenciada Marta, saludos.

coloma
Invité

7 Oct.

Me ayudo mucho ,gracias ,

López
Invité

11 Oct.

Gracias por aclarar mis dudas. Su explicación es muy fluida y sencilla. Saludos

pereira
Invité

27 Oct.

extraordinario. ejercicios muy didácticos. gracias

Currás
Invité

26 Nov.

Como se encuentra el rendimiento más frecuente?

Superprof
Administrateur

26 May.

Hola, en estadistica, el valor con mayor frecuencia de una distribución de datos es la moda. ¿Nos puedes escribir con un ejemplo concreto para poder contestar de manera más precisa?

pulido
Invité

25 Abr.

vasos de agua que se toma 30 personas al dia por 8 dias
X fi FI
(2 – 5) 2 2
(5- 10) 3 5
(10- 15) 5 10
(15- 20) 8 18
( 20 -25) 5 23
(25- 30) 2 25
(30-35) 3 28
(35-40) 2 30
30

Cárdenas
Invité

14 Jul.

Me ayudó mucho con los ejercicios gracias

Superprof
Administrateur

16 Jul.

¡Genial! 🙂

Estadística, tipo de variables y cálculo de medidas de tendencia central

Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas

Ejercicios sobre construcción de tabla de distribución de frecuencias

Polígono de frecuencias

Diagrama de barras

Diagrama de barras

Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias

Histograma

Histograma

Ejercicios sobre medidas de tendencia central

Moda

Mediana

Media

Desviación media

Rango

Varianza

Desviación típica

Moda

Mediana

Media

Moda

Mediana

Media

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Moda

Mediana

Media

Varianza

Desviación típica

Desviación media

Rango

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Moda

Mediana

Media

Varianza

Desviación típica

Desviación media

Rango

Cuartiles

Deciles

Percentiles

Moda

Mediana

Media

Desviación media

Varianza

Desviación típica

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Deciles

Cálculo del tercer decil

Cálculo del sexto decil

Percentiles

Cálculo del percentil 70

Moda

Mediana

Cuartiles

Cálculo del primer cuartil

Cálculo del tercer cuartil

Media

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Resumen

Resumen de Estadística descriptiva

Teoría

Diagrama de barras y poligonos de frecuencias

¿Que es una histograma?

¿Que es la mediana y como calcularla?

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