Indica cuáles variables son cualitativas y cuáles cuantitativas

 

Opta por las clases particulares matematicas madrid que te ofrecemos en Superprof para conseguir tus mejores resultados y alcanzar tus objetivos.

 

Para ello, te damos unas breves pautas de ejemplos de variables cualitativas y cuantitativas:

 

1 Comida Favorita.

 

2 Profesión que te gusta.

 

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

 

4 Número de alumnos de tu Instituto.

 

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

 

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

 

 

Indica cuáles variables son cualitativas y cuales cuantitativas:

 

1 Comida Favorita.

Cualitativa

 

2 Profesión que te gusta.

Cualitativa

 

3 Número de goles marcados por tu equipo favorito en la última temporada.

Cuantitativa

 

4 Número de alumnos de tu Instituto.

Cuantitativa

 

5 El color de los ojos de tus compañeros de clase.

Cualitativa

 

6 Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase.

Cuantitativa

 

Superprof

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas

 

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

 

2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

 

3 Período de duración de un automóvil.

 

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

 

5 Número de hijos de 50 familias.

 

6 Censo anual de los españoles.

 

 

De las siguientes variables indica cuáles son discretas y cuales continuas.

 

1 Número de acciones vendidas cada día en la Bolsa.

Discreta

 

2 Temperaturas registradas cada hora en un observatorio.

Continua

 

3 Período de duración de un automóvil.

Continua

 

4 El diámetro de las ruedas de varios coches.

Continua

 

5 Número de hijos de 50 familias.

Discreta

 

6 Censo anual de los españoles.

Discreta

 

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas

 

1 La nacionalidad de una persona.

 

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

 

3 Número de libros en un estante de librería.

 

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

 

5 La profesión de una persona.

 

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

 

 

Clasificar las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas, y en discretas o continuas.

 

1 La nacionalidad de una persona.

Cualitativa

 

2 Número de litros de agua contenidos en un depósito.

Cuantitativa y continua

 

3 Número de libro en un estante de librería.

Cuantitativa y discreta

 

4 Suma de puntos tenidos en el lanzamiento de un par de dados.

Cuantitativa y discreta

 

5 La profesión de una persona.

Cualitativa

 

6 El área de las distintas baldosas de un edificio.

Cuantitativa y continua

 

Ejercicios sobre construcción de tabla de distribución de frecuencias

 

1 Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

 

\displaystyle 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

 

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el polígono de frecuencias.

 

 

Las puntuaciones obtenidas por un grupo en una prueba han sido:

 

\displaystyle 15, 20, 15, 18, 22, 13, 13, 16, 15, 19, 18, 15, 16, 20, 16, 15, 18, 16, 14, 13.

 

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el
polígono de frecuencias.

 

x_iRecuentof_iF_in_iN_i
13\text{III}330.150.15
14\text{I}140.050.20
15\text{V}590.250.45
16\text{IIII}4130.200.65
18\text{III}3160.150.80
19\text{I}1170.050.85
20\text{II}2190.100.95
22\text{I}1200.051
20

 

    • En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada F_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

    • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a N = 20.

 

    • En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas, n_i, que
      son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por N.

 

    • En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

 

  • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a 1.

 

Polígono de frecuencias

 

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas

 

 

Polígono de frecuencias representacion grafica

 

 

 

2 El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

 

     \begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}

 

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

 

 

El número de estrellas de los hoteles de una ciudad viene dado por la siguiente serie:

 

     \begin{align*} & 3, 3, 4, 3, 4, 3, 1, 3, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2,\\ & 2, 2, 3, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 4, 1. \end{align*}

 

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el diagrama de barras.

 

x_iRecuentof_iF_in_iN_i
1\text{VI}660.1580.158
2\text{XII}12180.3160.474
3\text{XVI}16340.4210.895
4\text{IIII}4380.1051
381

 

    • En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada F_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

    • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a N = 38.

 

    • En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas (n_i) que
      son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por N.

 

    • En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

 

  • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a 1.

 

Diagrama de barras

 

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

 

diagrama Gráfica de barras

 

3 Las calificaciones de 50 alumnos han sido las siguientes:

 

     \begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}

 

Construir la tabla de distribución de frecuencias y dibuja el diagrama de barras.

 

 

Las calificaciones de 50 alumnos han sido las siguientes:

 

     \begin{align*} & 5, 2, 4, 9, 7, 4, 5, 6, 5, 7, 7, 5, 5, 2, 10, 5, 6, 5, 4, 5, 8, 8, 4, 0, 8, 4, 8, 6, 6,\\ & 3, 6, 7, 6, 6, 7, 6, 7, 3, 5, 6, 9, 6, 1, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 7. \end{align*}

 

Pasos para construir la tabla de distribución de frecuencias y dibujar el
diagrama de barras.

 

x_if_iF_in_iN_i
0110.020.02
1120.020.04
2240.040.08
3370.060.14
46130.120.26
511240.220.48
612360.240.72
77430.140.86
84470.080.94
92490.040.98
101500.021
501

 

    • En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada F_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

    • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a N = 50.

 

    • En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas (n_i) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por N.

 

    • En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

 

  • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a 1

 

Diagrama de barras

 

En eje de abscisas van los datos y en el de ordenadas las frecuencias absolutas.

 

 

Gráfica de barras

 

 

Ejercicios de tabla de frecuencias, histograma y polígonos de frecuencias

 

1 Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

 

Pesof_i
 [50, 60) 8
[60, 70)10
[70, 80)16
[80,90)14
[90, 100)10
[100, 110)5
[110, 120)2

 

a) Construir la tabla de frecuencias.

 

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

 

 

Los pesos de los 65 empleados de una fábrica vienen dados por la siguiente tabla:

 

Pesof_i
 [50, 60) 8
[60, 70)10
[70, 80)16
[80,90)14
[90, 100)10
[100, 110)5
[110, 120)2

 

a) Construir la tabla de frecuencias.

 

x_if_iF_in_iN_i
[50, 60)55880.120.12
[60, 70)6510180.150.27
[70, 80)7516340.240.51
[80,90)8514480.220.73
[90, 100)9510580.150.88
[100, 110)1055630.080.96
[110, 120)1152650.030.99
65

 

    • En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada F_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

    • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a N = 65.

 

    • En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas (n_i) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por N.

 

    • En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

 

  • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a 1.

 

b) Representar el histograma y el polígono de frecuencias.

 

Histograma

 

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

 

Histograma y poligono de frecuencias

 

 

2Los  40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre 50, en un examen de Física.

 

     \begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}

 

a)Construir la tabla de frecuencias.

 

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias

 

Los  40 alumnos de una clase han obtenido las siguientes puntuaciones sobre 50, en un examen de Física.

 

     \begin{align*} & 3, 35, 30, 37, 27, 31, 41, 20, 16, 26, 45, 37, 9, 41, 28, 21, 31, 35, 10, 26, 11,\\ & 34, 36, 12, 22, 17, 33, 43, 19, 48, 38, 25, 36, 32, 38, 28, 30, 36, 39, 40. \end{align*}

 

a) Construir la tabla de frecuencias.

 

x_if_iF_in_iN_i
[0, 5)2.5110.0250.025
[5, 10)7.5120.0250.050
[10, 15)12.5350.0750.125
[15, 20)17.5380.0750.200
[20, 25)22.53110.0750.275
[25, 30)27.56170.1500.425
[30, 35)32.57240.1750.600
[35, 40)37.510340.2500.850
[40, 45)47.54380.1000.950
[45, 50)47.52400.0501.000
401

 

    • En la cuarta columna disponemos la frecuencia acumulada F_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

    • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a N = 40.

 

    • En la quinta columna disponemos las frecuencias relativas (n_i) que son el resultado de dividir cada frecuencia absoluta por N.

 

    • En la sexta columna disponemos la frecuencia relativa acumulada N_i.

 

    • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia relativa.

 

  • En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia relativa acumulada anterior más la frecuencia relativa acumulada correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a 1.

 

b) Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias.

 

Histograma

 

El polígono de frecuencias lo construimos uniendo los puntos medios de cada rectángulo

 

Histograma de frecuencias dibujo

 

 

Ejercicios sobre medidas de tendencia central

 

1 Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

x_if_i
615
6418
6742
7027
738

 

Calcular:

 

a) La moda, mediana y media.

 

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

 

Sea una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

x_if_i
615
6418
6742
7027
738

 

Calcular:

 

a) La moda, mediana y media.

 

b) El rango, desviación media, varianza y desviación típica.

 

Completamos la tabla con:

 

    • La frecuencia acumulada (F_i) para calcular la mediana

 

    • El producto de la variable por su frecuencia absoluta (x_i f_i) para calcular la media

 

    • La desviación respecto a la media \left( |x - \overline{x}| \right) y su producto por la frecuencia absoluta \left( |x - \overline{x}| f_i \right) para calcular la desviación media

 

  • El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (x_i^2 f_i) para calcular la varianza y la desviación típica

 

x_if_iF_ix_i f_i|x_i - \overline{x}||x_i - \overline{x}| f_ix_i^2 f_i
61553056.4532.2518605
64182311523.4562.1073728
67426528140.4518.90188538
71279218902.5568.85132300
7381005845.5544.4042632
1006745226.50455803

 

Moda

 

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

 

Miramos en la columna de las f_i y la frecuencia absoluta mayor, 42,corresponde a x_i = 67.

 

\text{Moda} = 67.

 

Mediana

 

Para calcular la mediana dividimos N = 100 entre 2 y vemos que la casilla de las F_i donde se encuentra que la F_i mas cercana a 50 es 65 y corresponde a x_i = 67.

 

\frac{100}{2} = 50

 

\text{Mediana} = 67

 

Media

 

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (x_i f_i) que es 6745 y la dividimos por N = 100.

 

\overline{x} = \frac{6745}{100} = 67.45

 

Desviación media

 

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes \left( |x_i - \overline{x}| f_i \right) que es 226.5 y dividimos por N.

 

D_{\overline{x}} = \frac{226.5}{100} = 2.265

 

Rango

 

Realizamos la la diferencia entre el mayor y el menor de los valores

 

r = 73 - 61 = 12.

 

Varianza

 

Calculamos la sumatoria de x_i^2 f_i = 455803, la dividimos por N = 100 y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (67.45)^2

 

\sigma^2 = \frac{455803}{100} - 67.45^2 = 8.53.

 

Desviación típica

 

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

 

\sigma = \sqrt{8.53} = 2.95

 

 

2 Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

 

\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

 

 

Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números:

 

\displaystyle 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

 

Creamos una tabla con las siguientes columnas:

 

    • Los valores de la variable (\qquad x_i \qquad).

 

    • Las frecuencias absolutas (\qquad f_i \qquad).

 

    • Las frecuencias acumuladas (\qquad F_i \qquad) para calcular la mediana.

 

  • El producto de la variable por su frecuencia absoluta (\qquad x_i f_i\qquad) para calcular la media.

 

x_if_iF_ix_i f_i
2224
3246
45920
561530
621712
832024
2096

 

Moda

 

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.

 

Miramos en la columna de las f_i y la frecuencia absoluta mayor, 6, corresponde a x_i = 5.

 

\text{Moda} = 5.

 

Mediana

 

Para calcular la mediana dividimos N = 20 entre 2 y vemos que la casilla de las F_i donde se encuentra 10 corresponde a x_i = 5.

 

\text{Mediana} = 5.

 

Media

 

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (x_i f_i) que es 96 y la dividimos por N.

 

\overline{x} = \frac{96}{20} = 4.8.

 

 

3 Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

 

\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

 

Hallar la varianza y la desviación típica de la siguiente serie de datos:

 

\displaystyle 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

Calculamos la media aritmética:

 

\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5.

 

Aplicamos la fórmula de la varianza:

 

\displaystyle \sigma^2 = \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2 = 23.75.

 

Realizamos la raíz cuadrada de la varianza:

 

\displaystyle \sigma = \sqrt{23.75} \approx 4.87.

 

 

4 Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

 

\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

 

 

Hallar la media, mediana y moda de la siguiente serie de números:

 

\displaystyle 3, 5, 2, 6, 5, 9, 5, 2, 8, 6.

 

Moda

 

La moda es 5 porque es el valor que más se repite.

 

\displaystyle \text{Moda} = 5.

 

Mediana

 

La serie tiene un número par de puntuaciones, la mediana será la media entre las dos puntuaciones centrales.

 

\displaystyle \text{Mediana} = \frac{5 + 5}{2} = 5.

 

Media

 

Aplicamos la fórmula de la media.

 

\displaystyle \overline{x} = \frac{3 + 5 + 2 + 6 + 5 + 9 + 5 + 2 + 8 + 6}{10} = 5.1.

 

 

5Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

 

1  2, 3, 6, 8, 11.

 

2  12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

 

Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

 

1 2, 3, 6, 8, 11.

 

Media

 

\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 6 + 8 + 11}{5} = 6.

 

Desviación media

 

\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{|2 - 6| + |3 - 6 | + |6 - 6| + |8 - 6| + |11 - 6|}{5} = 2.8 .

 

Varianza

 

\displaystyle \sigma^2 = \frac{2^2 + 3^2 + 6^2 + 8^2 + 11^2}{5} - 6^2 = 10.8 .

 

Desviación típica

 

\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{10.8} \approx 3.286.

 

2 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

Media

 

\displaystyle \overline{x} = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9.5.

 

Desviación media

 

     \begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|12 - 9.5| + |6 - 9.5| + |7 - 9.5| + |3 - 9.5|}{8}\\ &+ \frac{|15 - 9.5| + |10 - 9.5| + |18 - 9.5| + |5 - 0.5|}{8}\\ &= 4.25 \end{align*}

.

 

Varianza

 

     \begin{align*} \sigma^2 &= \frac{12^2 + 6^2 + 7^2 + 3^2 + 15^2 + 10^2 + 18^2 + 5^2}{8} - 9.5^2\\ &= 23.75 \end{align*}

 

Desviación típica

\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{23.75} \approx 4.87.

 

 

6Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose la siguiente tabla:

 

f_i
[38, 44)7
[44, 50)8
[50, 56)15
[56, 62)25
[62, 68)18
[68, 74)9
[74, 80)6

 

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

 

 

Se ha aplicado un test a los empleados de una fábrica, obteniéndose las siguiente tabla:

 

f_i
[38, 44)7
[44, 50)8
[50, 56)15
[56, 62)25
[62, 68)18
[68, 74)9
[74, 80)6

 

Dibujar el histograma y el polígono de frecuencias acumuladas.

 

Agregamos una nueva columna donde disponemos las frecuencias acumuladas (F_i):

 

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que ser igual a N = 88.

 

f_iF_i
[38, 44)77
[44, 50)815
[50, 56)1530
[56, 62)2555
[62, 68)1873
[68, 74)982
[74, 80)688
88

 

Histograma y polígono de frecuencias acumuladas

 

¿Necesitas clases particulares matematicas? ¡En Superprof te encontramos al profesor que mejor se adapte a lo que buscas!

7Dadas las series estadísticas:

 

a)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

 

b)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

 

Calcular

 

    • La moda, la mediana y la media.

 

    • La desviación media, la varianza y la desviación típica.

 

    • Los cuartiles 1 y 3.

 

    • Los deciles 2 y 7.

 

  • Los percentiles 32 y 85.

 

 

Dadas las series estadísticas:

 

a)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

 

b)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

 

Calcular

 

    • La moda, la mediana y la media.

 

    • La desviación media, la varianza y la desviación típica.

 

    • Los cuartiles 1 y 3.

 

    • Los deciles 2 y 7.

 

  • Los percentiles 32 y 85.

 

a)   3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

 

Moda

 

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

 

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

 

\displaystyle 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.

 

Por lo tanto la mediana es

 

\displaystyle \text{Mediana} = 5.

 

Media

\displaystyle \overline{x} = \frac{2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{7} = 5.143

 

Varianza

 

     \begin{align*} \sigma^2 &= \frac{2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{7} - 5.143^2\\ &= 4.978 \end{align*}

 

Desviación típica

 

     \begin{align*} \sigma &= \sqrt{4.978}\\ &\approx 2.231 \end{align*}

 

Desviación media

 

     \begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 5.143| + |3 - 5.143| + |4 - 5.143| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 5.143| + |7 - 5.143| + |9 - 5.143|}{7}\\ &= 1.878 \end{align*}

 

Rango

 

\displaystyle R = 9 - 2 = 7

 

Cuartiles

\displaystyle 2, \underbrace{3}_{Q_1}, 4, \underbrace{5}_{Q_2}, 6, \underbrace{7}_{Q_3}, 9

 

Deciles

 

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

 

\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n

 

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

 

     \begin{align*} \left( \frac{7}{10}\right) 2 = 1.4 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 3\\ \left( \frac{7}{10}\right) 7 = 4.9 \to 5 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}

 

Percentiles

 

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

 

\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n

 

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

 

     \begin{align*} \left( \frac{7}{100}\right) 32 = 2.24 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 4\\ \left( \frac{7}{100}\right) 85 = 5.95 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}

 

b)  3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

Moda

 

No existe moda porque todas las puntuaciones tienen la misma frecuencia.

 

Mediana

Ordenando los datos tenemos:

 

\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.

 

Por lo tanto la mediana es

 

\displaystyle \text{Mediana} = \frac{4 + 5}{2} = 4.5.

 

Media

\displaystyle \overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 9}{8} = 4.625

 

Varianza

 

     \begin{align*} \sigma^2 &= \frac{1^1 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 9^2}{8} - 4.625 ^2\\ &= 6.234 \end{align*}

 

Desviación típica

 

     \begin{align*} \sigma &= \sqrt{6.234}\\ &\approx 2.497 \end{align*}

 

Desviación media

 

     \begin{align*} D_{\overline{x}} &= \frac{|2 - 4.625| + |3 - 4.625| + |4 - 4.625| + |5 - 5.143|}{7}\\ &+ \frac{ |6 - 4.625| + |7 - 4.625| + |9 - 4.625| + |1 - 4.625|}{8}\\ &= 2.123 \end{align*}

 

Rango

 

\displaystyle R = 9 - 1 = 8

 

Cuartiles

\displaystyle 1, \underbrace{2, 3}_{Q_1 = 2.5}, \underbrace{4, 5}_{Q_2 = 4.5}, \underbrace{6, 7}_{Q_3 = 6.5}, 9

 

Deciles

 

Tenemos que la fórmula para la posición de los deciles está dada por

 

\displaystyle \left( \frac{N}{10}\right) n

 

Por lo tanto, los deciles que buscamos están en las posiciones:

 

     \begin{align*} \left( \frac{8}{10}\right) 2 = 1.6 \to 2 \qquad & \Rightarrow \qquad D_2 = 2\\ \left( \frac{8}{10}\right) 7 = 5.6 \to 6 \qquad & \Rightarrow \qquad D_7 = 6 \end{align*}

 

Percentiles

 

Tenemos que la fórmula para la posición de los percentiles está dada por

 

\displaystyle \left( \frac{N}{100}\right) n

 

Por lo tanto, los percentiles que buscamos están en las posiciones:

 

     \begin{align*} \left( \frac{8}{100}\right) 32 = 2.56 \to 3 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{32} = 3\\ \left( \frac{8}{100}\right) 85 = 6.8 \to 7 \qquad & \Rightarrow \qquad P_{85} = 7 \end{align*}

 

 

8 Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

 

f_i
[10, 15)3
[15, 20)5
[20, 25)7
[25, 30)4
[30, 35)2

 

Hallar:

 

a) La moda, mediana y media.

 

b) El rango, desviación media y varianza.

 

c) Los cuartiles 1 \qquad y  \qquad 3.

 

d) Los deciles  \qquad 3 \qquad y  \qquad 6.

 

e) Los percentiles  \qquad 30 \qquad y  \qquad 70.

 

 

Una distribución estadística viene dada por la siguiente tabla:

 

f_i
[10, 15)3
[15, 20)5
[20, 25)7
[25, 30)4
[30, 35)2

Hallar:

 

a) La moda, mediana y media.

 

b) El rango, desviación media y varianza.

 

c) Los cuartiles 1 \qquad y  \qquad 3.

 

d) Los deciles  \qquad 3 \qquad y  \qquad 6.

 

e) Los percentiles  \qquad 30 \qquad y  \qquad 70.

 

 

Completamos la tabla con:

 

La frecuencia acumulada (F_i) para calcular la mediana.

 

El producto de la variable por su frecuencia absoluta (x_i f_i) para calcular la media.

 

La desviación respecto a la media  \qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) \qquad y su producto por la frecuencia absoluta  \qquad \left( \left| x - \overline{x} \right| \right) f_i \qquad para calcular la desviación media

 

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (x_i^2 f_i) para calcular la varianza y la desviación típica

 

x_if_iF_ix_i f_i \qquad \left| x - \overline{x} \right| f_i \qquad x_i^2 f_i
[10, 15)12.53337.527.857468.75
[15, 20)17.55887.521.4291537.3
[20, 25)22.5715157.553543.8
[25, 30)27.541911022.8573025
[30, 35)32.52216521.4292112.5
21457.598.57110681.25

 

Moda

 

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta (f_i)

 

La clase modal es: [20, 25)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

\text{Límite inferior} = 20.

 

f_i = 7.

 

f_{i-1} = 5.

 

f_{i + 1} = 4.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle \text{Moda} = 20 + \left( \frac{7 - 5}{(7 - 5) + (7 - 4)} \right) (5) = 22

 

Mediana

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la N por 2 porque la mediana es el valor central,

 

\displaystyle \frac{21}{2} = 10.5.

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 10.5

 

Clase de la mediana: [20, 25).

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 20.

 

\frac{21}{2} = 10.5.

 

f_i = 7.

 

F_{i - 1} = 8.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle \text{Mediana} = 20 + \left( \frac{10.5 - 8}{7} \right) (5) = 21.786.

 

Media

 

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (x_i f_i) que es 457.5 y la dividimos por N = 21

 

\displaystyle \overline{x} = \frac{457.5}{21} = 21.79

 

Desviación media

 

Calculamos la sumatoria de de los productos de desviaciones respecto a la media por sus frecuencias absolutas correspondientes \qquad \left( |x - \overline{x}| f_i \right)\qquad que es \qquad 98.571 \qquad y dividimos por \qquad N

 

\displaystyle D_{\overline{x}} = \frac{98.571}{21} = 4.694

 

Varianza

 

Calculamos la sumatoria de x_i^2 f_i = 10681.25, la dividimos por N y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado, 21.79^2.

 

     \begin{align*} \sigma^2 &= \frac{10681.25}{21} - 21.79^2 \\ &= 33.83 \end{align*}

 

Desviación típica

 

Hacemos la raíz cuadrada de la varianza

 

\displaystyle \sigma = \sqrt{33.83} \approx 5.83

 

Cuartiles

 

Cálculo del primer cuartil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando 1 por  \qquad N = 25 \qquad y dividiendo por  \qquad 4

 

\displaystyle \frac{(1)(21)}{4} = 5.25

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a  \qquad 5.25

 

La clase de Q_1 es: [15, 20)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 15.

 

F_{i-1} = 3.

 

f_i = 5.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle Q_1 = 15 + \left( \frac{5.25 - 3}{5} \right)(5) = 17.25

 

Cálculo del tercer cuartil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por N = 21 y dividiendo por 4

 

\displaystyle \frac{(3)(25)}{4} = 15.75

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 15.75

 

La clase de Q_3 es: [25, 30)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 25.

 

F_{i-1} = 15.

 

f_i = 4.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle Q_3 = 25 + \left( \frac{15.75 - 15}{4} \right)(5) = 25.94

 

Deciles

 

Cálculo del tercer decil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer decil, multiplicando 3 por N = 21 y dividiendo por 10

 

\displaystyle \frac{(3)(21)}{10} = 6.3

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 6.3

 

La clase de D_3 es: [15, 20)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 15.

 

F_{i-1} = 3.

 

f_i = 5.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle D_3 = 15 + \left( \frac{6.3 - 3}{5} \right)(5) = 18.3

 

Cálculo del sexto decil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el sexto decil, multiplicando 6 por N = 21 y dividiendo por 10

 

\displaystyle \frac{(6)(21)}{10} = 12.6

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 6.3

 

La clase de D_6 es: [20, 25)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de deciles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 20.

 

F_{i-1} = 8.

 

f_i = 7.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle D_6 = 20 + \left( \frac{12.6 - 8}{7} \right)(5) = 23.29

 

Percentiles

 

El percentil 30 es igual al decil 3

 

\displaystyle P_{30} = D_3 = 18.3.

 

Cálculo del percentil 70

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el percentil 70, multiplicando 70 por N = 21 y dividiendo por 100

 

\displaystyle \frac{(70)(21)}{100} = 14.7

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 14.7

 

La clase de P_{70} es: [20, 25)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de percentiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 20.

 

F_{i-1} = 8.

 

f_i = 7.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle P_{70} = 20 + \left( \frac{14.7 - 8}{7} \right)(5) = 24.79

 

 

9Dada la distribución estadística:

 

f_i
[0, 5)3
[5, 10)4
[10, 15)7
[15, 20)8
[20, 25)2
[25, \infty)6

 

Hallar:

 

a) La mediana y moda.

 

b) Cuartil 1 y 3.

 

c) Media.

 

Dada la distribución estadística:

 

f_i
[0, 5)3
[5, 10)4
[10, 15)7
[15, 20)8
[20, 25)2
[25, \infty)6

 

Calcular:

 

a) La mediana y moda.

 

b) Cuartil 1 y 3.

 

c) Media.

 

Ampliamos la tabla con otra columna donde disponemos la frecuencia acumulada (F_i):

 

En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta.

 

En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a N = 31.

 

x_if_iF_i
[0, 5)2.533
[5, 10)7.558
[10, 15)12.5715
[15, 20)17.5823
[20, 25)22.5225
[25, \infty)631
31

 

Moda

 

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta (f_i)

 

La clase modal es: [15, 20)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

Límite inferior: 15

 

f_i = 8.

 

f_{i-1} = 7.

 

f_{i+1} = 2.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle \text{Moda} = 15 + \left( \frac{8 - 7}{(8-7) + (8-2)} \right) (5) = 15.71

 

Mediana

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la N por 2 porque la mediana es el valor central

 

\displaystyle \frac{31}{2} = 15.5

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_{i}) el intervalo que contiene a 15.5

 

Clase de la mediana: [15, 20)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 15.

 

f_i = 8.

 

F_{i-1} = 15.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle \text{Mediana} = 15 + \left( \frac{15.5 - 15}{8} \right) (5) = 15.31

 

Cuartiles

 

Cálculo del primer cuartil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando 1 por N = 31 y dividiendo por 4

 

\displaystyle \frac{(1)(31)}{4} = 7.75

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (F_i) el intervalo que contiene a 7.75

 

La clase de Q_1 es: [5, 10)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 5.

 

F_{i-1} = 3.

 

f_i = 5.

 

a_i =5.

 

\displaystyle Q_1 = 5 + \left( \frac{7.75 - 3}{5} \right) (5) = 9.75

 

Cálculo del tercer cuartil

 

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por N = 31 y dividiendo por 4

 

\displaystyle \frac{(3)(31)}{4} = 23.25

 

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas F_i) el intervalo que contiene a 23.25

 

La clase de Q_3 es: [20, 25)

 

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

L_i = 20.

 

F_{i-1} = 23.

 

f_i = 2.

 

a_i = 5.

 

\displaystyle Q_3 = 20 + \left( \frac{23.25 - 23}{2} \right) (5) = 20.63

 

Media

 

No se puede calcular la media, porque no se puede hallar la marca de clase del último intervalo.

Si quieres que tus hijos refuercen esta asignatura, no lo dudes y entra Superprof para encontrar clases de matematicas primaria o, si lo prefieres, un profesor de matematicas online.

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (75 votes, average: 4,05 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido

12
Publicar un comentario

avatar
  S’abonner  
Notifier de
herrera
herrera
Invité
15 May.

Me ayudó mucho estos ejercicios (algunos porque otros no los e visto) pero en general me ayudó a poder aclarar algunas dudas.

maría cubillos
maría cubillos
Invité
23 Ago.

Buen día. Agradezco el que usted comparta su conocimiento con las diferentes personas que acuden a su página. Es interesante y útil para quienes no nos gusta la estadística por el miedo que ciertos docentes nos inculcaron acerca de la matemática y nos crearon una limitante. Gracias.

Superprof
Superprof
Administrateur
5 Sep.

Hola María, gracias por tu mensaje. Nos alegramos mucho saber que nuestros Superestudiantes aprecian nuestro trabajo. 😉

Flores
Flores
Invité
4 Oct.

Muchísimas gracias Licenciada Marta, saludos.

coloma
coloma
Invité
7 Oct.

Me ayudo mucho ,gracias ,

López
López
Invité
11 Oct.

Gracias por aclarar mis dudas. Su explicación es muy fluida y sencilla. Saludos

pereira
pereira
Invité
27 Oct.

extraordinario. ejercicios muy didácticos. gracias

Currás
Currás
Invité
26 Nov.

Como se encuentra el rendimiento más frecuente?

Superprof
Superprof
Administrateur
26 May.

Hola, en estadistica, el valor con mayor frecuencia de una distribución de datos es la moda. ¿Nos puedes escribir con un ejemplo concreto para poder contestar de manera más precisa?

pulido
pulido
Invité
25 Abr.

vasos de agua que se toma 30 personas al dia por 8 dias
X fi FI
(2 – 5) 2 2
(5- 10) 3 5
(10- 15) 5 10
(15- 20) 8 18
( 20 -25) 5 23
(25- 30) 2 25
(30-35) 3 28
(35-40) 2 30
30

Cárdenas
Cárdenas
Invité
14 Jul.

Me ayudó mucho con los ejercicios gracias

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jul.

¡Genial! 🙂