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La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

La varianza se representa por \displaystyle \sigma ^{2}.

 

La fórmula de la varianza

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+...+(x_n-\bar{x})^{2}}{N}

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}}{N}

 

Ejemplos de cálculo de la varianza

 

1 Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.

 

 

Calculamos la media aritmética

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{9+3+8+8+9+8+9+18}{8}=9

 

 

Calculamos la varianza

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(9-9)^{2}+(3-9)^{2}+(8-9)^{2}}{8}+

\displaystyle + \frac{(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}}{8}+

\displaystyle + \frac{(9-9)^{2}+(18-9)^{2}}{8}=15

 

2 Calcular la varianza de la distribución: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

 

Calculamos la media aritmética

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{12+6+7+3+15+10+18+5}{8}=\frac{76}{8}=9.5

 

 

Calculamos la varianza

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(12-9.5)^{2}+(6-9.5)^{2}+(7-9.5)^{2}}{8} +

\displaystyle + \frac{(3-9.5)^{2}+(15-9.5)^{2}+(10-9.5)^{2}}{8}+

\displaystyle + \frac{(18-9.5)^{2}+(18-9.5)^{2}+(5-9.5)^{2}}{8}=23.75

 

 

3 Calcular la varianza de la distribución: 5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20, 23.

 

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos la media aritmética y luego la varianza.

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{5+5+12+13+15+15+15+20+20+23}{10}=\frac{143}{10}=14.3

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(5-14.3)^{2}+(5-14.3)^{2}+(12-14.3)^{2}}{10}+

 

\displaystyle + \frac{(13-14.3)^{2}+(15-14.3)^{2}+(15-14.3)^{2}}{10}+

 

\displaystyle + \frac{(13-14.3)^{2}+(20-14.3)^{2}+(20-14.3)^{2}}{10}+

 

\displaystyle + \frac{(23-14.3)^{2}}{10}=

 

\displaystyle =\frac{86.49+86.49+5.29+1.69+0.49+0.49}{10}+

 

\displaystyle =\frac{0.49+32.49+32.49+75.69}{10}=\frac{322.1}{10}=32.21

 

 

 

4 Calcular la varianza de la distribución: 150, 160, 164, 158, 183.

 

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos la media aritmética y luego la varianza.

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{150+160+164+158+183}{5}=\frac{815}{5}=163

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(150-163)^{2}+(160-163)^{2}+(164-163)^{2}}{5}+

 

\displaystyle + \frac{(158-163)^{2}+(183-163)^{2}}{5}=

 

\displaystyle + \frac{169+9+1+25+400}{5}=\frac{604}{5}=120.8

 

 

 

5  Calcular la varianza de la distribución: 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 4.

 

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos la media aritmética y luego la varianza.

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{2+3+2+3+1+2+2+3+1+1+4}{5}=\frac{22}{11}=2

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(2-2)^{2}+(3-2)^{2}+(2-2)^{2}+(3-2)^{2}}{11}+

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(1-2)^{2}+(2-2)^{2}+(2-2)^{2}+(3-2)^{2}+(1-2)^{2}}{11}+

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(1-2)^{2}+(4-2)^{2}}{11}=

 

\displaystyle \frac{0+1+0+1+1+0+0+1+1+1+4}{11}=\frac{10}{11}=0.91

 

 

Varianza para datos agrupados

 

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}f_1+(x_2-\bar{x})^{2}f_2+...+(x_n-\bar{x})^{2}f_n}{N}

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}f_i}{N}

 

 

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

 

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}{N} - \bar{x}^{2}

 

 

\displaystyle \sigma ^{2}=\sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}^{2}}{N} - \bar{x}^{2}

 

 

 

Ejemplo de cálculo de datos agrupados

 

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

 

 

x_i f_i x_i \cdot f_i x_i^{2} \cdot f_i
[10, 20) 15 1 15 225
[20, 30) 25 8 200 5000
[30,40) 35 10 350 12 250
[40, 50) 45 9 405 18 225
[50, 60 55 8 440 24 200
[60,70) 65 4 260 16 900
[70, 80) 75 2 150 11 250
42 1820 88050

 

 

Hemos añadido la columna x_i \cdot f_i  porque queremos hallar su sumatoria (1820) , que
después dividiremos por N (42) para obtener la media

 

\displaystyle \bar{x}=\frac{1820}{42}=43.33

 

Hemos añadido la columna x_i \cdot f_i porque queremos hallar su sumatoria (88050), que después dividiremos por N (42) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (43.33^{2})

.

\displaystyle \sigma ^{2}= \frac{88050}{42} - 43.33^{2}= 218.94

 

 

Propiedades de la varianza

 

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

 

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

 

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

 

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

 

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

 

\displaystyle \sigma ^{2}= \frac{\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}+...+\sigma _{n}^{2}}{n}

 

Si las muestras tienen distinto tamaño:

 

\displaystyle \sigma ^{2}= \frac{k_{1} \cdot \sigma _{1}^{2}+k_{2} \cdot\sigma _{2}^{2}+...+k_{n} \cdot\sigma _{n}^{2}}{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}

 

 

Observaciones sobre la varianza

 

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

 

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

 

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗