La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto
a la media
de una distribución estadística.

La varianza se representa por σ².

 

 

La fórmula de la varianza

 

Formula para calcular la varianza

 

Formula para calcular la varianza expresada con sigma

 

 

 

Ejemplos de cálculo de la varianza

 

1 Calcular la varianza de la distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18.

 

 

Calculamos la media aritmética

 

Media aritmetica

 

 

Calculamos la varianza

 

Varianza

 

 

2 Calcular la varianza de la distribución: 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

 

 

Calculamos la media aritmética

 

Calculando la media aritmética

 

 

Calculamos la varianza

 

 

 

3 Calcular la varianza de la distribución: 5, 5, 12, 13, 15, 15, 15, 20, 20,  23.

 

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos
la media aritmética y luego la varianza

 

Calculo de media aritmética y varianza

 

 

4 Calcular la varianza de la distribución: 150, 160, 164, 158, 183.

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos la media
aritmética y luego la varianza.

 

 

Calculando la media aritmética y la varianza

 

 

 

Calcular la varianza de la distribución: 2, 3, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 1, 4.

 

Usando las mismas etapas como en los ejemplos anteriores, primero calculamos la media
aritmética y luego la varianza.

 

 

Realizando el calculo de media aritmética y varianza

 

 

 

Varianza para datos agrupados

 

 

Formula de la varianza para datos agrupados Varianza para datos agrupados representada con sigma

 

 

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones
que son equivalentes a las anteriores.

 

Formula simplificada para la varianza

 

Formula simplificada para la varianza representada con sigma

 

 

 

Ejemplo de cálculo de datos agrupados

 

Calcular la varianza de la distribución de la tabla:

 

 

xifixi · fixi² · fi
[10, 20)15115225
[20, 30)2582005000
[30,40)351035012 250
[40, 50)45940518 225
[50, 6055844024 200
[60,70)65426016 900
[70, 80)75215011 250
42182088050

 

 

Hemos añadido la columna xi · fi porque queremos hallar su sumatoria (1820), que
después dividiremos por N (42) para obtener la media

 

Resultado de la media aritmetica

 

Hemos añadido la columna x²i · fi porque queremos hallar su sumatoria (88050), que
después dividiremos por N (42) y al resultado le restaremos la media aritmética al
cuadrado (43.33²)

 

Resultado de la varianza

 

 

Propiedades de la varianza

 

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las
puntuaciones sean iguales.

 

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza
no varía
.

 

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza
queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

 

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas
varianzas se puede calcular la varianza total.

 

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

 

Formula de varianza para muestras del mismo tamaño

 

Si las muestras tienen distinto tamaño:

 

Formula de varianza para muestras de distinto tamaño

 

 

Observaciones sobre la varianza

 

1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

 

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

 

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las
desviaciones están elevadas al cuadrado.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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