Cálculo de cuartiles de un conjunto de datos

Antes de empezar los ejercicios recordemos que Q_1, Q_2 y Q_3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos. Y que además Q_2 coincide con la mediana.

 

1 Calcular los cuartiles del conjunto 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9.

  • Comencemos ordenando en orden ascendente el conjunto de tal manera que obtenemos 2,  3, 4,  5, 6,  7, 9 y finalmente señalemos los distintos cuartiles:

    \begin{equation*}{\begin{array}{ccccccc}2, & 3, & 4, & 5, &6, & 7, &9 \\ &\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &  \\ & Q_{1} && Me && Q_{3} &  \end{array}}\end{equation*}

 

 

2 Calcular los cuartiles del conjunto 3, 5, 2, 7, 6, 4, 9, 1.

  • Comencemos ordenando en orden ascendente el conjunto de tal manera que obtenemos 1, 2,  3, 4,  5, 6,  7, 9.
  • En este caso Q_1=\frac{2+3}{2}=2.5
  • En este caso Q_2=Me=\frac{4+5}{2}=4.5
  • En este caso Q_3=\frac{6+7}{2}=6.5

 

3 Calcular los cuartiles del conjunto:

    \begin{equation*}10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18\end{equation*}

  • Ordenamos el conjunto 3,4,4,5,6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,10,11,12,13,13,14,16,16,17,18,18,20.
  • En este caso Q_1=\frac{26}{4}=6.5
  • En este caso Q_2=Me=10
  • En este caso Q_3=\frac{26\cdot 3}{4}=14

 

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Vamos

Cálculo de cuartiles usando distintas tablas

4 Calcula los cuartiles Q_1 y Q_3 de la siguiente tabla:

{f_{i}}
[10, 15) 3
[15, 20) 5
[20, 25) 7
[25, 30) 4
[30, 35) 2

{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[10, 15) 12.5 3 3
[15, 20) 17.5 5 8
[20, 25) 22.5 7 15
[25, 30) 27.5 4 19
[30, 35) 32.5 2 21
21

 

Cálculo del primer cuartil

  • Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando 1 por {N=21} y dividiendo por 4

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{1\cdot 21}{4}=5.25}\end{equation*}

  • Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas {(F_{i})} el intervalo que contiene a 5.25

 

  • La clase de {Q_{1}} es: [15, 20)

 

  • Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 15}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 3}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{1}=15+\displaystyle\frac{5.25-3}{5}\cdot 5=17.25}\end{equation*}

 

Cálculo del tercer cuartil

 

  • Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por {N=21} y dividiendo por 4

 

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{3\cdot 21}{4}=15.75}\end{equation*}

 

  • Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas {(F_{i})}\end{equation*} el intervalo que contiene a 15.75

 

  • La clase de {Q_{3}} es: [25, 30)

 

  • Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 25}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 15}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 4}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{3}=25+\displaystyle\frac{15.75-15}{4}\cdot 5=25.94}\end{equation*}

 

5Dada la distribución estadística:

{f_{i}}
[0, 5) 3
[5, 10) 5
[10, 15) 7
[15, 20) 8
[20, 25) 2
[25, {\infty}) 6

Calcular los Cuartiles Q_1 y Q_3.

Ampliamos la tabla con otra columna donde disponemos la frecuencia acumulada {(F_{i})}:

  • En la primera casilla colocamos la primera frecuencia absoluta. En la segunda casilla sumamos el valor de la frecuencia acumulada anterior más la frecuencia absoluta correspondiente y así sucesivamente hasta la última, que tiene que se igual a {N=31}, de la siguiente manera:

 

{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[0, 5) 2.5 3 3
[5, 10) 7.5 5 8
[10, 15) 12.5 7 15
[15, 20) 17.5 8 23
[20, 25) 22.5 2 25
[25, {\infty}) 6 31
31

Cálculo del primer cuartil

 

  • Buscamos el intervalo donde se encuentra el primer cuartil, multiplicando 1 por {N=31} y dividiendo por 4

 

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{1\cdot 31}{4}=7.75}\end{equation*}

 

  • Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas {(F_{i})} el intervalo que contiene a 7.75

 

  • La clase de {Q_{1}} es: [5, 10)

 

  • Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 3}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{1}=5+\displaystyle\frac{7.75-3}{5}\cdot 5=9.75}\end{equation*}

 

Cálculo del tercer cuartil

 

  • Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por {N=31} y dividiendo por 4

 

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{3\cdot 31}{4}=23.25}\end{equation*}

 

  • Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas {(F_{i})} el intervalo que contiene a 23.25

 

  • La clase de {Q_{3}} es: [20, 25)

 

  • Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 20}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 23}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 2}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 5}\end{equation*}

 

{Q_{3}=20+\displaystyle\frac{23.25-23}{2}\cdot 5= 20.63}\end{equation*}

 

Problema de distribución estadística

 

6 El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

 

 

histograma de distribución correspondiente al peso

 

¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

Construimos la tabla:

 

{x_{i}} {f_{i}} {F_{i}}
[60,63) 61.5 5 5
[63, 66) 64.5 18 23
[66, 69) 67.5 42 65
[69, 72) 70.5 27 92
[72, 75) 73.5 8 100
100

 

  • Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por {N=100} y dividiendo por 4

 

    \begin{equation*}{\displaystyle\frac{75}{100}\cdot 100=75}\end{equation*}

 

  • Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas {(F_{i})} el intervalo que contiene a 75

 

  • La clase de {Q_{3}} es: [69, 72)

 

  • Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

 

    \begin{equation*}{L_{i} = 69}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{F_{i-1}= 65}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{f_{i} = 27}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{a_{i} = 3}\end{equation*}

 

    \begin{equation*}{Q_{3}=69+\displaystyle\frac{75-65}{27}\cdot 3=70.11}\end{equation*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗