Ejercicios propuestos

1

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

 

A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y 10.15. ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

2

Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de cariesfini
0250.25
1200.2
2xz
3150.15
4y0.05
1Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z. 2Hacer un diagrama de sectores. 3Calcular el número medio de caries.

 

Un dentista observa el número de caries en cada uno de los 100 niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de cariesfini
0250.25
1200.2
2xz
3150.15
4y0.05

1. Completar la tabla obteniendo los valores x, y, z.

2. Hacer un diagrama de sectores.

3. Calcular el número medio de caries.

 

1. Tabla

La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a 1:

0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 = 1

0.65 + z = 1 z = 0.35

La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre 100, que es la suma de las frecuencias absolutas.

Nº de cariesfinifi · ni
0250.250
1200.220
2350.3570
3150.1545
450.0520
100155

 

2. Diagrama de sectores

Calculamos los grados que corresponden a cada frecuencia absoluta.

25 · 3.6 = 90º 20 · 3.6 = 72º 35 · 3.6 = 126º

15 · 3.6 = 54º 5 · 3.6 = 18º

 

3. Media aritmética

3

Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

Obtener su mediana y cuartiles.

 

Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos:

10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18

Obtener su mediana y cuartiles.

 

En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor:

3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20

Mediana

26/2 = 13.

Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos puntuaciones centrales:

Cuartiles

26/4 = 6.5 Q1 = 7

Q2 = Me = 10

(26 · 3)/4 = 19.5 Q3 = 14

4

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

MesesNiños
91
104
119
1216
1311
148
151
1Dibujar el polígono de frecuencias. 2Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.

 

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

MesesNiños
91
104
119
1216
1311
148
151

1. Dibujar el polígono de frecuencias.

2. Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza.

 

Polígono de frecuencias

 

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada (Fi) para calcular la mediana

El producto de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) para calcular la media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (xi² · fi) para calcular la varianza y la desviación típica

xifiFixi · fii · fi
911981
104540400
11914991089
1216301922304
1311411431859
148491121568
1515015225
506107526

 

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

Miramos en la columna de las fi y la frecuencia absoluta mayor (16) corresponde a 12

Mo = 12

Mediana

Para calcular la mediana dividimos N (50) entre 2 y vemos que la casilla de las Fi donde se encuentra 25 corresponde a 12

50/2 = 25 Me = 12

Media aritmética

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) que es 610 y la dividimos por N (50)

Varianza

Calculamos la sumatoria de x²i · fi (7526), la dividimos por N (50) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (12.2²)

5

Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xifiFini
140.08
24
3160.16
470.14
5528
638
7745
8

Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.

 

Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

xifiFini
140.08
24
3160.16
470.14
5528
638
7745
8

Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.

Tabla

Primera fila:

La primera frecuencia acumulada coincide con la primera frecuencia absoluta

F1 = 4

La primera frecuencia relativa acumulada es igual a la primera frecuencia absoluta (4) dividida por N

Segunda fila:

La segunda frecuencia acumulada será igual a la frecuencia acumulada anterior (4) más la frecuencia absoluta correspondiente

F2 = 4 + 4 = 8

La frecuencia relativa acumulada es igual a la frecuencia absoluta (4) dividida entre N (50)

  

Tercera fila:

Para hallar la frecuencia absoluta podemos hacerlo de dos modos

1.Por medio de la frecuencia relativa acumulada:

2. La frecuencia absoluta será la diferencia entre F3 y F2

f3 = 16 – 8 = 8

Cuarta fila:

La frecuencia acumulada será igual a la frecuencia acumulada anterior (16) más la frecuencia absoluta correspondiente (7)

N4 = 16 + 7 = 23

Quinta fila:

Sexta fila:

La frecuencia absoluta será igual a la frecuencia acumulada (38) menos la frecuencia acumulada anterior (28)

f6 = 38 – 28 = 10

Séptima fila:

Octava fila:

La ultima frecuencia acumulada coincide con N

N8 = N = 50

La frecuencia absoluta será igual a la frecuencia acumulada menos la frecuencia acumulada anterior

f8 = 50 − 45 = 5

 

xifiFinixi · fi
1440.084
2480.088
38160.1624
47230.1428
55280.125
610380.260
77450.1449
85500.140
50238

 

Media artmética

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) que es 238 y la dividimos por N (50)

Mediana

Para calcular la mediana dividimos N (50) entre 2 y vemos que la casilla de las Fi donde se encuentra 25 corresponde a 5

50/2 = 25 Me = 5

Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

Miramos en la columna de las fi y la frecuencia absoluta mayor (10) corresponde a 6

Mo = 6

6

Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1Calcular su media y su varianza. 2Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

 

Considérense los siguientes datos: 3, 8, 4, 10, 6, 2. Se pide:

1. Calcular su media y su varianza.

2. Si los todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

 

xixi²
24
39
416
636
864
10100
33229

 

1

2

Si todos los valores de la variable se multiplican por 3 la media aritmética queda multiplicada por 3

Si todos los valores de la variable se multiplican por 3 la varianza queda multiplicada por 3 al cuadrado

7

El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

SumasVeces
23
38
49
511
620
719
816
913
1011
116
124
1Calcular la media y la desviación típica. 2Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).

 

El resultado de lanzar dos dados 120 veces viene dado por la tabla:

SumasVeces
23
38
49
511
620
719
816
913
1011
116
124

 

1. Calcular la media y la desviación típica.

2. Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo (x − σ, x + σ).

 

xifixi · fix · fi
23612
382472
4936144
51155275
620120720
719133931
8161281024
9131171053
10111101100
11666726
12448576
1208436633

 

1. Media aritmética

Hemos añadido la columna xi · fi porque queremos hallar su sumatoria (843), que después dividiremos por N (120) para obtener la media

Hemos añadido la columna x²i · fi porque queremos hallar su sumatoria (6633), que después dividiremos por N (120) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (7.025²), y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

2. Porcentaje

x − σ = 4.591 x + σ = 9.459

Los valores comprendidos en el intervalo (4.591, 9.459) son los correspondientes a las sumas de 5, 6, 7, 8 y 9.

11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79

Hallamos el porcentaje mediante la siguiente prporción:

8

Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

AlturaNº de jugadores
[170, 175)1
[175, 180)3
[180, 185)4
[185, 190)8
[190, 195)5
[195, 2.00)2

Calcular:

1La media. 2La mediana. 3La desviación típica. 4¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?

 

Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

fi
[170, 175)1
[175, 180)3
[180, 185)4
[185, 190)8
[190, 195)5
[195, 200)2

Calcular:

1. La media.

2. La mediana.

3. La desviación típica.

4. ¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?

 

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada (Fi) para calcular la mediana

El producto de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) para calcular la media

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta (xi² · fi) para calcular la varianza y la desviación típica

xi fi Fi xi · fix · fi
[1.70, 1.75)1.725111.7252.976
[1.75, 1.80)1.775345.3259.453
[1.80, 1.85)1.825487.313.324
[1.85, 1.90)1.8758161528.128
[1.90, 1.95)1.9255219.62518.53
[1.95, 2.00)1.9752233.957.802
2342.92580.213

 

Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta (xi · fi) que es 42.925 y la dividimos por N (23)

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la N (23) por 2 porque la mediana es el valor central

23/2 = 11.5

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) el intervalo que contiene a 11.5

Clase de la mediana: [1.85, 1.90)

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Li = 1.85

fi = 8

Fi–1= 8

ai = 0.05

Desviación típica

Calculamos la sumatoria de x²i · fi (80.213), la dividimos por N (23) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (21.79²). Por último realizamos la raíz cuadrado del resultado

x + σ = 1.866 + 0.077 = 1.943

Este valor pertenece a un percentil que se encuentra en el penúltimo intervalo.

Establecemos la siguiente proporción:

Sólo hay 3 jugadores por encima de x + σ.

9

Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

123456
fia323533b35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

 

Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

123456
fia323533b35

Determinar a y b sabiendo que la puntuación media es 3.6.

 

Realizamos la sumatoria de fi y de xi · fi

xi fixi · fi
1aa
23264
335125
433132
5b5b
635210
135 + a + b511 + a + 5b

 

Σfi = 200

Σxi · fi = 3.6

Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción

a = 29 b = 36

10

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

1Formar la tabla de la distribución. 2Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él? 3Calcular la moda. 4Hallar la mediana. 5¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

 

El histograma de la distribución correspondiente al peso de 100 alumnos de Bachillerato es el siguiente:

1. Formar la tabla de la distribución.

2. Si Andrés pesa 72 kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

3. Calcular la moda.

4. Hallar la mediana.

5. ¿A partir de que valores se encuentran el 25% de los alumnos más pesados?

 

1

xi fiFi
[60,63)61.555
[63, 66)64.51823
[66, 69)67.54265
[69, 72)70.52792
[72, 75)73.58100
100

2

5 + 18 + 42 + 27 = 92 alumnos más ligeros que Andrés.

Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta (fi)

La clase modal es: [66, 69)

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Lïmite inferior: 66

fi = 42

fi–1 = 18

fi+1 = 27

ai = 3

Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la N por 2 porque la mediana es el valor central

100/2 = 50

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) el intervalo que contiene a 50

Clase de la mediana: [66, 69)

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Li = 66

fi = 42

Fi–1= 23

ai = 3

5

El valor a partir del cual se encuentra el 25% de los alumnos más pesados es el cuartil tercero.

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando 3 por N (100) y dividiendo por 4

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas (Fi) el intervalo que contiene a 75

La clase de Q3 es: [69, 72)

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

Li = 69

Fi–1= 65

fi = 27

ai = 3

11

De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:

EdadFi
[0, 2)4
[2, 4)11
[4, 6)24
[6, 8)34
[8, 10)40
1Media aritmética y desviación típica. 2¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales? 3Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

 

De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:

EdadFi
[0, 2)4
[2, 4)11
[4, 6)24
[6, 8)34
[8, 10)40

1. Media aritmética y desviación típica.

2. ¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

3. Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

 

Añadimos la columna de las frecuencias absolutas (fi)

La primera frecuencia absoluta coincide con la primera frecuencia acumulada, para calcular las siguientes tenemos que restar a la siguiente frecuencia absoluta la anterior

xi fiFixi · fix · fi
[0, 2)14444
[2, 4)37112163
[4, 6)5132465325
[6, 8)7103470490
[8, 10)964054486
402141368

 

Media y desviación típica

Hemos añadido la columna xi · fi porque queremos hallar su sumatoria (214), que después dividiremos por N (40) para obtener la media

Hemos añadido la columna x²i · fi porque queremos hallar su sumatoria (1368), que después dividiremos por N (40) y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado (5.35²), y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

2

Veamos que porcentaje representan las 10 edades

Los 10 alumnos representan el 25% central de la distribución.

Debemos hallar P37.5 y P62.5.

Las 10 edades centrales están en el intervalo: [4.61, 6.2] .

Polígono de frecuencias

12

Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

 

Una persona A mide 1.75 m y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1.60 m y la desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1.80 m y vive en una ciudad donde la estatura media es de 1.70 m y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

 

La persona A es más alta respecto a sus conciudadanos que la persona B.

13

Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

 

Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de 40 alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es 6 y la desviación típica 1.5.

Para el segundo test la media es 4 y la desviación típica 0.5.

Un alumno obtiene un 6 en el primero y un 5 en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

 

En el segundo test consigue mayor puntuación.

14

La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1Calcular la dispersión del número de asistentes. 2Calcular el coeficiente de variación. 3Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

 

La asistencia de espectadores a las 4 salas de un cine un determinado día fue de 200, 500, 300 y 1000 personas.

1. Calcular la dispersión del número de asistentes.

2. Calcular el coeficiente de variación.

3. Si el día del espectador acuden 50 personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

Desviación típica

Coeficiente de variación

3

Si todas las salas tienen un incremento de 50 personas, la media aritmética también se ve incrementada en 50 personas.

La desviación típica no varía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.

La dispersión relativa es menor en el segundo caso.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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