Name: Ejercicios de estadistica II
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Ejercicio 1. Dada una conjunto y su media, obtener la media de un conjunto más grande.
Ejercicio 2. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.
Ejercicio 3. Dados los siguientes datos, calcular la media y los cuartiles.
Ejercicio 4. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.
Ejercicio 5. Completa los datos faltantes de la siguiente tabla.
Ejercicio 6. Dados los siguientes datos, calcula lo que se te pide.
Ejercicio 7. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.
Ejercicio 8. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.
Ejercicio 9. Dados los siguientes dado en la tabla, calcula lo que se pide.
Ejercicio 10. Dado el siguiente histograma, haz lo que se pide.
Ejercicio 11. Dada la información de la siguiente tabla, haz lo que se indica.
Ejercicio 12. Resuelve el siguiente problema.
Ejercicio 13. Resuelve el siguiente problema.
Ejercicio 14. Resuelve el siguiente problema.

Ejercicio 1. Dada una conjunto y su media, obtener la media de un conjunto más grande.

A un conjunto de $5$ números cuya media es $7.31$ se le añaden los números $4.47$ y $10.15$ . ¿Cuál es la media del nuevo conjunto de números?

La media del conjunto de los $5$ números es

$\displaystyle \overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}=7.31$

Entonces

$\displaystyle x_1+x_2+x_3+x_4+x_5= 7.31\cdot 5$

La media de los $7$ números es

$\displaystyle \overline{x}'=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+4.47+10.15}{7}$

Que es lo mismo que

$\displaystyle \overline{x}'=\frac{ 7.31\cdot 5+4.47+10.15}{7}=7.31$

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Ejercicio 2. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.

Un dentista observa el número de caries en cada uno de los $100$ niños de cierto colegio. La información obtenida aparece resumida en la siguiente tabla:

Nº de caries	$f_i$	$n_i$
$0$	$25$	$0.25$
$1$	$20$	$0.2$
$2$	$x$	$z$
$3$	$15$	$0.15$
$4$	$y$	$0.05$

Completar la tabla obteniendo los valores $x$ , $y$ , $z$ .

Hacer un diagrama de sectores.

Calcular el número medio de caries.

1Tabla

La suma de las frecuencias relativas ha de ser igual a $1$ :

$\begin{align*} 0.25 + 0.2 + z + 0.15 + 0.05 &= 1\\ 0.65 + z &= 1\\ z &= 0.35 \end{align*}$

La frecuencia relativa de un dato es igual su frecuencia absoluta dividida entre $100$ , que es la suma de las frecuencias absolutas.

$\begin{align*} \frac{x}{100}&=0.35\\ x&=35\\ &\\ \frac{y}{100}&=0.05\\ y&=5 \end{align*}$

Nº de caries (x_i)	$f_i$	$n_i$	$f_i\cdot x_i$
$0$	$25$	$0.25$	$0$
$1$	$20$	$0.2$	$20$
$2$	$35$	$0.35$	$70$
$3$	$15$	$0.15$	$45$
$4$	$5$	$0.05$	$20$
	$100$		$155$

2Diagrama de sectores

Calculamos los grados que corresponden a una unidad de frecuencia absoluta

$\displaystyle x=\frac{360}{100}=3.6^\circ$

Calculamos los grados que corresponden a cada frecuencia absoluta.

$25 \cdot 3.6^\circ = 90^\circ$

$20 \cdot 3.6^\circ = 72^\circ$

$35 \cdot 3.6^\circ = 126^\circ$

$15 \cdot 3.6^\circ = 54^\circ$

$5 \cdot 3.6^\circ = 18^\circ$

3Media aritmética

$\displaystyle \overline{x}=\frac{155}{100}=1.55$

Ejercicio 3. Dados los siguientes datos, calcular la media y los cuartiles.

Se tiene el siguiente conjunto de $26$ datos:

${\scriptsize \[ 10, 13, 4, 7, 8, 11, 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 \] }$

Obtener su mediana y cuartiles.

1 Ordenar los datos

En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor:

${\scriptsize \[ 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20 \] }$

2 Mediana

Como el número de datos es par, la mediana es la media de las dos puntuaciones centrales:

$\displaystyle \text{Me}=\frac{10+10}{2}=10$

3 Cuartiles

Para obtener el primer cuartil, dividimos el número de datos entre $4$

$\displaystyle \frac{26}{4} = 6.5$

Localizamos el dato número $6$ y $7$ en posición, y tomamos el promedio

$\displaystyle Q_1 = \frac{7+7}{2}=7$

El segundo cuartil es la mediana

$Q_2 = \text{Me} = 10$

Para el tercer cuartil, el número de datos lo multiplicamos por $3$ y lo dividimos entre $4$

$\displaystyle \frac{(26\cdot 3)}{4} = 19.5$

Localizamos el dato $19$ y $20$ en posición, y tomamos el promedio

$\displaystyle Q_3 = \frac{13+14}{2}=6.5$

Ejercicio 4. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.

4 Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de $50$ niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses	Niños
$9$	$1$
$10$	$4$
$11$	$9$
$12$	$16$
$13$	$11$
$14$	$8$
$15$	$1$

Dibujar el polígono de frecuencias.

Calcular la moda, la mediana, la media y la varianza

1 Polígono de frecuencias

poligono de frecuencias

2 Completar la tabla

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada $(F_i)$ para calcular la mediana.

El producto de la variable por su frecuencia absoluta $x_i\cdot f_i$ para calcular la media.

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta $x_i^2\cdot f_i$ para calcular la varianza y la desviación típica.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i\cdot f_i$	$x_i^2\cdot f_i$
$9$	$1$	$1$	$9$	$81$
$10$	$4$	$5$	$40$	$400$
$11$	$9$	$14$	$99$	$1089$
$12$	$16$	$30$	$192$	$2304$
$13$	$11$	$41$	$143$	$1859$
$14$	$8$	$49$	$112$	$1568$
$15$	$1$	$50$	$15$	$225$
	$50$		$610$	$7526$

3 Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor $(16)$ corresponde a $12$ .

$\text{Mo} = 12$

4 Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N\ (50)$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra el dato $25$ corresponde a $12$

$\displaystyle \frac{50}{2} = 25$

$\text{Me} = 12$

5 Media aritmética

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta $(x_i\cdot f_i)$ que es $610$ y la dividimos por $N \ (50)$

$\displaystyle \overline{x}=\frac{610}{50}=12.2$

6 Varianza

Calculamos la sumatoria de $x^2_i \cdot f_i \ (7526)$ , la dividimos por $N\ (50)$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(12.2^2)$

$\displaystyle \sigma^2 =\frac{7526}{50}-12.2^2=1.68$

Ejercicio 5. Completa los datos faltantes de la siguiente tabla.

Completar los datos que faltan en la siguiente tabla estadística:

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$
$1$	$4$		$0.08$
$2$	$4$
$3$		$16$	$0.16$
$4$	$7$		$0.14$
$5$	$5$	$28$
$6$		$38$
$7$	$7$	$45$
$8$

Calcular la media, mediana y moda de esta distribución.

1 Tabla

Primera fila

La primera frecuencia acumulada coincide con la primera frecuencia absoluta

$F_1= 4$

La primera frecuencia relativa acumulada $n_1$ es igual a la primera frecuencia absoluta $(4)$ dividida por $N$

$\begin{align*} \frac{4}{N}&=0.08\\ N&=50 \end{align*}$

Entonces $50$ es el número total de datos

Segunda fila

La segunda frecuencia acumulada será igual a la frecuencia acumulada anterior $(4)$ más la frecuencia absoluta correspondiente

$F_2= 4 + 4 = 8$

La frecuencia relativa acumulada $n_2$ es igual a la frecuencia absoluta $(4)$ dividida entre $N \ (50)$

$\displaystyle n_2=\frac{4}{50}=0.08$

Tercera fila

Para hallar la frecuencia absoluta podemos hacerlo de dos modos

1. Por medio de la frecuencia relativa acumulada:

$\begin{align*} \frac{f_3}{50}&=0.16\\ f_3 & =0.16\cdot 50=8\\ \end{align*}$

2. La frecuencia absoluta será la diferencia entre $F_3$ y $F_2$

$f_3= 16 - 8 = 8$

Cuarta fila

La frecuencia acumulada será igual a la frecuencia acumulada anterior $(16)$ más la frecuencia absoluta correspondiente $(7)$

$F_4= 16 + 7 = 23$

Quinta fila

La frecuencia relativa acumulada $n_5$ es igual a la frecuencia absoluta $(5)$ dividida entre $N\ (50)$

$\displaystyle n_5=\frac{5}{50}=0.1$

Sexta fila

De manera análoga a la tercera fila, tendremos dos maneras de hacerlo

La frecuencia absoluta será igual a la frecuencia acumulada $(38)$ menos la frecuencia acumulada anterior $(28)$ , es decir, la diferencia entre $F_6$ y $F_5$

$f_6= 38 - 28 = 10$

La frecuencia relativa acumulada $n_6$ es igual a la frecuencia absoluta $(10)$ dividida entre $N \ (50)$

$\displaystyle n_6=\frac{10}{50}=0.2$

Séptima fila

La frecuencia relativa acumulada $n_7$ es igual a la frecuencia absoluta $(7)$ dividida entre $N \ (50)$

$\displaystyle n_7=\frac{7}{50}=0.17$

Octava fila

La ultima frecuencia acumulada coincide con $N$

$\displaystyle F_8= N = 50$

La frecuencia absoluta será igual a la frecuencia acumulada $(50)$ menos la frecuencia acumulada anterior $(45)$ , es decir, la diferencia entre $F_8$ y $F_7$

$f_8= 50 - 45 = 5$

La frecuencia relativa acumulada $n_8$ es igual a la frecuencia absoluta $(5)$ dividida entre $N \ (50)$

$\displaystyle n_8=\frac{5}{50}=0.1$

2 Completar la tabla

Con los datos obtenidos completamos la tabla. Además añadimos la columna $(x_i\cdot f_i)$ del producto de la variable por su frecuencia absoluta, para calcular la media

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$n_i$	$x_i \cdot f_i$
$1$	$4$	$4$	$0.08$	$4$
$2$	$4$	$8$	$0.08$	$8$
$3$	$8$	$16$	$0.16$	$24$
$4$	$7$	$23$	$0.14$	$28$
$5$	$5$	$28$	$0.1$	$25$
$6$	$10$	$38$	$0.2$	$60$
$7$	$7$	$45$	$0.14$	$49$
$8$	$5$	$50$	$0.1$	$40$
	$50$			$238$

3 Media artmética

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta $(x_i \cdot f_i)$ que es $238$ y la dividimos por $N\ (50)$

$\displaystyle \overline{x}=\frac{238}{50}=4.76$

4 Mediana

Para calcular la mediana dividimos $N\ (50)$ entre $2$ y vemos que la casilla de las $F_i$ donde se encuentra $25$ corresponde a $5$

$\displaystyle \frac{50}{2} = 25$

$\text{Me} = 5$

5 Moda

La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta

Miramos en la columna de las $f_i$ y la frecuencia absoluta mayor $(10)$ corresponde a $6$

$\text{Mo}=6$

Ejercicio 6. Dados los siguientes datos, calcula lo que se te pide.

Considérense los siguientes datos: $3, 8, 4, 10, 6, 2$ . Se pide:

Calcular su media y su varianza.

Si todos los datos anteriores los multiplicamos por 3, cúal será la nueva media y varianza.

Calcular su media y su varianza

1 Media

Ordenamos los datos

$2, 3, 4, 6, 8, 10$ .

Sumamos los valores y lo dividimos entre el número total de datos que hay.

$\displaystyle \overline{x}_1=\frac{2+3+4+6+8+10}{6}=\frac{33}{6}=5.5$

2 Varianza

Tomamos el promedio de los cuadrados de los números y le restamos el cuadrado de la media

$\begin{align*} \sigma_1^2 &= \frac{2^2+3^2+4^2+6^2+8^2+10^2}{6}-5.5^2\\ &= \frac{229}{6}-5.5^2\\ &=7.92 \end{align*}$

Al multiplicar por $3$ ...

1 Media

Si todos los valores de la variable se multiplican por $3$ la media aritmética queda multiplicada por $3$

$\displaystyle \overline{x}_2=5.5\cdot 3=16.5$

2 Varianza

Si todos los valores de la variable se multiplican por $3$ la varianza queda multiplicada por $3$ al cuadrado

$\displaystyle \sigma_1^2=7.92\cdot 3^2=71.28$

Ejercicio 7. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.

El resultado de lanzar dos dados $120$ veces viene dado por la tabla:

Sumas	Veces
$2$	$3$
$3$	$8$
$4$	$9$
$5$	$11$
$6$	$20$
$7$	$19$
$8$	$16$
$9$	$13$
$10$	$11$
$11$	$6$
$12$	$4$

Calcular la media y la desviación típica.

Hallar el porcentaje de valores comprendidos en el intervalo $(\overline{x}-\sigma,\overline{x}+\sigma)$ .

1 Completar la tabla

Completamos la tabla con:

El producto de la variable por su frecuencia absoluta $x_i\cdot f_i$ para calcular la media.

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta $x_i^2\cdot f_i$ para calcular la desviación típica.

$x_i$	$f_i$	$x_i \cdot f_i$	$x_i^2 \cdot f_i$
$2$	$3$	$6$	$12$
$3$	$8$	$24$	$72$
$4$	$9$	$36$	$144$
$5$	$11$	$55$	$275$
$6$	$20$	$120$	$720$
$7$	$19$	$133$	$931$
$8$	$16$	$128$	$1024$
$9$	$13$	$117$	$1053$
$10$	$11$	$110$	$1100$
$11$	$6$	$66$	$726$
$12$	$4$	$48$	$576$
	$120$	$843$	$6633$

2 Media aritmética

Hemos añadido la columna $x_i \cdot f_i$ porque queremos hallar su sumatoria $(843)$ , que después dividiremos por $N \ (129)$ para obtener la media

$\displaystyle \overline{x}=\frac{843}{120}=7.025$

3 Desviación típica

Hemos añadido la columna $x_i^2\cdot f_i$ porque queremos hallar su sumatoria $(6633)$ , que después dividiremos por $N \ (120)$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(7.025^2)$ , y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{6633}{120}-7.025^2}=2.434$

4 Porcentaje

Conociendo la desviación típica, calculamos el intervalo mencionado.

$\overline{x}-\sigma = 4.591$

$\overline{x}+\sigma = 9.459$

Los valores comprendidos en el intervalo $(4.591,9.459)$ son los correspondientes a las sumas de $5, 6, 7, 8 y 9$ . Sumamos sus frecuencias absolutas.

$11 + 20 + 19 + 16 + 13 = 79$

Hallamos el porcentaje mediante la siguiente proporción:

$\displaystyle \frac{120}{100}=\frac{79}{x} \hspace{2cm} x=\frac{79\cdot 100}{120}= 65.83\%$

Ejercicio 8. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.

Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla:

Altura	Nº de jugadores
$[170, 175)$	$1$
$[175, 180)$	$3$
$[180, 185)$	$4$
$[185, 190)$	$8$
$[190, 195)$	$5$
$[195, 2.00)$	$2$

Calcular:

La media.

La mediana.

La desviación típica.

¿Cuántos jugadores se encuentran por encima de la media más una desviación típica?

1 Completar la tabla

Completamos la tabla con:

La frecuencia acumulada $(F_i)$ para calcular la mediana

El producto de la variable por su frecuencia absoluta $(x_i\cdot f_i)$ para calcular la media.

El producto de la variable al cuadrado por su frecuencia absoluta $(x_i^2 \cdot f_i)$ para calcular la varianza y la desviación típica

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i\cdot f_i$	$x_i^2\cdot f_i$
$[1.70, 1.75)$	$1.725$	$1$	$1$	$1.725$	$2.976$
$[1.75, 1.80)$	$1.775$	$3$	$4$	$5.325$	$9.453$
$[1.80, 1.85)$	$1.825$	$4$	$8$	$7.3$	$13.324$
$[1.85, 1.90)$	$1.875$	$8$	$16$	$15$	$28.128$
$[1.90, 1.95)$	$1.925$	$5$	$21$	$9.625$	$18.53$
$[1.95, 2.00)$	$1.975$	$2$	$23$	$3.95$	$7.802$
		$23$		$42.925$	$80.213$

2 Media

Calculamos la sumatoria de la variable por su frecuencia absoluta $(x_i\cdot f_i)$ que es $42.925$ y la dividimos por $N\ (23)$

$\displaystyle \overline{x}=\frac{42.925}{23}=1.866$

3 Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N\ (23)$ por $2$ porque la mediana es el valor central

$\displaystyle \frac{23}{2} = 11.5$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas $(F_i)$ el intervalo que contiene a $11.5$

$\text{Clase de la mediana:} \ \ \ \rightarrow \ \ \ [1.85, 1.90)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i= 1.85$

$F_{i-1}=8$

$f_i=8$

$a_i= 0.05$

De este moda la mediana es

$\displaystyle \text{Me}=1.85 + \frac{\frac{23}{2}-8}{8}\cdot 0.05 = 1.872$

4 Desviación típica

Calculamos la sumatoria de $x^2_i \cdot f_i \ (80.213)$ , la dividimos por $N \ (23)$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(21.79^2)$ . Por último realizamos la raíz cuadrado del resultado

$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{80.213}{23}-1.866^2}=0.077$

De este modo

$\displaystyle \overline{x}+\sigma=1.866 + 0.077 = 1.943$

Este valor pertenece a un percentil que se encuentra en el penúltimo intervalo.

$\displaystyle 1.943=1.90+\frac{\frac{23}{100}\cdot k -16}{5}, \qquad k=88$

Establecemos la siguiente proporción:

$\displaystyle \frac{100}{100-88}=\frac{23}{x}, \qquad x=3$

Sólo hay $3$ jugadores por encima de $\overline{x}+\sigma$ .

Ejercicio 9. Dados los siguientes dado en la tabla, calcula lo que se pide.

Los resultados al lanzar un dado 200 veces vienen dados por la siguiente tabla:

	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$f_i$	$a$	$32$	$35$	$33$	$b$	$35$

Determinar $a$ y $b$ sabiendo que la puntuación media es $3.6$ .

1 Completar la tabla

Realizamos la sumatoria de $f_i$ y de $x_i\cdot f_i$

$x_i$	$f_i$	$x_i\cdot f_i$
$1$	$a$	$a$
$2$	$32$	$64$
$3$	$35$	$125$
$4$	$33$	$132$
$5$	$b$	$5b$
$6$	$35$	$210$
	$135+a+b$	$511+a+5b$

2 Obtener ecuaciones

La sumatoria de las frecuencias absolutas es igual a $200$

$\displaystyle \sum f_i=200$

$\displaystyle 135+a+b=200$

De esto podemos concluir que

$a+b=65$

La sumatoria de los $x_i\cdot f_i$ dividida entre $N \ (200)$ es la media

$\displaystyle \frac{\sum x_i\cdot f_i}{200}=3.6$

$\displaystyle \frac{511+a+5b}{200}=3.6$

De lo que podemos concluir que

$\displaystyle a+5b=209$

3 Resolvemos el sistema

Resolvemos el sistema de ecuaciones por reducción

$\left\{\begin{matrix} a+b=65\ \ \ \\ a+5b=209 \end{matrix}\right. \hspace{1cm}\rightarrow \hspace{1cm} \begin{matrix} \left\{\underline{\begin{matrix} -\not{a}-b=-65\ \ \ \\ \not{a}+5b=209 \ \end{matrix}}\right.\\ \ \ \ \ \ \ 4b=144 \end{matrix}$

Finalmente

$a = 29$

$b=36$

Ejercicio 10. Dado el siguiente histograma, haz lo que se pide.

El histograma de la distribución correspondiente al peso de $100$ alumnos de Bachillerato es el siguiente:

histograma de distribucion

Formar la tabla de la distribución.

Si Andrés pesa $72$ kg, ¿cuántos alumnos hay menos pesados que él?

Calcular la moda.

Hallar la mediana.

¿A partir de que valores se encuentran el $25\%$ de los alumnos más pesados?

1 Tabla de distribución

	$x_i$	$f_i$	$F_i$
$[60,63)$	$61.5$	$5$	$5$
$[63, 66)$	$64.5$	$18$	$23$
$[66, 69)$	$67.5$	$42$	$65$
$[69, 72)$	$70.5$	$27$	$92$
$[72, 75)$	$73.5$	$8$	$100$
		$100$

2 Alumnos menos pesados que Andrés

Notamos que los primeros cuatro intervalos constituyen los alumnos menos pesados que Andrés, así que sumamos sus frecuencias absolutas $(f_i)$

${\scriptsize 5 + 18 + 42 + 27 = 92 \ \ \rightarrow \ \ \text{alumnos menos pesados que Andr\'es.} }$

3 Moda

En primer lugar buscamos el intervalo donde se encuentra la moda, que será el intervalo que tenga la mayor frecuencia absoluta $(f_i)$

La clase modal es: $[66, 69)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la moda para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$\text{L\'imite inferior:} \ \ 66$

$f_i= 42$

$f_{i-1}= 18$

$f_{i+1}=27$

$a_i= 3$

Y así, la moda es igual a

$\displaystyle \text{Mo} =66+\frac{42-18}{(42-18)+(42-27)}\cdot 3=67.85$

4 Mediana

Buscamos el intervalo donde se encuentra la mediana, para ello dividimos la $N$ por $2$ porque la mediana es el valor central

$\displaystyle \frac{100}{2}=50$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas $(F_i)$ el intervalo que contiene a $50$

$\text{Clase de la mediana:} \qquad \rightarrow \qquad [66, 69)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de la mediana para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i= 66$

$F_{i-1}= 23$

$f_i=42$

$a_i= 3$

Calculamos así la mediana

$\displaystyle \text{Me} =66+\frac{50-23}{42}\cdot 3 =67.93$

5 Cuartil tercero

El valor a partir del cual se encuentra el $25\%$ de los alumnos más pesados es el cuartil tercero.

Buscamos el intervalo donde se encuentra el tercer cuartil, multiplicando $3$ por $N \ (100)$ y dividiendo por $4$

$\displaystyle \frac{75}{100}\cdot 100 =75$

Buscamos en la columna de las frecuencias acumuladas $(F_i)$ el intervalo que contiene a $75$

La clase de $Q_3$ es: $[69, 72)$

Aplicaremos la fórmula para el cálculo de cuartiles para datos agrupados, extrayendo los siguientes datos:

$L_i= 69$

$F_{i-1}= 65$

$f_i= 27$

$a_i= 3$

Y así, el tercer cuartil es igual a

$\displaystyle Q_3 =69+\frac{75-65}{27}\cdot 3 =70.11$

Ejercicio 11. Dada la información de la siguiente tabla, haz lo que se indica.

De esta distribución de frecuencias absolutas acumuladas, calcular:

Edad	$F_i$
$[0,2)$	$4$
$[2,4)$	$11$
$[4,6)$	$24$
$[6,8)$	$34$
$[8,10)$	$40$

Media aritmética y desviación típica.

¿Entre qué valores se encuentran las 10 edades centrales?

Representar el polígono de frecuencias absolutas acumuladas.

1 Completar la tabla

Añadimos la columna de las frecuencias absolutas $(f_i)$

La primera frecuencia absoluta coincide con la primera frecuencia acumulada, para calcular las siguientes tenemos que restar a la siguiente frecuencia absoluta la anterior

	$x_i$	$f_i$	$F_i$	$x_i\cdot f_i$	$x_i^2\cdot f_i$
$[0,2)$	$1$	$4$	$4$	$4$	$4$
$[2,4)$	$3$	$7$	$11$	$21$	$63$
$[4,6)$	$5$	$13$	$24$	$65$	$325$
$[6,8)$	$7$	$10$	$34$	$70$	$490$
$[8,10)$	$9$	$6$	$40$	$54$	$486$
		$40$		$214$	$1368$

2 Media

Hemos añadido la columna $x_i \cdot f_i$ porque queremos hallar su sumatoria $(214)$ , que después dividiremos por $N$ $(40)$ para obtener la media

$\displaystyle \overline{x}=\frac{214}{40} = 5.35$

3 Desviación típica

Hemos añadido la columna $x^2_i \cdot f_i$ porque queremos hallar su sumatoria $(1368)$ , que después dividiremos por $N\ 40$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(5.35^2)$ , y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

$\displaystyle \sigma =\sqrt{\frac{1368}{40}-5.35^2} =2.36$

4 Edades centrales

Veamos que porcentaje representan las $10$ edades

$\displaystyle \frac{40}{10}=\frac{100}{x}, \qquad x=25\%$

Los $10$ alumnos representan el $25\%$ central de la distribución.

grafica de distribucion central

Debemos hallar $P_{37.5}$ y $P_{62.5}$ .

$\displaystyle \frac{37.5}{100}\cdot 40=15, \qquad P_{37.5}=4+\frac{15-11}{13}\cdot 2=4.61$

$\displaystyle \frac{62.5}{100}\cdot 40=25, \qquad P_{37.5}=6+\frac{25-24}{10}\cdot 2=6.2$

Las $10$ edades centrales están en el intervalo: $[4.61, 6.2]$ .

5 Polígono de frecuencias

poligono de frecuencia

Ejercicio 12. Resuelve el siguiente problema.

Una persona $A$ mide $1.75$ m y reside en una ciudad donde la estatura media es de $1.60$ m y la desviación típica es de $20$ cm. Otra persona $B$ mide $1.80$ m y vive en una ciudad donde la estatura media es de $1.70$ m y la desviación típica es de $15$ cm. ¿Cuál de las dos será más alta respecto a sus conciudadanos?

Obtenemos las puntuaciones típicas de estas personas en la distribución que corresponde

Es importante trabajar con las misma unidades por lo que la altura se considerará en centímetros

La puntuación típica de la primera persona es:

$\displaystyle Z_A=\frac{175-160}{20}=0.75$

La puntuación típica de la segunda persona es:

$\displaystyle Z_B=\frac{180-170}{15}=0.667$

Al comparar sus puntuaciones, concluímos que la persona $A$ es más alta respecto a sus conciudadanos que la persona $B$ .

Ejercicio 13. Resuelve el siguiente problema.

Un profesor ha realizado dos tests a un grupo de $40$ alumnos, obteniendo los siguientes resultados: para el primer test la media es $6$ y la desviación típica $1.5$ .

Para el segundo test la media es $4$ y la desviación típica $0.5$ .

Un alumno obtiene un $6$ en el primero y un $5$ en el segundo. En relación con el grupo, ¿en cuál de los dos tests obtuvo mejor puntuación?

Obtenemos las puntuaciones típicas de este alumno en las distribuciones de cada test

La puntuación típica en el primer test es:

$\displaystyle Z_1=\frac{6-6}{1.5}=0$

La puntuación típica en el segundo test es:

$\displaystyle Z_2=\frac{5-4}{0.5}=2$

Al comparar la puntuaciones, notamos que en el segundo test consigue mayor puntuación.

Ejercicio 14. Resuelve el siguiente problema.

La asistencia de espectadores a las $4$ salas de un cine un determinado día fue de $200, 500, 300$ y $1000$ personas.

Calcular la dispersión del número de asistentes.

Calcular el coeficiente de variación.

Si el día del espectador acuden $50$ personas más a cada sala, ¿qué efecto tendría sobre la dispersión?

1 Desviación típica

Obtenemos la media aritmética

$\displaystyle \overline{x}=\frac{200+500+300+1000}{4}=500$

Finalmente calculamos la desviación típica

$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{200^2+500^2+300^2+1000^2}{4}-500^2}=308.2$

2 Coeficiente de variación

Para calcular el coeficiente de variación debemos dividir la desviación típica entre la media aritmética

$\displaystyle \text{C.V}=\frac{308.2}{500}=0.616$

3 Dispersión con 50 personas más

Si todas las salas tienen un incremento de $50$ personas, la media aritmética también se ve incrementada en $50$ personas. Entonces,

$\overline{x}=550$

La desviación típica no varía, ya que sumamos la misma cantidad a cada dato de la serie.

$\displaystyle \text{C.V}=\frac{308.2}{550}=0.56$

La dispersión relativa es menor en el segundo caso.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Ejercicios y problemas de estadística - Parte II

Ejercicio 1. Dada una conjunto y su media, obtener la media de un conjunto más grande.

Ejercicio 2. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.

Ejercicio 3. Dados los siguientes datos, calcular la media y los cuartiles.

2 Mediana

3 Cuartiles

Ejercicio 4. Dada la siguiente tabla, hacer lo que se pide.

1 Polígono de frecuencias

3 Moda

4 Mediana

5 Media aritmética

6 Varianza

Ejercicio 5. Completa los datos faltantes de la siguiente tabla.

1 Tabla

2 Completar la tabla

3 Media artmética

4 Mediana

5 Moda

Ejercicio 6. Dados los siguientes datos, calcula lo que se te pide.

Ejercicio 7. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.

2 Media aritmética

3 Desviación típica

4 Porcentaje

Ejercicio 8. Dada la siguiente tabla, calcula lo que se pide.

1 Completar la tabla

2 Media

3 Mediana

4 Desviación típica

Ejercicio 9. Dados los siguientes dado en la tabla, calcula lo que se pide.

1 Completar la tabla

2 Obtener ecuaciones

3 Resolvemos el sistema

Ejercicio 10. Dado el siguiente histograma, haz lo que se pide.

1 Tabla de distribución

2 Alumnos menos pesados que Andrés

3 Moda

4 Mediana

5 Cuartil tercero

Ejercicio 11. Dada la información de la siguiente tabla, haz lo que se indica.

1 Completar la tabla

2 Media

3 Desviación típica

4 Edades centrales

5 Polígono de frecuencias

Ejercicio 12. Resuelve el siguiente problema.

Ejercicio 13. Resuelve el siguiente problema.

Ejercicio 14. Resuelve el siguiente problema.

1 Desviación típica

2 Coeficiente de variación

3 Dispersión con 50 personas más

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Resumen

Resumen de Estadística descriptiva

Teoría

Variables estadisticas

Tablas de frecuencia y marcas de clase

Diagrama de barras y poligonos de frecuencias

¿Que es una histograma?

¿Que es la mediana y como calcularla?

Media aritmetica : Medida de tendencia central

Deciles, medidas de posición

Calculo de percentiles

Desviacion tipica concepto y calculo

Coeficiente de variacion y puntuaciones tipicas

Polígonos de frecuencia

Gráficas de estadística

La varianza, medida de dispercion

Estadistica

Parametros estadisticos

Desviacion absoluta promedio

Calculo de cuartiles para datos agrupados

Moda medida de tendencia central

Diagrama de sectores

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de variables estadisticas

Ejercicios interactivos de tablas estadísticas

Ejercicios interactivos de diagramas de barras y polígonos de frecuencias

Ejercicios interactivos de diagramas de sectores

Ejercicios interactivos de la mediana

Ejercicios interactivos de la media aritmética