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Desviación típica para datos agrupados
Propiedades de la desviación típica
Observaciones sobre la desviación típica

La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.

Es decir, la raíz cuadrada de la media de los cuadrados de las puntuaciones de desviación.

La desviación típica se representa por $\sigma$ .

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{N}}$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\displaystyle\sum_{1=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}}{N}}$

Ejemplo

Calcular la desviación típica de la distribución:

$9,3,8,8,9,8,9,18$

Calculamos la media aritmética

$\bar{x}=\cfrac{9+3+8+8+9+8+9+18}{8}=9$

Sustituimos en la fórmula de la desviación típica

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(9-9)^{2}+(3-9)^{2}+(8-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(8-9)^{2}+(9-9)^{2}+(18-9)^{2}}{8}}$

$\sigma =3,87$

Desviación típica para datos agrupados

$\sigma =\sqrt{\cfrac{(x_{1}-\bar{x})^{2}\cdot f_{1}+(x_{2}-\bar{x})^{2}\cdot f_{2}+...+(x_{n}-\bar{x})^{2}\cdot f_{n}}{N}}$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}\cdot f_{i}}{N}}$

Para simplificar el cálculo vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

$\sigma =\sqrt{\cfrac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}{N}-\bar{x}^{2}}$

$\sigma =\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{x_{i}^{2}}{N}-\bar{x}^{2} }$

$\sigma =\sqrt{\cfrac{x_{1}^{2}\cdot f_{1}+x_{2}^{2}\cdot f_{2}+...+x_{n}^{2}\cdot f_{n}}{N}-\bar{x}^{2}}$

$\sigma =\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\cfrac{x_{i}^{2}\cdot f_{i}}{N}-\bar{x}^{2} }$

Ejemplo

Calcular la desviación típica de la distribución de la tabla:

	$x_{i}$	$f_{i}$	$x_{i}\cdot f_{i}$	$x_{i}^{2}\cdot f_{i}$
$[10,20)$	$15$	$1$	$15$	$225$
$[20,30)$	$25$	$8$	$200$	$5.000$
$[30,40)$	$35$	$10$	$350$	$12.250$
$[40,50)$	$45$	$9$	$405$	$18.225$
$[50,60)$	$55$	$8$	$440$	$24.200$
$[60,70)$	$65$	$4$	$260$	$16.900$
$[70,80)$	$75$	$2$	$150$	$11.250$
		$42$	$1.820$	$88.050$

Hemos añadido la columna $x_{i}\cdot f_{i}$ porque queremos hallar su sumatoria $(1.820)$ , que después dividiremos por $N\; (42)$ para obtener la media

$\bar{x}=\cfrac{1.820}{42}=43,33$

Hemos añadido la columna $x_{i}^{2}\cdot f_{i}$ porque queremos hallar su sumatoria $(88.050)$ , que después dividiremos por $N\; (42)$ y al resultado le restaremos la media aritmética al cuadrado $(43,33^{2})$ , y por último haremos la raíz cuadrada del resultado obtenido

$\sigma =\sqrt{\cfrac{88.050}{42}-43,33^{2}}=14,797$

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Propiedades de la desviación típica

1 La desviación típica será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la desviación típica no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la desviación típica queda multiplicada por dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas desviaciones típicas se puede calcular la desviación típica total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

$\sigma =\sqrt{\cfrac{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}+...+\sigma_{n}^{2}}{n}}$

Si las muestras tienen distinto tamaño:

$\sigma =\sqrt{\cfrac{k_{1}\cdot \sigma_{1}^{2}+k_{2}\cdot\sigma_{2}^{2}+...+k_{n}\cdot\sigma_{n}^{2}}{k_{1}+k_{2}+...+k_{n}}}$

Observaciones sobre la desviación típica

1 La desviación típica, al igual que la media y la varianza, es un índice muy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la desviación típica.

3 Cuanta más pequeña sea la desviación típica mayor será la concentración de datos alrededor de la media.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Jos Alfredo Prez Guerrero

Noviembre 2020

buenas noches quisiera que ayudaran saludos desde venezuela estoy tratando de hacer unos ejercicios de estadistica de medidas estadisticas y no he podido terminar lo estoy tratando hacer y no hepodido me podrian ayudar

Deisy :)

Abril 2021

Cuando tengo dos distribuciones (A, B) con los datos en las mismas medidas y sus desviaciones tipicas correspondietes. ¿La desviación típica para A+B es la suma de las dos desviaciones típicas, es que no encuentro mas informacion que el Punto 4 de las propiedades ?
Gracias, estaré atenta .

Antonio Tapia

Septiembre 2021

Hay un teorema que dice que si $A$ y $B$ son variables aleatorias independientes entonces $\sigma _{A+B}^{2}=\sigma ^{2}_{A}+\sigma ^{2}_{B}$ o $\sigma _{A+B}=\sqrt{\sigma ^{2}_{A}+\sigma ^{2}_{B}}$ .

FERNANDO

Noviembre 2021

Quiero calcular la desviación estándar de:
180 partidos de futbol
62 ganados
37 empatados
81 perdidos

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