Los ejercicios que a continuación resolveremos, son ejemplos de:
- Factorización de un binomio
- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
- Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
- Factorización de un trinomio de segundo grado
- Factorización de un polinomio de cuarto grado
- Factorización del polinomio de tercer grado incompleto
- Orden de la ecuación para facilitar la factorización
1Para factorizar , notamos que 
es factor común de ambos términos
2Sabemos que las raíces, es el valor que toma 
tal que la ecuación es igual a cero, entonces, dado 
, existen 2 casos: cuando 
y cuando 
Así, las raíces son 
y 
1Para factorizar , notamos que 
es factor común de cada uno de los términos
2En este caso solo existe la raiz , ya que el polinomio 
no tiene raíces, esto es, no existe un número real tal que 
1Aplicamos diferencia de cuadrados
2Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces
y 
1Aplicamos diferencia de cuadrados
2Aplicamos nuevamente diferencia de cuadrados al segundo factor
3Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces
y
Recuerda que el factor 
no posee raíces reales.
1Nos encontramos con un trinomio cuadrado perfecto, el cual puede escribirse como un binomio al cuadrado, para lo cual tenemos que preguntarnos
¿Qué número elevado al cuadrado da 
?, ¿qué número elevado al cuadrado da y comprobar que el doble del producto de los dos resultados es igual a 
2Lo anterior se satisface para 
y , por lo que la factorización se expresa como sigue
3Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces
y se dice que es una raíz doble.
1En este caso usaremos la formula general para ecuaciones de segundo grado para lo cual debemos igualar la ecuación a cero, es decir 
. Encontramos los valores de (raices de la ecuacion) utilizando la formula general
Al resolver se obtienen las raíces 
2En este caso los factores de la ecuación dada son
.
1Igualamos el polinomio a cero y hacemos un cambio de variable 
Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos 
2Resolvemos la ecuación de segundo grado
Al resolver se obtienen las raíces 
3Ahora, en nuestro cambio de variable teníamos que ; deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces
4En este caso los factores de la ecuación dada son
.
1Igualamos el polinomio a cero y hacemos un cambio de variable
Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos 
2Resolvemos la ecuación de segundo grado
Al resolver se obtienen las raíces 
3Ahora, en nuestro cambio de variable teníamos que ; deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces
; pero 
no posee soluciones reales
4En este caso los factores de la ecuación dada son
.
1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son, 
.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, 
es una raíz y el polinomio se expresa
4 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por 
porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
Luego no es raíz del segundo factor. Probamos con 
5 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz y el polinomio se expresa
6 El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
Las raíces son 
y el polinomio se expresa
1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son, 
.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz y el polinomio se expresa
4 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
5 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz doble y el polinomio se expresa
1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son, 
.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz y el polinomio se expresa
4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
Como el discriminante es negativo, el polinomio no posee raíces reales. Así, la única raíz es y el polinomio se expresa
1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son, 
.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz y el polinomio se expresa
4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
Las raíces del segundo factor son 
y el polinomio se expresa
1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son, 
.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
3 Dividimos por Ruffini.
Como la división es exacta, es una raíz y el polinomio se expresa
4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
Las raíces del segundo factor son 
y el polinomio se expresa
Factoriza los siguientes polinomios:
a 
b 
c 
d 
e 
f 
a
Sacamos factor común
Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia
b
Extraemos factor común
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado
c
Extraemos factor común 
Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado
Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia
d
Sacamos factor común 
Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia
e
Extraemos factor común
Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia
El segundo factor es un polinomio irreducible o primo
El tercer factor es una diferencia de cuadrados que factorizamos como una suma por diferencia
f
El trinomio de segundo grado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación
Las raíces son 
y el polinomio se expresa
Descomponer en factores los siguientes polinomios:
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
l
m
a
En este ejercicio podemos hacer una doble extracción de factor común. En los dos primeros sumandos extraemos y en los dos últimos extraemos 
Sacamos factor común 
b
es una diferencia de cuadrados
c
La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia
d
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado
El cuadrado de es , el cuadrado de es y el doble del primero por el segundo es
e
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado
El cuadrado de es , el cuadrado de es y el doble del primero por el segundo 
es
f
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado
El cuadrado de es , el cuadrado de 
es 
y el doble del primero por el segundo es 
g
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado
El cuadrado de es , el cuadrado de 
es 
y el doble del primero por el segundo es 
h
Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado
El cuadrado de es , el cuadrado de 
es 
y el doble del primero por el segundo es 
i
Sacamos factor común
Tenemos otro trinomio cuadrado perfecto
El cuadrado de es , el cuadrado de es 
y el doble del primero por el segundo es 
j
Sacamos factor común
La diferencia de cuadrados la transformamos en una suma por diferencia
Aplicamos suma y diferencia de cubos
k
Igualamos el polinomio a cero
Resolvemos la ecuación de segundo grado
Las raíces son 
y el polinomio se expresa
l
Resolvemos la ecuación de segundo grado
Las raíces son 
y el polinomio se expresa
m
Resolvemos la ecuación de segundo grado
Las raíces son 
y el polinomio se expresa
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Este tipo de ejercicios no solo fortalecen el razonamiento algebraico, sino que también entrenan tu capacidad para explicar procesos paso a paso, algo que tú haces muy bien en tus presentaciones. Además, el uso de Ruffini y el teorema del resto te permite abordar polinomios complejos con elegancia y lógica, algo muy útil en programación y algoritmos también.
Utilizar el teorema del resto, la regla de ruffini y la formula general para ecuaciones de segundo grado
Escribo y elijo bien las respuestas y me aparece el setenta porciento, no entiendo porque si todas me quedan bien.
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, en cuanto a lo que pasa con los resultados del cuestionario, se supone que la pagina te da las respuestas de los ejercicios y allí puedes ver cual ejercicio tiene el error, podrías por favor indicárnoslo para rectificarlo.
– 2 no es raíz del último polunomio
Hola gracias por tus observaciones, podrías hacernos el favor de mencionar el número del ejercicio para poder rectificarlo, seria de gran ayuda.
(14m³×+21m²)÷(-7)