Ejercicios de factorización para obtener las raíces de los polinomios

Para factorizar: x³ + x²
Notemos que x² es factor común de x³ y x² tal que:
x³ + x² = x² (x + 1)   ; Entonces tenemos x² (x + 1)

Sabemos que las raíces, es el valor que toma x tal que la ecuación es igual a cero,
entonces, dado x² (x + 1), existen 2 casos:

caso 1: cuando x² = 0  puesto que  0(x+1)=0
caso 2: cuando x=-1 puesto que x² ((-1)+ 1) = x²(0) = 0

Las raíces son: x=0 y  x =−1

Para factorizar: 2x⁴ + 4x²
Notemos que 2x² es factor común de 2x⁴ y 4x² tal que:
2x⁴ + 4x² = 2x² (x² + 2)

En este caso solo existe la raiz x = 0; ya que para el polinomio
x² + 2 no existe valor para x tal que x² + 2=0;

Con razonamiento matemático podemos demostrar lo anterior
x²≥0 entonces x²+2≥2 

La raíz es: x=0

Para factorizar: x² − 4
Notemos que x² − 4  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:

Nota: (a² - b²)=(a+b)(a-b)

Entonces: x² − 4 =(x² −(2)²)= (x + 2) · (x − 2)
dado (x + 2) · (x − 2), existen 2 casos:

caso 1: cuando x + 2 = 0  puesto que  (0) · (x − 2)=0  entonces x+2=0 cuando x=-2
caso 2: cuando x − 2=0   puesto que  (x + 2) · (0)=0  entonces  x-2=0 cuando x= 2

Las raíces son: x=2 y  x =−2

Para factorizar: x⁴ − 16
Notemos que x⁴ − 16  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:
x⁴ − 16 = (x² + 4) · (x² − 4)

Volvemos a encontrarnos con una diferencia de cuadrados
(x² + 4) · (x² − 4)=  (x² + 4)· (x + 2) (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

Para factorizar: 9 + 6x + x²

Nos encontramos con un trinomio cuadrado perfecto, el cual
puede escribirse como un binomio al cuadrado, para lo cual
tenemos que preguntarnos:

Qué número elevado al cuadrado da 9?    → 3
Qué número elevado al cuadrado da x²? →  x
Y tenemos que comprobar que 2 · 3 · x = 6x

Entonces:

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

Para encontrar las raíces de:  x²-x-6

En este caso usaremos la formula general para ecuaciones de segundo
grado para lo cual debemos igualar la ecuación a cero, es decir  x²-x-6=0,
encontramos los valores de x (raices de la ecuacion) utilizando la formula general:

Las raíces son x = 3 y x = −2.

Para factorizar: x⁴ − 10x² + 9
Igualamos el polinomio a cero:  x⁴ − 10x² + 9 = 0
hacemos un cambio de variable:  x² = t

Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos:

x⁴ − 10x² + 9 = 0   →   t² − 10t + 9 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable t

Ahora, en nuestro cambio de variable teniamos que x² = t,
deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

Entonces:
x⁴ − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
Las raíces son x = 1, x = -1 , x = 3 y x = −3

Para factorizar: x⁴ − 2x² − 3
Igualamos el polinomio a cero: x⁴ − 2x² − 3 = 0

Realizamos un cambio de varible: x² = t entonces:
x⁴ − 2x² − 3 = 0  → t² − 2t − 3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la formula general

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

x⁴ − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x +) · (x −)

Las raíces son x = , x = , x =i y x = −i

Para factorizar: 2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6
1 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 1⁴ + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3 Dividimos por Ruffini.

4 Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x =1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x =-1

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

2x⁴ + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x =1, x =-1, x =-2, x =3/2

Para factorizar: 2x³ − 7x² + 8x − 3
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±3
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

Dividimos por Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x² − 5x + 3)

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado

P(1) = 2 · 1² −5 · 1 + 3 = 0

(x −1)² · (2x −3) = 2(x − 3/2) · (x −1)²

En el segundo factor hemos sacado factor común 2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

Para factorizar: x³ − x² − 4
Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±4}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 1³ − 1² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2³ − 2² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

Dividimos por Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + x + 2 )

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado x² + x + 2 = 0

(x − 2) · (x² + x + 2 )

La Raíz es : x = 2.

P(1) = 1³ + 3 · 1² − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

Dividimos por Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + 5x + 6)

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado x² + 5x + 6 = 0

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2 y x = − 3.

Para factorizar: 6x³ + 7x² − 9x + 2
Vamos a probar con los divisores enteros del término independiente: {±1, ±2}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 ³ + 7 · 2 ² − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)³ + 7 · (−2)² − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Dividimos por Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x+2) · (6x² − 5x + 1)

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado 6x² − 5x + 1 = 0

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3