Los ejercicios que a continuación resolveremos, son ejemplo de:

Factorización de un binomio
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
Factorización de un trinomio de segundo grado
Factorización de un polinomio de cuarto grado
Factorización del polinomio de tercer grado incompleto y algunos casos mas.

Ejercicios propuestos

Factorizar

1 x³ + x²

 

Para factorizar: x³ + x²
Notemos que es factor común de y tal que:
x³ + x² = x² (x + 1)   ; Entonces tenemos x² (x + 1)

Sabemos que las raíces, es el valor que toma x tal que la ecuación es igual a cero,
entonces, dado x² (x + 1), existen 2 casos:

caso 1: cuando x² = 0  puesto que  0(x+1)=0
caso 2:
cuando x=-1 puesto que x² ((-1)+ 1) = x²(0) = 0

Las raíces son: x=0 x =−1

 

2 2x4 + 4x²

 

Para factorizar: 2x4 + 4x²
Notemos que 2x² es factor común de 2x4 y 4x² tal que:
2x4 + 4x² = 2x² (x² + 2)

En este caso solo existe la raiz x = 0; ya que para el polinomio
x² + 2 no existe valor para x tal que x² + 2=0;

Con razonamiento matemático podemos demostrar lo anterior
x²≥0 entonces x²+2≥2 

La raíz es: x=0

3 x² − 4

 

Para factorizar: x² − 4
Notemos que x² − 4  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:

Nota: (a² - b²)=(a+b)(a-b)

Entonces: x² − 4 =(x² −(2)²)= (x + 2) · (x − 2)
dado (x + 2) · (x − 2), existen 2 casos:

caso 1: cuando x + 2 = 0  puesto que  (0) · (x − 2)=0  entonces x+2=0 cuando x=-2
caso 2:
 cuando x − 2=0   puesto que  (x + 2) · (0)=entonces  x-2=0 cuando x= 2

Las raíces son: x=2 x =−2

4 x4 − 16

 

Para factorizar: x4 − 16
Notemos que x4 − 16  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:
x4 − 16 = (x² + 4) · (x² − 4)

Volvemos a encontrarnos con una diferencia de cuadrados
(x² + 4) · (x² − 4)=  (x² + 4)· (x + 2) (x − 2)

Las raíces son x = −2 y x = 2

9 + 6x + x²

 

Para factorizar: 9 + 6x + x²

Nos encontramos con un trinomio cuadrado perfecto, el cual
puede escribirse como un binomio al cuadrado, para lo cual
tenemos que preguntarnos:

Qué número elevado al cuadrado da 9?    → 3
Qué número elevado al cuadrado da x²? →  x
Y tenemos que comprobar que 2 · 3 · x = 6x

Entonces:

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

 

6

 

Para encontrar las raíces de:  x²-x-6

En este caso usaremos la formula general para ecuaciones de segundo
grado para lo cual debemos igualar la ecuación a cero, es decir  x²-x-6=0,
encontramos los valores de x (raices de la ecuacion) utilizando la formula general:

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

Factorización de un trinomio

Las raíces son x = 3 y x = −2.

7  x4 − 10x² + 9

 

Para factorizar: x4 − 10x² + 9
Igualamos el polinomio a cero:  x4 − 10x² + 9 = 0
hacemos un cambio de variablex² = t

 

Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos:

x4 − 10x² + 9 = 0   →   t² − 10t + 9 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable t

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

Ahora, en nuestro cambio de variable teniamos que x² = t,
deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

Entonces:
x4 − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)
Las raíces son x = 1, x = -1 , x = 3 y x = −3

8 x4 − 2x² − 3

 

Para factorizar: x4 − 2x² − 3
Igualamos el polinomio a cero: x4 − 2x² − 3 = 0

Realizamos un cambio de varible: x² = t entonces:
x4 − 2x² − 3 = 0  → t² − 2t − 3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la formula general

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

Raíces de la ecuación

Raíces de la ecuación

x4 − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x +) · (x −)

Las raíces son x =\sqrt{3} , x = -\sqrt{3} , x =i y x = −i

9 2x4 + x³ − 8x² − x + 6

 

Para factorizar: 2x4 + x³ − 8x² − x + 6
1 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3 Dividimos por Ruffini.

División de Ruffini

4 Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x =1.

 

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

División de Ruffini

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x =-1

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

Division de Ruffini

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

2x4 + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x =1, x =-1, x =-2, x =3/2

10 2x³ − 7x² + 8x − 3

 

Para factorizar: 2x³ − 7x² + 8x − 3
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±3
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

Dividimos por Ruffini

Division de Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x² − 5x + 3)

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado

P(1) = 2 · 1² −5 · 1 + 3 = 0

División de Ruffini

(x −1)² · (2x −3) = 2(x − 3/2) · (x −1)²

En el segundo factor hemos sacado factor común 2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

11 x³ − x² − 4

 

Para factorizar: x³ − x² − 4
Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±4}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 1³ − 1² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2³ − 2² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

Dividimos por Ruffini

División de Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + x + 2 )

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado x² + x + 2 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

(x − 2) · (x² + x + 2 )

La Raíz es : x = 2.

12 x³ + 3x² − 4x − 12

 

Para factorizar: x³ + 3x² − 4x − 12
Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 1³ + 3 · 1² − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

Dividimos por Ruffini

División de Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + 5x + 6)

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado x² + 5x + 6 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

Las raíces son : x = 2, x = − 2 x = − 3.

13 6x³ + 7x² − 9x + 2

 

Para factorizar: 6x³ + 7x² − 9x + 2
Vamos a probar con los divisores enteros del término independiente: {±1, ±2}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 ³ + 7 · 2 ² − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)³ + 7 · (−2)² − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Dividimos por Ruffini

División de Ruffini

Por ser la división exacta, D = d · c
(x+2) · (6x² − 5x + 1)

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo
grado 6x² − 5x + 1 = 0

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

14 Factorizar los polinomios

9x4 − 4x²   ;   x5 + 20x³ + 100x   ;   3x5 − 18x³ + 27x   ;

2x³ − 50x   ;   2x5 − 32x   ;   2x² + x − 28   ;

 

Factorizar los polinomios:Soluciones:

9x4 − 4x²

Sacamos factor común x²

x² · (9x² − 4)

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

x² · (3x + 2) · (3x − 2)

 

x5 + 20x³ + 100x

Extraemos factor común x

x·(x4 + 20x² + 100)

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

x · (x² + 10)²

 

3x5 − 18x³ + 27x

Extraemos factor común 3x

3x · (x4 − 6x² + 9)

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

 3x · (x² − 3)²

 

4 2x³ − 50x

Sacamos factor común 2x

2x · (x² − 25)

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

2x · (x + 5) · (x - 5)

 

2x5 − 32x

Extraemos factor común 2x

 2x · (x4 − 16) =

2x · (x² + 4) · (x² − 4) =

El segundo factor es un polinomio irreducible o primo

El tercer factor es una diferencia de cuadrados que factorizamos como una suma por diferencia

 2x · (x² + 4) · (x +2) · (x − 2)

 

2x² + x − 28

El trinomio de segundo grado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación

2x² + x − 28 = 0

x =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-28)} } \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{1+224} } \\ 4 \\ \end{array} = \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{225}} \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm 15} \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=6 \\ \longrightarrow x_2=5 \\ \end{array}

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)
2x² + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

 

 

15   Descomponer en factores los polinomios

1 \frac{2}{5}x^{5}- \frac{6}{5}x^{4}+\frac{14}{15}x^{2}    ;     2    xy − 2x − 3y + 6 ;  3   25x² − 1  ;   36x6 − 49   ;

x² − 2x + 1 ;   x² − 6x + 9  ;   x² − 20x + 100   ;   x² + 10x +25   ;

x² + 14x + 49   ;    10  x³ − 4x² + 4x   ;   11  3x7 − 27x   ;   12  x² − 11x + 30   ;

13  3x² − 10x + 3   ;   142x² − x − 1   ;

 

Descomponer en factores los polinomios

Polinomio de grado 5

Extraemos factor común de 2/5 x²

Factorización de un polinomio

 

xy − 2x − 3y + 6

En este ejercicios podemos hacer una doble extracción de factor común
En los dos primeros sumandos extraemos x y en los dos últimos extraemos −3

 x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

Sacamos factor común de (y − 2)

(x − 3) · (y − 2)

La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

 

3   25x² − 1

es una diferencia de cuadrados

(5x +1) · (5x − 1)

 

36x6 − 49

La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

(6x³ + 7) · (6x³ − 7)

 

x² − 2x + 1

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 1 es 1 y el doble del primero (x) por el segundo (1) es 2x

(x − 1)²

 

x² − 6x + 9

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 3 es 9 y el doble del primero (x) por el segundo (3) es 6x

(x − 3)²

 

7   x² − 20x + 100

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 10 es 100 y el doble del primero (x) por el segundo (10) es 20x

(x − 10)²

 

8   x² + 10x + 25

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 5 es 25 y el doble del primero (x) por el segundo (5) es 10x

(x + 5)²

 

9   x² + 14x + 49

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 7 es 49 y el doble del primero (x) por el segundo (7) es 14x

(x + 7)²

 

10   x³ − 4x² + 4x

Sacamos factor común x

x · (x² − 4x + 4)

Tenemos otro trinomio cuadrado perfecto

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 2 es 4 y el doble del primero (x) por el segundo (2) es 4x

 x · (x − 2)²

 

11   3x7 − 27x

Sacamos factor común 3x

 3x · (x6 − 9) =

La diferencia de cuadrados la transformamos en una suma por diferencia

3x · (x³ + 3) · (x³ − 3)

 

12   x² − 11x + 30

Igualamos el polinomio a cero

x² − 11x + 30 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x = \begin{array}{c} \underline{11\pm \sqrt{11^2-4\cdot1\cdot30} } \\ 2 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{11\pm \sqrt{121-120} } \\ 2 \\ \end{array} = \begin{array}{c} \underline{11\pm 1} \\ 2 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=6 \\ \longrightarrow x_2=5 \\ \end{array}

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

x² − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

 

13   3x² − 10x + 3

Igualamos el polinomio a cero

3x² − 10x + 3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

3x² − 10x + 3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

 

14   2x² − x − 1

Igualamos el polinomio a cero

2x² − x −1 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado
x =  \begin{array}{c} \underline{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)} } \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{1\pm \sqrt{1+8} } \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c} \underline{1\pm \sqrt{9} } \\ 4 \\ \end{array}= \begin{array}{c} \underline{1\pm 3} \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=4 \\ \longrightarrow x_2= -\frac{1}{2} \\ \end{array}

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

2x² − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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