Los ejercicios que a continuación resolveremos, son ejemplos de:

 

  • Factorización de un binomio
  • Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
  • Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
  • Factorización de un trinomio de segundo grado
  • Factorización de un polinomio de cuarto grado
  • Factorización del polinomio de tercer grado incompleto
  • Orden de la ecuación para facilitar la factorización

 

Ejercicios de factorización para obtener las raíces de los polinomios

 

1 x^3 + x^2

1Para factorizar  x^3 + x^2 , notamos que  x^2 es factor común de ambos términos

 

 x^3 + x^2 = x^2(x + 1)

 

2Sabemos que las raíces, es el valor que toma  x tal que la ecuación es igual a cero, entonces, dado  x^2(x + 1) , existen 2 casos: cuando  x^2 = 0 y cuando  x + 1 = 0

 

Así, las raíces son  x = 0 y  x = -1

 

2 2x^4 + 4x^2

 

1Para factorizar  2x^4 + 4x^2 , notamos que  2x^2 es factor común de cada uno de los términos

 

 2x^4 + 4x^2 = 2x^2(x^2 + 2)

 

2En este caso solo existe la raiz  x = 0 , ya que el polinomio  x^2 + 2 no tiene raíces, esto es, no existe un número real  x tal que  x^2 + 2 = 0

3 x^2 - 4

 

1Aplicamos diferencia de cuadrados

 

 x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

 

2Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces

 

 x = -2 y  x = 2

 

4 x^4 - 16

 

1Aplicamos diferencia de cuadrados

 

 x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)

 

2Aplicamos nuevamente diferencia de cuadrados al segundo factor

 

 x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4) = (x^2 + 4)(x + 2)(x - 2)

 

3Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces

 

 x = -2 y  x = 2

 

Recuerda que el factor  x^2 + 4 no posee raíces reales

 

 x^2 + 6x + 9

 

1Nos encontramos con un trinomio cuadrado perfecto, el cual puede escribirse como un binomio al cuadrado, para lo cual tenemos que preguntarnos

 

¿Qué número elevado al cuadrado da  9 ?, ¿qué número elevado al cuadrado da  x^2
y comprobar que el doble del producto de los dos resultados es igual a  6x
2Lo anterior se satisface para  3 y  x , por lo que la factorización se expresa como sigue

 

 x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

3Igualando cada factor a cero se obtienen las raíces

 

 x = -3 y se dice que es una raíz doble

 

6 x^2 - x - 6

 

1En este caso usaremos la formula general para ecuaciones de segundo grado para lo cual debemos igualar la ecuación a cero, es decir  x^2 - x - 6 = 0 . Encontramos los valores de  x (raices de la ecuacion) utilizando la formula general

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 5}{2} \end{array}

 

Al resolver se obtienen las raíces  x = 3, \ x = -2

 

2En este caso los factores de la ecuación dada son

 

 x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) .

 

7 x^4 - 10x^2 + 9

 

1Igualamos el polinomio a cero y hacemos un cambio de variable  x^2 = t
Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos  t^2 - 10t + 9 = 0

 

2Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

 \begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(1)(9)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{2} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{2} \end{array}

 

Al resolver se obtienen las raíces  t = 9, \ t = 1

 

3Ahora, en nuestro cambio de variable teníamos que  x^2 = t ; deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

 x = \pm 3, \ x = \pm 1

 

4En este caso los factores de la ecuación dada son

 

 x^4 - 10x^2 + 9 = (x - 3)(x + 3)(x - 1)(x + 1) .

 

8 x^4 - 2x^2 - 3

 

1Igualamos el polinomio a cero y hacemos un cambio de variable  x^2 = t
Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos  t^2 - 2t - 3 = 0

 

2Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

 \begin{array}{rcl} t & = & \cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \\\\ & = & \cfrac{2 \pm 4}{2} \end{array}

 

Al resolver se obtienen las raíces  t = 3, \ t = -1

 

3Ahora, en nuestro cambio de variable teníamos que  x^2 = t ; deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

 x = \pm \sqrt{3} ; pero  x^2 = -1 no posee soluciones reales

 

4En este caso los factores de la ecuación dada son

 

 x^4 - 2x^2 - 3 = (x^2 + 1)(x + \sqrt{3})(x - \sqrt{3}) .

 

9 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

 

1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son,  \pm 1, \pm 2, \pm 3 .

 

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

 P(1) = 2(1)^4 + (1)^3 - 8(1)^2 - (1) + 6 = 0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrrr} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6 \\ 1 &  & 2 & 3 & -5 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = 1 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)

 

4 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por  1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

 

 P(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 5(1) - 6 \neq 0

 

Luego  1 no es raíz del segundo factor. Probamos con  -1

 

 P(-1) = 2(-1)^3 + 3(-1)^2 - 5(-1) - 6 = 0

 

5 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrr} & 2 & 3 & -5 & -6  \\ -1 & & -2 & -1 & 6  \\ \hline & 2 & 1 & -6 & 0  \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = -1 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(2x^2 + x - 6)

 

6 El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-6)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 7}{4} \end{array}

 

Las raíces son  x = -2, \ x = \cfrac{3}{2} y el polinomio se expresa

 

 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6 = (x - 1)(x + 1)(x + 2) \left ( 2x - 3 \right )

 

10 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3

 

1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son,  \pm 1, \pm 3 .

 

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

 P(1) = 2(1)^3 - 7(1)^2 + 8(1) - 3 = 0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrr} & 2 & -7 & 8 & -3 \\ 1 & & 2 & -5 & 3  \\ \hline & 2 & -5 & 3 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = 1 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)(2x^2 - 5x + 3)

 

4 Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor. Volvemos a probar por  1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

 

 P(1) = 2(1)^2 - 5(1) + 3 = 0

 

5 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrr} & 2 & -5 & 3 \\ 1 & & 2 & -3 \\ \hline & 2 & -3 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = 1 es una raíz doble y el polinomio se expresa

 

 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x - 1)^2(2x - 3)

 

11 x^3 - x^2 - 4

 

1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son,  \pm 1, \pm 2, \pm 4 .

 

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

 P(2) = (2)^3 - (2)^2 - 4 = 0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrr} & 1 & -1 & 0 & 4 \\ 2 & & 2 & 2 & 4  \\ \hline & 1 & 1 & 2 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = 2 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{-7}}{2} \end{array}

 

Como el discriminante es negativo, el polinomio no posee raíces reales. Así, la única raíz es  x = 2 y el polinomio se expresa

 

 x^3 - x^2 - 4 = (x - 2)(x^2 + x + 2)

 

12 x^3 + 3x^2 - 4x - 12

 

1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son,  \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12 .

 

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

 P(2) = (2)^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12 = 0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrr} & 1 & 3 & -4 & -12 \\ 2 & & 2 & 10 & 12  \\ \hline & 1 & 5 & 6 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = 2 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x^2 + 5x + 6)

 

4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(5) \pm \sqrt{(5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} \\\\ & = & \cfrac{-5 \pm 1}{2} \end{array}

 

Las raíces del segundo factor son  x = -2, \ x = -3 y el polinomio se expresa

 

 x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = (x - 2)(x + 2)(x + 3)

 

13 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2

 

1 Tomamos los divisores del término independiente, estos son,  \pm 1, \pm 2 .

 

2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

 P(-2) = 6(-2)^3 + 7(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0

 

3 Dividimos por Ruffini.

 

 \begin{array}{rrrrr} & 6 & 7 & -9 & 2 \\ -2 & & -12 & 10 & -2  \\ \hline & 6 & -5 & 1 & 0 \end{array}

 

Como la división es exacta,  x = -2 es una raíz y el polinomio se expresa

 

 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(6x^2 - 5x + 1)

 

4 El segundo factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(6)(1)}}{2(6)} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{12} \\\\ & = & \cfrac{5 \pm 1}{12} \end{array}

 

Las raíces del segundo factor son  x = \cfrac{1}{2}, \ x = \cfrac{1}{3} y el polinomio se expresa

 

 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2 = (x + 2)(2x - 1)(3x - 1)

Ejercicios de factorizacíon de polinomios

 

 9x^4 - 4x^2

 

 x^5 + 20x^3 + 100x

 

 3x^5 - 18x^3 + 27x

 

 2x^3 - 50x

 

 2x^5 - 32x

 

 2x^2 + x - 28

 

 

1 9x^4 - 4x^2

 

Sacamos factor común  x^2

 

 9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right )

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

 

 9x^4 - 4x^2 = x^2 \left ( 9x^2 - 4 \right ) = x^2(3x - 2)(3x + 2)

 

2 x^5 + 20x^3 + 100x

 

Extraemos factor común  x

 

 x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right )

 

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

 

 x^5 + 20x^3 + 100x = x \left ( x^4 + 20 x^2 + 100 \right ) = x \left ( x^2 + 10 \right )^2

 

3 3x^5 - 18x^3 + 27x

 

Extraemos factor común  3x

 

 3x^5 - 18x^3 + 27x = 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right )

 

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

 

 \begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \end{array}

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

 

 \begin{array}{rcl} 3x^5 - 18x^3 + 27x & = & 3x \left ( x^4 - 6 x^2 + 9 \right ) \\\\ & = & 3x \left ( x^2 - 3 \right )^2 \\\\ & = & 3x \left ( x - \sqrt{3} \right )^2 \left ( x + \sqrt{3} \right )^2 \end{array}

 

4  2x^3 - 50x

 

Sacamos factor común  2x

 

 2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right )

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

 

 2x^3 - 50x = 2x \left ( x^2 - 25 \right ) = 2x(x - 5)(x + 5)

 

5 2x^5 - 32x

 

Extraemos factor común  2x

 

 2x^5 - 32x = 2x \left ( x^4 - 16 \right )

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

 

 \begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\  & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \end{array}

 

El segundo factor es un polinomio irreducible o primo

 

El tercer factor es una diferencia de cuadrados que factorizamos como una suma por diferencia

 

 \begin{array}{rcl} 2x^5 - 32x & = & 2x \left ( x^4 - 16 \right ) \\\\  & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right ) \left ( x^2 - 4 \right ) \\\\  & = & 2x \left ( x^2 + 4 \right )(x - 2)(x + 2) \end{array}

 

6 2x^2 + x - 28

 

El trinomio de segundo grado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación

 

 2x^2 + x - 28 = 0

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(1) \pm \sqrt{(1)^2 - 4(2)(-28)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm \sqrt{21 + 224}}{4} \\\\ & = & \cfrac{-1 \pm 15}{4} \end{array}

 

Las raíces son  x = -4, \ x = \cfrac{7}{2} y el polinomio se expresa

 

 2x^2 + x - 28 = (x + 4)(2x - 7)

 

Ejercicios de descomposición en factores de polinomios

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

2 25x^2 - 1

 

3 36x^6 - 49

 

4 x^2 - 2x + 1

 

5 x^2 - 6x + 9

 

6 x^2 - 20x + 100

 

7 x^2 + 10x + 25

 

8 x^2 + 14x + 49

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

10 3x^7 - 27x

 

11 x^2 - 11x + 30

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

13 2x^2 - x - 1

 

 

1 xy - 2x - 3y + 6

 

En este ejercicio podemos hacer una doble extracción de factor común. En los dos primeros sumandos extraemos  x y en los dos últimos extraemos  -3

 

 xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2)

 

Sacamos factor común  (y - 2)

 

 xy - 2x - 3y + 6 = x(y - 2) - 3(y - 2) = (y - 2)(x - 3)

 

2 25x^2 - 1

 

es una diferencia de cuadrados

 

 25x^2 - 1 = (5x - 1)(5x + 1)

 

3 36x^6 - 49

 

La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

 

 36x^6 - 49 = \left (6x^3 - 7 \right ) \left (6x^3 + 7 \right )

 

4 x^2 - 2x + 1

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  1 es  1 y el doble del primero  x por el segundo  1 es  2x

 

 x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

 

5 x^2 - 6x + 9

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  3 es  9 y el doble del primero  x por el segundo  2 es  6x

 

 x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2

 

6 x^2 - 20x + 100

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  10 es  100 y el doble del primero  x por el segundo  10 es  20x

 

 x^2 - 20x + 100 = (x - 10)^2

 

7 x^2 + 10x + 25

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  5 es  25 y el doble del primero  x por el segundo  5 es  10x

 

 x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2

 

8 x^2 + 14x + 49

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  7 es  49 y el doble del primero  x por el segundo  7 es  14x

 

 x^2 + 14x + 49 = (x + 7)^2

 

9 x^3 - 4x^2 + 4x

 

Sacamos factor común

 

 x^3 - 4x^2 + 4x = x \left ( x^2 - 4x + 4 \right )

 

Tenemos otro trinomio cuadrado perfecto

 

El cuadrado de  x es  x^2 , el cuadrado de  2 es  4 y el doble del primero  x por el segundo  2 es  4x

 

 \begin{array}{rcl} x^3 - 4x^2 + 4x & = & x \left ( x^2 - 4x + 4 \right ) \\\\ & = & x(x - 2)^2 \end{array}

 

10 3x^7 - 27x

 

Sacamos factor común

 

 3x^7 - 27x = 3x \left ( x^6 - 9 \right )

 

La diferencia de cuadrados la transformamos en una suma por diferencia

 

 3x^7 - 27x = 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right )

 

Aplicamos suma y diferencia de cubos

 

 \begin{array}{rcl} 3x^7 - 27x & = & 3x \left ( x^3 + 3 \right ) \left ( x^3 - 3 \right ) \\\\ & = & 3x \left (x + \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right )\left (x - \sqrt[3]{3} \right ) \left (x^2 + \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9} \right )   \end{array}

 

11 x^2 - 11x + 30

 

Igualamos el polinomio a cero

 

 x^2 - 11x + 30 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-11) \pm \sqrt{(-11)^2 - 4(1)(30)}}{2(1)} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm \sqrt{121 - 120}}{2} \\\\ & = & \cfrac{11 \pm 1}{2} \end{array}

 

Las raíces son  x = 6, \ x = 5 y el polinomio se expresa

 

 x^2 - 11x + 30 = (x - 5)(x - 6)

 

12 3x^2 - 10x + 3

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(3)}}{2(3)} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} \\\\ & = & \cfrac{10 \pm 8}{6} \end{array}

 

Las raíces son  x = 3, \ x = \cfrac{1}{3} y el polinomio se expresa

 

 3x^2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1)

 

13 2x^2 - x - 1

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

 \begin{array}{rcl} x & = & \cfrac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} \\\\ & = & \cfrac{1 \pm 3}{4} \end{array}

 

Las raíces son  x = 1, \ x = -\cfrac{1}{2} y el polinomio se expresa

 

 2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗