Los ejercicios que a continuación resolveremos, son ejemplos de:

  • Factorización de un binomio
  • Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
  • Factorización de un trinomio cuadrado perfecto
  • Factorización de un trinomio de segundo grado
  • Factorización de un polinomio de cuarto grado
  • Factorización del polinomio de tercer grado incompleto
  • Orden de la ecuación para facilitar la factorización

Ejercicios de factorización para obtener las raíces de los polinomios

 

1 x³ + x²

 

Para factorizar: x³ + x²
Notemos que es factor común de y tal que:
x³ + x² = x² (x + 1)   ; Entonces tenemos x² (x + 1)

 

Sabemos que las raíces, es el valor que toma x tal que la ecuación es igual a cero, entonces, dado x² (x + 1), existen 2 casos:

 

caso 1: cuando x² = 0  puesto que  0(x+1)=0
caso 2:
cuando x=-1 puesto que x² ((-1)+ 1) = x²(0) = 0

 

Las raíces son: x=0 x =−1

 

2 2x4 + 4x²

 

Para factorizar: 2x4 + 4x²
Notemos que 2x² es factor común de 2x4 y 4x² tal que:
2x4 + 4x² = 2x² (x² + 2)

 

En este caso solo existe la raiz x = 0; ya que para el polinomio x² + 2 no existe valor para x tal que x² + 2=0;

 

Con razonamiento matemático podemos demostrar lo anterior x²≥0 entonces x²+2≥2 

 

La raíz es: x=0

 

3 x² − 4

 

Para factorizar: x² − 4
Notemos que x² − 4  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:

 

Nota: (a² - b²)=(a+b)(a-b)

 

Entonces: x² − 4 =(x² −(2)²)= (x + 2) · (x − 2)
dado (x + 2) · (x − 2), existen 2 casos:

 

caso 1: cuando x + 2 = 0  puesto que  (0) · (x − 2)=0  entonces x+2=0 cuando x=-2
caso 2:
 cuando x − 2=0   puesto que  (x + 2) · (0)=entonces  x-2=0 cuando x= 2

 

Las raíces son: x=2 x =−2

 

4 x4 − 16

 

Para factorizar: x4 − 16
Notemos que x4 − 16  se puede expresar como una diferencia de cuadrados:

x4 − 16 = (x² + 4) · (x² − 4)

 

Volvemos a encontrarnos con una diferencia de cuadrados
(x² + 4) · (x² − 4)=  (x² + 4)· (x + 2) (x − 2)

 

Las raíces son x = −2 y x = 2

 

9 + 6x + x²

 

Para factorizar: 9 + 6x + x²

 

Nos encontramos con un trinomio cuadrado perfecto, el cual puede escribirse como un binomio al cuadrado, para lo cual tenemos que preguntarnos:

 

Qué número elevado al cuadrado da 9?    → 3
Qué número elevado al cuadrado da x²? →  x
Y tenemos que comprobar que 2 · 3 · x = 6x

 

Entonces:

 

Binomio al cuadrado

 

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

 

 

6 Ecuación de segundo grado

 

Para encontrar las raíces de:  x²-x-6

 

En este caso usaremos la formula general para ecuaciones de segundo grado para lo cual debemos igualar la ecuación a cero, es decir  x²-x-6=0, encontramos los valores de x (raices de la ecuacion) utilizando la formula general:

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

Factorización de un trinomio

 

Las raíces son x = 3 y x = −2.

 

 

7  x4 − 10x² + 9

 

Para factorizar: x4 − 10x² + 9
Igualamos el polinomio a cero:  x4 − 10x² + 9 = 0
hacemos un cambio de variablex² = t

 

Sustituyendo nuestra nueva variable tenemos:

 

x4 − 10x² + 9 = 0   →   t² − 10t + 9 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado para la variable t

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 2

 

Ahora, en nuestro cambio de variable teníamos que x² = t, deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

Raíces de una constante Raíces de una constante 2

 

Entonces:

x4 − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

 

Las raíces son x = 1, x = -1 , x = 3 y x = −3

 

8 x4 − 2x² − 3

 

Para factorizar: x4 − 2x² − 3
Igualamos el polinomio a cero: x4 − 2x² − 3 = 0
Realizamos un cambio de varible: x² = t

Entonces:

x4 − 2x² − 3 = 0  → t² − 2t − 3 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado mediante la formula general

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 3

 

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

Raíces de una constante 3 Raíces de una constante 4

 

x4 − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x +) · (x −)

 

Las raíces son x = \displaystyle \sqrt{3} , x = \displaystyle -\sqrt{3} , x =i y x = −i

 

9 2x4 + x³ − 8x² − x + 6

 

Para factorizar: 2x4 + x³ − 8x² − x + 6
1 Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
2 Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3 Dividimos por Ruffini.

 

División de Ruffini

 

 

4 Por ser la división exacta,

D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

 

Una raíz es x =1.

 

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

 

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

 

División de Ruffini 2

 

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

 

Otra raíz es x =-1

 

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

 

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

 

Division de Ruffini 4

 

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

 

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

 

La factorización del polinomio queda:

2x4 + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x =1, x =-1, x =-2, x =3/2

 

10 2x³ − 7x² + 8x − 3

 

Para factorizar: 2x³ − 7x² + 8x − 3
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±3
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

 

P(1) = 2 · 1³ − 7 · 1² + 8 · 1 − 3 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

Division de Ruffini 5

 

Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x² − 5x + 3)

 

Una raíz es x = 1.

 

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado

 

P(1) = 2 · 1² −5 · 1 + 3 = 0

 

División de Ruffini 6

 

(x −1)² · (2x −3) = 2(x − 3/2) · (x −1)²

 

En el segundo factor hemos sacado factor común 2

 

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

 

 

11 x³ − x² − 4

 

Para factorizar: x³ − x² − 4
Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±4}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

 

P(1) = 1³ − 1² − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ − (−1) ² − 4 ≠ 0

P(2) = 2³ − 2² − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

División de Ruffini 7

 

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + x + 2 )

 

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado x² + x + 2 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 5

 

(x − 2) · (x² + x + 2 )

 

La Raíz es : x = 2.

 

 

12 x³ + 3x² − 4x − 12

 

Para factorizar: x³ + 3x² − 4x − 12
Tomamos los divisores del término independiente: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

P(1) = 1³ + 3 · 1² − 4 · 1 − 12 ≠ 0

P(−1) = (−1)³ + 3 · (−1)² − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P(2) = 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

División de Ruffini 10

 

Por ser la división exacta, D = d · c
(x − 2) · (x² + 5x + 6)

 

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado x² + 5x + 6 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 8

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

(x − 2) · (x + 2) · (x +3)

 

Las raíces son : x = 2, x = − 2 x = − 3.

 

13 6x³ + 7x² − 9x + 2

 

Para factorizar: 6x³ + 7x² − 9x + 2


Vamos a probar con los divisores enteros del término independiente: {±1, ±2}
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta

 

P(1) = 6 · 1³ + 7 · 1² − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1)³ + 7 · (−1)² − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P(2) = 6 · 2 ³ + 7 · 2 ² − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2)³ + 7 · (−2)² − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

División de Ruffini 11

 

Por ser la división exacta, D = d · c
(x+2) · (6x² − 5x + 1)

 

Factorizamos el segundo factor igualándolo a cero y resolviendo la ecuación de segundo grado 6x² − 5x + 1 = 0

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 9

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

6 · (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

 

Raíces: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3

 

Ejercicios de factorizacíon de polinomios

 

9x4 − 4x²

 

x5 + 20x³ + 100x

 

3x5 − 18x³ + 27x

 

2x³ − 50x

 

2x5 − 32x

 

2x² + x − 28

 

 

Factorizar los polinomios:

1 9x4 − 4x²

Sacamos factor común x²

x² · (9x² − 4)

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

x² · (3x + 2) · (3x − 2)

 

2 x5 + 20x³ + 100x

Extraemos factor común x

x·(x4 + 20x² + 100)

 

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

x · (x² + 10)²

 

3 3x5 − 18x³ + 27x

Extraemos factor común 3x

3x · (x4 − 6x² + 9)

 

Tenemos un trinomio cuadrado perfecto que lo podemos expresar como un binomio al cuadrado

 3x · (x² − 3)²

 

2x³ − 50x

Sacamos factor común 2x

2x · (x² − 25)

 

Escribimos la diferencia de cuadrados como una suma por diferencia

2x · (x + 5) · (x - 5)

 

5 2x5 − 32x

Extraemos factor común 2x

 2x · (x4 − 16) =

2x · (x² + 4) · (x² − 4) =

 

El segundo factor es un polinomio irreducible o primo

El tercer factor es una diferencia de cuadrados que factorizamos como una suma por diferencia

 2x · (x² + 4) · (x +2) · (x − 2)

 

6 2x² + x − 28

El trinomio de segundo grado lo igualamos a cero y resolvemos la ecuación

2x² + x − 28 = 0

 

\displaystyle x =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-28)} } \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{1+224} } \\ 4 \\ \end{array} = \begin{array}{c} \underline{-1\pm \sqrt{225}} \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{-1\pm 15} \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=6 \\ \longrightarrow x_2=5 \\ \end{array}

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

2x² + x − 28 = 2 (x + 4) · (x − 7/2)

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Ejercicios de descomposición en factores de polinomios

 

1  \displaystyle \frac{2}{5}x^{5}- \frac{6}{5}x^{4}+\frac{14}{15}x^{2}

 

2    xy − 2x − 3y + 6

 

3   25x² − 1

 

36x6 − 49

 

x² − 2x + 1

 

x² − 6x + 9

 

x² − 20x + 100

 

x² + 10x +25

 

x² + 14x + 49

 

10  x³ − 4x² + 4x

 

11  3x7 − 27x

 

12  x² − 11x + 30

 

13  3x² − 10x + 3

 

142x² − x − 1

 

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Descomponer en factores los polinomios

1 Polinomio de grado 5

Extraemos factor común de 2/5 x²

Factorización de un polinomio 5

 

2 xy − 2x − 3y + 6

En este ejercicio podemos hacer una doble extracción de factor común
En los dos primeros sumandos extraemos x y en los dos últimos extraemos −3

 x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

Sacamos factor común de (y − 2)

(x − 3) · (y − 2)

La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

 

3 25x² − 1

es una diferencia de cuadrados

(5x +1) · (5x − 1)

 

4 36x6 − 49

La diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia

(6x³ + 7) · (6x³ − 7)

 

5 x² − 2x + 1

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 1 es 1 y el doble del primero (x) por el segundo (1) es 2x

(x − 1)²

 

6 x² − 6x + 9

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 3 es 9 y el doble del primero (x) por el segundo (3) es 6x

(x − 3)²

 

7 x² − 20x + 100

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 10 es 100 y el doble del primero (x) por el segundo (10) es 20x

(x − 10)²

 

8 x² + 10x + 25

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 5 es 25 y el doble del primero (x) por el segundo (5) es 10x

(x + 5)²

 

9 x² + 14x + 49

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 7 es 49 y el doble del primero (x) por el segundo (7) es 14x

(x + 7)²

 

10 x³ − 4x² + 4x

Sacamos factor común x

x · (x² − 4x + 4)

Tenemos otro trinomio cuadrado perfecto

El cuadrado de x es x², el cuadrado de 2 es 4 y el doble del primero (x) por el segundo (2) es 4x

 x · (x − 2)²

 

11 3x7 − 27x

Sacamos factor común 3x

 3x · (x6 − 9) =

La diferencia de cuadrados la transformamos en una suma por diferencia

3x · (x³ + 3) · (x³ − 3)

 

12x² − 11x + 30

Igualamos el polinomio a cero

x² − 11x + 30 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

 

 \disslaystyle x = \begin{array}{c} \underline{11\pm \sqrt{11^2-4\cdot1\cdot30} } \\ 2 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{11\pm \sqrt{121-120} } \\ 2 \\ \end{array} = \begin{array}{c} \underline{11\pm 1} \\ 2 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=6 \\ \longrightarrow x_2=5 \\ \end{array}

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

 

x² − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

 

13 3x² − 10x + 3

Igualamos el polinomio a cero

3x² − 10x + 3 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado 13

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

3x² − 10x + 3 = 3 (x − 3) · (x − 1/3)

 

14 2x² − x − 1

Igualamos el polinomio a cero

2x² − x −1 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado

\displaystyle x =  \begin{array}{c} \underline{-(-1)\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot2\cdot(-1)} } \\ 4 \\ \end{array} =  \begin{array}{c} \underline{1\pm \sqrt{1+8} } \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c} \underline{1\pm \sqrt{9} } \\ 4 \\ \end{array}= \begin{array}{c} \underline{1\pm 3} \\ 4 \\ \end{array} =\begin{array}{c}\longrightarrow x_1=4 \\ \longrightarrow x_2= -\frac{1}{2} \\ \end{array}

 

ax² + bx + c = a · (x − x1) · (x − x2)

 

2x² − x − 1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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