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Métodos para la obtención de las raíces y factorización
En la ecuación de la forma 
, el polinomio 
se puede descomponer en factores de primer y segundo grado. Para ello utilizaremos el teorema del resto y la regla de Ruffini. También nos resultará útil la fórmula general.
¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?
Si tengo un polinomio 
de grado 
con raíces 
, entonces el polinomio se factoriza como
Ejemplo
1 
Tomamos los divisores del término independiente: 
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.
Como resultó 0, la división de por el factor 
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta, D = d · c, entonces
Se concluye que una raíz del polinomio es 
.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar nuevamente con 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini 
Como resultó un número distinto a 0, probamos con otro divisor, por ejemplo con -1
Como es igual a 0, calculamos la división de 
por 
con Ruffini.
Se concluye entonces que
Otra raíz es 
.
Como ya nos queda encontrar las raíces de 
y es un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general. También podríamos continuar como lo hemos hecho, sin embargo ese método sólo encuentra raíces enteras, y no nos serviría si el polinomio tuviera raíces no enteras.
Usando la fórmula general tenemos que
Entonces
Las soluciones son: , 
, 
y 
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto
1 
Tomamos los divisores del término independiente: 
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.
Como resultó 0, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Se concluye que una raíz del polinomio es .
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar nuevamente con 1 porque esa raíz se podría repetir, es decir, que el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini 
Como es igual a 0, calculamos la división de por con Ruffini.
Por lo tanto
Las soluciones son: 
y
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
2 
Tomamos los divisores del término independiente: 
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta
Como resultó 0, la división de por el factor 
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Por lo tanto
Como ya nos queda encontrar las raíces de 
y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Como no resulta un número real, no podemos descomponer más el polinomio de grado 2, entonces el polinomio se factoriza
Y solo tiene una raíz: 
3
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta 
Como resultó 0 en este último, la división de por el factor 
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Como ya nos queda encontrar las raíces de 
y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Entonces
Las soluciones son: 
, 
y 
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
4 
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta 
Como resultó 0 en este último, la división de por el factor es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Como ya nos queda encontrar las raíces del segundo factor 
y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Entonces
Las soluciones son: , , 
.
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
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Este tipo de ejercicios no solo fortalecen el razonamiento algebraico, sino que también entrenan tu capacidad para explicar procesos paso a paso, algo que tú haces muy bien en tus presentaciones. Además, el uso de Ruffini y el teorema del resto te permite abordar polinomios complejos con elegancia y lógica, algo muy útil en programación y algoritmos también.
Utilizar el teorema del resto, la regla de ruffini y la formula general para ecuaciones de segundo grado
Escribo y elijo bien las respuestas y me aparece el setenta porciento, no entiendo porque si todas me quedan bien.
Hola te agradecemos por visitar nuestra pagina, en cuanto a lo que pasa con los resultados del cuestionario, se supone que la pagina te da las respuestas de los ejercicios y allí puedes ver cual ejercicio tiene el error, podrías por favor indicárnoslo para rectificarlo.
– 2 no es raíz del último polunomio
Hola gracias por tus observaciones, podrías hacernos el favor de mencionar el número del ejercicio para poder rectificarlo, seria de gran ayuda.
(14m³×+21m²)÷(-7)