12 agosto 2020
Temas
Métodos para la obtención de las raíces y factorización
En la ecuación de la forma , el polinomio
se puede descomponer en factores de primer y segundo grado. Para ello utilizaremos el teorema del resto y la regla de Ruffini. También nos resultará útil la fórmula general.
¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?
Si tengo un polinomio de grado
con raíces
, entonces el polinomio se factoriza como
Ejemplo
Si iniciamos con el polinomio
Tomamos los divisores del término independiente:
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.
Como resultó 0, la división de por el factor
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta, D = d · c, entonces
Se concluye que una raíz del polinomio es
.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar nuevamente con 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini
Como resultó un número distinto a 0, probamos con otro divisor, por ejemplo con -1
Como es igual a 0, calculamos la división de por
con Ruffini.
Se concluye entonces que
Otra raíz es .
Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general. También podríamos continuar como lo hemos hecho, sin embargo ese método sólo encuentra raíces enteras, y no nos serviría si el polinomio tuviera raíces no enteras.
Usando la fórmula general tenemos que
Entonces
Las soluciones son: ,
,
y
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
Ejercicios
Hallar las raíces de:
1
Tomamos los divisores del término independiente:
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.
Como resultó 0, la división de por el factor
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Se concluye que una raíz del polinomio es
.
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar nuevamente con 1 porque esa raíz se podría repetir, es decir, que el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini
Como es igual a 0, calculamos la división de por
con Ruffini.
Por lo tanto
Las soluciones son: y
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
2
Tomamos los divisores del término independiente:
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta
Como resultó 0, la división de por el factor
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Por lo tanto
Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Como no resulta un número real, no podemos descomponer más el polinomio de grado 2, entonces el polinomio se factoriza
Y solo tiene una raíz:
3
Tomamos los divisores del término independiente:
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta
Como resultó 0 en este último, la división de por el factor
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Como ya nos queda encontrar las raíces de y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Entonces
Las soluciones son: ,
y
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
4
Tomamos los divisores del término independiente:
Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta
Como resultó 0 en este último, la división de por el factor
es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
Entonces
Como ya nos queda encontrar las raíces del segundo factor y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general
Entonces
Las soluciones son: ,
,
.
De esto se concluye que el polinomio se factoriza como
Si necesitas que un profesor de mates te acompañe en tus estudios, lo podrás encontrar en Superprof.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
En el caso: x^3-3x^2+1 no puedo resolver por ruffini, que se hace?
Buen día
Este tipo de ecuaciones son muy complicadas de resolver de forma analítica, se usan procedimientos avanzados como el Método de Cardano. Por el momento no contamos con ese material, igual te invito a que busques sobre dicho método. También podrías resolver de manera numérica.
Saludos.
X3-x2-7x+3=0
con metodo de ruffini o factorizacion
Hola,

resolvemos como se indica en el ejemplo inicial de esta página. Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Los divisores del término independiente son: ±1, ± 3
p(3) = 3³-3²-7(3)+3=0
así, por el teorema del resto la división es exacta y (x-3) es un factor de p(x). Aplicamos la regla de Ruffini
Por ser exacta la división, x=3 es una raíz,, luego (x-3) es un factor del polinomio
x³-x²-7x+3=(x-3)(x²+2x-1)
Para encontrar el segundo factor aplicamos la ecuación de segundo grado a x²+2x-1 y obtenemos x = -1±√2. Así el polinomio p(x) se factoriza como
x³-x²-7x+3=(x-3)(x+1+√2)(x+1-√2)
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo
En el proceso del aprendizaje, a veces ganamos, a veces aprendemos un mejor modo
de resolver el mismo problema……..pero nunca perderemos el tiempo en la lucha……en
ese constante batallar que implica vivir luchando por nuestros sueños.
QUIROZ BOHABOT LUIS CARLOS, AUTODIDACTA-LIMA, PERU
ESPERE 76 AÑOS PARA CONOCERLES……..PUEDO SEGUIR ESPERANDO SU APROBACION
LO QUE QUISIERA ES PODER ACCEDER A UN DIPLOMA DE EFICIENCIA PARA TRABAJAR ONLINE