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En la ecuación de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones de primer grado y de segundo grado resultantes.
2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 = 0
Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.
P(x) = 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6
Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.
Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.
P(1) = 2 · 14 + 13 − 8 · 12 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
Dividimos por Ruffini.
Por ser la división exacta, D = d · c
(x −1) · (2x3 + 3x2 − 5x − 6) = 0
Una raíz es x = 1 .
Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.
Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.
P(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 5x − 6≠ 0
P(− 1) = 2 · (− 1)3 + 3 · (− 1)2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0
(x −1) · (x +1) · (2x2 +x −6) = 0
Otra raíz es x = -1 .
El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.
Las soluciones son: x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2
Ejercicios
Hallar las raíces de:
1
2x3 − 7x2 + 8x − 3 = 0
P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0
(x −1 ) · (2x2 − 5x + 3 ) = 0
P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0
(x −1 )2 · (2x −3 ) = 0
Las soluciones son: x = 3/2 y x = 1
2
x3 − x2 − 4 = 0
{±1, ±2, ±4 }
P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0
P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0
P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
x2+ x + 2 = 0
(x − 2) · (x2+ x + 2 ) = 0
Solución: x = 2.
3
6x3 + 7x2 − 9x + 2 = 0
{±1, ±2}
P(1) = 6 · 13 + 7 · 12 − 9 · 1 + 2 ≠ 0
P(−1) = 6 · (−1)3 + 7 · (−1)2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0
P(2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0
P(−2) = 6 · (−2)3 + 7 · (−2)2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0
(x+2) · (6x2 −5x +1) = 0
6x2 −5x +1 = 0
6 (x + 2) · (x − 1/2) · (x − 1/3) = 0
Soluciones: x = − 2, x = 1/2 y x= 1/3
4
x3 + 3x2 − 4x − 12 = 0
{±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 }
P(1) = 13 + 3 · 12 − 4 · 1 − 12 ≠ 0
P(−1) = (−1)3 + 3 · (−1)2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0
P(2) = 23 + 3 · 22 − 4 · 2 − 12 =
= 8 + 12 − 8 − 12 = 0
(x − 2) · (x2 − 5x +6) = 0
x2 − 5x +6 = 0
(x − 2) ·(x + 2) ·(x +3) = 0
Las soluciones son : x = 2, x = − 2, x = − 3.
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