Name: Factorizacion de un polinomio usando Ruffini
Brand: Superprof
SKU: SP-RB-00095990
Rating: 4 (15 reviews)

Aprende Matemáticas con los mejores

¡1ra clase gratis!

Temas

Métodos para la obtención de las raíces y factorización
¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?
Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto

Métodos para la obtención de las raíces y factorización

En la ecuación de la forma $P(x) = 0$ , el polinomio $P(x)$ se puede descomponer en factores de primer y segundo grado. Para ello utilizaremos el teorema del resto y la regla de Ruffini. También nos resultará útil la fórmula general.

Los/las mejores profesores/as de Matemáticas que están disponibles

¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?

Si tengo un polinomio $P(x)=a_0 + a_1 x +a_2x^2+...+a_{k-1}x^{k-1}+a_k x^k$ de grado $k$ con raíces $r_1,\, r_2,\, ...\, ,\, r_k$ , entonces el polinomio se factoriza como

$P(x)= a_k (x-r_1)\cdot (x-r_2) \cdot ... \cdot (x-r_k)$

Ejemplo

1 $P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6$

Tomamos los divisores del término independiente: $\pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 6.$

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

$P(1) = 2 \cdot 1^4 + 1^3 - 8 \cdot 1^2 - 1 + 6 = 2 + 1- 8 - 1 + 6 = 0$

Como resultó 0, la división de $P(x)$ por el factor $(x-1)$ es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

Dividimos por Ruffini.

${\begin{matrix} 2 & 1 & -8 & -1 & \hspace{1mm}6 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} 1 & & \hspace{3.5mm}2 &\hspace{2mm}3 & -5 & -6 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{matrix}}$

Por ser la división exacta, D = d · c, entonces

$P(x)=2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x -1) \cdot (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)$

Se concluye que una raíz del polinomio $P(x)$ es $x = 1$ .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini $Q(x)=2x^3 + 3x^2 - 5x - 6$

$Q(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 5x - 6 \not = 0$

Como resultó un número distinto a 0, probamos con otro divisor, por ejemplo con -1

$Q(- 1) = 2 \cdot (- 1)^3 + 3 \cdot (- 1)^2 - 5 \cdot (- 1) - 6= -2 + 3 + 5 - 6 = 0$

Como es igual a 0, calculamos la división de $Q(x)$ por $(x+1)$ con Ruffini.

${\begin{matrix} 2 & 3 & -5 & -6 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} -1 & & -2 &-1 & \hspace{1.3mm}6 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 2 & \hspace{1mm}1 & -6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}$

Se concluye entonces que

$P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x-1) \cdot (x +1) \cdot (2x^2+x-6) = 0$

Otra raíz es $x = -1$ .

Como ya nos queda encontrar las raíces de $R(x)=2x^2+x-6$ y es un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general. También podríamos continuar como lo hemos hecho, sin embargo ese método sólo encuentra raíces enteras, y no nos serviría si el polinomio tuviera raíces no enteras.

$R(x)=2x^2+x-6=0$

Usando la fórmula general tenemos que

$\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4} = \frac{-1\pm 7}{4}$

Entonces

$\displaystyle x_1= \frac{6}{4} =\frac{3}{2}$

$\displaystyle x_2= \frac{-8}{4} =-2$

Las soluciones son: $x = 1$ , $x = - 1$ , $x = -2$ y $x = \frac{3}{2}$

De esto se concluye que el polinomio $P(x)$ se factoriza como

$\displaystyle P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= 2 (x-1) \cdot (x +1) \cdot (x+2)\cdot \left(x-\frac{3}{2}\right)$

Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto

1 $2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 0$

Tomamos los divisores del término independiente: $\pm 1,\, \pm 3.$

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

$P(1) = 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 3 = 0$

Como resultó 0, la división de $P(x)$ por el factor $(x-1)$ es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

${\begin{matrix} 2 & -7 & 8 & -3 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-5 & \hspace{1.3mm}3 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 2 & -5 & \hspace{1.3mm}3 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}$

Entonces

$P(x)= 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x -1 ) \cdot (2x^2 - 5x + 3 ) = 0$

Se concluye que una raíz del polinomio $P(x)$ es $x = 1$ .

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque esa raíz se podría repetir, es decir, que el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini $Q(x)=2x^2 - 5x + 3$

$P(1) = 2 \cdot 1^2 -5 \cdot 1 + 3 = 0$

Como es igual a 0, calculamos la división de $Q(x)$ por $(x-1)$ con Ruffini.

${\begin{matrix} 2 & -5 & 3 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-3 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 2 & -3 & \hspace{1.3mm}0 \end{matrix}}$

Por lo tanto

$(x -1 )^2\cdot (2x -3 ) = 0$

Las soluciones son: $\displaystyle x = \frac{3}{2}$ y $x = 1$

De esto se concluye que el polinomio $P(x)$ se factoriza como

$\displaystyle P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 2 (x -1 )^2\cdot \left(x -\frac{3}{2} \right)$

2 $x^3 - x^2 - 4 = 0$

Tomamos los divisores del término independiente: $\pm 1,\, \pm 2, \, \pm 4.$

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

$P(1) = 1 ^3 - 1^2 - 4 \not = 0$

$P(-1) = (-1)^3 - (-1) ^2 - 4 \not = 0$

$P(2) = 2^3- 2^2 -4 = 8 - 4 - 4 = 0$

Como resultó 0, la división de $P(x)$ por el factor $(x-2)$ es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

${\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & -4 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}2 & \hspace{1.5mm}4 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 1 & \hspace{1.5mm}1 & 2 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}$

Por lo tanto

$(x- 2) \cdot (x^2+ x + 2 ) = 0$

Como ya nos queda encontrar las raíces de $x^2+ x + 2 = 0$ y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

$x^2+ x + 2 = 0$

$\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{-7}}{4}\not \in \mathbb{R}$

Como no resulta un número real, no podemos descomponer más el polinomio de grado 2, entonces el polinomio $P(x)$ se factoriza

$P(x) =x^3 - x^2 - 4= (x - 2) \cdot (x^2+ x + 2 )$

Y solo tiene una raíz: $x = 2$

3 $6x^3 + 7x^2-9x + 2= 0$

Tomamos los divisores del término independiente: $\pm 1,\, \pm 2.$

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

$P(1) = 6 \cdot 1^3+ 7 \cdot 1^2- 9 \cdot 1 + 2 \not = 0$

$P(-1) = 6 \cdot (-1)^3+ 7 \cdot (-1)^2-9\cdot (-1) + 2 \not = 0$

$P(2) = 6 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 2 \not = 0$

$P(-2) = 6 \cdot (-2)^3 + 7 \cdot (-2)^2 - 9 \cdot (-2) + 2 = - 48 + 28 + 18 + 2 = 0$

Como resultó 0 en este último, la división de $P(x)$ por el factor $(x+2)$ es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

${\begin{matrix} 6 & \hspace{1.5mm}7 & -9 & \hspace{1.5mm}2 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} -2 & & -12 &10 & -2 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 6 & -5 & \hspace{1.5mm}1 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}$

Entonces

$(x+2) \cdot (6x^2 - 5x +1) = 0$

Como ya nos queda encontrar las raíces de $6x^2 - 5x +1 = 0$ y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

$6x^2 -5x +1 = 0$

$\displaystyle x= \frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{12}= \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{12} = \frac{5\pm 1}{12}$

Entonces

$\displaystyle x_1= \frac{6}{12} =\frac{1}{2}$

$\displaystyle x_2= \frac{4}{12} =\frac{1}{3}$

Las soluciones son: $x =- 2$ , $x = \frac{1}{2}$ y $x= \frac{1}{3}$

De esto se concluye que el polinomio $P(x)$ se factoriza como

$\displaystyle P(x) = 6x^3 + 7x^2-9x + 2= 6 (x+2) \cdot \left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x-\frac{1}{3}\right)$

4 $x^3+ 3x^2-4x - 12 = 0$

Tomamos los divisores del término independiente: $\pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 4,\, \pm 6,\, \pm 12.$

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

$P(1) = 1^3+ 3 \cdot 1^2- 4 \cdot 1 - 12 \not = 0$

$P(-1) = (-1)^3+ 3\cdot (-1)^2-4 \cdot (-1) - 12 \not = 0$

$P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0$

Como resultó 0 en este último, la división de $P(x)$ por el factor $(x-2)$ es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

${\begin{matrix} 1 & 3 & -4 & -12 \end{matrix}}$

${\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}10 & \hspace{1.3mm}12 \end{matrix}}$
${\rule{38mm}{0.1mm}}$

${\begin{matrix} & 1 & 5 & \hspace{1.5mm}6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}$

Entonces

$(x - 2) \cdot (x^2- 5x +6) = 0$

Como ya nos queda encontrar las raíces del segundo factor $x^2- 5x +6= 0$ y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

$x^2-5x +6 = 0$

$\displaystyle x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{2}= \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2} = \frac{-5\pm 1}{2}$

Entonces

$\displaystyle x_1= \frac{-4}{2} =-2$

$\displaystyle x_2= \frac{-6}{2} =-3$

Las soluciones son: $x = 2$ , $x = -2$ , $x = - 3$ .

De esto se concluye que el polinomio $P(x)$ se factoriza como

$\displaystyle P(x) = x^3+ 3x^2-4x - 12= (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot (x +3)$

Si necesitas que un profesor de mates te acompañe en tus estudios, lo podrás encontrar en Superprof.

La plataforma que conecta profes particulares y estudiantes

¿Te ha gustado este artículo? ¡Califícalo!

Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vez

Aprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?

Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar

4,00 (15 nota(s))

Cargando...

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

Déjanos un comentario

Cancelar la respuesta

Incógnita

Mayo 2020

En el caso: x^3-3x^2+1 no puedo resolver por ruffini, que se hace?

Luis Ernesto Sanchez Perez

Junio 2020

Buen día

Este tipo de ecuaciones son muy complicadas de resolver de forma analítica, se usan procedimientos avanzados como el Método de Cardano. Por el momento no contamos con ese material, igual te invito a que busques sobre dicho método. También podrías resolver de manera numérica.

Saludos.

Andrés

Diciembre 2021

Ruffini es para resolver raíces que dan números enteros. La expresión que copiaste no tiene raíces exactas, por ende es ocioso intentar aplicar factorización con números enteros.

Kwak

Junio 2020

X3-x2-7x+3=0
con metodo de ruffini o factorizacion

Gaspar Leon

Julio 2020

Hola,

resolvemos como se indica en el ejemplo inicial de esta página. Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini. Los divisores del término independiente son: ±1, ± 3
p(3) = 3³-3²-7(3)+3=0

así, por el teorema del resto la división es exacta y (x-3) es un factor de p(x). Aplicamos la regla de Ruffini

$\begin{tabular}{ccccc} & 1 & -1 & -7 & 3 \\ 3 & & 3 & 6 & -3 \\ \hline & 1 & 2 & -1 & 0 \end{tabular}$

Por ser exacta la división, x=3 es una raíz,, luego (x-3) es un factor del polinomio
x³-x²-7x+3=(x-3)(x²+2x-1)

Para encontrar el segundo factor aplicamos la ecuación de segundo grado a x²+2x-1 y obtenemos x = -1±√2. Así el polinomio p(x) se factoriza como
x³-x²-7x+3=(x-3)(x+1+√2)(x+1-√2)

Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

Álvaro

Noviembre 2021

Como se haría está por ruffini 3×4-x3+2x-1 : x-1/3

QUIROZ BOHABOT LUIS CARLOS

Noviembre 2020

En el proceso del aprendizaje, a veces ganamos, a veces aprendemos un mejor modo
de resolver el mismo problema……..pero nunca perderemos el tiempo en la lucha……en
ese constante batallar que implica vivir luchando por nuestros sueños.
QUIROZ BOHABOT LUIS CARLOS, AUTODIDACTA-LIMA, PERU

QUIROZ BOHABOT LUIS CARLOS

Noviembre 2020

ESPERE 76 AÑOS PARA CONOCERLES……..PUEDO SEGUIR ESPERANDO SU APROBACION
LO QUE QUISIERA ES PODER ACCEDER A UN DIPLOMA DE EFICIENCIA PARA TRABAJAR ONLINE

Paulina

Julio 2021

Buenas, queria saber si es posible factorizar -2x 3 +14x 2 -14x-30 usando ruffini y 2x 3 -3x 2 -11x+6 de la misma manera.
Me podria explicar como lo antes posible por favor.
Gracias

EVELIN

Septiembre 2021

5x^2 + 5x^3 − 6 − 5x + x^4 no puedo hacer por Ruffini ayúdenme plis

nacho

Octubre 2021

3 x a la 5 -18+27

Steffani Mendoza

Noviembre 2021

P(x) =x^4-5x^2+9x+8 hallar p(-3)
Quiero resolver esta division de polinomio con el metodo de ruffini.. Ayudaaa porfavor

kukudy

Diciembre 2021

En el polinomio P(x)=x^4-5x^3+6x^2+4x-8 ¿Qué números podemos probar para aplicar la regla de Ruffini en el método de los divisores binomios?

Solución de ecuaciones por Ruffini y teorema del resto

Métodos para la obtención de las raíces y factorización

¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?

Ejemplo

Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto

Cancelar la respuesta

Resumen

Resumen de Monomios y Polinomios

Resumen de Polinomios

Teoría

Productos notables

¿Que es un monomio?

Expresiones algebraicas y monomios

Clasificacion: polinomios

Expresiones algebraicas

Operaciones con monomios

Operaciones con polinomios

La regla de Ruffini

Raices de un polinomio

¿Qué son las fracciones algebraicas?

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Division de polinomios

Producto de polinomios y monomios

¿Que es un polinomio? Saberlo todo sobre polinomios

Division de fracciones algebraicas

Polinomios: Tipos

Factorizacion de un polinomio

Fracciones algebraicas: Multiplicacion

Suma de fracciones algebraicas

Factorizar polinomios

Teorema del resto

Polinomios iguales, semejantes y valor numerico

Operaciones con potencias

Igualdades notables

Regla de Ruffini

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de expresiones algebraicas

Ejercicios interactivos de monomios

Ejercicios interactivos de operaciones con monomios

Ejercicios interactivos de polinomios

Ejercicios interactivos de suma de polinomios

Ejercicios interactivos sobre la regla de Ruffini

Ejercicios interactivos de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos de reducción a común denominador de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos de división de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos de identidades notables

Ejercicios interactivos de suma de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos de multiplicacion de polinomios

Ejercicios interactivos de division de polinomios

Ejercicios interactivos del teorema del resto

Ejercicios interactivos de multiplicacion de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos de factorizacion de un polinomio

Ejercicios interactivos del teorema del factor

Otros ejercicios

Problemas de igualdades notables

Ejercicios y problemas de polinomios

10 Ejercicios de polinomios 3 ESO I

Ejercicios resueltos de fracciones algebraicas

Ejercicios de factorizacion y raices de polinomios

Ejercicios de monomios

6 Ejercicios de polinomios 2 ESO (parte 2)

8 Ejercicios de polinomios 2 ESO (parte 1)

Ejercicios Resueltos Polinomios 3 eso