Métodos para la obtención de las raíces y factorización

En la ecuación de la forma P(x) = 0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado. Para ello utilizaremos el teorema del resto y la regla de Ruffini. También nos resultará útil la fórmula general.

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Vamos

¿Cómo están relacionadas las raíces del polinomio con su factorización?

Si tengo un polinomio P(x)=a_0 + a_1 x +a_2x^2+...+a_{k-1}x^{k-1}+a_k x^k de grado k con raíces r_1,\, r_2,\, ...\, ,\, r_k, entonces el polinomio  se factoriza como

P(x)= a_k (x-r_1)\cdot (x-r_2) \cdot ... \cdot (x-r_k)

Ejemplo

1 P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

Tomamos los divisores del término independiente: \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 6.

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

P(1) = 2 \cdot 1^4 + 1^3 - 8 \cdot 1^2 - 1 + 6 = 2 + 1- 8 - 1 + 6 = 0

Como resultó 0, la división de P(x) por el factor (x-1) es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.

Dividimos por Ruffini.

 

{\begin{matrix} 2 & 1 & -8 & -1 & \hspace{1mm}6 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{3.5mm}2 &\hspace{2mm}3 & -5 & -6 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & 3 & -5 & -6 & 0 \end{matrix}}

 

Por ser la división exacta, D = d · c, entonces

P(x)=2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x -1) \cdot (2x^3 + 3x^2 - 5x - 6)

Se concluye que una raíz del polinomio P(x) es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini Q(x)=2x^3 + 3x^2 - 5x - 6

Q(1) = 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 5x - 6 \not = 0

Como resultó un número distinto a 0, probamos con otro divisor, por ejemplo con -1

Q(- 1) = 2 \cdot (- 1)^3 + 3 \cdot (- 1)^2 - 5 \cdot (- 1) - 6= -2 + 3 + 5 - 6 = 0

Como es igual a 0, calculamos la división de Q(x) por (x+1) con Ruffini.
 

{\begin{matrix} 2 & 3 & -5 & -6  \end{matrix}}

{\begin{matrix} -1 & & -2 &-1 & \hspace{1.3mm}6 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & \hspace{1mm}1 & -6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

 
Se concluye entonces que

P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= (x-1) \cdot (x +1) \cdot (2x^2+x-6) = 0

Otra raíz es x = -1.

Como ya nos queda encontrar las raíces de R(x)=2x^2+x-6 y es un polinomio de segundo grado, podemos usar la fórmula general. También podríamos continuar como lo hemos hecho, sin embargo ese método sólo encuentra raíces enteras, y no nos serviría si el polinomio tuviera raíces no enteras.

R(x)=2x^2+x-6=0

Usando la fórmula general tenemos que

\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{1+48}}{4} = \frac{-1\pm 7}{4}

Entonces

\displaystyle x_1= \frac{6}{4} =\frac{3}{2}

\displaystyle x_2= \frac{-8}{4} =-2

Las soluciones son: x = 1, x = - 1, x = -2 y x = \frac{3}{2}

De esto se concluye que el polinomio P(x) se factoriza como

\displaystyle P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6= 2 (x-1) \cdot (x +1) \cdot (x+2)\cdot \left(x-\frac{3}{2}\right)

Ejercicios propuestos para la solución de ecuaciones por el método de Ruffini y el teorema del resto

1 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 0

Tomamos los divisores del término independiente: \pm 1,\, \pm 3.

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta. Comenzamos con 1.

 P(1) = 2 \cdot 1^3 - 7 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1 - 3 = 0

Como resultó 0, la división de P(x) por el factor (x-1) es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 

{\begin{matrix} 2 & -7 & 8 & -3  \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-5 & \hspace{1.3mm}3 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & -5 & \hspace{1.3mm}3 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

 
Entonces

 P(x)= 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = (x -1 ) \cdot (2x^2 - 5x + 3 ) = 0

Se concluye que una raíz del polinomio P(x) es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar nuevamente con 1 porque esa raíz se podría repetir, es decir, que el primer factor podría estar elevado al cuadrado. Para esto usamos el cociente resultante de Ruffini Q(x)=2x^2 - 5x + 3

 P(1) = 2 \cdot 1^2 -5 \cdot 1 + 3 = 0

Como es igual a 0, calculamos la división de Q(x) por (x-1) con Ruffini.
 

{\begin{matrix} 2 & -5 & 3  \end{matrix}}

{\begin{matrix} 1 & & \hspace{4mm}2 &-3  \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 2 & -3 & \hspace{1.3mm}0 \end{matrix}}

 
Por lo tanto

 (x -1 )^2\cdot (2x -3 ) = 0

Las soluciones son: \displaystyle x = \frac{3}{2} y  x = 1

De esto se concluye que el polinomio P(x) se factoriza como

\displaystyle P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 8x - 3 = 2 (x -1 )^2\cdot \left(x -\frac{3}{2} \right)


2 x^3 - x^2 - 4 = 0

Tomamos los divisores del término independiente: \pm 1,\, \pm 2, \, \pm 4.

Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

P(1) = 1 ^3 - 1^2 - 4 \not = 0

P(-1) = (-1)^3 - (-1) ^2 - 4 \not = 0

P(2) = 2^3- 2^2 -4 = 8 - 4 - 4 = 0

Como resultó 0, la división de P(x) por el factor (x-2) es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 

{\begin{matrix} 1 & -1 & 0 & -4  \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}2 & \hspace{1.5mm}4 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & \hspace{1.5mm}1 & 2 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

 
Por lo tanto

(x- 2) \cdot (x^2+ x + 2 ) = 0

Como ya nos queda encontrar las raíces de x^2+ x + 2 = 0 y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

x^2+ x + 2 = 0

\displaystyle x= \frac{-1\pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 2}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{1-8}}{2} = \frac{-1\pm \sqrt{-7}}{4}\not \in \mathbb{R}

Como no resulta un número real, no podemos descomponer más el polinomio de grado 2, entonces el polinomio P(x) se factoriza

P(x) =x^3 - x^2 - 4= (x - 2) \cdot (x^2+ x + 2 )

Y solo tiene una raíz: x = 2


36x^3 + 7x^2-9x + 2= 0

Tomamos los divisores del término independiente: \pm 1,\, \pm 2.Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

P(1) = 6 \cdot 1^3+ 7 \cdot 1^2-  9 \cdot 1 + 2 \not = 0

P(-1) = 6 \cdot (-1)^3+ 7 \cdot (-1)^2-9\cdot (-1) + 2 \not = 0

P(2) = 6 \cdot 2^3 + 7 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 2 \not = 0

P(-2) = 6 \cdot (-2)^3 + 7 \cdot (-2)^2 - 9 \cdot (-2) + 2 = - 48 + 28 + 18 + 2 = 0

Como resultó 0 en este último, la división de P(x) por el factor (x+2) es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 

{\begin{matrix} 6 & \hspace{1.5mm}7 & -9 & \hspace{1.5mm}2  \end{matrix}}

{\begin{matrix} -2 & & -12 &10 & -2 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 6 & -5 & \hspace{1.5mm}1 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

 
Entonces

(x+2) \cdot  (6x^2 - 5x +1) = 0

Como ya nos queda encontrar las raíces de 6x^2 - 5x +1 = 0 y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

6x^2 -5x +1 = 0

\displaystyle x= \frac{5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{12}= \frac{5\pm \sqrt{25-24}}{12} = \frac{5\pm 1}{12}

Entonces

\displaystyle x_1= \frac{6}{12} =\frac{1}{2}

\displaystyle x_2= \frac{4}{12} =\frac{1}{3}

Las soluciones son: x =- 2, x = \frac{1}{2} y  x= \frac{1}{3}

De esto se concluye que el polinomio P(x) se factoriza como

\displaystyle P(x) = 6x^3 + 7x^2-9x + 2= 6 (x+2) \cdot \left(x-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(x-\frac{1}{3}\right)


4 x^3+ 3x^2-4x - 12 = 0

Tomamos los divisores del término independiente: \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \pm 4,\, \pm 6,\, \pm 12.Aplicando el teorema del resto sabremos para cuáles de estos valores la división es exacta

P(1) = 1^3+ 3 \cdot 1^2- 4 \cdot 1 - 12 \not = 0

P(-1) = (-1)^3+ 3\cdot (-1)^2-4 \cdot (-1) - 12 \not = 0

P(2) = 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 4 \cdot 2 - 12 = 8 + 12 - 8 - 12 = 0

Como resultó 0 en este último, la división de P(x) por el factor (x-2) es exacta, así que procedemos a calcularla por Ruffini.
 

{\begin{matrix} 1 & 3 & -4 & -12  \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{4mm}2 &\hspace{1.5mm}10 & \hspace{1.3mm}12 \end{matrix}}
{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 5 & \hspace{1.5mm}6 & \hspace{1.5mm}0 \end{matrix}}

 
Entonces

(x - 2) \cdot (x^2- 5x +6) = 0

Como ya nos queda encontrar las raíces del segundo factor x^2- 5x +6= 0 y es un polinomio de segundo grado, usamos la fórmula general

x^2-5x +6 = 0

\displaystyle x= \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 6}}{2}= \frac{-5\pm \sqrt{25-24}}{2} = \frac{-5\pm 1}{2}

Entonces

\displaystyle x_1= \frac{-4}{2} =-2

\displaystyle x_2= \frac{-6}{2} =-3

Las soluciones son: x = 2, x = -2, x = - 3.

De esto se concluye que el polinomio P(x) se factoriza como

\displaystyle P(x) = x^3+ 3x^2-4x - 12= (x - 2) \cdot (x + 2) \cdot (x +3)

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗