Identificación de polinomios

 

1 Indica cuáles de las siguientes expresiones son monomios. En caso de que la expresión sea un monomio, indica su grado y coeficiente.

 

a 3x^3

 

b 5x^{-3}

 

c 3x + 1

 

d \sqrt{2}x

 

e \displaystyle -\frac{3}{4} x^4

 

f \displaystyle -\frac{3}{x^4}

 

g 2\sqrt{x}

 

Recordemos que las únicas operaciones permitidas en un monomio son el producto y la potencia a un exponente natural. En los coeficientes puede aparecer cualquier operación.

 

a 3x^3

 

Sí es un monomio. Su coeficiente es 3 y su grado es 3.

 

b 5x^{-3}

 

No es un monomio, ya que x se encuentra elevado a una potencia negativa (no es un número natural).

 

c 3x + 1

 

No es un monomio, ya que aparece una suma en la expresión.

 

d \sqrt{2}x

 

Sí es un monomio: la raíz puede aparecer en los coeficientes. El coeficiente es \sqrt{2} y el grado es 1.

 

e \displaystyle -\frac{3}{4} x^4

 

Sí es un monomio: aunque hay una división, se encuentra en el coeficiente. Así, el coeficiente es -3/4 y el grado es 4.

 

f \displaystyle -\frac{3}{x^4}

 

No es un monomio, pues hay una división que afecta a alguna variable.

 

g 2\sqrt{x}

 

No es un monomio, puesto que una variable se encuentra afectada por una raíz. O lo que es lo mismo, la variable se encuentra elevada a una potencia fraccionar (1/2).

 

2 Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

 

a x^4 - 3x^5 + 2x^2 + 5

 

b \sqrt{x} + 7x^2 + 2

 

c 1 - x^4

 

d \displaystyle \frac{2}{x^2} - x - 7

 

e x^3 + x^5 + x^2

 

f x - 2x^{-3} + 8

 

g \displaystyle x^3 - x - \frac{7}{2}

 

Recordemos que un polinomio es una suma de monomios. El grado del polinomio será el grado de aquél monomio de mayor grado.

 

a x^4 - 3x^5 + 2x^2 + 5

 

Sí es un polinomio. Su grado es 5 y el término independiente también es 5.

 

b \sqrt{x} + 7x^2 + 2

 

No es un polinomio ya que hay una raíz cuadrada presente.

 

c 1 - x^4

 

Sí es un polinomio. El grado es 4 y el término independiente es 1.

 

d \displaystyle \frac{2}{x^2} - x - 7

 

No es un polinomio ya que el término 2/x^2 no es un monomio (se encuentra elevado a un número negativo).

 

e x^3 + x^5 + x^2

 

Sí es un polinomio. El grado es 5 y el término independiente es 0.

 

f x - 2x^{-3} + 8

 

No es un polinomio pues el término 2x^{-3} tiene una potencia a un número negativo.

 

g \displaystyle x^3 - x - \frac{7}{2}

 

Sí es un polinomio. El grado es 3 y el término independiente es -7/2

 

3 Escribe:

 

a Un polinomio ordenado sin término independiente.

 

b Un polinomio no ordenado y completo.

 

c Un polinomio completo sin término independiente.

 

d Un polinomio de grado 4, que sea completo y cuyos coeficientes sean impares.

 

Esta pregunta es abierta y tiene muchas respuestas correctas. Por tanto, sólo mostramos algunas de las posibles respuestas.

 

a Un polinomio ordenado sin término independiente.

 

Cualquiera de los siguientes polinomios es correcto:

 

\displaystyle 3x^4 - 2x,

 

\displaystyle 5x^3 + 3x^2 + x.

 

b Un polinomio no ordenado y completo.

 

Cualquiera de los siguientes polinomios es correcto:

 

\displaystyle 3x - x^2 + 5 - 2x^3,

 

\displaystyle 5x^3 - 5 + 4x + 4x^2 - 7x^4.

 

c Un polinomio completo sin término independiente.

 

Este polinomio es imposible de construir. Para que un polinomio sea completo se debe tener un término independiente.

 

d Un polinomio de grado 4, que sea completo y cuyos coeficientes sean impares.

 

Cualquiera de los siguientes polinomios es correcto:

 

\displaystyle 5x^4 + 3x^3 + 7x^2 + 9x + 1,

 

\displaystyle x^4 - x^3 - x^2 + 3x + 5

 

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Evaluación de polinomios

 

4 Encuentra el valor numérico del polinomio P(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 al evaluarlo en

 

a x = 1

 

b x = -1

 

c x = 2

 

Para evaluar el polinomio, simplemente sustituimos x por su valor en P(x):

 

a x = 1

 

El valor es:

 

    \begin{align*} P(1) & = 1^3 + 3(1)^2 - 4(1) - 12\\& = 1 + 3 - 4 - 12\\& = -12\end{align*}

 

b x = -1

 

Evaluamos:

 

    \begin{align*} P(-1) & = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 4(-1) - 12\\& = -1 + 3 + 4 - 12\\& = - 6\end{align*}

 

c x = 2

 

Por último, al evaluar en 2, tenemos

 

    \begin{align*} P(2) & = 2^3 + 3(2)^2 - 4(2) - 12\\& = 8 + 12 - 8 - 12\\& = 0\end{align*}

 

Operaciones con polinomios

 

5 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

 

a 2x^3 - 5x^3 =

 

b 3x^4 - 2x^4 + 7x^4 =

 

c (2x^3)\cdot (5x^3) =

 

d (2x^3y^2) \cdot (5x^3yz^2) =

 

e (12x^3) : (4x) =

 

f (18 x^6 y^2 z^5) : (6x^3 y z^2) =

 

g (2x^3 y^2)^3 =

 

h (2x^3 y^2 z^5)^5

 

i 3x^3 - 5x^3 - 2x^3 =

 

j (12x^3y^5z^4) : (3x^2y^2z^3) =

 

k \displaystyle \frac{12x^3 y^5 + 18x^5y^7 - 48x^{12}y^6}{3x^2y^2}

 

a 2x^3 - 5x^3 =

 

Recordemos que en la suma de monomios, los coeficientes se suman (siempre que las variables tengan todas la misma potencia):

 

\displaystyle 2x^3 - 5x^3 = (2 - 5)x^3 = -3 x^3

 

b 3x^4 - 2x^4 + 7x^4 =

 

Este caso es similar al anterior:

 

\displaystyle 3x^4 - 2x^4 + 7x^4 = (3 - 2 + 7)x^4 = 8x^4

 

c (2x^3)\cdot (5x^3) =

 

En la multiplicación de monomios, los coeficientes se multiplican y las potencias se suman:

 

\displaystyle (2x^3)\cdot (5x^3) = (2 \cdot 5)x^{3 + 3} = 10x^6

 

d (2x^3y^2) \cdot (5x^3yz^2) =

 

Tenemos de nuevo una multiplicación de monomios. Sin embargo, recordemos que sólo se suman las potencias de las variables que coinciden:

 

    \begin{align*} (2x^3y^2) \cdot (5x^3yz^2) & = (2 \cdot 5)x^{3 + 3}y^{2 + 1}z^2\\& = 10 x^6 y^3 z^2\end{align*}

 

e (12x^3) : (4x) =

 

A diferencia de la multiplicación, en la división los coeficientes se dividen y las potencias se restan:

 

    \begin{align*} (12x^3) : (4x) & = (12/4)x^{3 - 1}& = 3x^2\end{align*}

 

f (18 x^6 y^2 z^5) : (6x^3 y z^2) =

 

Tenemos una división con más variables:

 

    \begin{align*} (18 x^6 y^2 z^5) : (6x^3 y z^2) & = (18/6)x^{6 - 3}y^{2 - 1}z^{5 - 2}\\& = 3x^3y z^3\end{align*}

 

g (2x^3 y^2)^3 =

 

En las potencias, los coeficientes se elevan a la potencia, y las potencias de las variables se multiplican por la potencia "exterior":

 

    \begin{align*} (2x^3 y^2)^3 & = 2^3 x^{3 \cdot 3} y^{2 \cdot 3}\\& = 8 x^9 y^6\end{align*}

 

h (2x^3 y^2 z^5)^5

 

Tenemos otra potencia:

 

    \begin{align*} (2x^3 y^2 z^5)^5 & = 2^5 x^{3 \cdot 5} y^{2 \cdot 5} z^{5 \cdot 5}\\& = 32 x^{15} y^{10} z^{25}\end{align*}

 

i 3x^3 - 5x^3 - 2x^3 =

 

Tenemos otra suma de monomios:

 

    \begin{align*} 3x^3 - 5x^3 - 2x^3 & = (3 - 5 - 2)x^3\\& = -4x^3\end{align*}

 

j (12x^3y^5z^4) : (3x^2y^2z^3) =

 

Ahora tenemos otra división:

 

    \begin{align*} (12x^3y^5z^4) : (3x^2y^2z^3) & = (12/3)x^{3 - 2} y^{5 - 2} z^{4 - 3}\\& = 4 x y^3 z\end{align*}

 

k \displaystyle \frac{12x^3 y^5 + 18x^5y^7 - 48x^{12}y^6}{3x^2y^2}

 

Esta última expresión combina distintas operaciones. Observemos que los monomios del denominador no se pueden sumar ya que no tienen el mismo grado. Sin embargo, podemos dividir cada uno de ellos por el denominado común:

 

\displaystyle \frac{12x^3 y^5 + 18x^5y^7 - 48x^{12}y^6}{3x^2y^2} = 4xy^3 + 6x^3y^5 - 16x^{10} y^4

 

6 Dados los polinomios

 

    \begin{align*} & P(x) = 4x^2 - 1 & Q(x) = x^3 - 3x^2 + 6x - 2\\ & R(x) = 6x^2 + x + 1 & S(x) = \frac{1}{2}x^2 + 4 \qquad \qquad \; \\ & T(x) = \frac{3}{2}x^2 + 5 & U(x) = x^2 + 2 \qquad \qquad \quad \end{align*}

 

determina

 

a P(x) + Q(x)

 

b P(x) - U(x)

 

c P(x) + R(x)

 

d 2P(x) - R(x)

 

e S(x) + T(x) + U(x)

 

f S(x) - T(x) + U(x)

 

En este ejercicio debemos realizar suma de polinomios. Recordemos que la suma se hace sumando los coeficientes de aquellos monomios con mismo grado.

 

a P(x) + Q(x)

 

Tenemos

 

    \begin{align*} P(x) + Q(x) & = (4x^2 - 1) + (x^3 - 3x^2 + 6x - 2)\\& = x^3 + (4 - 3)x^2 + 6x + (-1 - 1)\\& = x^3 + x^2 + 6x - 2\end{align*}

 

b P(x) - U(x)

 

Ahora el procedimiento es

 

    \begin{align*} P(x) - U(x) & = (4x^2 - 1) - (x^2 + 2)\\& = (4 - 1)x^2 + (-1 - 2)\\& = 3x^2 - 3\end{align*}

 

c P(x) + R(x)

 

En este caso, tenemos

 

    \begin{align*} P(x) + R(x) & = (4x^2 - 1) + (6x^2 + x + 1)\\& = (4 + 6)x^2 + x + (-1 + 1)\\& = 10x^2 + x\end{align*}

 

d 2P(x) - R(x)

 

En este caso, primero debemos multiplicar los coeficientes de P por 2:

 

    \begin{align*} 2P(x) - R(x) & = 2(4x^2 - 1) - (6x^2 + x + 1)\\& = (8x^2 - 2) - (6x^2 + x + 1)\\& = (8 - 6)x^2 - x + (-2 - 1)\\& = 2x^2 - x - 3\end{align*}

 

e S(x) + T(x) + U(x)

 

Este se resuelve igual que el caso anterior. La única diferencia es que

 

    \begin{align*} S(x) + T(x) + U(x) & = (\frac{1}{2}x^2 + 4) + (\frac{3}{2}x^2 + 5) + (x^2 + 2)\\& = \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 \right)x^2 + (4 + 5 + 2)\\& = 3x^2 + 11\end{align*}

 

f S(x) - T(x) + U(x)

 

    \begin{align*} S(x) - T(x) + U(x) & = (\frac{1}{2}x^2 + 4) - (\frac{3}{2}x^2 + 5) + (x^2 + 2)\\& = \left( \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 \right)x^2 + (4 - 5 + 2)\\& = 1\end{align*}

 


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7 Realiza las siguientes multiplicaciones de polinomios:

 

a (x^4 - 2x^2 + 2)(x^2 - 2x + 3)

 

b (3x^2 - 5x)(2x^3 + 4x^2 - x + 2)

 

c (2x^2 - 5x + 6)(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)

 

Recordemos que para realizar la multiplicación, debemos utilizar la ley distributiva de los números.

 

a (x^4 - 2x^2 + 2)(x^2 - 2x + 3)

 

El procedimiento es como sigue:

 

    \begin{align*} & \quad (x^4 - 2x^2 + 2)(x^2 - 2x + 3)\\& = x^4(x^2 - 2x + 3) - 2x^2(x^2 - 2x + 3) + 2(x^2 - 2x + 3)\\& = x^6 - 2x^5 + 3x^4 - 2x^4 + 4x^3 - 6x^2 + 2x^2 - 4x + 6\\& = x^6 - 2x^5 + x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 4x + 6\end{align*}

 

b (3x^2 - 5x)(2x^3 + 4x^2 - x + 2)

 

Aquí la multiplicación es:

 

    \begin{align*} & \quad (3x^2 - 5x)(2x^3 + 4x^2 - x + 2)\\& = 3x^2(2x^3 + 4x^2 - x + 2) - 5x(2x^3 + 4x^2 - x + 2)\\& = 6x^5 + 12x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 10x^4 - 20x^3 + 5x^2 - 10x\\& = 6x^5 + 2x^4 - 23x^3 + 11x^2 - 10x\end{align*}

 

c (2x^2 - 5x + 6)(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)

 

El procedimiento es

 

    \begin{align*} & \quad (2x^2 - 5x + 6)(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)\\& = 2x^2(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)\\& \qquad - 5x(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)\\& \qquad + 6(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)\\& = 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2\\& \qquad - 15x^5 + 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x\\& \qquad 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18\\& = 6x^6 - 25 x^5 + 31 x^4 + 8x^3 - 62x^2 + 39x - 18\end{align*}

 

Productos notables

 

8 Evalúa los siguientes productos notables:

 

a (x + 5)^2

 

b (2x - 5)^2

 

c (x + 5)(x - 5)

 

d (3x - 2)(3x + 2)

 

Se trata de binomios al cuadrado y binomios conjugados. Por tanto, simplemente utilizamos la fórmula.

 

a (x + 5)^2

 

Recordemos que el binomio al cuadrado tiene la fórmula

 

\displaystyle (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

 

Por tanto, la operación se resuelve utilizando

 

    \begin{align*} (x + 5)^2 & = x^2 + 2 \cdot x\cdot 5 + 5^2\\& = x^2 + 10x + 25\end{align*}

 

b (2x - 5)^2

 

Al igual que el caso anterior, se trata de un binomio conjugado

 

    \begin{align*} (2x - 5)^2 & = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot (-5) + (-5)^2\\& = 4x^2 - 20x + 25\end{align*}

 

c (x + 5)(x - 5)

 

En este caso se trata de unos binomios conjugados. Recordemos que tiene la fórmula

 

\displaystyle (a + b)(a - b) = a^2 - b^2

 

De este modo, la operación se resuelve

 

    \begin{align*} (x + 5)(x - 5) & = x^2 - 5^2\\& = x^2 - 25\end{align*}

 

d (3x - 2)(3x + 2)

 

Estos también son binomios conjugados, de modo que resolvemos mediante

 

    \begin{align*} (3x - 2)(3x + 2) & = (3x)^2 - 2^2\\& = 9x^2 - 4\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗