En este artículo exploraremos la factorización de polinomios. Primero expondremos algunos teoremas y propiedades sobre los polinomios que nos ayudarán a factorizarlos con mayor facilidad. Luego revisaremos con detalle métodos para factorizarlos y al final mostraremos algunos ejemplos de factorización de polinomios.

 

Teoremas sobre los factores de un polinomio

 

Para los siguientes teoremas recordemos que a es una raíz del polinomio P(x) si se cumple que P(a) = 0.

 

Teorema del Resto

 

Teorema: El resto o residuo de la división de un polinomio P(x) por un polinomio de la forma x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a.

 

Por ejemplo, dividamos P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 entre x - 3 utilizando la regla de Ruffini:

 

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline 56\end{array}

 

Así, el cociente de la división es x^3 + 3x^2 + 6x + 18, mientras que el residuo es 56. Por otro lado, si evaluamos P(x) en 3, obtenemos:

 

\displaystyle P(3) = 3^4 - 3(3)^2 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

 

Nota: Observemos que si P(a) = 0, entonces significa que el residuo es 0. En otras palabras:

 

\displaystyle \frac{P(x)}{x - a} = Q(x) + 0 = Q(x)

 

Si multiplicamos ambos lados por x - a tenemos que

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x)

 

Por lo tanto, x - a es un factor de P(x). Este resultado se conoce como el teorema del factor.

 

Teorema del factor

 

Teorema: El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma x - a si y sólo si P(a) = 0.

 

Como ejemplo, consideremos el polinomio P(x) = x^2 - 5x + 6. Notemos que

 

\displaystyle P(2) = 2^2 - 5(2) + 6 = 0, \qquad P(3) = 3^2 - 5(2) + 6 = 0

 

por lo tanto, P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Además, x = 2 y x = 3 son raíces de P(x).

 

Nota: Si P(x) es un polinomio de grado n y se divide por x - a, entonces el resultado tiene la forma:

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q(x) + r

 

donde r es constante y se conoce como residuo, mientras que Q(x) es un polinomio de grado n - 1.

 

Teorema Fundamental del Álgebra

 

Teorema: Un polinomio P(x) = a_nx^n + \cdots + a_1 x + a_0 de grado n y con coeficientes reales a_n, \dots, a_0 \in \mathbb{R} tiene exactamente n raíces, las cuales pueden ser reales o complejas.

 

Nota: Los polinomios reales tienen n raíces, sin embargo, es posible que ninguna sea real. Cuando ninguna raíz es real entonces el polinomio P(x) no se puede factorizar en factores lineales.

 

Nota: Recordemos que factorizar un polinomio P(x) en factores lineales significa escribir P(x) de la forma

 

\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)

 

en donde a_1, a_2, \dots, a_n son las raíces de P(x).

 

Teorema de la Raíz Racional

 

Teorema: Sea P(x) = a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0 un polinomio con coeficientes a_0, a_1, \dots, a_n que son enteros. Si q es una raíz racional de P(x), entonces q tendrá la forma

 

\displaystyle q = \pm \frac{a}{b}

 

donde a es un factor de a_1 y b es un factor de a_n.

 

Nota: Este teorema, junto con el teorema del factor, nos ayudan a encontrar raíces rápido. Primero enlistamos todas las posibles raíces racionales q de P(x), luego evaluamos P(q). Si P(q) = 0, entonces sabremos que x - q es un factor de P(x). Describiremos algunos ejemplos en la sección de ejemplos.

 

Nota: Este teorema sólo nos dice la forma que tendrán las raíces racionales. Es posible que un polinomio no tenga ninguna raíz racional como en el caso de P(x) = x^2 - 2, cuyas raíces son x = \sqrt{2} y x = -\sqrt{2}.

 

Nota: Si a_n = 1, entonces el polinomio se conoce como mónico. En este caso, el único factor de a_n es 1, por lo tanto, las raíces tienen la forma

 

\displaystyle q = \pm \frac{a}{1} = \pm a

 

donde a es un factor de a_0.

 

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Algunas propiedades de las raíces y los factores de un polinomio

 

1 A cada raíz x = a le corresponde un binomio del tipo x - a como factor.

 

2 Supongamos que a es una raíz de P(x). Entonces, podemos escribir P(x) como

 

\displaystyle P(x) = (x - a)Q_1(x)

 

donde Q_1(x) es un polinomio de grado n - 1. Después, si descubrimos que a también es raíz de Q_1(x), por lo tanto, Q_1(x) se podría escribir como

 

\displaystyle Q_1(x) = (x - a)Q_2(x)

 

De aquí se sigue que P(x) se puede escribir como

 

\displaystyle P(x) = (x - a)(x - a)Q_2(x) = (x - a)^2 Q_2(x)

 

Si Q_2(a) \neq 0, entonces diríamos que a es una raíz de multiplicidad 2 de P(x). Esto implica que las n raíces del polinomio P(x) no son necesariamente todas distintas.

 

3 Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo x - a que correspondan a las raíces x = a del polinomio. Así, P(x) se factoriza como

 

\displaystyle P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\cdots(x - a_n)

 

Por ejemplo, ya que x = 2 y x = 3 son raíces del polinomio P(x) = x^2 - 5x + 6, entonces podemos escribir

 

\displaystyle P(x) = x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

4 Todo polinomio que no tenga un término independiente tendrá a x = 0 como raíz. Por lo tanto, también tendrá a x como factor (es decir, x - 0).

 

Por ejemplo, el polinomio x^2 + x se puede factorizar como x^2 + x = x(x + 1). De aquí, concluímos que las raíces son x = 0 y x = -1.

 

5 Un polinomio es irreducible o primo si no puede descomponerse en factores.

 

Por ejemplo, el polinomio P(x) = x^2 + x + 1 no se puede factorizar ya que las raíces son complejas.

 

Métodos para factorizar un polinomio

 

Factor común

 

Sacar el factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva de los números reales:

 

\displaystyle a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)

 

Por ejemplo, consideremos el polinomio 2x^4 + 4x^2. Notemos que cada término se puede dividir por 2x^2 (es decir, es el factor común). Por lo tanto, el polinomio lo podemos factorizar como

 

\displaystyle 2x^4 + 4x^2 = 2x^2(x^2 + 2)

 

Observemos que el polinomio x^2 + 2 no se puede factorizar, por lo tanto, esto es lo más que podemos factorizar el polinomio. La única raíz del polinomio es x = 0 con multiplicidad 2.

 

Productos notables

 

Existen algunos polinomios de segundo grado que son muy sencillos de factorizar ya que tienen una estructura fácilmente reconocible. Los más comunes son:

 

1 Diferencia de cuadrados: si el polinomio se puede escribir de la forma a^2 - b^2, entonces podemos factorizar como (a+b)(a-b).

 

Por ejemplo, los polinomios P_1(x) = x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2) o P_2(x) = 4x^4 - 9 = (2x^2 + 3)(2x^2 - 3).

 

2 Trinomio cuadrado perfecto: si el polinomio tiene la forma a^2 \pm 2ab + b^2, entonces lo podemos factorizar como (a \pm b)^2.

 

Por ejemplo, consideremos el polinomio P(x) = x^4 + 2x^2 + 1 (donde a = x^2 y b = 1), el cual se puede factorizar como P(x) = (x^2 + 1)^2.

 

Nota: existen otros productos notables, como el cubo perfecto de binomios. Sin embargo, esos no son tan conmunes.

 

Con el teorema de la raíz racional

 

Si no tenemos un factor común o no se puede escribir el polinomio como un producto notable, entonces podemos intentar a utilizar el teorema de la raíz racional (siempre que todos los coeficientes del polinomio sean enteros). Aquí evaluamos el polinomio P(x) entre todas las posibles raíces racionales q buscado alguna que satisfaga que P(q) = 0. En este caso, utilizamos la regla de Ruffini para realizar la factorización de la forma:

 

\displaystyle P(x) = (x - q)Q(x)

 

Luego repetimos el procedimiento con Q(x) (pero descargamos aquellos valores q que ya sabemos que no son factores).

 

Utilizando la fórmula general

 

Si el polinomio es de segundo grado (P(x) = a_2x^2 + a_1x + a_0) y todos los métodos anteriores fallaron, entonces podemos utilizar la fórmula general:

 

\displaystyle x = \frac{-a_1 \pm \sqrt{a_1^2 - 4(a_2)(a_0)} }{2a_2}

 

esto nos dará las dos raíces del polinomio x = r_1 y x = r_2 y el polinomio lo podremos factorizar como a_2(x - r_1)(x - r_2).

 

Nota: Si las raíces son complejas, podemos obtar por dejar el polinomio sin factorizar y decir que es irreducible. También es posible factorizarlo utilizando las raíces complejas, sin embargo, en este caso los factores serán polinomios en los números complejos.

 

Nota: Si el polinomio es de grado mayor a 2 todo lo anterior falla, entonces es posible que todas las raíces sean irracionales o complejas. En este caso lo más apropiado es utilizar algún método numérico o un programa de computadora para factorizar el polinomio.

 

Ejemplos

 

1 Encuentra las raíces del polinomio P(x) = x^2 - x - 6 y factorízalo.

 

Por el teorema de la raíz racional sabemos que las raíces racionales serán de la forma \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6; ya que el polinomio es mónico y el término constante es 6 cuyos factores son 1, 2, 3 y 6 (todos los factores, no sólo los primos).

 

Al evaluar el polinomio en estos 8 posibles valores tenemos P(1) = -6, P(-1) = -4, P(2) = -4, P(-2) = 0 (de aquí ya sabemos que x = -2 es una raíz), P(3) = 0 (de donde sabemos que x = 3 también es una raíz, por lo que nos detenemos de evaluar ya que ya encontramos las dos raíces).

 

Por lo tanto, el polinomio P(x) lo podemos factorizar como

 

\displaystyle P(x) = x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

 

2 Factoriza los siguientes polinomios utilizando la fórmula general:

 

a x^2 - 5x + 6

 

b x^2 - x - 6

 

c x^4 - 10x^2 + 9

 

Se nos pide utilizar la fórmula general, por lo que eso haremos para cada polinomio:

 

a Primero tenemos x^2 - 5x + 6,

 

\displaystyle x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{25 - 4(6)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}

 

por lo tanto, una raíz es x = (5 + 1)/2 = 3 y la otra raíz es x = (5 - 1)/2 = 2. De aquí, se sigue que el polinomio se factoriza como

 

\displaystyle x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

b Para x^2 - x - 6 tenemos

 

\displaystyle x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{1 - 4(-6)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2}

 

por lo tanto, una raíz es x = (1 + 5)/2 = 3 y la otra raíz es x = (1 - 5)/2 = -2. De aquí, se sigue que el polinomio se factoriza como

 

\displaystyle x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)

 

c Por último, para x^4 - 10x^2 + 9 notemos que no tenemos un polinomio de segundo grado. Sin embargo, solo tenemos las potencias 2 y 4, de manera que podemos hacer el cambio de variable x^2 = t,

 

\displaystyle x^4 - 10x^2 + 9 = t^2 - 10t + 9

 

Este polinomio ya es de segundo grado, por lo que podemos utilizar la fórmula general,

 

\displaystyle t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(9)}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{10 \pm 8}{2} = 5 \pm 4

 

De aquí, tenemos que las raíces son t = 5 + 4 = 9 y t = 5 - 1 = 1. No obstante, t = x^2, por lo que tenemos

 

    \begin{align*} x^2 & = 9 \qquad x = \pm \sqrt{3} = \pm 3\\x^2 & = 1 \qquad x = \pm \sqrt{1} = \pm 1\\\end{align*}

 

De esta forma, el polinomio queda factorizado como

 

\displaystyle x^4 - 10x^2 + 9 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)

 

3 Factoriza el siguiente polinomio de cuarto grado:

 

\displaystyle P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6

 

Como el polinomio es de cuarto grado y tiene coeficientes enteros, entonces utilizaremos el teorema de la raíz racional para enlistar todas las posibles raíces racionales.

 

El coeficiente principal es 2, cuyos factores son 1 y 2. El coeficiente independiente es 6, que tiene factores 1, 2, 3 y 6. De esta forma, las posibles raíces son

 

\displaystyle \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}

 

Nota que descartamos \pm 2/2 ya que es igual a \pm 1; al igual que descartamos \pm 6/2 ya que es igual a \pm 3.

 

Ahora evaluamos el polinomio en estos valores para encontrar las raíces:

 

\displaystyle P(1) = 2(1) + 1 - 8(1) - 1 + 6 = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0

 

Notamos que el x = 1 es una raíz. Por lo tanto, utilizamos la regla de Ruffini:

 

\displaystyle \begin{array}{c|ccccc} & 2 & 1 & -8 & -1 & 6\\1 & & 2 & 3 & -5 & -6\\\hline& 2 & 3 & -5 & -6 & \vline 0\end{array}

 

Es decir, x - 1 y Q_1(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x - 6 son factores.

 

Seguimos realizando el procedimiento, ahora con evaluando Q_1(x) en las posibles raíces (volvemos a intentar con 1, por si es una raíz de multiplicidad mayor):

 

    \begin{align*} Q_1(1) & = 2 + 3 - 5 - 6 = -6\\Q_2(-1) & = -2 + 3 + 5 - 6 = 0\end{align*}

 

por lo que x = -1 también es raíz. Utilizamos la regla de Ruffini de nuevo:

 

\displaystyle \begin{array}{c|cccc} & 2 & 3 & -5 & -6\\-1 & & -2 & -1 & 6\\\hline& 2 & 1 & -6 & \vline 0\end{array}

 

de forma que los factores son x + 1 y Q_2(x) = 2x^2 + x - 6.

 

Notemos que el último factor es cuadrático, por lo que podemos utilizar la fórmula general:

 

\displaystyle x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-6)}}{2(2)} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{-1 \pm 7}{4}

 

Por lo tanto, las raíces restantes son x = (-1 - 7)/4 = -2 y x = (-1 + 7)/4 = 6/4 = 3/2.

 

Es decir, las cuatro raíces son

 

\displaystyle x = 1, \; x = -1, \; x = -2, \; x = \frac{3}{2}

 

Por último, el polinomio se factoriza como (recordemos que el coeficiente principal siempre lo dejamos fuera de los factores lineales):

 

    \begin{align*} P(x) & = 2(x - 1)(x + 1)(x + 2)(x - 3/2)\\& = (x - 1)(x + 1)(x + 2)(2x - 3)\end{align*}

 

donde multiplicamos el último factor por el 2 para deshacernos de la fracción.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗