Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

P(x)= x4 − 3x² +2         Q(x)= x − 3

P(x) : Q(x)

P(3) = 34 − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

 

Superprof

Teorema del factor

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x - a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero del poinomio P(x).

P(x) = x² − 5x + 6

P(2) = 2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x² − 5x + 6, porque P(2) = 0 y P(3) = 0.

 

1

Los ceros o raíces de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

2

A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x — a).

3

Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x² − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

4

La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

5

Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.

x² + x = x · (x + 1)

Raíces: x = 0 y x = − 1

6

Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x² + x + 1

Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:

Q(x) = x² − x − 6

Los divisores del término independiente son ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 1² − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1)² − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 2² − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)² − (−2) − 6 = 4 +2 - 6 = 0

Q(3) = 3² − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 =0

Las raíces son: x= -2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2 ) · (x − 3 )

 

Métodos para factorizar un polinomio

 

Factor común de polinomios

Sacar factor común consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · b + a · c + a · d = a (b + c + d)

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

2x4 + 4x² = 2x² (x² + 2)

Sólo tiene una raíz X = 0; ya que el polinomio, x² + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

La raíces son x= a y x = b.

Factorización de una igualdad notable

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

x² − 4 = (X + 2) · (X − 2)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

x4 − 16 = (x² + 4) · (x² − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x² + 4)

Las raíces son X = − 2 y X = 2

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

a² ± 2 a b + b² = (a ± b)²

La raíz es x = − 3

La raíz es x = 2

Factorización de un trinomio de segundo grado

a x² + bx +c = a · (x -x1 ) · (x -x2 )

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.

x4 − 10x² + 9

x4 − 10x² + 9 = 0

x² = t

t² − 10t + 9 = 0

x4 − 10x² + 9 = (x + 1) · (x − 1) · (x + 3) · (x − 3)

x4 − 2x² + 3

x² = t

t² − 2t + 3 = 0

x4 − 2x² + 3 = (x² + 1) · (x + ) · (x − )

Factorización de un polinomio de grado superior a dos.

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

Factorizar el polinomio

P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6

 

1

Tomamos los divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3.

2

Aplicando el teorema del resto sabremos para que valores la división es exacta.

P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

 

3

Dividimos por Ruffini.

 

4

Por ser la división exacta, D = d · c

(x −1) · (2x³ + 3x² − 5x − 6 )

Una raíz es x = 1.

Continuamos realizando las mismas operaciones al segundo factor.

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

P(1) = 2 · 1³ + 3 · 1² − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1)³ + 3 ·(− 1)² − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (2x² +x −6)

Otra raíz es x = -1.

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de 2º grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar raíces enteras.

El 1 lo descartamos y seguimos probando por − 1.

P(−1) = 2 · (−1)² + (−1) − 6 ≠ 0

P(2) = 2 · 2² + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2)² + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · (x +1) · (x +2) · (2x −3 )

Sacamos factor común 2 en último binomio.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La factorización del polinomio queda:

P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6 = 2 (x −1) · (x +1) · (x +2) · (x − 3/2)

Las raíces son : x = 1, x = − 1, x = −2 y x = 3/2

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Marta

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Rodraigues
Rodraigues
Invité
13 Nov.

Bastante bueno, muchas gracias

Marav
Marav
Invité
3 May.

Resumido para no dar más vueltas, de gran ayuda y simple asimilación, felicidades

Superprof
Superprof
Administrateur
4 May.

¡Muchas gracias! <3

Miller Chona
Miller Chona
Invité
15 May.

Muy bueno…
¿Cómo hallo los 3 ceros de: y=x^3?

Juan Manuel Sanchez Perez
Juan Manuel Sanchez Perez
Editor
22 Jun.

Hola, Miller. Un polinomio de tercer grado factorizado tiene la forma p(x) = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) donde r_1, r_2, r_3 son las tres raíces (ceros). ¿Te imaginas una forma de factorizar tu polinomio de esta forma?

Es muy sencillo (aunque puede confundir), simplemente haces

y = x^3 = x \cdot x \cdot x= (x - 0)(x - 0)(x - 0)

De esta forma es un poco más fácil que notemos que los tres ceros de tu polinomio son 0 (es decir, r_1 = r_2 = r_3 = 0; los tres ceros son iguales).

Cualquier otra duda, no dudes en comentarla. Saludos.

gomez
gomez
Invité
6 Jul.

necesito sacar las raices en R[x] y C[x] y no logro, me puedes ayudar? 4X^4-6x^2-4

Gaspar Leon
Gaspar Leon
Editor
19 Jul.

Hola,
 
resolvemo factorizando en \mathbb{R}[x] primero factor común 2 y después el trinomio cuadrático para x²
 
4x^4-6x^2-4=2\left[ 2(x^2)^2-3(x^2)-2\right]=2(2x^2+1)(x^2-2)
 
El factor (2x^2+1) no se puede factorizar en \mathbb{R}[x], para esto basta calcular el disciminante y observar que es negativo. El factor  (x^2-2) si se puede factorizar, para esto consideramos 2=(\sqrt{2})^2 y aplicamos diferencia de cuadrados
 
 x^2-2=x^2-(\sqrt{2})^2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})
 
Así las raíces en \mathbb{R}[x] son  x=\pm \sqrt{2}
 
Para encontrar las raíces en \mathbb{C}[x] consideramos las dos raíces reales y las ráices que se obtienen de  2x^2+1 observamos que -i^2=1 y aplicamos diferencia de cuadrados
 
 2x^2+1=(\sqrt{2}x)^2-i^2=(\sqrt{2}x-i)(\sqrt{2}x+i)
 
Así las raíces en \mathbb{C}[x] son  x=\pm i/\sqrt{2}=\pm i\sqrt{2}/2 y  x=\pm \sqrt{2}
 
Espero que te sea de utilidad.
Un saludo

lores
lores
Invité
13 Jul.

parceros como se cual es el resulta do que va en el sentro

Superprof
Superprof
Administrateur
16 Jul.

Hola Lores, no estamos seguros de entender tu pregunta. ¿La podrías reformular? Con gusto te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!