Ejercicios resueltos de grado y término independiente de polinomio, Polinomios ordenados, sumas y restas de polinomios, Multiplicación de polinomios, División de plinomios, División por Ruffini, Teorema del resto, Resto de un polinomio, Teorema del factor

Ejercicios propuestos

1

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x² + 5 2+ 7X² + 2 31 − x4 4 5x³ + x5 + x² 6x − 2x−3 + 8 7

 

Di si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x4 − 3x5 + 2x2 + 5

Grado: 5, término independiente: 5.

2 + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

31 − x4

Grado: 4, término independiente: 1.

4

No es un polinomio, porque el exponente (x−2) del primer monomio no es un número natural.

5x3 + x5 + x2

Grado: 5, término independiente: 0.

6x − 2x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente del 2º monomio no es un número natural.

7

Grado: 3, término independiente: −7/2.

 

2

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente. 2Un polinomio no ordenado y completo. 3Un polinomio completo sin término independiente. 4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

 

Escribe:

1Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

2Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5

 

3

Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) = 2P(x) − U (x) = 3P(x) + R (x) = 42P(x) − R (x) = 5S(x) + T(x) + U(x) = 6S(x) − T(x) + U(x) =

 

Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² + 5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + (x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x² + 6x − 2 − 1 =

= x³ + x² + 6x − 3

2P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

42P(x) − R (x) =

= 2 · (4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) + (3/2 x² + 5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5 + 2 =

= 3x² + 11

6S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x² + 4) − (3/2 x² + 5) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 4 − 3/2 x² − 5 + x² + 2 =

= 1

4

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x4 − 2x − 2

Calcular:

1P(x) + Q(x) − R(x) 2P(x) + 2 Q(x) − R(x) 3Q(x) + R(x) − P(x)

 

Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x4 − 2 x − 2

Calcular:

1P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + x³ − 2x² − 6x² − 6x + 2x − 1 + 4 + 2 =

= −x4 + x³ − 8x² − 4x + 5

2P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

= (x4 − 2x² − 6x − 1) + 2 · (x³ − 6x² + 4) − (2x4 − 2x − 2) =

= x4 − 2x² − 6x − 1 + 2x³ − 12x² + 8 − 2x4 + 2x + 2 =

= x4 − 2x4 + 2x³ − 2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x4 + 2x³ − 14x² − 4x + 9

3Q(x) + R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + (2x4 − 2x − 2) − (x4 − 2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x4 −2x − 2 − x4 + 2x² + 6x + 1=

= 2x4 − x4 + x³ − 6x² + 2x² − 2x + 6x + 4 − 2 + 1=

= x4 + x³ − 4x² + 4x + 3

5

Multiplicar:

1(x4 − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) 2(3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) 3(2x² − 5x + 6) · (3x4 − 5x³ − 6x² + 4x − 3)

 

Multiplicar:

1(x4 − 2x² + 2) · (x² − 2x + 3) =

= x6 − 2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x³ − 6x² + 2x² − 4x + 6=

= x6 − 2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x + 6 =

= x6 −2x5 + x4 + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2 (3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x + 2) =

= 6x5 + 12x4 − 3x³ + 6x² − 10x4 − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x5 + 2x4 − 23x³ + 11x² − 10x

3(2x² − 5x + 6) · (3x4 − 5x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6x6 − 10x5 − 12x4 + 8x³ − 6x² −

− 15x5 + 25x4 + 30x³ − 20x² + 15x +

+18x4 − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12x4 + 25x4 + 18x4 +

+8x³ − 30x³ + 30x³ − 6x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x³ − 62x² + 39x − 18

6

Dividir:

1(x4 − 2x³ − 11x²+ 30x − 20) : (x² + 3x − 2) 2(x6 + 5x4 + 3x² − 2x) : (x² − x + 3) 3P(x) = x5 + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

 

Dividir:

1(x4 − 2x³ − 11x² + 30x − 20) : (x² + 3x − 2)

2(x6 + 5x4 + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3P(x) = x5 + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

7

Divide por Ruffini:

1(x³ + 2x + 70) : (x + 4) 2(x5 − 32) : (x − 2) 3(x4 − 3x² + 2 ) : (x −3)

 

Divide por Ruffini:

1(x³ + 2x + 70) : (x + 4)

2(x5 − 32) : (x − 2)

C(x) = x4 + 2x³ + 4x² + 8x + 16 R = 0

3(x4 −3x² +2) : (x −3)

C(x) = x³ + 3x² + 6x +18 R = 56

8

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes divisiones:

1(x5 − 2x² − 3) : (x −1) 2(2x4 − 2x³ + 3x² + 5x + 10) : (x + 2) 3(x4 − 3x² + 2) :  (x − 3)

 

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes divisiones:

Para hallar el resto emplearemos el teorema del resto que nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a

1(x5 − 2x² − 3) : (x −1)

R(1) = 15 − 2 · 1² − 3 = −4

2(2x4 − 2x³ + 3x² + 5x +10) : (x + 2)

R(−2) = 2 · (−2)4 − 2 · (−2)³ + 3 · (−2)² + 5 · (−2) +10 =

= 32 + 16 + 12 − 10 + 10 = 60

3(x4 − 3x² + 2) :  ( x − 3)

P(3) = 34 − 3 · 3² + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

9

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1(x³ − 5x −1) : (x − 3) 2(x6 − 1) : (x + 1) 3(x4 − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1) 4(x10 − 1024) : (x + 2)

 

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

Aplicamos el teorema del resto, si el resto es cero la división será exacta.

1(x³ − 5x −1) : (x − 3)

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

No es exacta.

2(x6 − 1) : (x + 1)

P(−1)= (−1)6 − 1 = 0

Exacta.

3(x4 − 2x³ + x² + x − 1) : (x − 1)

P(1) = 14 − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 +1 + 1 − 1 = 0

Exacta.

4(x10 − 1024) : (x + 2)

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

Exacta.

10

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x − 1) tiene por factor (x − 3) 2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1) 3(x4 − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1) 4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

 

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1(x³ − 5x −1) tiene por factor (x − 3)

(x³ − 5x −1) es divisible por (x − 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3³ − 5 · 3 − 1 = 27 − 15 − 1 ≠ 0

(x − 3) no es un factor.

2(x6 − 1) tiene por factor (x + 1)

(x6 − 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = − 1) = 0.

P(−1) = (−1)6 − 1 = 0

(x + 1) es un factor.

3(x4 − 2x³ + x² + x − 1) tiene por factor (x − 1)

(x4 − 2x³ + x² + x − 1) es divisible por (x − 1) si y sólo si P(x = 1) = 0.

P(1) = 14 − 2 · 1³ + 1 ² + 1 − 1 = 1 − 2 +1 + 1 − 1 = 0

(x − 1) es un factor.

4(x10 − 1024) tiene por factor (x + 2)

(x10 − 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = −2) = 0.

P(−2) = (−2)10 − 1024 = 1024 − 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

11

Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x² − 4.

 

Hallar a y b para que el polinomio x5 − ax + b sea divisible por x² − 4.

Descomponemos en factores la diferencia de cuadrados

x² − 4 = (x +2) · (x − 2)

(x5 − ax + b) es divisible por (x² − 4) si y sólo si P(x = −2) = 0 y P(x = 2) = 0.

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

P(−2) = (−2)5 − a · (−2) + b = 0

Operamos

−32 + 2a + b = 0         2a + b = 32

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

  P(2) = 25 − a · 2 + b = 0

Operamos

32 − 2a + b = 0          − 2a + b = −32

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incognitas. Resolveremos el sistema por reducción

        

12

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x³ + ax² + bx + 5 sea divisible por x² + x + 1.

 

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x³ + ax² + bx +5 sea divisible por x² + x + 1.

Efectuamos la división

Para que sea divisible la división tiene que ser exacta, es decir, el resto tiene que ser cero

Para que el resto sea cero el coeficente de la x y el coeficiente del término independiente han de ser cero

b − a = 0            −a + 6 = 0

a = 6           b = 6

13

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

 

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x² − kx + 2 por (x − 2) dé de resto 4.

Aplicamos el teorema del resto y sabemos que el resto es 4

P(2) = 2 · 2² − k · 2 + 2 = 4

Operamos

10 − 2k = 4        − 2k = − 6       k = 3

14

Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

 

Determinar el valor de m para que 3x² + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

Si x = 1 es una raíz del polinomio, entonces el valor numérico del polinomio para ese valor ha de ser cero

P(1) = 3 · 1² + m · 1 + 4 = 0

Operamos

3 + m + 4 = 0              m = − 7

15

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

 

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x² − 4 y se anule para x = 3 y x= 5.

Si se anula para x = 3 y x= 5, entonces (x − 3) y (x − 5) son factores del polinomio buscado

x² − 4 es otro factor, ya que el polinomio es divisble por x² − 4

Multiplicamos los factores:

(x − 3) · (x − 5) · (x² − 4) =

En primer lugar multiplicamos los dos primeros

(x² − 8x + 15) · (x² − 4) =

= x4 − 4x² − 8x³ + 32x + 15x² − 60 =

= x4 − 8x³ + 11x² + 32x − 60

16

Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = −2, y calcular las otras raíces.

 

Calcular el valor de a para que el polinomio x³ − ax + 8 tenga la raíz x = − 2, y calcular las otras raíces.

Calculamos el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio para x = −2 tiene que ser cero

P(−2) = (−2)³ − a · (−2) +8 = 0        −8 + 2a +8 = 0         a = 0

Factorizamos dividendo por Ruffini

(x + 2) · (x² − 2x + 4)

Igualamos el segundo factor a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado

x² − 2x + 4 = 0

No tiene más raíces reales.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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