Name: Ejercicios y problemas de polinomios
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Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no
Escribe en lenguaje matemático
Dados los polinomios, P,Q,R,S,T,U:
Dados los polinomios, P,Q,R:
Realiza las siguientes multiplicaciones
Realiza las siguientes divisiones
Divide utilizando la regla de Ruffini
Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes operaciones
Indica cuáles de estas divisiones son exactas
Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican
Calcula los valores que se indican
Calcula los coeficientes que se te indican
Calcula el valor de k
Calcula el valor de m
Encuentra el polinomio que cumpla con lo siguiente
Calcula el valor de a

Ejercicios resueltos de grado y término independiente de polinomio, polinomios ordenados, sumas y restas de polinomios, multiplicación de polinomios, división de polinomios, división por Ruffini, teorema del resto, resto de un polinomio, y teorema del factor.

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.

En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1 $x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5$

2 $\sqrt{x}+ 7x^{2} + 2$

3 $1-x^{4}$

4 $\displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7$

5 $x^{3}+x^{5}+x^{2}$

6 $x-2x^{-3}+8$

7 $\displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}$

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1 $x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5$

Grado: $5$ , término independiente: $5$ .

2 $\sqrt{x}+ 7x^{2} + 2$

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

3 $1-x^{4}$

Grado: $4$ , término independiente: $1$ .

4 $\displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7$

No es un polinomio, porque el exponente $(x^{-2})$ del primer monomio no es un número natural.

5 $x^{3}+x^{5}+x^{2}$

Grado: $5$ , término independiente: $0$ .

6 $x-2x^{-3}+8$

No es un polinomio, porque el exponente del segundo monomio no es un número natural.

7 $\displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}$

Grado: $3$ , término independiente: $\displaystyle -\frac{7}{2}$ .

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Escribe en lenguaje matemático

1 Un polinomio ordenado sin término independiente.

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3 Un polinomio completo sin término independiente.

4 Un polinomio de grado $4$ , completo y con coeficientes impares.

Escribe:

1 Un polinomio ordenado sin término independiente.

$3x^{4}-2x$

2 Un polinomio no ordenado y completo.

$3x-x^{2}+5-2x^{3}$

3 Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

4 Un polinomio de grado $4$ , completo y con coeficientes impares.

$x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5$

Dados los polinomios, P,Q,R,S,T,U:

$P(x)=4x^{2}-1$

$Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2$

$R(x)=6x^{2}+x+1$

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4$

$\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5$

$\displaystyle U(x)=x^{2}+2$

Calcular:

1 $P(x) + Q (x)$

2 $P(x) - U (x)$

3 $P(x) + R (x)$

4 $2P(x) - R (x)$

5 $S(x) + T(x) + U(x)$

6 $S(x) - T(x) + U(x)$

Dados los polinomios:

$P(x)=4x^{2}-1$

$Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2$

$R(x)=6x^{2}+x+1$

$\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4$

$\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5$

$\displaystyle U(x)=x^{2}+2$

Calcular:

1 $P(x) + Q (x)=$

$(4x^{2}-1) + (x^{3}-3x^{2} + 6x-2) =$

$= x^{3}-3x^{2} + 4x^{2} + 6x - 2 - 1 =$

$= x^{3} + x^{2} + 6x -3$

2 $P(x) - U (x) =$

$= (4x^{2} - 1) - (x^{2} + 2) =$

$= 4x^{2} - 1 - x^{2} - 2 =$

$= 3x^{2} - 3$

3 $P(x) + R (x) =$

= $(4x^{2} - 1) + (6x^{2} + x + 1) =$

= $4x^{2} + 6x^{2} + x - 1 + 1 =$

= $10x^{2} + x$

4 $2P(x) - R (x) =$

$= 2 \cdot (4x^{2} - 1) - (6x^{2} + x + 1) =$

$= 8x^{2} - 2 - 6x^{2} - x - 1 =$

$=2x^{2} - x - 3$

5 $S(x) + T(x) + U(x) =$

= $\displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) + (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =$

= $\displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + \frac{3}{2x^{2}} + x^{2} + 4 + 5 + 2 =$

= $3x^{2} + 11$

6 $S(x) - T(x) + U(x) =$

= $\displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) - (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =$

= $\displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + 4 - \frac{3}{2x^{2}} 5 + x^{2} + 2 =$

= $1$

Dados los polinomios, P,Q,R:

$P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1$

$Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4$

$R(x) = 2x^{4} - 2x - 2$

Calcular:

1 $P(x) + Q(x) - R(x)$

2 $P(x) + 2 Q(x) - R(x)$

3 $Q(x) + R(x) - P(x)$

Dados los polinomios:

$P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1$

$Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4$

$R(x) = 2x^{4} - 2 x - 2$

Calcular:

1 $P(x) + Q(x) - R(x) =$

$= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + (x^{3}- 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =$

$= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + x^{3} - 6x^{2} + 4 - 2x^{4} + 2x + 2 =$

$= x^{4} - 2x^{4} + x^{3} - 2x^{2} - 6x^{2} - 6x + 2x - 1 + 4 + 2 =$

$= -x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - 4x + 5$

2 $P(x) + 2 Q(x) - R(x) =$

$= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + 2 \cdot (x^{3} - 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =$

$= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + 2x^{3} - 12x^{2} + 8 - 2x^{4} + 2x + 2 =$

$= x^{4} - 2x^{4} + 2x^{3} - 2x^{2} - 12x^{2} - 6x + 2x - 1 + 8 + 2 =$

$= -x^{4} + 2x^{3} - 14x^{2} - 4x + 9$

3 $Q(x) + R(x) - P(x)=$

$= (x^{3} - 6x^{2} + 4) + (2x^{4} - 2x - 2) - (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) =$

$= x^{3} - 6x^{2} + 4 + 2x^{4} -2x - 2 - x^{4} + 2x^{2} + 6x + 1=$

$= 2x^{4} - x^{4} + x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 2x + 6x + 4 - 2 + 1=$

$= x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + 4x + 3$

Realiza las siguientes multiplicaciones

1 $(x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3)$

2 $(3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2)$

3 $(2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4} - 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3)$

Realiza las siguientes multiplicaciones

1 $(x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3) =$

$= x^{6} - 2x^{5} + 3x^{4} - 2x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 4x + 6=$

$= x^{6} - 2x^{5} - 2x^{4} + 3x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} - 6x^{2} - 4x + 6 =$

$= x^{6} -2x^{5} + x^{4} + 4x^{3} - 4x^{2} - 4x + 6$

2 $(3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2) =$

$= 6x^{5} + 12x^{4} - 3x^{3} + 6x^{2}- 10x^{4} - 20x^{3} + 5x^{2} - 10x =$

$= 6x^{5} + 12x^{4} - 10x^{4} - 3x^{3} - 20x^{3} + 6x^{2} + 5x^{2} - 10x =$

$= 6x^{5} + 2x^{4} - 23x^{3} + 11x^{2} - 10x$

3 $(2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4}- 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3) =$

$= 6x^{6} - 10x^{5} - 12x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} -$

$- 15x^{5} + 25x^{4} + 30x^{3} - 20x^{2} + 15x +$

$+18x^{4} - 30x^{3} - 36x^{2} + 24x - 18 =$

$= 6x^{6} - 10x^{5} - 15x^{5} - 12x^{4} + 25x^{4} + 18x^{4} +$

$+8x^{3} - 30x^{3} + 30x^{3} - 6x^{2}- 20x^{2} - 36x^{2} + 15x + 24x - 18 =$

$= 6x^{6} - 25x^{5} + 31x^{4} + 8x^{3} - 62x^{2} + 39x - 18$

Realiza las siguientes divisiones

1 $\displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}$

2 $\displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}$

3 Dados los polinomios:

$P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8$ $Q(x) = x^{2} - 2x + 1$

Resolver

$\displaystyle \frac{P}{Q}$

Realiza las siguientes divisiones

1 $\displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}$

División de polinomios

2 $\displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}$

División de polinomios

3 Dados los polinomios:

$P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8$ $Q(x) = x^{2} - 2x + 1$

Resolver

$\displaystyle \frac{P}{Q}$ :

División de polinomios

Divide utilizando la regla de Ruffini

1 $\displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}$

2 $\displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}$

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}$

Divide por Ruffini:

1 $\displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}$

División de polinomios por Ruffini

Residuo

2 $\displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}$

División de polinomios por Ruffini

$C(x) = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 8x + 16$

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}$

División de polinomios por Ruffini

$C(x) = x^{3} + 3x^{2} + 6x +18$

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes operaciones

1 $\displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}$

2 $\displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}$

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}$

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes Operaciones:

Para hallar el resto emplearemos el teorema del resto que nos dice que el resto de la división de un polinomio $P(x)$ , entre un polinomio de la forma $(x - a)$ es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: $x = a$

1 $\displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}$

$R(1) = 1^{5} - 2 \cdot 1² - 3 = -4$

2 $\displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}$

$R(-2) = 2 \cdot (-2)^{4} - 2 \cdot (-2)³ + 3 \cdot (-2)^{2} + 5 \cdot (-2) +10 =$

$= 32 + 16 + 12 - 10 + 10 = 60$

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}$

$P(3) = 3^{4} - 3 \cdot 3² + 2 = 81 - 27 + 2 = 56$

Indica cuáles de estas divisiones son exactas

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1 $\displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}$

2 $\displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}$

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}$

4 $\displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}$

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1Aplicamos el teorema del resto, si el resto es cero la división será exacta.

$\displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}$

$P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0$

No es exacta.

2 $\displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}$

$P(-1)= (-1)^{6} - 1 = 0$

Exacta.

3 $\displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}$

$P(1) = 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0$

Exacta.

4 $\displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}$

$P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0$

Exacta.

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican

1 $(x^{3}-5x-1)$ tiene por factor $(x-3)$

2 $(x^{6}-1)$ tiene por factor $(x + 1)$

3 $(x^{4}-2x^{3} + x^{2} + x-1)$ tiene por factor $(x-1)$

4 $(x^{10}-1024)$ tiene por factor $(x + 2)$

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1 $(x^{3} - 5x -1)$ tiene por factor $(x - 3)$

$(x^{3} - 5x -1)$ es divisible por $(x - 3)$ si y sólo si $P(x = 3) = 0$ .

$P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0$

$(x - 3)$ no es un factor.

2 $(x^{6} - 1)$ tiene por factor $(x + 1)$

$(x^{6}- 1)$ es divisible por $(x + 1)$ si y sólo si $P(x = - 1) = 0$ .

$P(-1) = (-1)^{6} - 1 = 0$

$(x + 1)$ es un factor.

3 $(x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + x - 1)$ tiene por factor $(x - 1)$

$P(x = 1) = 0$ .

$vP(1) = 1^{4}- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0$

$(x - 1)$ es un factor.

4 $(x^{10} - 1024)$ tiene por factor $(x + 2)$

$(x^{10} - 1024)$ es divisible por $(x + 2)$ si y sólo si $P(x = -2) = 0$ .

$P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0$

$(x + 2)$ es un factor.

Calcula los valores que se indican

Hallar $a$ y $b$ para que el polinomio $x^{5}-ax+b$ sea divisible por $x^{2}-4$ .

Hallar $a$ y $b$ para que el polinomio $x^{5} - ax + b$ sea divisible por $x^{2} - 4$ .

Descomponemos en factores la diferencia de cuadrados

$x^{2} - 4 = (x +2) \cdot (x - 2)$

$(x^{5} - ax + b)$ es divisible por $(x^{2} - 4)$ si y sólo si $P(x = -2) = 0$ y $P(x = 2) = 0$

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

$P(-2) = (-2)^{5} - a \cdot (-2) + b = 0$

Operamos

$-32 + 2a + b = 0$ $2a + b = 32$

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

$P(2) = 2^{5} - a \cdot 2 + b = 0$

Operamos

$32 - 2a + b = 0$ $- 2a + b = -32$

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolveremos el sistema por reducción

Método de eliminación Resultado

Calcula los coeficientes que se te indican

Determina los coeficientes de $a$ y $b$ para que el polinomio $x^{3} + ax^{2} + bx + 5$

sea divisible por $x^{2} + x + 1$ .

Determina los coeficientes de $a$ y $b$ para que el polinomio $x^{3} + ax^{2} + bx + 5$

sea divisible por $x^{2} + x + 1$ .

Efectuamos la división

División de polinomios

Para que sea divisible la división tiene que ser exacta, es decir,

el resto tiene que ser cero.

Para que el resto sea cero el coeficiente de la $x$ y el coeficiente

del término independiente han de ser cero

$b - a = 0$ $-a + 6 = 0$

$a = 6$ $b = 6$

Calcula el valor de k

Encontrar el valor de $k$ para que al dividir $2x^{2} - kx + 2$ por $(x - 2)$ dé como resto $4$ .

Aplicamos el teorema del resto y sabemos que el resto es $4$

$P(2) = 2 \cdot 2^{2} - k \cdot 2 + 2 = 4$

Operamos

$10 - 2k = 4$ $- 2k = - 6$ $k = 3$

Calcula el valor de m

Determinar el valor de m para que $3x^{2} + mx + 4$ admita $x = 1$ como una de sus raíces.

Determinar el valor de $m$ para que $3x^{2} + mx + 4$ admita $x = 1$ como una de sus raíces.

Si $x = 1$ es una raíz del polinomio, entonces el valor numérico del polinomio para ese valor ha de ser cero

$P(1) = 3 \cdot 1^{2} + m \cdot 1 + 4 = 0$

Operamos

$3 + m + 4 = 0$ $m = - 7$

Encuentra el polinomio que cumpla con lo siguiente

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por $x^{2} - 4$

y se anule para $x = 3$ y $x= 5$ .

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por $x^{2} - 4$

y se anule para $vx = 3$ y $x= 5$ .

Si se anula para $x = 3$ y $x= 5$ , entonces $(x - 3)$ y $(x - 5)$ son factores

del polinomio buscado

$x^{2} - 4$ es otro factor, ya que el polinomio es divisble por $x^{2} - 4$

Multiplicamos los factores:

$(x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x^{2} - 4) =$

En primer lugar multiplicamos los dos primeros

$(x^{2} - 8x + 15) · (x^{2} - 4) =$

$= x^{4} - 4x^{2} - 8x^{3} + 32x + 15x^{2} - 60 =$

$x^{4} - 8x^{3} + 11x^{2} + 32x - 60$

Calcula el valor de a

Calcular el valor de a para que el polinomio $x^{3} - ax + 8$ tenga la raíz $x = -2$ ,

y calcular las otras raíces.

Calcular el valor de a para que el polinomio $x^{3} - ax + 8$ tenga la raíz $x = -2$ ,

y calcular las otras raíces.

Calculamos el valor de $a$ sabiendo que el valor numérico del polinomio para

$x = -2$ tiene que ser cero

$P(-2) = (-2)^{3} - a \cdot (-2) +8 = 0$ $-8 + 2a +8 = 0$ $a = 0$

Factorizamos dividendo por Ruffini

División de polinomios por Ruffini

$(x + 2) · (x^{2} - 2x + 4)$

Igualamos el segundo factor a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado

$x^{2} - 2x + 4 = 0$

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

No tiene más raíces reales.

Si necesitas más ayuda, no dudes en contactar con Superprof y te ayudamos con el mejor curso de matematicas.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Jimenez Lacle
Guest

25 Oct.

muy buenas sus explicaciones amigas gracias , son muy pedagógicas

González Martín
Guest

24 Nov.

Me han ayudado mucho los ejercicios, muchas gracias.
Están muy bien explicados.

Ejercicios con polinomios: Regla de Ruffini y Teorema del Resto

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no

Escribe en lenguaje matemático

Dados los polinomios, P,Q,R,S,T,U:

Dados los polinomios, P,Q,R:

Realiza las siguientes multiplicaciones

Realiza las siguientes divisiones

Divide utilizando la regla de Ruffini

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes operaciones

Indica cuáles de estas divisiones son exactas

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican

Calcula los valores que se indican

Calcula los coeficientes que se te indican

Calcula el valor de k

Calcula el valor de m

Encuentra el polinomio que cumpla con lo siguiente

Calcula el valor de a

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Resumen

Resumen de Monomios y Polinomios

Ecuaciones. Factorización

Resumen de Polinomios

Teoría

Regla de Ruffini

Igualdades notables

Productos notables

¿Que es un monomio?

Expresiones algebraicas y monomios

Clasificacion: polinomios

Valor numérico

Expresiones algebraicas

Operaciones con monomios

Operaciones con polinomios

La regla de Ruffini

Productos notables

Teorema del resto

Raices de un polinomio

¿Qué son las fracciones algebraicas?

Reducción de fracciones algebraicas a común denominador

Factorizar polinomios

Operaciones con potencias

Division de polinomios

Producto de polinomios y monomios

¿Que es un polinomio?

Division de fracciones algebraicas

Polinomios: Tipos

Factorizacion de un polinomio

Fracciones algebraicas: Multiplicacion

Suma de fracciones algebraicas

Ejercicios interactivos

Ejercicios interactivos de expresiones algebraicas

Ejercicios interactivos de monomios

Ejercicios interactivos de operaciones con monomios

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Ejercicios interactivos de suma de polinomios

Ejercicios interactivos de division de polinomios

Ejercicios interactivos sobre la regla de Ruffini

Ejercicios interactivos del teorema del resto

Ejercicios interactivos del teorema del factor

Ejercicios interactivos de factoriazción de un polinomio

Ejercicios interactivos de fracciones algebraicas

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Ejercicios interactivos de multiplicación de fracciones algebraicas

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6 Ejercicios de polinomios 2 ESO (parte 2)

8 Ejercicios de polinomios 2 ESO (parte 1)

10 Ejercicios de polinomios 3 ESO (parte 1)

6 Ejercicios de polinomios 3 ESO (parte 2)

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