Ejercicios resueltos de grado y término independiente de polinomio, polinomios ordenados, sumas y restas de polinomios, multiplicación de polinomios, división de polinomios, división por Ruffini, teorema del resto, resto de un polinomio, y teorema del factor.

 

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no

 

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.

En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

 

1 x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5

2 \sqrt{x}+ 7x^{2} + 2

3 1-x^{4}

4 \displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7

5 x^{3}+x^{5}+x^{2}

6 x-2x^{-3}+8

7 \displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}

 

Decide si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no.En caso afirmativo, señala cuál es su grado y término independiente.

1x^{4}-3x^{5}+2x^{2}+5

Grado: 5, término independiente: 5.

 

2 \sqrt{x}+ 7x^{2} + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer monomio está dentro de una raíz.

 

31-x^{4}

Grado: 4, término independiente: 1.

 

4 \displaystyle \frac{2}{x^{2}}-x-7

No es un polinomio, porque el exponente (x^{-2}) del primer monomio no es un número natural.

 

5 x^{3}+x^{5}+x^{2}

Grado: 5, término independiente:0.

 

6 x-2x^{-3}+8

No es un polinomio, porque el exponente del segundo monomio no es un número natural.

 

7 \displaystyle x^{3}-x- \frac{7}{2}}

Grado: 3, término independiente: \displaystyle -\frac{7}{2}.

 

Escribe en lenguaje matemático

 

1 Un polinomio ordenado sin término independiente.

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3 Un polinomio completo sin término independiente.

4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

 

Escribe:

1 Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x^{4}-2x

 

2 Un polinomio no ordenado y completo.

3x-x^{2}+5-2x^{3}

 

3 Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

 

4 Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

 

x^{4}-x^{3}-x^{2}+3x+5

 

Dados los polinomios, P,Q,R,S,T,U:

 

P(x)=4x^{2}-1

Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2

R(x)=6x^{2}+x+1

\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4

\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5

\displaystyle U(x)=x^{2}+2

 

 

Calcular:

1 P(x) + Q (x)

2 P(x) - U (x)

3 P(x) + R (x)

4 2P(x) - R (x)

5 S(x) + T(x) + U(x)

6 S(x) - T(x) + U(x)

 

Dados los polinomios:

P(x)=4x^{2}-1

Q(x)=x^{3}-3x^{2}+6x-2

R(x)=6x^{2}+x+1

\displaystyle S(x)=\frac{1}{2x^{2}}+4

\displaystyle T(x)=\frac{3}{2x^{2}}+5

\displaystyle U(x)=x^{2}+2

Calcular:

1 P(x) + Q (x)=

 (4x^{2}-1) + (x^{3}-3x^{2} + 6x-2) =

= x^{3}-3x^{2} + 4x^{2} + 6x - 2 - 1 =

= x^{3} + x^{2} + 6x -3

 

2 P(x) - U (x) =

= (4x^{2} - 1) - (x^{2} + 2) =

= 4x^{2} - 1 - x^{2} - 2 =

= 3x^{2} - 3

 

3 P(x) + R (x) =

= (4x^{2} - 1) + (6x^{2} + x + 1) =

= 4x^{2} + 6x^{2} + x - 1 + 1 =

= 10x^{2} + x

 

4 2P(x) - R (x) =

= 2 \cdot (4x^{2} - 1) - (6x^{2} + x + 1) =

= 8x^{2} - 2 - 6x^{2} - x - 1 =

=2x^{2} - x - 3

 

5 S(x) + T(x) + U(x) =

= \displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) + (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =

= \displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + \frac{3}{2x^{2}} + x^{2} + 4 + 5 + 2 =

= 3x^{2} + 11

 

6 S(x) - T(x) + U(x) =

= \displaystyle (\frac{1}{2x^{2}} + 4) - (\frac{3}{2x^{2}} + 5) + (x^{2} + 2) =

= \displaystyle \frac{1}{2x^{2}} + 4 - \frac{3}{2x^{2}}  5 + x^{2} + 2 =

= 1

Dados los polinomios, P,Q,R:

P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1

Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4

R(x) = 2x^{4} - 2x - 2

 

Calcular:

1 P(x) + Q(x) - R(x)

2 P(x) + 2 Q(x) - R(x)

3 Q(x) + R(x) - P(x)

 

Dados los polinomios:

P(x) = x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1

Q(x) = x^{3} - 6x^{2} + 4

R(x) = 2x^{4} - 2 x - 2

Calcular:

 

1 P(x) + Q(x) - R(x) =

= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + (x^{3}- 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =

= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + x^{3} - 6x^{2} + 4 - 2x^{4} + 2x + 2 =

= x^{4} - 2x^{4} + x^{3} - 2x^{2} - 6x^{2} - 6x + 2x - 1 + 4 + 2 =

= -x^{4} + x^{3} - 8x^{2} - 4x + 5

 

2 P(x) + 2 Q(x) - R(x) =

= (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) + 2 \cdot (x^{3} - 6x^{2} + 4) - (2x^{4} - 2x - 2) =

= x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1 + 2x^{3} - 12x^{2} + 8 - 2x^{4} + 2x + 2 =

= x^{4} - 2x^{4} + 2x^{3} - 2x^{2} - 12x^{2} - 6x + 2x - 1 + 8 + 2 =

= -x^{4} + 2x^{3} - 14x^{2} - 4x + 9

 

3 Q(x) + R(x) - P(x)=

= (x^{3} - 6x^{2} + 4) + (2x^{4} - 2x - 2) - (x^{4} - 2x^{2} - 6x - 1) =

= x^{3} - 6x^{2} + 4 + 2x^{4} -2x - 2 - x^{4} + 2x^{2} + 6x + 1=

= 2x^{4} - x^{4} + x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 2x + 6x + 4 - 2 + 1=

= x^{4} + x^{3} - 4x^{2} + 4x + 3

Realiza las siguientes multiplicaciones

 

1 (x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3)

2 (3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2)

3 (2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4} - 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3)

 

Realiza las siguientes multiplicaciones

1 (x^{4} - 2x^{2} + 2) \cdot (x^{2} - 2x + 3) =

= x^{6} - 2x^{5} + 3x^{4} - 2x^{4} + 4x^{3} - 6x^{2} + 2x^{2} - 4x + 6=

= x^{6} - 2x^{5} - 2x^{4} + 3x^{4} + 4x^{3} + 2x^{2} - 6x^{2} - 4x + 6 =

= x^{6} -2x^{5} + x^{4} + 4x^{3} - 4x^{2} - 4x + 6

 

2 (3x^{2} - 5x) \cdot (2x^{3} + 4x^{2} - x + 2) =

= 6x^{5} + 12x^{4} - 3x^{3} + 6x^{2}- 10x^{4} - 20x^{3} + 5x^{2} - 10x =

= 6x^{5} + 12x^{4} - 10x^{4} - 3x^{3} - 20x^{3} + 6x^{2} + 5x^{2} - 10x =

= 6x^{5} + 2x^{4} - 23x^{3} + 11x^{2} - 10x

 

3 (2x^{2} - 5x + 6) \cdot (3x^{4}- 5x^{3} - 6x^{2} + 4x - 3) =

= 6x^{6} - 10x^{5} - 12x^{4} + 8x^{3} - 6x^{2} -

- 15x^{5} + 25x^{4} + 30x^{3} - 20x^{2} + 15x +

+18x^{4} - 30x^{3} - 36x^{2} + 24x - 18 =

= 6x^{6} - 10x^{5} - 15x^{5} - 12x^{4} + 25x^{4} + 18x^{4} +

+8x^{3} - 30x^{3} + 30x^{3} - 6x^{2}- 20x^{2} - 36x^{2} + 15x + 24x - 18 =

= 6x^{6} - 25x^{5} + 31x^{4} + 8x^{3} - 62x^{2} + 39x - 18

Realiza las siguientes divisiones

 

1 \displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}

2 \displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}

3 Dados los polinomios:

P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8 Q(x) = x^{2} - 2x + 1

Resolver

\displaystyle \frac{P}{Q}

 

Realiza las siguientes divisiones

 

1 \displaystyle \frac{x^{4} - 2x^{3} - 11x^{2} + 30x - 20}{x^{2} + 3x - 2}

 

División de polinomios

 

2 \displaystyle \frac{x^{6} +5x^{4} +3x^{2} - 2x}{x^{2} -x +3}

 

División de polinomios

 

3 Dados los polinomios:

P(x) = x^{5} + 2x^{3} - x - 8  Q(x) = x^{2} - 2x + 1

Resolver

\displaystyle \frac{P}{Q}:

 

División de polinomios

Divide utilizando la regla de Ruffini

 

1 \displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}

2 \displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

 

Divide por Ruffini:

1 \displaystyle \frac{x^{3} +2x+70}{x+4}

División de polinomios por Ruffini

Residuo

 

2 \displaystyle \frac{x^{5} -32}{x-2}

División de polinomios por Ruffini

C(x) = x^{4} + 2x^{3} + 4x^{2} + 8x + 16

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

División de polinomios por Ruffini

C(x) = x^{3} + 3x^{2} + 6x +18

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes operaciones

 

1 \displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}

2 \displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

 

Sin efectuar las divisiones, halla el resto de las siguientes Operaciones:

Para hallar el resto emplearemos el teorema del resto que nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x - a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a

1 \displaystyle \frac{x^{5} -2x^{2} -3}{x-1}

R(1) = 1^{5} - 2 \cdot 1² - 3 = -4

 

2 \displaystyle \frac{2x^{4} -2x^{3}+3x^{2} +5x+10}{x+2}

R(-2) = 2 \cdot (-2)^{4} - 2 \cdot (-2)³ + 3 \cdot (-2)^{2} + 5 \cdot (-2) +10 =

= 32 + 16 + 12 - 10 + 10 = 60

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -3x^{2} +2}{x-3}

P(3) = 3^{4} - 3 \cdot 3² + 2 = 81 - 27 + 2 = 56

Indica cuáles de estas divisiones son exactas

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1 \displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}

2 \displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}

3 \displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}

4 \displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}

 

Indica cuáles de estas divisiones son exactas:

1Aplicamos el teorema del resto, si el resto es cero la división será exacta.

\displaystyle \frac{x^{3} -5x-1}{x-3}

P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0

No es exacta.

 

2 \displaystyle \frac{x^{6} -1}{x+1}

P(-1)= (-1)^{6} - 1 = 0

Exacta.

 

3 \displaystyle \frac{x^{4} -2x^{3}+x^{2}+x-1}{x-1}

P(1) = 1^{4} - 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0

Exacta.

 

4 \displaystyle \frac{x^{10}-1024}{x+2}

P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0

Exacta.

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican

 

1 (x^{3}-5x-1) tiene por factor (x-3)

2 (x^{6}-1) tiene por factor (x + 1)

3 (x^{4}-2x^{3} + x^{2} + x-1) tiene por factor (x-1)

4 (x^{10}-1024) tiene por factor (x + 2)

 

Comprueba que los siguientes polinomios tienen como factores los que se indican:

1 (x^{3} - 5x -1) tiene por factor (x - 3)

(x^{3} - 5x -1) es divisible por (x - 3) si y sólo si P(x = 3) = 0.

P(3) = 3^{3} - 5 \cdot 3 - 1 = 27 - 15 - 1 ≠ 0

(x - 3) no es un factor.

 

2 (x^{6} - 1) tiene por factor (x + 1)

(x^{6}- 1) es divisible por (x + 1) si y sólo si P(x = - 1) = 0.

P(-1) = (-1)^{6} - 1 = 0

(x + 1) es un factor.

 

3 (x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + x - 1) tiene por factor (x - 1)

P(x = 1) = 0.

vP(1) = 1^{4}- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1 - 1 = 1 - 2 +1 + 1 - 1 = 0

(x - 1) es un factor.

 

4 (x^{10} - 1024) tiene por factor (x + 2)

(x^{10} - 1024) es divisible por (x + 2) si y sólo si P(x = -2) = 0.

P(-2) = (-2)^{10} - 1024 = 1024 - 1024 = 0

(x + 2) es un factor.

Calcula los valores que se indican

Hallar a y b para que el polinomio x^{5}-ax+b sea divisible por x^{2}-4.

 

Hallar a y b para que el polinomio x^{5} - ax + b sea divisible por x^{2} - 4.

Descomponemos en factores la diferencia de cuadrados

x^{2} - 4 = (x +2) \cdot (x - 2)

(x^{5} - ax + b) es divisible por (x^{2} - 4) si y sólo si P(x = -2) = 0 y P(x = 2) = 0

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

P(-2) = (-2)^{5} - a \cdot (-2) + b = 0

Operamos

-32 + 2a + b = 0 2a + b = 32

Aplicamos el teorema del resto sabiendo que el resto es cero

 P(2) = 2^{5} - a \cdot 2 + b = 0

Operamos

32 - 2a + b = 0  - 2a + b = -32

Hemos obtenido dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolveremos el sistema por reducción

Método de eliminación Resultado

Calcula los coeficientes que se te indican

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x^{3} + ax^{2} + bx + 5

sea divisible por x^{2} + x + 1.

 

Determina los coeficientes de a y b para que el polinomio x^{3} + ax^{2} + bx + 5

sea divisible por x^{2} + x + 1.

 

Efectuamos la división

 

División de polinomios

 

Para que sea divisible la división tiene que ser exacta, es decir,

el resto tiene que ser cero.

Para que el resto sea cero el coeficiente de la x y el coeficiente

del término independiente han de ser cero

b - a = 0 -a + 6 = 0

a = 6 b = 6

Calcula el valor de k

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x^{2} - kx + 2 por (x - 2) dé como resto 4.

 

Encontrar el valor de k para que al dividir 2x^{2} - kx + 2 por (x - 2) dé como resto 4.

Aplicamos el teorema del resto y sabemos que el resto es 4

P(2) = 2 \cdot 2^{2} - k \cdot 2 + 2 = 4

Operamos

10 - 2k = 4 - 2k = - 6 k = 3

Calcula el valor de m

Determinar el valor de m para que 3x^{2} + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

 

Determinar el valor de m para que3x^{2} + mx + 4 admita x = 1 como una de sus raíces.

Si x = 1 es una raíz del polinomio, entonces el valor numérico del polinomio para ese valor ha de ser cero

P(1) = 3 \cdot 1^{2} + m \cdot 1 + 4 = 0

Operamos

3 + m + 4 = 0  m = - 7

Encuentra el polinomio que cumpla con lo siguiente

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x^{2} - 4

y se anule para x = 3 y x= 5.

 

Hallar un polinomio de cuarto grado que sea divisible por x^{2} - 4

y se anule para vx = 3 y x= 5.

Si se anula para x = 3 y x= 5, entonces (x - 3) y (x - 5) son factores

del polinomio buscado

x^{2} - 4 es otro factor, ya que el polinomio es divisble por x^{2} - 4

Multiplicamos los factores:

(x - 3) \cdot (x - 5) \cdot (x^{2} - 4) =

En primer lugar multiplicamos los dos primeros

(x^{2} - 8x + 15) · (x^{2} - 4) =

= x^{4} - 4x^{2} - 8x^{3} + 32x + 15x^{2} - 60 =

 x^{4} - 8x^{3} + 11x^{2} + 32x - 60

Calcula el valor de a

Calcular el valor de a para que el polinomio x^{3} - ax + 8 tenga la raíz x = -2,

y calcular las otras raíces.

 

Calcular el valor de a para que el polinomio x^{3} - ax + 8 tenga la raíz x = -2,

y calcular las otras raíces.

Calculamos el valor de a sabiendo que el valor numérico del polinomio para

x = -2 tiene que ser cero

P(-2) = (-2)^{3} - a \cdot (-2) +8 = 0 -8 + 2a +8 = 0 a = 0

Factorizamos dividendo por Ruffini

 

División de polinomios por Ruffini

(x + 2) · (x^{2} - 2x + 4)

 

Igualamos el segundo factor a cero y resolvemos la ecuación de segundo grado

x^{2} - 2x + 4 = 0

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado

 

No tiene más raíces reales.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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