Binomios al cuadrado

1 (x + 5)^2

 

2 (2x-5)^2

 

3 (3x-2)^2

 

4 \displaystyle\left(x^2 -\frac{1}{2}x\right)^2

 

Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más o menos el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. Resolvemos cada ejercicio según la fórmula que le corresponda:

 

(a + b)^2= a^2+ 2ab + b^2

(a - b)^2= a^2- 2ab + b^2

 

1 (x + 5)^2 =

= x^2+ 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 =

= x^2 + 10 x + 25

 

2 (2x - 5)^2

= (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 =

= 4x^2-20x + 25

 

3(3x - 2)^2

= (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 =

= 9x^2 -12x + 4

 

4 \displaystyle \left(x^2 -\frac{1}{2}x\right)^2

=(x^2)^2-2\cdot x^2 \cdot \frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}x\right)^2

=x^4-x^3+\frac{1}{4}x^2

 

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Binomios al cubo

1 (2x - 3)^3

 

2 (x + 2)^3

 

3 (3x − 2)^3

 

4 (2x + 5)^3

 

Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

 

(a + b)^3 = a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3 \cdot a^2 \cdot b + 3 \cdot a \cdot b^2 - b^3

 

1 (2x - 3)^3

(2x)^3- 3 \cdot  (2x)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2x \cdot 3^2 - 3^3 =

8x ^3- 36x^2 + 54 x - 27

 

2 (x + 2)^3

= x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3=

= x^3+ 6x^2 + 12x + 8

 

3 (3x - 2)^3 =

= (3x)^3 - 3 \cdot (3x)^2\cdot  2 + 3 \cdot 3x \cdot 2^2- 2^3

= 27x^3 - 54x^2 + 36x - 8

 

4 (2x + 5)^3 =

= (2x)^3 + 3 \cdot (2x)^2 \cdot 5 + 3 \cdot 2x \cdot 5^2+ 5^3=

= 8x^3 + 60 x^2 + 150x + 125

 

Productos de binomios

1 (3x - 2) \cdot (3x + 2)

 

2 (x + 5) \cdot (x - 5)

 

3 (3x^2- 2) \cdot (3x^2 + 2)

 

4 (3x^2 + 5)\cdot (3x^2- 5)

 
 

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
 

1 (3x- 2) \cdot (3x + 2) =

= (3x)^2- 2^2=

= 9x^2- 4

 

2 (x + 5) \cdot (x - 5) =

= x^2- 25

 

3(3x^2- 2) \cdot (3x^2 + 2) =

= (3x)^2 -2^2=

= 9x^4-4

 

4(3x^2 + 5) \cdot (3x^2- 5) =

= (3x^2)^2-5^2 =

= 9x^4- 25

 

Más productos notables

 

1 (x^2-x + 1)^2 =

 

2 8x^3 + 27 =

 

3 8x^3- 27 =

 

4 (x + 2) (x + 3)

 

Desarrolla las expresiones: 

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero.

El desarrollo de una suma de cubos es:

a^3+ b^3= (a + b) \cdot (a^2- ab + b^2)

 
1(x^2- x + 1)^2 =

= (x^2)^2 + (-x)^2 + 1^2+ 2 \cdot x^2 \cdot(-x) + 2 \cdot x^2\cdot1 + 2\cdot (-x) \cdot 1 =

= x^4+ x^2+ 1 - 2x^3+ 2x^2- 2x =

= x^4-2x^3+ 3x^2- 2x + 1

 

2 8x^3+ 27 =

 

Entonces:

8x^3 es el cubo de 2x y 27 es el cubo de 3

(2x + 3) (4x^2- 6x + 9)

 

3 8x^3- 27 =

El desarrollo de una diferencia de cubos es:

a^3- b^3= (a - b) \cdot (a^2+ ab + b^2)

 

Entonces:

(2x - 3) (4x^2+ 6x + 9)

 

4(x + 2) (x + 3) =

 

Este producto se puede realizar multiplicando cada uno de los sumandos del primer factor por cada uno de los sumandos del segundo factor.

 

= x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6

 

También se puede realizar como el producto de dos binomios que tienen un término común:

 

(x + a) (x + b) = x^2+ (a + b) x + ab

= x^2 + (2 + 3)x + 2 \cdot 3 =

= x^2 + 5x + 6

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗