Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por

 

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}}

 

donde:

 

{P(x)} es el numerador,

 

{Q(x)} es el denominador,

 

Se debe cumplir que {Q(x)\neq 0}

 

Ejemplos:

 

1{\displaystyle\frac{x+1}{x^{2}+x+1}}

 

2{\displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}

 

3{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}

 

Fracciones algebraicas equivalentes

 

Dos fracciones algebraicas

 

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{R(x)}{S(x)}}

 

son equivalentes, y lo representamos por:

 

{\displaystyle\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{R(x)}{S(x)}}

 

si se verifica que

 

{P(x)\cdot S(x)=R(x)\cdot Q(x)}

 

Es decir, que el producto de extremos sea igual al producto de medios

 

Ejemplo:

 

Comprobar si son equivalentes las fracciones algebraicas

 

{\displaystyle\frac{x+2}{x^{2}-4} \ \ \mbox{y} \ \ \displaystyle\frac{1}{x-2}}

 

Verificamos que el producto de extremos sea igual al producto de medios

 

{\begin{array}{rcl} (x+2)\cdot (x-2) & = & (1)\cdot (x^{2}-4)\\ && \\ x^{2}-4 & = & x^{2}-4 \end{array}}

 

Ambos productos son iguales, por lo que concluimos que ambas fracciones son equivalentes

 

Construcción de fracciones algebraicas equivalentes

 

Dada una fracción algebraica, si multiplicamos el numerador y el denominador de dicha fracción por un mismo polinomio distinto de cero, la fracción algebraica resultante es equivalente a la dada.

 

Ejemplo:

 

Si multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción algebraica

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}}

 

por {x-1}, obtenemos una fracción equivalente

 

{\displaystyle\frac{x+3}{x-3}=\frac{(x+3)(x-1)}{(x-3)(x-1)}}

 

Para verificar que son equivalentes, efectuamos el producto de extremos por el producto de medios

 

{(x+3)(x-3)(x-1)=(x+3)(x-1)(x-3)}

 

Como en ambos lados se tienen los mismos factores, la igualdad es válida. Así, ambas fracciones son equivalentes.

 

Simplificación de fracciones algebraicas

 

Para simplificar una fracción algebraica se divide el numerador y el denominador de la fracción por un polinomio que sea factor común de ambos.

 

Ejemplo:

 

Simplificar la fracción {\ \ \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4}}

 

1Factorizamos el numerador, el cual es un trinomio cuadrado perfecto

 

{x^{2}+4x+4=(x+2)^{2}}

 

2Factorizamos el denominador, el cual es una diferencia de cuadrados

 

{x^{2}-4=(x-2)(x+2)}

 

3Simplificamos por el factor común {x+2} y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{\xcancel{2}}}{(x-2)\xcancel{(x+2)}}  \\ & & \\ & =& \displaystyle\frac{(x+2)}{(x-2)} \end{array}}

 

Ejemplo:

 

Simplificar la fracción {\ \ \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7}}

 

1Factorizamos el numerador, el cual posee un factor común y una diferencia de cuadrados

 

{\begin{array}{rcl} 7x^{2}-7 & = & 7(x^{2}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x+1) \end{array}}

 

2Factorizamos el denominador, el cual posee un factor común y una diferencia de cubos

 

{\begin{array}{rcl} 7x^{3}-7 & = & 7(x^{3}-1) \\ & & \\ & =& 7(x-1)(x^{2}+x+1) \end{array}}

 

3Simplificamos por el factor común {7(x-1)} y obtenemos

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{7x^{2}-7}{7x^{3}-7} & = & \displaystyle\frac{7(x-1)(x+1)}{7(x-1)(x^{2}+x+1)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{(x+1)}{(x^{2}+x+1)} \end{array}}

 

Amplificación de fracciones algebraicas

 

Para amplificar una fracción algebraica se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por un mismo polinomio.

 

Ejemplo:

 

{\begin{array}{rcl} \displaystyle\frac{x+2}{x-2} \cdot \frac{x+2}{x+2} & = & \displaystyle\frac{(x+2)^{2}}{(x+2)(x-2)} \\ & & \\ & = & \displaystyle\frac{x^{2}+4x+4}{x^{2}-4} \end{array}}

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (12 votes, average: 4,67 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido