Valor numérico de un polinomio

 

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al evaluarlo, esto es, al sustituir la variable x por un número dado, notemos que esto implica que el valor numérico depende del número por el cual sustituyamos nuestra variable. Veamos los siguientes ejemplos:

 

1Calcula el valor numérico del polinomio \displaystyle P(x) = 2x^3 + 5x - 3

evaluando en los siguientes valores

 

a x = -1

 

b x = 0

 

c x = 1

 

Calcula el valor numérico del polinomio \displaystyle P(x) = 2x^3 + 5x - 3

evaluando en los siguientes valores

 

a x = -1

 

Como dice la definición, en el polinomio debemos sustiruir x = -1, por lo tanto, al evaluar tenemos

 

    \begin{align*} P(-1) &= 2(-1)^3 + 5(-1) -3\\&= 2(-1) - 5 - 3\\&= -2 - 8\\&= - 10\end{align*}

 

b x = 0

 

Debemos sustiruir x = 0, en nuestro polinomio

 

    \begin{align*} P(0) &= 2(0)^3 + 5(0) -3\\&= 2(0) + 0 - 3\\&= 0 + 0 - 3\\&= - 3\end{align*}

 

c x = 1

 

Por último, debemos sustiruir x = 1 en nuestro polinomio

 

    \begin{align*} P(1) &= 2(1)^3 + 5(1) -3\\&= 2(1) + 5 - 3\\&= 2 + 5 - 3\\&= 4\end{align*}

 

Así, obtuvimos tres valores numéricos de nuestro polinomio P(x), tenemos que el valor numérico de P(x) en x = -1 es -10, el valor numérico de P(x) en x = 0 es -3 y, por último, el valor numérico de P(x) en x = 1 es 4.

 

Polinomios iguales

 

Para que dos polinomio sean iguales, se deben cumplir las condiciones siguientes:

 

    • Los dos polinomios tienen el mismo grado.

 

  • Lo monomios del mismo grado deben tener los mismos coeficiente en ambos polinomios (incluyendo signo).

 

Veamos un par de ejemplos para entender mejor esto:

 

Determina si los siguientes pares de polinomios son iguales o no, explica tu respuesta.

 
1

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

2

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

4

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

Por la definición, notemos que se deben cumplir ambas condiciones para ser iguales. Sin embargo, para demostrar que no son iguales es suficiente encontrar que una condición no se cumpla.

 

1 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Notemos que sí son del mismo grado (grado 3). Además, cada monomio que aparece en P(x) aparece en Q(x) y tienen los mismos coeficientes. Así que ambos polinomios son iguales.

 

2 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

No son iguales, esto se debe a que el monomio de orden 1 en P(x) es 2x, mientras que el monomio de orden 1 en Q(x) es 5x, notemos que sus coeficientes son distintos, 2 \neq 5.

 

3 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

No son iguales, ya que el monomio de orden 2 en P(x) es 8x^2, mientras que en Q(x) el monomio de orden 2 no aparece, es decir, es igual a 0x^2, esto implica que tienen coeficientes distintos.

 

4 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

 

En este ejemplo tenenemos monomios donde los literales tienen más de una variable, entonces para ser iguales, en cada monomio con mismos literales, cada literal debe tener la misma potencia. Dicho esto, notemos que el tenemos el monomio 2x^3y en P(x), sin embargo, en Q(x) no aparece ningún monomio con esos literales elevados a esas mismas potencias, por lo tanto podría decir que en Q(x) ese monomio es 0x^3y y estos tienen distintos coeficientes, así, estos polinomios no son iguales.

 

Polinomios semejantes

 

Un polinomio P(x) es semejante a Q(x) si para cada monomio en P(x) se encuentra un monomio con los mismos literales en Q(x) cuyo coeficiente sea distinto a 0. Notemos que aquí no exigimos que los monomios tengan los mismos coeficiente, solo que ambos tengan coeficientes no nulos (distintos de cero).

 

Para que quede más clara esta definición, procedamos a ver unos ejemplos:

 

Determina si los siguientes pares de polinomios son semejantes o no, explica tu respuesta.

 
1

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

2

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

4

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

Recordemos que para que sean semenjantes, si uno monomio es parte de uno de los polinomios, entonces otro monomio con mismos literales y coeficiente no cero debe estar en el otro polinomio.

 

1 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

Dado que estos polinomios son iguales, cada monomio en uno se encuentra en el otro, por lo tanto, también son semejantes. De hecho, todo par de polinomios iguales siempre serán semejantes.

 

2 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x + 5x^3 - 3x^2\\Q(x) &= 5x - 3x^2 + 2x^3\end{align*}

 

Estos polinomios son semejantes, ya que ambos se componen de monomios de orden 1, 2 y 3 con literal x y coeficientes distintos de cero.

 

3

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3 + 8x^2 + 5x - 3\\Q(x) &= 5x - 3 + 2x^3\end{align*}

 

No son semejantes, ya que el monomio de orden 2 en P(x) es 8x^2, mientras que en Q(x) el monomio de orden 2 no aparece, es decir, es igual a 0x^2, por lo tanto no cumplen con la definición de polinomios semejantes.

 

4 Los polinomios

 

    \begin{align*} P(x) &= 2x^3y + 5y - 3xy^2\\Q(x) &= 5xy - 3 + 2x^3y^2\end{align*}

 

En este ejemplo tenenemos monomios donde los literales tienen más de una variable. Podemos ver casi de manera directa que no son semejantes, ya que en P(x) tenemos un monomio de grado 1 con literal y, este es 5y, sin embargo en Q(x) no hay ningún monomio de grado 1 con literal y, por lo tanto no cumple con la definición de semejanza de polinomios.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗