Operaciones con monomios

Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

 

1 2a^2 b c^3 - 5a^2 b c^3 + 3a^2 b c^3 - 2a^2 b c^3

1 Los monomios que forman la expresión son equivalentes, esto es, tienen las mismas literales con sus respectivos exponentes, por lo que el resultado se obtiene sumando sus coeficientes y se conserva las literales con sus respectivos exponentes

 

\begin{array}{rcl} 2a^2 b c^3 - 5a^2 b c^3 + 3a^2 b c^3 - 2a^2 b c^3 & = & (2 - 5 + 3 - 2)a^2 b c^3 \\\\ & = & -2a^2 b c^3 \end{array}

 

2  \left (18x^6 y^2 z^5 \right ) : \left (6x^3 y z^2 \right )

1 Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y aplicamos las leyes de los exponentes a las literales: para dividir dos elementos que poseen la misma base, se conserva la base y se restan sus exponentes

 

\begin{array}{rcl} \left (18x^6 y^2 z^5 \right ) : \left (6x^3 y z^2 \right ) & = &\cfrac{18}{6} x^{(6 - 3)} y^{(2 - 1)} z^{(5 - 2)} \\\\ & = & 3x^3 y z^3 \end{array}

 

3  \left (-2x^3 \right ) \cdot (-5x)\cdot \left (-3x^2 \right )

1 Para multiplicar monomios se multiplican sus coeficientes y aplicamos las leyes de los exponentes a las literales: para multiplicar elementos que poseen la misma base, se conserva la base y se suman sus exponentes

 

\begin{array}{rcl} \left (-2x^3 \right ) \cdot (-5x)\cdot \left (-3x^2 \right ) & = & (-2)(-5)(-3) x^{(3 + 1 + 2)} \\\\ & = & -30 x^6 \end{array}

 

4  \left (36x^3 y^7 z^4 \right ) : \left (12x^2 y^2 \right )

1 Para dividir dos monomios se dividen sus coeficientes y aplicamos las leyes de los exponentes a las literales: para dividir dos elementos que poseen la misma base, se conserva la base y se restan sus exponentes

 

\begin{array}{rcl} \left (36x^3 y^7 z^4 \right ) : \left (12x^2 y^2 \right ) & = &\cfrac{36}{12} x^{(3 - 2)} y^{(7 - 2)} z^{4} \\\\ & = & 3x y^5 z^4 \end{array}

 

5  \cfrac{24x^5 y^4 + 18x^4 y^5 - 48x^{10} y^3}{6x^2 y^3}

1 Dividimos cada término del numerador entre el denominador común

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{24x^5 y^4 + 18x^4 y^5 - 48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} & = & \cfrac{24x^5 y^4}{6x^2 y^3} + \cfrac{18x^4 y^5}{6x^2 y^3} - \cfrac{48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} \end{array}

 

2 Aplicamos las leyes de los exponentes a las literales: para dividir dos elementos que poseen la misma base, se conserva la base y se restan sus exponentes

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{24x^5 y^4}{6x^2 y^3} + \cfrac{18x^4 y^5}{6x^2 y^3} - \cfrac{48x^{10} y^3}{6x^2 y^3} & = & 4x^3y + 3x^2 y^2 - 8x^8 \end{array}

Suma y resta de polinomios

Dados los polinomios:

P(x) = x^4 - 2x^2 - 6x - 1

Q(x) = x^3 - 6x^2 + 4

R(x) = 2x^4 - 2x - 2

Calcular:

 

6 P(x) + Q(x) - R(x)

1 Sustituimos los polinomios

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

2 Quitamos los paréntesis

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + x^3 - 6x^2 + 4 - 2x^4 + 2x + 2 \end{array}

 

3 Sumando términos semejantes se obtiene

 

\begin{array}{rcl} P(x) + Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + x^3 - 6x^2 + 4 - 2x^4 + 2x + 2 \\\\ & = & -x^4 + x^3 - 8x^2 - 4x + 5 \end{array}

 

7 P(x) + 2Q(x) - R(x)

1 Sustituimos los polinomios

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

2 Realizamos el producto 2Q(x)

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \end{array}

 

3 Quitamos los paréntesis

 

\begin{array}{rcl} P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + 2x^3 - 12x^2 + 8 - 2x^4 + 2x + 2) \end{array}

 

4 Sumando términos semejantes se obtiene

 

\begin{array}{rcl}P(x) + 2Q(x) - R(x) & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (2x^3 - 12x^2 + 8) - (2x^4 - 2x - 2) \\\\ & = & x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + 2x^3 - 12x^2 + 8 - 2x^4 + 2x + 2) \\\\ & = & -x^4 + 2x^3 - 14x^2 - 4x + 9 \end{array}

 

8 Q(x) + R(x) - P(x)

1 Sustituimos los polinomios

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \end{array}

 

2 Quitamos los paréntesis

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \\\\ & = & x^3 - 6x^2 + 4 + 2x^4 - 2x - 2 - x^4 + 2x^2 + 6x + 1 \end{array}

 

3 Sumando términos semejantes se obtiene

 

\begin{array}{rcl} Q(x) + R(x) - P(x) & = & (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) \\\\ & = & x^3 - 6x^2 + 4 + 2x^4 - 2x - 2 - x^4 + 2x^2 + 6x + 1 \\\\ & = & x^4 + x^3 - 4x^2 + 4x + 3 \end{array}

 

9 Calcula el valor de a, para que sea cierta la igualdad:

(ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) = x^3 - 11x + 5

1 Quitamos los paréntesis del lado izquierdo y agrupamos sus términos semejantes

 

\begin{array}{rcl} (ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \end{array}

 

2 Quitamos los paréntesis

 

\begin{array}{rcl} (ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \\\\ ax^3 - 5x + 3 - 4x^3 - 6x + 2) & = & x^3 - 11x + 5 \\\\ (a - 4)x^3 - 11x + 5 & = & x^3 - 11x + 5 \end{array}

 

3 Igualando los coeficientes de x^3 se obtiene

 

a - 4 = 1, luego a = 5

Multiplicación de polinomios

 

10 Multiplicar (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)

1 Multiplicamos cada término del primer polinomio por el segundo polinomio

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) & = & (2x^2) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & -(5x) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & +(6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\\\ & = & 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2 \\ & & - 15x^5 + 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x \\ & & + 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18 \end{array}

 

2 Sumamos los términos semejantes

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 - 5x + 6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) & = & (2x^2) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & -(5x) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\ & & +(6) \cdot (3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) \\\\ & = & 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2 \\ & & - 15x^5 + 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x \\ & & + 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18 \\\\ & = & 6x^6 - 25x^5 + 31x^4 + 8x^3 - 62x^2 + 39x - 18 \end{array}

Evaluación en polinomio

 

11 Hallar el valor numérico del polinomio P(x) = 6x^3 + 7x^2 - 9x + 2, para: x = 1, −1, 2, −2

1 Evaluamos para x = 1

 

\begin{array}{rcl} P(1) & = & 6(1)^3 + 7(1)^2 - 9(1) + 2 \\\\ & = & 6 + 7 - 9 + 2 \\\\ & = & 6 \end{array}

 

2 Evaluamos para x = -1

 

\begin{array}{rcl} P(-1) & = & 6(-1)^3 + 7(-1)^2 - 9(-1) + 2 \\\\ & = & -6 + 7 + 9 + 2 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3 Evaluamos para x = 2

 

\begin{array}{rcl} P(2) & = & 6(2)^3 + 7(2)^2 - 9(2) + 2 \\\\ & = & 48 + 28 - 18 + 2 \\\\ & = & 60 \end{array}

 

4 Evaluamos para x = -2

 

\begin{array}{rcl} P(-2) & = & 6(-2)^3 + 7(-2)^2 - 9(-2) + 2 \\\\ & = & -48 + 28 + 18 + 2 \\\\ & = & 0 \end{array}

Producto de binomios

Calcula:

 

12 (3x + 2)^2

1 Aplicamos la fórmula de un binomio al cuadrado

 

(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2

 

2 Realizamos las operaciones

 

\begin{array}{rcl} (3x + 2)^2 & = & (3x)^2 + 2(3x)(2) + (2)^2 \\\\ & = & 9x^2 + 12x + 4 \end{array}

 

13 (3x + 5)(3x - 5)

1 Aplicamos la fórmula de un binomio conjugado

 

(3x + 5)(3x - 5) = (3x)^3 - (5)^2

 

2 Realizamos las operaciones

 

\begin{array}{rcl} (3x + 5)(3x - 5) & = & (3x)^3 - (5)^2 \\\\ & = & 9x^2 - 25 \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗