Suma de polinomios

 

Para realizar la suma de dos o más polinomios, se debe sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales, es decir, las variables y exponentes (o grados) deben ser los mismos en los términos a sumar.

 

Método 1 para sumar polinomios

 

Pasos:

1 Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.

2 Agrupar los monomios del mismo grado.

3 Sumar los monomios semejantes.

 

Ejemplo del primer método para sumar polinomios

 

Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3,      Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.

 

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 

P(x) = 2x³ + 5x − 3

Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

 

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

 

P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)

 

3Sumamos los monomios semejantes.

 

P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3

 

Método 2 para sumar polinomios

 

También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

 

Ejemplo del segundo método para sumar polinomios

 

Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.

 

1Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.

 

Ejemplo suma de polinomios

 

Así,

2P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5

 

Superprof

Resta de polinomios

 

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
Ejemplo de resta de polinomios

 

1 Restar los polinomios P(x) = 2x3 + 5x - 3, Q(x) = 2x³ - 3x² + 4x.

 

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

 

2 Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).

 

P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

 

3 Agrupamos.

 

P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3

 

4 Resultado de la resta.

 

P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3

 

 

Multiplicación de polinomios

 

1. Multiplicación de un número por un polinomio

 

La multiplicación de un número por un polinomio es, otro polinomio. El polinomio que se obtiene tiene el mismo grado del polinomio inicial. Los coeficientes del polinomio que resulta, son el producto de los coeficientes del polinomio inicial, por el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplos:

13 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

 

22(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2

 

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

 

En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.

 

Ejemplo: 

 

3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²

 

3. Multiplicación de polinomios

 

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.

 

Método 1 para multiplicar polinomios

 

Pasos:

1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

2 Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

 

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

 

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x

 

2Se suman los monomios del mismo grado.

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

 

3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

y

P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x

 

Método 2 para multiplicar polinomios

 

También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.

En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.

 

Ejemplo:

Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3,      Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.

 

Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.

 

Ejemplo de multiplicación de polinomios en forma de tabla

 

División de polinomios

 

Abordaremos la explicación con un ejemplo.

 

Ejemplo:

 

Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8,        Q(x) = x2 − 2x + 1.

 

P(x) :  Q(x)

 

1 A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

 

Ejemplo división de polinomios

 

2 A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

 

3 Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

 

x5 : x2 = x3

 

4 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

 

Ejemplo división paso 3

 

5 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

 

2x4 : x2 = 2 x2

 

Ejemplo división paso 4

 

6 Procedemos igual que antes.

 

5x3 : x2 = 5 x

 

Ejemplo división repetición de paso anterior

 

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

 

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

 

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Marta

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Gomez
Gomez
Guest
14 Oct.

Debo confesar que al principio estaba un poco perdida jajajaja, pero luego fue mucho mas facil y logre aprender mucho mas gracias a esta publicacion , muchas graciaaas

Superprof
Superprof
Admin
16 Oct.

¡Qué bien! Tu mensaje nos alegra mucho :).

Geronimo
Geronimo
Guest
24 Oct.

Hola, me gustan mucho las matemáticas a mi
Pero tengo un problema para entender la división de polinomios y me enojan un poco por que el resto de las operaciones las haga bien

Carlos Alberto Palafox Benitez
Carlos Alberto Palafox Benitez
Guest
27 Oct.

Te recomiendo que intentes realizara por partes,

Si vas a dividir un trinomio entre un monomio por ejemplo, enfocate en el primer termino del trinomio como si solo se tratase un monomio, es decir, enfocate en resolver un monomio entre otro monomio y lo demás se ira acomodando, ademas, intenta hacer lo siguiente:

Primero determina el signo (ley de signos)
Después divide los coeficientes (división)
y por ultimo las variables (Ley de exponentes para la división )

veras que con un poco de practica, lograras dominarlo sin problemas.

Saludos, espero haberte ayudado!

Rodriguez
Rodriguez
Guest
25 Oct.

Muy buen detallado ,excelente la manera de explicar .muchas gracias me siervio mucho

escudero
escudero
Guest
5 May.

(a+b)(a−b)
a2−2ab+b2
Para a =1, b= 2

Superprof
Superprof
Admin
18 May.

Hola, solo necesitas sustituir los valores de a y b y hacer los cálculos:

(a+b)(a−b) = (1+2)(1−2) = 3(-1) = -3
a2−2ab+b2 = 1^2 – 2(1)(2) + 2^2 = 1 – 4 + 4 = 1

¡Un saludo!

pineda
pineda
Guest
5 May.

Muchas grasias exelente explicaciòn

Superprof
Superprof
Admin
6 May.

Nos alegramos que te haya gustado. 🙂

Lila
Lila
Guest
12 May.

Como se hace P (x) + Q (×) =

Superprof
Superprof
Admin
13 May.

Hola Lila, escríbenos con el ejercicio completo para poder ayudarte. Si no, en el nuestro artículo tienes los pasos para conseguirlo sola. ¡Un saludo!

viloria
viloria
Guest
15 May.

Excelente!! Mas claro n puede ser!!

Superprof
Superprof
Admin
18 May.

¡Gracias! Nos alegramos de que te haya gustado 🙂

bolivar
bolivar
Guest
16 May.

me gusto la explicacion de la resta de polinomios pero no se puede utilizar
la forma de columnas?

Superprof
Superprof
Admin
28 May.

Hola Bolivar, si te resulta más fácil usar el método que nos mencionas, ¿por qué no? ¡Un saludo!

LandaC
LandaC
Guest
19 May.

Muy buen material colegas…

Los felicito.

Superprof
Superprof
Admin
19 May.

¡Muchas gracias! 🙂

Arenas
Arenas
Guest
24 May.

Vaya esta bastante bien explicado entendi mas aqui que en el cole

Superprof
Superprof
Admin
25 May.

Muchas gracias por el comentario, es un placer leer que nuestras páginas te ayudan a entender las mates. ¡Un saludo! <3

Murillo Torres
Murillo Torres
Guest
24 May.

los ingresos mensuales de enero y febrero de una empresa. Si ambos términos son semejantes. Halle la suma de ambos ingresos en términos de x.

Superprof
Superprof
Admin
28 May.

Hola los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Si los ingresos mensuales de enero y febrero son los mismos y se representan por x, la suma es 2x. ¡Un saludo!

Carlos Eduardo Perdomo
Carlos Eduardo Perdomo
Guest
26 May.

esto esta mal explicado

Superprof
Superprof
Admin
28 May.

Hola Carlos, ¿qué parte de la explicación no logras entender? Quizás te podemos ayudar. ¡Un saludo!