Suma de polinomios
Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.
Pasos para sumar polinomios
Ejemplo:
Sumar los polinomios:
P(x) = 2x³ + 5x − 3 Q(x) = 4x − 3x² + 2x³
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3
Otra opción
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2
Q(x) = 6x³ + 8x +3
P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5
Resta de polinomios
La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3
Multiplicación de Polinomios
1. Multiplicación de un número por un polinomio
La multiplicación de un número por un polinomio es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.
Ejemplos:
13 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
El signo delante del paréntesis se puede omitir
22(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.
Ejemplo:
3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²
3. Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.
Mira la demostración con el siguiente ejemplo:
P(x) = 2x²− 3 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
OPCIÓN 1
1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x =
2Se suman los monomios del mismo grado.
= 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
OPCIÓN 2
También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.
En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio.
Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.
Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
División de Polinomios
Resolver la división de polinomios:
P(x) = x5 + 2x3 − x − 8 Q(x) = x2 − 2x + 1
P(x) : Q(x)
A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
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