1 junio 2019
Suma de polinomios
Método 1 para sumar polinomios
Pasos:
1 Ordenar los polinomios del término de mayor grado al de menor.
2 Agrupar los monomios del mismo grado.
3 Sumar los monomios semejantes.
Ejemplo del primer método para sumar polinomios
Sumar los polinomios P(x) = 2x³ + 5x − 3, Q(x) = 4x − 3x² + 2x³.
1Ordenamos los polinomios, si no lo están.
P(x) = 2x³ + 5x − 3
Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x
2Agrupamos los monomios del mismo grado.
P(x) + Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)
P(x) + Q(x) = (2x³ + 2x³) + (− 3 x²) + (5x + 4x) + (− 3)
3Sumamos los monomios semejantes.
P(x) + Q(x) = 4x³ − 3x² + 9x − 3
Método 2 para sumar polinomios
También podemos sumar polinomios escribiendo uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.
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Ejemplo del segundo método para sumar polinomios
Sumar los polinomios P(x) = 7x4 + 4x² + 7x + 2, Q(x) = 6x³ + 8x +3.
1Acomodar en columnas a los términos de mayor a menor grado, y sumar.
Así,
2P(x) + Q(x) = 7x4 + 6x³ + 4x² + 15x + 5
4.92 (26) 12€/h
4.88 (42) 5€/h
4.95 (19) 10€/h
5.00 (91) 14€/h
4.98 (50) 10€/h
4.95 (19) 12€/h
4.93 (30) 12€/h
4.96 (74) 20€/hResta de polinomios
P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)
2 Obtenemos el opuesto al sustraendo de Q(x).
P(x) − Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x
3 Agrupamos.
P(x) − Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x − 4x − 3
4 Resultado de la resta.
P(x) − Q(x) = 3x² + x − 3
Multiplicación de polinomios
1. Multiplicación de un número por un polinomio
13 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6
22(3x³ + 4x² + 2x − 1) = 6x³ + 8x² + 4x − 2
2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
En la multiplicación de un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Recordar que primero debemos multiplicar signos, posteriormente multiplicar los monomios correspondientes, para lo cual, se debe multiplicar los coeficientes, y luego, realizar la multiplicación de la parte literal, en donde, al multiplicar variables iguales los exponentes se sumarán.
Ejemplo:
3x² · (2x³− 3x²+ 4x − 2) = (3x² · 2x³) - (3x² · 3x²) + (3x² · 4x) - (3x² · 2) = 6x5− 9x4 + 12x³ − 6x²
3. Multiplicación de polinomios
Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distintas.
Método 1 para multiplicar polinomios
Pasos:
1 Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
2 Se suman los monomios del mismo grado, obteniendo otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.
1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.
P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³− 3x² + 4x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x
2Se suman los monomios del mismo grado.
P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 8x³− 6x³+ 9x²− 12x = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
3 Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.
Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5
y
P(x) · Q(x) = 4x5 − 6x4 + 2x³ + 9x² − 12x
Método 2 para multiplicar polinomios
También podemos sumar polinomios escribiendo un polinomio debajo del otro.
En cada fila se multiplica cada uno de los monomios del segundo polinomio por todos los monomios del primer polinomio. Se colocan los monomios semejantes en la misma columna y posteriormente se suman los monomios semejantes.
Ejemplo:
Multiplicar los siguientes polinomios P(x) = 2x²− 3, Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x.
Como la multiplicación de polinomios cumple la propiedad conmutativa, hemos tomado como polinomio multiplicador el polinomio más sencillo.
División de polinomios
Abordaremos la explicación con un ejemplo.
Ejemplo:
Resolver la división de los polinomios P(x) = x5 + 2x3 − x − 8, Q(x) = x2 − 2x + 1.
P(x) : Q(x)
1 A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.
2 A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.
3 Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.
x5 : x2 = x3
4 Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:
5 Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.
2x4 : x2 = 2 x2
6 Procedemos igual que antes.
5x3 : x2 = 5 x
7 Como en los pasos anteriores, dividimos 
por 
, y obtenemos 
.
Multiplicamos por cada término del divisor y obtenemos:
Procedemos con la resta:
10x − 16 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.
x3+2x2 +5x+8 es el cociente.
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Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Debo confesar que al principio estaba un poco perdida jajajaja, pero luego fue mucho mas facil y logre aprender mucho mas gracias a esta publicacion , muchas graciaaas
¡Qué bien! Tu mensaje nos alegra mucho :).
Hola, me gustan mucho las matemáticas a mi
Pero tengo un problema para entender la división de polinomios y me enojan un poco por que el resto de las operaciones las haga bien
Te recomiendo que intentes realizara por partes,
Si vas a dividir un trinomio entre un monomio por ejemplo, enfocate en el primer termino del trinomio como si solo se tratase un monomio, es decir, enfocate en resolver un monomio entre otro monomio y lo demás se ira acomodando, ademas, intenta hacer lo siguiente:
Primero determina el signo (ley de signos)
Después divide los coeficientes (división)
y por ultimo las variables (Ley de exponentes para la división )
veras que con un poco de practica, lograras dominarlo sin problemas.
Saludos, espero haberte ayudado!
Muy buen detallado ,excelente la manera de explicar .muchas gracias me siervio mucho
(a+b)(a−b)
a2−2ab+b2
Para a =1, b= 2
Hola, solo necesitas sustituir los valores de a y b y hacer los cálculos:
(a+b)(a−b) = (1+2)(1−2) = 3(-1) = -3
a2−2ab+b2 = 1^2 – 2(1)(2) + 2^2 = 1 – 4 + 4 = 1
¡Un saludo!
Muchas grasias exelente explicaciòn
Nos alegramos que te haya gustado. 🙂
Como se hace P (x) + Q (×) =
Hola Lila, escríbenos con el ejercicio completo para poder ayudarte. Si no, en el nuestro artículo tienes los pasos para conseguirlo sola. ¡Un saludo!
Me podrían explicar como hacer p(x) +Q(x)
Me podría explicar el caso de factoreo por el método de gauss?
Hola, te aconsejamos usar el buscador arriba a la derecha poniendo la palabra clave «Gauss» para encontrar todos nuestros artículos sobre el tema. ¡Un saludo!
Excelente!! Mas claro n puede ser!!
¡Gracias! Nos alegramos de que te haya gustado 🙂
Como se cuando está resuelto
Hola, en operaciones con polinomios, sabes que has llegado a la resolución cuando ya no se pueden agrupar, sumar, restar y multiplicar términos semejantes. ¡Un saludo!
me gusto la explicacion de la resta de polinomios pero no se puede utilizar
la forma de columnas?
Hola Bolivar, si te resulta más fácil usar el método que nos mencionas, ¿por qué no? ¡Un saludo!
Necesito socializar familia como se descompone una cantidad de 4 cifras en pitencia de diez dando los siguientes polinomios
P(x)= 3×4+ 4×3 + 5×2 +6x + 7
Q(x)= 7×4
Se pide hallar p(x).Q(x)
¡Hola! Tu primera pregunta está relacionada con la base decimal de nuestro sistema de numeración. Te doy un ejemplo: si tenemos el número 1234, entonces este número se descompone como
Con esto ya tenemos el número descompuesto en potencia de diez.
Respecto a tu segunda pregunta, tenemos los polinomios
y 
y queremos hallar el producto:
Distribuimos el monomio:
Multiplicamos coeficientes y sumamos exponentes:
Este es tu resultado final.
¡No dudes en comentarnos cualquier otra duda que tengas!
Muy buen material colegas…
Los felicito.
¡Muchas gracias! 🙂
Vaya esta bastante bien explicado entendi mas aqui que en el cole
Muchas gracias por el comentario, es un placer leer que nuestras páginas te ayudan a entender las mates. ¡Un saludo! <3
los ingresos mensuales de enero y febrero de una empresa. Si ambos términos son semejantes. Halle la suma de ambos ingresos en términos de x.
Hola los términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte literal. Si los ingresos mensuales de enero y febrero son los mismos y se representan por x, la suma es 2x. ¡Un saludo!
esto esta mal explicado
Hola Carlos, ¿qué parte de la explicación no logras entender? Quizás te podemos ayudar. ¡Un saludo!
Completa sabiendo que los grados de los polinomios M y N son 3 y 2, respectivamente.
a. El grado de M.N es
b. El grado de M+N es
c. El grado de M-N es
me ayudan porfavor
Hola, con gusto te resolvemos tu duda.
a. El grado de M·N es 3+2=5, pues los grados de M y N se suman
b. El grado de M+N es 3, pues mientras los grados de M y N sean diferentes, se elige el mayor
c. El grado de M-N es 3, pues mientras los grados de M y N sean diferentes, se elige el mayor
Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!
Quisiera saber que valores representan las distintas letras en los polinomios, como la P,Q, x,y, etc..?
Hola, generalmente usamos P y Q como nombres que identifican a diferentes polinomios y te refieres a ellos como el polinomio P y polinomio Q. Un ejemplo podría ser
P(x) = x2 – 7
Q(x) = 3x3 – x + 2
Esto sirve para hacer más fácil las instrucciones o explicaciones pues en vez de decir todos los términos dices el polinomio P, el polinomio Q, también puedes decir -obten la suma de P+Q-. La x es generalmente la variable; arriba los polinomios P y Q están escritos con la variable x. Si sustituyes x con un número obtienes un valor numérico. La y puede ser ambas, depende de cómo está escrita.
Espero los comentarios te sean útiles,
¡saludos!
arigato
Domo!
Hola, como se hace P (x)= 2×2+3×+6
Hola, buen día.
¿Podrías ayudarme siendo más específica, por favor? Hay muchas operaciones que puedes realizar con polinomios y me gustaría me especificaras a qué te refieres con «cómo se hace», para poder ayudarte.
Saludos
Excelente explicación
¡Gracias! 🙂
Muchas gracias, logre comprender, creí que iba a ser más difícil y me iba hacer bolas… Pero no, buena explicación
¡Qué bien! Sigue trabajando así 🙂
ayuda : P(X)*Q(X)
Hola, ¿cuáles son los polinomios que necesitas multiplicar?
Muchas gracias por su artículo. Me fue de mucha ayuda.
¡Genial! 🙂
Creo que en el resto de la división hay un error y que el resultado es 10x-16 pero igual el error es mío, las divisiones son muy enredadas. Muchas gracias por vuestra gran ayuda
¡Hola!
Muchas gracias por la observación. En efecto, había un error en el resto. Ya corregimos el artículo.
¡Un saludo!
Dados los polinomios
P(x)=8×3+2x-5×2+2
Ordenar los polinomios
Hola, si se trata de ordenar los términos de P(x),
P(x)=8׳+2x-5ײ+2
P(x) = 8x³ – 5ײ + 2x + 2
¡Un saludo!
como organizo estos datos
a: 3x +6-5
b: 4+9x
c: 4+8x -2
Hola, los podemos organizar agrupando términos semejantes:
a: 3x +6-5 = 3x + 1
b: 4+9x = 9x + 4
c: 4+8x -2 = 8x + 2
¡Un saludo!
alguien me responde
Sigo sin entender nada 🙁
Hola, lo sentimos ¿cómo te podemos ayudar? Escríbenos con tus preguntas y intentaremos contestarte lo más rápido posible. ¡Un saludo!
Pero seguiré intentando 🙂
Hola Ana María, tienes la mejor actitud para el éxito 🙂
Buen día, si no me equivoco, el resto es 10x-16, no (-6). puede que me equivoque pero quería comentarlo por si llegaba a estar mal, pudiesen corregirlo! un saludo
Hola,
gracias por tu compartirnos tu observación.
Puedes consultar nuevamente el contenido y en este ya aparece 10x-16 como el resto.
Un saludo
12. Calcule la suma de coeficientes del siguiente polinomio completo:
P(x) = c (x a + x b) + a (x b + x c) + b (x a + x c) + abc
Podrian ayudarme con este problema, no lo entiendo
¡Hola! Debemos sumar los coeficientes del polinomio. (Al final terminaremos con una expresión tipo
.
Tenemos
De este modo, la suma de los coeficientes del término lineal es
y la «suma» del término independiente es 
.
Si tienes más preguntas, no dudes en comentarlas.
Sean los polinomios:
P(x) = ax + b ⋀ Q(x) = bx + a
Además: b − a = 6;
Calcula el valor de M = P(x) − Q(x)
¡Con gusto te ayudamos!
Primero realiza la resta de los polinomios:
Luego tienes la relación que te pasaron, que
. Por lo tanto, 
. De este modo,
¡Si tienes más dudas, coméntanos y con gusto te ayudamos!
Como encontrar un polinomio cuando me dan el resultado
Hola, escríbenos con el enunciado completo de tu ejercicio y te contestaremos lo más rápido posible. ¡Un saludo!
Muchas gracias eso me ayuda mucho 😀
¡Genial! 🙂
No entendí la división de polinomios, ya que en el resultado de +5x^3 y +5x^3, +8x^2 y +8x^2 se suman ¿no? Son signos iguales, tampoco entiendo de dónde sale el 6 del último resultado.
Hola, el procedimiento es siempre dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Multiplicamos el resultado resultado por el divisor y lo restamos al dividendo. -x -5x = -6x, 5x^3 – 5×3 = 0. Esperamos haber podido aclarar tus dudas. ¡Un saludo!
¡Hola! Me podrian ayudar en este Problema :’)
Apenas estoy entendiendo un poco de sobre este tema
a. (r+s+t) + (-2r + 4s – 5t) + (-2r + 5s – 3t)
b. (2a2 + 3ab + 4b2) + (-5a2 – 2ab + 3b2) + (-2a2 – 2ab – 2b2)
C. 2x-3y + 4x-5 + 7y-2 + 9y-3 + 8x + 4y
Hallar la suma
Hola Kiara, simplemente hay que sumar y restar los términos semejantes:
a. (r+s+t) + (-2r + 4s – 5t) + (-2r + 5s – 3t) =
r + s + t -2r + 4s – 5t -2r + 5s – 3t =
Tomamos entonces todos los términos en r:
r – 2r – 2r = – 3r
Luego, los términos en s:
s + 4s + 5s = 10 s
Y los términos en t:
t – 5t – 3t = -7t
El resultado es:
– 3r + 10s – 7t
Te aconsejamos practicar con los dos otros ejemplos y escribirnos si tienes dudas. ¡Un saludo!
me pueden ayudar con este problema:
Determine la suma de coeficientes del siguiente polinomio
completo:
p(x)=c(x^a+x^b)+a(x^b+x^c)+b(x^a+x^c)+abc
Hola, por favor quisiera saber cómo resolver éste ejercicio.
Q(x)= 2/5×3 – 3x + 3/4×2 – 1/2
R(x)= 2x – 3/5 + 2/x x3
M(x)= 5×4 – 2/5x + 3/4×2 – 1/5 + x
Q(x)+1/2(R(x)-M(x))
Hola Fabiany, escríbenos los pasos que has conseguido sol@ y te ayudaremos encontrar la solución. ¡Un saludo! 🙂
Me gusto mucho y lo estoy utilizando para preparar una clase y explicarles a mis alumnitos Gracias
¡Genial!
La verdad me ha ido super bien con esta pagina y he obtenido la mayor calificacion de mi salon gracias a esto 🙂
<3 ¡que bien!
Hola me podrían ayudar indicando cómo se resolvería P(x)=4x(al cuadrado)
-1 : x(al cubo)-3x(al cuadrado +6x-2
Interesante el paso a paso de cada ejercicio gracias
Es un placer 🙂
yo estoy perdida en este (-6X-5(3X2-8X))-X3-X2+2X–9
En división de polinomios, no entiendo la parte final ¿ De dónde sale en el cociente «+ 8» y, en el resto, no comprendo tampoco de donde proviene «10x-16».
Cómo se ase una división con polinomios
Son lo máximo, me encantan las matemáticas aunque no puedo
GRACIAS!!!
Las explicaciones son muy claras y completas. Me ayudaron muchísimo.
Me ayudaron mucho, estaba muy perdida con este tema. Gracias!
no entendí el profesor me mando una tarea y quise entender para aser mi tarea peo no conprendi muy bien 🙁 XD
@Superprof, creo que te has equivocado en la 2ª operación:
a2−2ab+b2=
(1×2)-(2x1x2)+(2×2)=
2-4+4= 2
¡Si me equivoco yo lo siento!
Hola, como se trata de a^2, a siendo 1, el cálculo es 1 · 1, y no 1 · 2. Esperamos haber podido despejar tu duda. ¡Un saludo!
hola por favor me podrías ayudar con este ejercicio P(x) = 5×3 + 7×2 – 2x Q(x) = 3×3 – 3×2 + x
Si me piden [Q(x)] al cuadrado y Q(x) es 30
SE HACE 2(30) o ES 30(30)
De dónde salió el 10x-16 😰
Hola Carmen, si sigues haciendo los mismos cálculos que detallamos en los pasos anteriores, podrás averiguarlo. Hemos añadido detalles adicionales (el paso 7). Esperamos haber podido despejar tu duda. ¡Un saludo!