En estos ejercicios abarcaremos los temas:

 

    • Simplificación de fracciones algebraicas

 

    • Sumas de fracciones algebraicas

 

    • Resta de fracciones algebraicas

 

    • Multiplicación de fracciones algebraicas

 

    • División de fracciones algebraicas

 

  • Operaciones con fracciones algebraicas

 

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

 

 

1 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

 

2 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x}

 

3 \displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

4 \displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

5 \displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

6 \displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

 

Simplificar las fracciones algebraicas:

1 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

Extraemos factor común x en la expresión del numerador y del denominador, así, tenemos

 

\displaystyle \frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}= \frac{x(x - 3)}{x(x+3)}

 

Ahora, "cancelamos dicho factor común, así, nuestra simplificación queda como

 

\displaystyle \frac{x(x - 3)}{x(x+3)} = \frac{x - 3}{x+3}

 

2 \displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x}

Extraemos factor común x en el numerador

 

\displaystyle \frac{x^2 - 3x}{3 - x} = \frac{x(x - 3)}{3 - x}

 

Multiplicamos numerador y denominador por -1, por lo que obtendremos una fracción equivalente

 

\displaystyle \frac{x(x - 3)}{3 - x} = \frac{-x(x-3)}{-(3 - x)}

 

Distribuyendo el signo en el denominador tenemos

 

\displaystyle \frac{-x(x-3)}{-(3 - x)} = \frac{-x(x-3)}{-3 + x} = \frac{-x(x-3)}{x - 3}

 

Cancelando el factor común en el denominador y el numerador obtenemos

 

\displaystyle \frac{-x(x-3)}{x - 3} = -x

 

3\displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

Aplicamos el teorema del resto:

 

P(1) = 1^2 + 1 -2 = 0

Q(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0

 

Dividimos por Ruffini tanto la expresión de numerador como la del denominador

 

División de Ruffini.

 

División de Ruffini. 2

 

Tenemos una división exacta, así D = d \cdot c y por lo tanto

 

\displaystyle \frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}= \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)}

 

Simplificamos cancelando el factor común del numerador y del denominador

 

\displaystyle \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{x + 2}{x^2 - 1}

 

Notemos que el denominador x^2 - 1 = (x-1)(x+1), sin embargo, ninguno de estos factores está en el numerador, así que no se puede cancelar o simplificar más en ese sentido, pero sí podemos escribir la expresión como

 

\displaystyle \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = \frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)}

 

cualquiera de las dos expresiones de la igualdad son correctas y válidas.

 

4\displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces del polinomio del numerador y del polinomio del denominador, esto nos ayudará a poder expresar dichos polinomios como multiplicación de binomios definidos por sus raíces

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 2

 

Factorizamos: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

\displaystyle \frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12} = \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)} = \frac{x - 2}{x - 4}

 

5\displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces del polinomio del numerador y del polinomio del denominador, esto nos ayudará a poder expresar dichos polinomios como multiplicación de binomios definidos por sus raíces

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 4

 

Factorizamos: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

\displaystyle \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{x - 3}{ x - 2}

 

6\displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

En el numerador utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras

 

Los divisores de 30 son: {\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 10, \pm 15, \pm 30}

 

P(-2) = (-2)^3 - 19(-2) - 30 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

División de Ruffini. 3

 

El numerador cumple que

 

\displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x^2 - 2x - 15)

 

El trinomio lo podemos seguir factorizando del mismo modo o utilizando la fórmula cuadrática

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 5

 

\displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x + 3)(x - 5)

 

En el denominador sacamos factor común x

 

\displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x^2 - 3x - 10)

 

Para factorizar el trinomio utilizamos la fórmula general

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 6

 

\displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x + 2)(x - 5)

 

Así, nuestra expresión inicial puede ser escrita como

 

\displaystyle \frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x} = \frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)} = \frac{x + 3}{x}

 

 

Realiza la siguiente suma de fracciones algebraicas

 

\displaystyle \frac{1}{x + 1} + \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x - 1}

 

 

Suma las fracciones algebraicas:

\displaystyle \frac{1}{x + 1} + \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x-1}

 

Tenemos que encontrar el común denominador, para ello tenemos que hallar el m.c.m. de los denominadores, notemos que

 

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

 

Por lo tanto

 

\text{MCM}(x + 1, x - 1, x^2 - 1) = (x + 1)(x - 1)

 

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente

 

     \begin{align*} \frac{1}{x + 1} + \frac{2x}{x^2 - 1} - \frac{1}{x-1} &= \frac{x - 1}{(x + 1)(x - 1)} + \frac{2x}{(x + 1)(x - 1)}\\ &- \frac{x + 1}{(x + 1)(x - 1)}\\ &= \frac{(x - 1) + 2x - (x + 1)}{(x + 1)(x - 1)}\\ &= \frac{2x - 2}{(x + 1)(x - 1)} \end{align*}

 

Extraemos factor común 2

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula: \displaystyle \frac{2x - 2}{(x + 1)(x - 1) = \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1)  *** Error message: File ended while scanning use of \frac .  Emergency stop.   

 

Simplificamos

 

*** QuickLaTeX cannot compile formula: \displaystyle \frac{2(x - 1)}{(x + 1)(x - 1) = \frac{2}{x + 1}  *** Error message: File ended while scanning use of \frac .  Emergency stop.   

 

 

Resta de fracciones algebraicas

 

\displaystyle \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1}

 

 

Resta las fracciones algebraicas:

\displaystyle \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1}

 

Tenemos que poner a común denominador, para ello tenemos que hallar el m.c.m. de los denominadores. Notemos que

 

\displaystyle x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Por lo tanto

 

\displaystyle \text{MCM}(x^3 - 1, x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente y operamos

 

     \begin{align*} \frac{x + 2}{x^3 - 1} - \frac{1}{x - 1} &= \frac{x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - \frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{(x + 2) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{-x^2 + 1 }{(x - 1)(x^2 + x + 1)}\\ &= \frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} \end{align*}

 

Además, tenemos que x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1), así, obtenemos

 

\displaystyle \frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{-(x + 1)}{x^2 + x + 1}

 

 

Multiplicación de fracciones algebraicas

 

 

1 \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

2 \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

 

Multiplica las fracciones algebraicas:

 

1 \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores

 

\displaystyle \frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} = \frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)}

 

Vamos a descomponer en factores para poder simplificar

 

En el primer factor del numerador sacamos factor común [latex][/latex] y el segundo factor que es un trinomio cuadrado perfecto lo transformamos en un binomio al cuadrado, así

 

\displaystyle x^2 - 2x = x(x - 2)

 

y

 

\displaystyle x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2

 

El trinomio del denominador lo factorizamos utilizando la fórmula general

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 7

 

Así

 

\displaystyle x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

Por último, también tenemos una diferencia de cuadrados en el denominador, en donde

 

\displaystyle x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

 

Sustituyendo todo lo anterior en nuestra multiplicación tenemos

 

\displaystyle \frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)} = \frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)} = \frac{x(x+2)}{(x-2)(x-3)}

 

2 \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

Multiplicando los denominadores y los numeradores obtenemos

 

\displaystyle \frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} \cdot \frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x} = \frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)}

 

El primer trinomio del numerador es un trinomio cuadrado perfecto que es igual a un binomio al cuadrado.

El segundo trinomio lo factorizamos utilizando la fórmula general.

El primer binomio del denominador es una diferencia de cuadrados que se factoriza como una suma por diferencia.

En el segundo binomio sacamos factor común x. Al final, nuestra multiplicación quedaría como

 

\displaystyle \frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)} = \frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)} = \frac{(3 - x)(x - 2)}{3x(3 + x)}

 

 

División de fracciones algebraicas

 

 

1 \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

2 \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

 

 

Divide las fracciones algebraicas:

 

1 \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

La división de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

 

\displaystyle \frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : \frac{x^2 - 4}{x^3 + 8} = \frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)}

 

El segundo binomio es una suma al cubo: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

 

El trinomio del denominador es un trinomio cuadrado perfecto y el binomio es una diferencia de cuadrados que factoriza como una suma por diferencia.

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)} = \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 -2x + 4}{(x + 2)(x - 2)}

 

o bien

 

\displaystyle \frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = \frac{x^2 -2x + 4}{x^2 - 4}

 

2 \frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

Haciendo la división tenemos

 

\displaystyle\frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : \frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x} = \frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)}

 

El primer factor se descompone mediante el teorema del resto y la división por Ruffini.

En el segundo factor extraemos factor común x, nos queda un trinomio cuadrado perfecto que lo expresamos como un binomio al cuadrado.

El primer factor del denominador es un trinomio de segundo grado que se factoriza utilizando la fórmula general.

En el segundo factor sacamos factor común 2x. Así, nuestra expresión original quedaría como

 

\displaystyle \frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)} = \frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)}

 

simplificando un poco

 

\displaystyle \frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)} = \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)}

 

Multiplicamos por -1 el numerador y denominador, obteniendo una fracción equivalente.

 

\displaystyle \frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)} = \frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)}

 

Simplificamos

 

\displaystyle \frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)} = -\frac{(x + 2)(x - 1)}{2}

 

 

Producto de fracciones algebraicas mixtas

 

Resuelve:

 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

 

Resuelve: 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

Tenemos una suma por diferencia que la expresamos como una diferencia de cuadrados, por lo tanto

 

     \begin{align*} \left(x + \frac{x}{x - 1} \right) \left( x - \frac{x}{x - 1}\right) &= x^2 - \left( \frac{x}{(x - 1)^2}\right)^2\\ &= x^2 - \frac{x^2}{(x - 1)^2} \end{align*}

 

Ponemos a común denominador

 

     \begin{align*} x^2 - \frac{x^2}{(x - 1)^2} &= \frac{x^2(x - 1)^2}{(x - 1)^2} - \frac{x^2}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} \end{align*}

 

Sacamos factor común x^2 y operamos

 

     \begin{align*} \frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} &= \frac{x^2[(x-1)^2 - 1]}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 1 - 1)(x -1 + 1)}{(x - 1)^2}\\ &= \frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2}\\ \end{align*}

 

Multiplicamos

 

\displaystyle \frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2} = \frac{x^3(x - 2)}{(x - 1)^2}

 

 

Razón de 2 fracciones algebraicas

 

Efectúa:

 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

 

Efectúa: 

\left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right)

 

Ponemos a común denominador

 

     \begin{align*} \left(x + \frac{x}{x - 1} \right) : \left( x - \frac{x}{x - 1}\right) &= \frac{x(x - 1) + x}{x - 1} : \frac{x(x - 1) - x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2 - x + x}{x - 1} : \frac{x^2 - x - x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2}{x - 1} : \frac{x^2 - 2x}{x - 1} \\ &= \frac{x^2}{x - 1} : \frac{x(x - 2)}{x - 1} \\ \end{align*}

 

La división de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

 

\frac{x^2}{x - 1} : \frac{x(x - 2)}{x - 1} = \frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)}

 

Simplificamos

 

\frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)} = \frac{x}{x-2}

 

 

Ejercicio de fracciones algebraicas

 

Realiza:

 

 \displaystyle \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}

 

 

Realiza: 

 \displaystyle \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}}

 

En primer lugar sumamos \displaystyle 1 + \frac{1}{x} y al resultado le hacemos el inverso, luego volvemos a sumar y así sucesivamente hasta encontrar nuestro resultado.

 

     \begin{align*} \frac{x}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{x}}} &= \frac{x}{1 + \frac{1}{\frac{x + 1}{x}}}\\ &= \frac{x}{1 + \frac{x}{x + 1}}\\ &= \frac{x}{\frac{x + 1 + x}{x + 1}}\\ &= \frac{x}{\frac{2x + 1}{x + 1}}\\ &= \frac{x(x + 1)}{2x + 1} \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗