En estos ejercicios abarcaremos los temas:

 

    • Simplificación de fracciones algebraicas

 

    • Sumas de fracciones algebraicas

 

    • Resta de fracciones algebraicas

 

    • Multiplicación de fracciones algebraicas

 

    • División de fracciones algebraicas

 

  • Operaciones con fracciones algebraicas

 

Simplifica las siguientes fracciones algebraicas

 

 

1 displaystyle frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

 

2 displaystyle frac{x^2 - 3x}{3 - x}

 

3 displaystyle frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

4 displaystyle frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

5 displaystyle frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

6 displaystyle frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

 

Simplificar las fracciones algebraicas:

1 displaystyle frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}

Extraemos factor común x en la expresión del numerador y del denominador, así, tenemos

 

displaystyle frac{x^2 - 3x}{x^2 + 3x}= frac{x(x - 3)}{x(x+3)}

 

Ahora, "cancelamos dicho factor común, así, nuestra simplificación queda como

 

displaystyle frac{x(x - 3)}{x(x+3)} = frac{x - 3}{x+3}

 

2 displaystyle frac{x^2 - 3x}{3 - x}

Extraemos factor común x en el numerador

 

displaystyle frac{x^2 - 3x}{3 - x} = frac{x(x - 3)}{3 - x}

 

Multiplicamos numerador y denominador por -1, por lo que obtendremos una fracción equivalente

 

displaystyle frac{x(x - 3)}{3 - x} = frac{-x(x-3)}{-(3 - x)}

 

Distribuyendo el signo en el denominador tenemos

 

displaystyle frac{-x(x-3)}{-(3 - x)} = frac{-x(x-3)}{-3 + x} = frac{-x(x-3)}{x - 3}

 

Cancelando el factor común en el denominador y el numerador obtenemos

 

displaystyle frac{-x(x-3)}{x - 3} = -x

 

3displaystyle frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}

 

Aplicamos el teorema del resto:

 

P(1) = 1^2 + 1 -2 = 0

Q(1) = 1^3 - 1^2 - 1 + 1 = 0

 

Dividimos por Ruffini tanto la expresión de numerador como la del denominador

 

División de Ruffini.

 

División de Ruffini. 2

 

Tenemos una división exacta, así D = d cdot c y por lo tanto

 

displaystyle frac{x^2 + x -2}{x^3 -x^2 -x + 1}= frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)}

 

Simplificamos cancelando el factor común del numerador y del denominador

 

displaystyle frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = frac{x + 2}{x^2 - 1}

 

Notemos que el denominador x^2 - 1 = (x-1)(x+1), sin embargo, ninguno de estos factores está en el numerador, así que no se puede cancelar o simplificar más en ese sentido, pero sí podemos escribir la expresión como

 

displaystyle frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x^2 - 1)} = frac{x + 2}{(x - 1)(x + 1)}

 

cualquiera de las dos expresiones de la igualdad son correctas y válidas.

 

4displaystyle frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12}

 

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces del polinomio del numerador y del polinomio del denominador, esto nos ayudará a poder expresar dichos polinomios como multiplicación de binomios definidos por sus raíces

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 2

 

Factorizamos: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

displaystyle frac{x^2 -5x + 6}{x^2 - 7x + 12} = frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x-4)} = frac{x - 2}{x - 4}

 

5displaystyle frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2}

 

Utilizando la fórmula cuadrática obtenemos las raíces del polinomio del numerador y del polinomio del denominador, esto nos ayudará a poder expresar dichos polinomios como multiplicación de binomios definidos por sus raíces

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 3

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 4

 

Factorizamos: ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)

 

displaystyle frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2} = frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x + 1)} = frac{x - 3}{ x - 2}

 

6displaystyle frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x}

 

En el numerador utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras

 

Los divisores de 30 son: {pm 1, pm 2, pm 3, pm 6, pm 10, pm 15, pm 30}

 

P(-2) = (-2)^3 - 19(-2) - 30 = 0

 

Dividimos por Ruffini

 

División de Ruffini. 3

 

El numerador cumple que

 

displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x^2 - 2x - 15)

 

El trinomio lo podemos seguir factorizando del mismo modo o utilizando la fórmula cuadrática

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 5

 

displaystyle x^3 - 19x -30 = (x + 2)(x + 3)(x - 5)

 

En el denominador sacamos factor común x

 

displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x^2 - 3x - 10)

 

Para factorizar el trinomio utilizamos la fórmula general

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 6

 

displaystyle x^3 - 3x^2 - 10x = x(x + 2)(x - 5)

 

Así, nuestra expresión inicial puede ser escrita como

 

displaystyle frac{x^3 - 19x -30}{x^3 - 3x^2 - 10x} = frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{(x + 2)(x + 3)(x - 5)}{x(x + 2)(x - 5)} = frac{x + 3}{x}

 

 

Resta de fracciones algebraicas

 

displaystyle frac{x + 2}{x^3 - 1} - frac{1}{x - 1}

 

 

Resta las fracciones algebraicas:

displaystyle frac{x + 2}{x^3 - 1} - frac{1}{x - 1}

 

Tenemos que poner a común denominador, para ello tenemos que hallar el m.c.m. de los denominadores. Notemos que

 

displaystyle x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Por lo tanto

 

displaystyle text{MCM}(x^3 - 1, x - 1) = (x - 1)(x^2 + x + 1)

 

Dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente y operamos

 

 begin{align*} frac{x + 2}{x^3 - 1} - frac{1}{x - 1} &= frac{x + 2}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} - frac{x^2 + x + 1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} &= frac{(x + 2) - (x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} &= frac{-x^2 + 1 }{(x - 1)(x^2 + x + 1)} &= frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} end{align*}

 

Además, tenemos que x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1), así, obtenemos

 

displaystyle frac{-(x^2 - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{-(x- 1)(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = frac{-(x + 1)}{x^2 + x + 1}

 

 

Multiplicación de fracciones algebraicas

 

 

1 frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} cdot frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

2 frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} cdot frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

 

Multiplica las fracciones algebraicas:

 

1 frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} cdot frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4}

 

El producto de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica donde el numerador es el producto de los numeradores y el denominador es el producto de los denominadores

 

displaystyle frac{x^2 - 2x}{x^2 - 5x + 6} cdot frac{x^2 + 4x + 4}{x^2 - 4} = frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)}

 

Vamos a descomponer en factores para poder simplificar

 

En el primer factor del numerador sacamos factor común [latex][/latex] y el segundo factor que es un trinomio cuadrado perfecto lo transformamos en un binomio al cuadrado, así

 

displaystyle x^2 - 2x = x(x - 2)

 

y

 

displaystyle x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2

 

El trinomio del denominador lo factorizamos utilizando la fórmula general

 

Formula general para resolver ecuaciones de segundo grado. 7

 

Así

 

displaystyle x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

 

Por último, también tenemos una diferencia de cuadrados en el denominador, en donde

 

displaystyle x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

 

Sustituyendo todo lo anterior en nuestra multiplicación tenemos

 

displaystyle frac{(x^2 - 2x)(x^2 + 4x + 4)}{(x^2 - 5x + 6)(x^2 - 4)} = frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{x(x-2)(x+2)^2}{(x-2)(x-3)(x-2)(x+2)} = frac{x(x+2)}{(x-2)(x-3)}

 

2 frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} cdot frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x}

 

Multiplicando los denominadores y los numeradores obtenemos

 

displaystyle frac{9 - 6x + x^2}{9 - x^2} cdot frac{x^2 - 5x + 6}{3x^2 - 9x} = frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)}

 

El primer trinomio del numerador es un trinomio cuadrado perfecto que es igual a un binomio al cuadrado.

El segundo trinomio lo factorizamos utilizando la fórmula general.

El primer binomio del denominador es una diferencia de cuadrados que se factoriza como una suma por diferencia.

En el segundo binomio sacamos factor común x. Al final, nuestra multiplicación quedaría como

 

displaystyle frac{(9 - 6x + x^2)(x^2 - 5x + 6)}{(9 - x^2)(3x^2 - 9x)} = frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{(3 - x)^2(x - 3)(x - 2)}{3x(x - 3)(3 + x)(3 - x)} = frac{(3 - x)(x - 2)}{3x(3 + x)}

 

 

División de fracciones algebraicas

 

 

1 frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

2 frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

 

 

Divide las fracciones algebraicas:

 

1 frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : frac{x^2 - 4}{x^3 + 8}

 

La división de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

 

displaystyle frac{x + 2}{x^2 + 4x + 4} : frac{x^2 - 4}{x^3 + 8} = frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)}

 

El segundo binomio es una suma al cubo: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

 

El trinomio del denominador es un trinomio cuadrado perfecto y el binomio es una diferencia de cuadrados que factoriza como una suma por diferencia.

 

displaystyle frac{(x + 2)(x^3 + 8)}{(x^2 + 4x + 4)(x^2 - 4)} = frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = frac{x^2 -2x + 4}{(x + 2)(x - 2)}

 

o bien

 

displaystyle frac{(x + 2)(x + 2)(x^2 -2x + 4)}{(x+2)^2(x + 2)(x - 2)} = frac{x^2 -2x + 4}{x^2 - 4}

 

2 frac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x}

Haciendo la división tenemos

 

displaystylefrac{x^3 + 3x^2 - 4x - 12}{x^2 + 2x - 3} : frac{4x - 2x^2}{x^3 - 2x^2 + x} = frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)}

 

El primer factor se descompone mediante el teorema del resto y la división por Ruffini.

En el segundo factor extraemos factor común x, nos queda un trinomio cuadrado perfecto que lo expresamos como un binomio al cuadrado.

El primer factor del denominador es un trinomio de segundo grado que se factoriza utilizando la fórmula general.

En el segundo factor sacamos factor común 2x. Así, nuestra expresión original quedaría como

 

displaystyle frac{(x^3 + 3x^2 - 4x - 12)(x^3 - 2x^2 + x)}{(x^2 + 2x - 3)(4x - 2x^2)} = frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)}

 

simplificando un poco

 

displaystyle frac{(x - 2)(x + 2) (x + 3) x (x - 1)^2}{(x + 3)(x - 1)2x(2 - x)} = frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)}

 

Multiplicamos por -1 el numerador y denominador, obteniendo una fracción equivalente.

 

displaystyle frac{(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(2 - x)} = frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)}

 

Simplificamos

 

displaystyle frac{-(x - 2)(x + 2)(x - 1)}{2(x - 2)} = -frac{(x + 2)(x - 1)}{2}

 

 

Producto de fracciones algebraicas mixtas

 

Resuelve:

 

left(x + frac{x}{x - 1} right) left( x - frac{x}{x - 1}right)

 

 

Resuelve:

left(x + frac{x}{x - 1} right) left( x - frac{x}{x - 1}right)

 

Tenemos una suma por diferencia que la expresamos como una diferencia de cuadrados, por lo tanto

 

 begin{align*} left(x + frac{x}{x - 1} right) left( x - frac{x}{x - 1}right) &= x^2 - left( frac{x}{(x - 1)^2}right)^2 &= x^2 - frac{x^2}{(x - 1)^2} end{align*}

 

Ponemos a común denominador

 

 begin{align*} x^2 - frac{x^2}{(x - 1)^2} &= frac{x^2(x - 1)^2}{(x - 1)^2} - frac{x^2}{(x - 1)^2} &= frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} end{align*}

 

Sacamos factor común x^2 y operamos

 

 begin{align*} frac{x^2(x - 1)^2 - x^2}{(x - 1)^2} &= frac{x^2[(x-1)^2 - 1]}{(x - 1)^2} &= frac{x^2(x - 1 - 1)(x -1 + 1)}{(x - 1)^2} &= frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2} end{align*}

 

Multiplicamos

 

displaystyle frac{x^2(x - 2)x}{(x - 1)^2} = frac{x^3(x - 2)}{(x - 1)^2}

 

 

Razón de 2 fracciones algebraicas

 

Efectúa:

 

left(x + frac{x}{x - 1} right) : left( x - frac{x}{x - 1}right)

 

 

Efectúa:

left(x + frac{x}{x - 1} right) : left( x - frac{x}{x - 1}right)

 

Ponemos a común denominador

 

 begin{align*} left(x + frac{x}{x - 1} right) : left( x - frac{x}{x - 1}right) &= frac{x(x - 1) + x}{x - 1} : frac{x(x - 1) - x}{x - 1}  &= frac{x^2 - x + x}{x - 1} : frac{x^2 - x - x}{x - 1}  &= frac{x^2}{x - 1} : frac{x^2 - 2x}{x - 1}  &= frac{x^2}{x - 1} : frac{x(x - 2)}{x - 1}  end{align*}

 

La división de dos fracciones algebraicas es otra fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y como denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda.

 

frac{x^2}{x - 1} : frac{x(x - 2)}{x - 1} = frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)}

 

Simplificamos

 

frac{x^2 (x - 1)}{x(x-2)(x - 1)} = frac{x}{x-2}

 

 

Ejercicio de fracciones algebraicas

 

Realiza:

 

 displaystyle frac{x}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{x}}}

 

 

Realiza:

 displaystyle frac{x}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{x}}}

 

En primer lugar sumamos displaystyle 1 + frac{1}{x} y al resultado le hacemos el inverso, luego volvemos a sumar y así sucesivamente hasta encontrar nuestro resultado.

 

 begin{align*} frac{x}{1 + frac{1}{1 + frac{1}{x}}} &= frac{x}{1 + frac{1}{frac{x + 1}{x}}} &= frac{x}{1 + frac{x}{x + 1}} &= frac{x}{frac{x + 1 + x}{x + 1}} &= frac{x}{frac{2x + 1}{x + 1}} &= frac{x(x + 1)}{2x + 1} end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗