Realizar las siguientes igualdades notables:

 

Binomio al cuadrado

 

1 (3x^5 - 2y^3)^2

1 Se trata de un binomio al cuadrado

 

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

 

2 Identificamos los elementos

 

a = 3x^5, \ \ b = 2y^3

 

3 Sustituimos en la fórmula del binomio al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^2 & = & (3x^5)^2 - 2(3x^5)(2y^3) + (2y^3)^2 \end{array}

 

4 Resolvemos cada uno de los términos

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^2 & = & (3x^5)^2 - 2(3x^5)(2y^3) + (2y^3)^2 \\\\ & = & 9x^{10} -12x^5y^3 + 4y^6 \end{array}

 

Trinomio al cuadrado

 

2 (3x^2 - 2x + 5)^2

1 Se trata de un trinomio al cuadrado, para realizarlo agrupamos en dos

 

\left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2

 

2 Aplicamos la fórmula de binomio al cuadrado

 

(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2

 

3 Identificamos los elementos

 

a = 3x^2 - 2x, \ \ b = 5

 

4 Sustituimos en la fórmula del binomio al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} \left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2 & = & (3x^2 - 2x)^2 + 2(3x^2 - 2x)(5) + (5)^2 \end{array}

 

5 Resolvemos el primer término, el cual es un binomio al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (3x^2 - 2x)^2 & = & (3x^2)^2 - 2(3x^2)(2x) + (2x)^2 \\\\ & = & 9x^4 -12x^3 + 4x^2 \end{array}

 

6 Sustituimos el resultado anterior y simplificamos

 

\begin{array}{rcl} \left[ (3x^2 - 2x) + 5\right]^2 & = & (3x^2 - 2x)^2 + 2(3x^2 - 2x)(5) + (5)^2 \\\\ & = & (9x^4 -12x^3 + 4x^2) + (30x^2 - 20x) + 25 \\\\ & = & 9x^4 -12x^3 + 4x^2 + 30x^2 - 20x + 25 \\\\ & = & 9x^4 - 12x^3 + 34x^2 - 20x + 25 \end{array}

 

Polinomio al cuadrado

 

3 (x^3 - 2x^2 - x + 5)^2

1 Se trata de un trinomio al cuadrado, para realizarlo agrupamos en dos

 

\left[ (x^3 - 2x^2) - (x - 5)\right]^2

 

2 Aplicamos la fórmula de binomio al cuadrado

 

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

 

3 Identificamos los elementos

 

a = x^3 - 2x^2, \ \ b = x - 5

 

4 Sustituimos en la fórmula del binomio al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} \left[ (x^3 - 2x^2) - (x - 5)\right]^2 & = & (x^3 - 2x^2)^2 - 2(x^3 - 2x^2)(x - 5) + (x - 5)^2 \end{array}

 

5 Resolvemos el primer y tercer término, los cuales son binomios al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (x^3 - 2x^2)^2 & = & (x^3)^2 - 2(x^3)(2x^2) + (2x^2)^2 \\\\ & = & x^6 - 4x^5 + 4x^4 \end{array}

 

\begin{array}{rcl} (x - 5)^2 & = & (x)^2 - 2(x)(5) + (5)^2 \\\\ & = & x^2 - 10x + 25 \end{array}

 

6 Resolvemos el segundo término

 

\begin{array}{rcl} 2(x^3 - 2x^2)(x - 5) & = & 2(x^3)(x) - 2(x^3)(5) - 2(2x^2)(x) + 2(2x^2)(5) \\\\ & = & 2x^4 - 10x^3 - 4x^3 + 20x^2 \\\\ & = & 2x^4 - 14x^3 + 20x^2 \end{array}

 

7 Sustituimos los resultados anteriores y simplificamos

 

\begin{array}{rcl} \left( x^3 - 2x^2 - x + 5 \right)^2 & = & (x^3 - 2x^2)^2 - 2(x^3 - 2x^2)(x - 5) + (x - 5)^2 \\\\ & = & (x^6 - 4x^5 + 4x^4) - (2x^4 - 14x^3 + 20x^2) + (x^2 - 10x + 25) \\\\ & = & x^6 - 4x^5 + 4x^4 - 2x^4 + 14x^3 - 20x^2 + x^2 - 10x + 25 \\\\ & = & x^6 - 4x^5 + 2x^4 + 14x^3 - 19x^2 - 10x + 25 \end{array}

 

Suma por diferencias

 

4 (3x^5 - 2y^3)(3x^5 + 2y^3)

1 Se trata de una suma de diferencias que es igual a una diferencia de cuadrados

 

(a - b)(a + b) = a^2 - b^2

 

2 Identificamos los elementos

 

a = 3x^5, \ \ b = 2y^3

 

3 Sustituimos en la fórmula de suma por diferencias

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3) (3x^5 + 2y^3) & = & (3x^5)^2 - (2y^3)^2 \end{array}

 

4 Resolvemos cada uno de los términos

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3) (3x^5 + 2y^3) & = & (3x^5)^2 - (2y^3)^2 \\\\ & = & 9x^{10} - 4y^6 \end{array}

 

5 (3x^2 - 2x + 5) (3x^2 + 2x - 5)

1 Se trata de una suma por diferencias, para realizarlo agrupamos en dos

 

\left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right]

 

2 Aplicamos la fórmula de suma por diferencias

 

(a - b) (a - b) = a^2 - b^2

 

3 Identificamos los elementos

 

a = 3x^2, \ \ b = 2x - 5

 

4 Sustituimos en la fórmula de suma por diferencias

 

\begin{array}{rcl} \left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right] & = & (3x^2)^2 - (2x - 5)^2 \end{array}

 

5 Resolvemos el segundo término, el cual es un binomio al cuadrado

 

\begin{array}{rcl} (2x - 5)^2 & = & (2x)^2 - 2(2x)(5) + (5)^2 \\\\ & = & 4x^2 - 20x + 25 \end{array}

 

6 Sustituimos el resultado anterior y simplificamos

 

\begin{array}{rcl} \left[ 3x^2 - (2x - 5)\right] \left[ 3x^2 + (2x - 5)\right] & = & (3x^2)^2 - (2x - 5)^2 \\\\ & = & (9x^4) - (4x^2 - 20x + 25) \\\\ & = & 9x^4 - 4x^2 + 20x - 25 \end{array}

 

Binomio al cubo

 

6 (3x^5 - 2y^3)^3

1 Se trata de un binomio al cubo

 

(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

 

2 Identificamos los elementos

 

a = 3x^5, \ \ b = 2y^3

 

3 Sustituimos en la fórmula del binomio al cubo

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^3 & = & (3x^5)^3 - 3(3x^5)^2(2y^3) + 3(3x^5)(2y^3)^2 - (2y^3)^3 \end{array}

 

4 Resolvemos cada uno de los términos

 

\begin{array}{rcl} (3x^5 - 2y^3)^3 & = & (3x^5)^3 - 3(3x^5)^2(2y^3) + 3(3x^5)(2y^3)^2 - (2y^3)^3 \\\\ & = & 27x^{15} - 54x^{10}y^3 + 36x^5y^6 - 8y^9 \end{array}

 

Suma y diferencia de cubos

 

7 x^6 + 8y^3

1 Se trata de una suma de cubos

 

 a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)

 

2 Identificamos los elementos

 

a^3 = x^6, \ \ b^3 = 8y^3,

 

luego a = x^2, \ \ b = 2y

 

3 Sustituimos en la fórmula de suma de cubos

 

\begin{array}{rcl} x^6 + 8y^3 & = & (x^2 + 2y)\left [(x^2)^2 - (x^2)(2y) + (2y)^2 \right ] \end{array}

 

4 Desarrollamos los términos que lo requieran

 

\begin{array}{rcl} x^6 + 8y^3 & = & (x^2 + 2y)\left[(x^2)^2 - (x^2)(2y) + (2y)^2 \right] \\\\ & = & (x^2 + 2y)(x^4 - 2x^2 y + 4y^2) \end{array}

 

8 \cfrac{27}{8} \; x^9 - y^6

1 Se trata de una diferencia de cubos

 

 a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

 

2 Identificamos los elementos

 

a^3 = \cfrac{27}{8} \; x^9, \ \ b^3 = y^6,

 

luego a = \cfrac{3}{2} \; x^3, \ \ b = y^2

 

3 Sustituimos en la fórmula de diferencia de cubos

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{27}{8} \; x^9 - y^6 & = & \left(\cfrac{3}{2}x^3 - y^2\right)\left [\left(\cfrac{3}{2}x^3\right)^2 + \left(\cfrac{3}{2}x^3\right)(y^2) + (y^2)^2 \right ] \end{array}

 

4 Desarrollamos los términos que lo requieran

 

\begin{array}{rcl} \cfrac{27}{8} \; x^9 - y^6 & = & \left(\cfrac{3}{2}x^3 - y^2\right)\left [\left(\cfrac{3}{2}x^3\right)^2 + \left(\cfrac{3}{2}x^3\right)(y^2) + (y^2)^2 \right ] \\\\ & = & \left(\cfrac{3}{2}x^3 - y^2\right)\left (\cfrac{9}{4}x^6 + \cfrac{3}{2}x^3 y^2 + y^4 \right ) \end{array}

 

Producto de dos binomios que tienen un término en común

 

9 (x^6 + 8)(x^6 + 1)

1 Se trata de un producto de dos binomios con un término en común

 

 (a + b)(a + c) = a^2 + (b + c) \cdot a + b \cdot c

 

2 Identificamos los elementos

 

a = x^6, \ \ b = 8, \ \ c = 1,

 

3 Sustituimos en la fórmula de producto de dos binomios con un término en común

 

\begin{array}{rcl} (x^6 + 8)(x^6 + 1) & = & (x^6)^2 + (8 + 1)(x^6) + 8 \cdot 1 \end{array}

 

4 Desarrollamos los términos que lo requieran

 

\begin{array}{rcl} (x^6 + 8)(x^6 + 1) & = & (x^6)^2 + (8 + 1)(x^6) + 8 \cdot 1 \\\\ & = & x^{12} + 9x^6 + 8 \end{array}

 

10 (2x^2 + y)(2x^2 - 3y)

1 Se trata de un producto de dos binomios con un término en común

 

 (a + b)(a + c) = a^2 + (b + c) \cdot a + b \cdot c

 

2 Identificamos los elementos

 

a = 2x^2, \ \ b = y, \ \ c = -3y,

 

3 Sustituimos en la fórmula de producto de dos binomios con un término en común

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 + y)(2x^2 - 3y) & = & (2x^2)^2 + (y - 3y)(2x^2) + y \cdot (-3y) \end{array}

 

4 Desarrollamos los términos que lo requieran

 

\begin{array}{rcl} (2x^2 + y)(2x^2 - 3y) & = & (2x^2)^2 + (y - 3y)(2x^2) + y \cdot (-3y) \\\\ & = & 4x^{4} - 4x^2 y - 3y^2 \end{array}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗