Elige la opción correcta:

1Las raíces del polinomio 2x^3 - 4x^2 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

2x^3 - 4x^2 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

2x^3 - 4x^2 = 2x^2(x - 2)

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

2x^2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 0
x - 2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2

 

Así, las raíces son 0 y 2

2Las raíces del polinomio x^2 - 3x - 4x + 12 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^2 - 3x - 4x + 12 = 0

 

2 Simplificamos el polinomio

 

x^2 - 3x - 4x + 12 = x^2 - 7x + 12

 

3 Factorizamos el polinomio

 

x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4)

 

4 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

x - 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3
x - 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 4

 

Así, las raíces son 3 y 4

3El polinomio x^2 - 36 se factoriza como...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^2 - 36 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

x - 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 6
x + 6 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -6

 

Así, las raíces son 6 y -6

4Las raíces del polinomio 16x^4 - 256 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

16x^4 - 256 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

16x^4 - 256 = (4x^2 - 16)(4x^2 + 16)

 

El segundo factor no puede factorizarse en los reales y no posee raíces, pero el primer factor si se puede factorizar

 

(4x^2 - 16)(4x^2 + 16) = (2x - 4)(2x + 4)(4x^2 + 16)

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos. Recuerda que el factor 4x^2 + 16 no posee raíces reales

 

2x - 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2
2x + 4 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -2

 

Así, las raíces son 2 y -2

5Las raíces de x^4 - 18x^2 + 81 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^4 - 18x^2 + 81 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

x^4 - 18x^2 + 81 = (x^2 - 9)^2

 

El interior del paréntesis puede ser factorizado

 

x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

 

Así la factorización queda

 

\begin{array}{rcl} x^4 - 18x^2 + 81 & = & [(x - 3)(x + 3)]^2 \\\\ & = & (x - 3)^2 (x + 3)^2 \end{array}

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos. Recuerda que al tener los factores lineales potencia dos, las raíces serán dobles

 

x - 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3
x + 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -3

 

Así, las raíces son 3 y -3 y ambas son raíces dobles.

69x^2 + 72x + 144 tiene como raiz...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

9x^2 + 72x + 144 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

9x^2 + 72x + 144 = (3x + 12)^2

 

3 Para obtener las raíces igualamos el factor a cero

 

3x + 12 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -4

 

Así, la raiz es -4 es una raiz doble.

7 Las raíces del polinomio x^2 - 5x - 176 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^2 - 5x - 176 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

x^2 - 5x - 176 = (x - 16)(x + 11)

 

3 Para obtener las raíces igualamos los factores a cero

 

x - 16 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 16
x + 11 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -11

 

Así, las raices son 16 y -11

8Las raíces del polinomio x^4 - 10x^2 + 9 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^4 - 10x^2 + 9 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

x^4 - 10x^2 + 9 = (x^2 - 1)(x^2 - 9)

 

El interior de cada paréntesis puede ser factorizado

 

x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)

 

Así la factorización queda

 

\begin{array}{rcl} x^4 - 10x^2 + 81 & = & (x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) \end{array}

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

x - 1 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 1
x + 1 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -1
x - 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3
x + 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -3

 

Así, las raíces son -1, 1, -3 y 3

9Las raíces del polinomio x^3 - 3x^2 - 4x + 12 son...

1 Para encontrar las raíces de polinomio tenemos que resolver

 

x^3 - 3x^2 - 4x + 12 = 0

 

2 Factorizamos el polinomio

 

\begin{array}{rcl} x^3 - 3x^2 - 4x + 12 & = & (x^3 - 3x^2) - (4x - 12) \\\\ & = & x^2(x - 3) - 4(x - 3) \\\\ & = & (x^2 - 4)(x - 3) \end{array}

 

El interior del primer paréntesis puede ser factorizado

 

x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)

 

Así la factorización queda

 

\begin{array}{rcl} x^3 - 3x^2 - 4x + 12 & = & (x - 2)(x + 2)(x - 3) \end{array}

 

3 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

x - 2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 2
x + 2 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -2
x - 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = 3

 

Así, las raíces son -2, 2 y 3

10Las raíces del polinomio 16x^3 - 4x^2 - 32x + 15 son...

1 Los divisores de 15 son ±1, ±3, ±5, ±15

 

Evaluando el polinomio en estos números comprobamos que ninguno de ellos es raíz del mismo, por lo que el polinomio no tiene raíces enteras.

 

Entonces las posibles raíces racionales serán los divisores del término independiente (Divisores de 15: ±1, ±3, ±5, ±15) entre los del término de mayor grado (Divisores de 16: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16)

 

Así algunas de las posibles raíces racionales serían: 1, −1, 1/2, −1/2, 1/4, −1/4,...

 

2 Evaluando el polinomio en dichos números podemos obtener sus raíces racionales y factorizarlo. Observa los siguientes pasos:

 

P \left ( \cfrac{1}{2} \right ) = 16\left ( \cfrac{1}{2} \right )^3 - 4\left ( \cfrac{1}{2} \right )^2 - 32\left ( \cfrac{1}{2} \right ) + 15 = 0

 

por lo que x = \cfrac{1}{2} es raiz

 

3Aplicamos el teorema de Fubinni

 

\begin{tabular}{ccccc} & 16 & -4 & -32 & 15 \\\\ 1/2 & & 8 & 2 & -15 \\ \hline & 16 & 4 & -30 & 0 \end{tabular}

 

Así, el polinomio se factoriza como

 

16x^3 - 4x^2 - 32x + 15 = \left(x - \cfrac{1}{2} \right )(16x^2 + 4x - 30)

 

Factorizamos el segundo factor

 

\begin{array}{rcl} 16x^2 + 4x - 30 & = & 2(8x^2 + 2x - 15) \\\\ & = & 2(4x - 5)(2x + 3) \end{array}

 

luego el polinomio factorizado queda

 

16x^3 - 4x^2 - 32x + 15 = 2 \left(x - \cfrac{1}{2} \right )(4x - 5)(2x + 3)

 

4 Para obtener las raíces igualamos cada factor a cero y despejamos

 

x - \cfrac{1}{2} = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \cfrac{1}{2}
4x - 5 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = \cfrac{5}{4}
2x + 3 = 0 \ \ \ \Longrightarrow \ \ \ x = -\cfrac{3}{2}

 

Así, las raíces son -\cfrac{3}{2}, \cfrac{1}{2}, \cfrac{5}{4}

Si tienes dudas puedes consultar la teoría

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗