1 Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

a {2a^2bc3 - 5a^2bc^3 + 3a^2bc^3 + 3a^2bc^3 - 2a^2bc^3}
b {(18x^6y^2z^5):(6x^3yz^2)}

c {(-2x^3)(-5x)(-3x^2)}

d {(36x^3y^7z^4) : (12x^2y^2)}

e {\cfrac{24x^5y^4 + 18x^4y^5 - 48x^{10}y^3}{6x^2y^3}}

aSuma de términos semejantes, es decir, misma base y así solo sumamos o restamos los coeficientes

{2a^2bc3 - 5a^2bc^3 + 3a^2bc^3 + 3a^2bc^3 - 2a^2bc^3 = -2a^2bc^3}
b División de monomios, recuerda que la ley de los exponentes es {\cfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}},

{(18x^6y^2z^5):(6x^3yz^2) = 3x^3yz^3}
c Multiplicación de monomios, la ley de los exponentes nos dice {a^n\cdot a^m = a^{n+m}}

{(-2x^3)(-5x)(-3x^2) = -30x^6}
d División de monomios, aplicamos la ley de los exponentes {\cfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}},

{(36x^3y^7z^4) : (12x^2y^2) = 3xy^5z^4}
e En la siguiente división de polinomio entre monomio, separamos la suma y luego aplicamos la ley de los exponentes {\cfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}},

{\cfrac{24x^5y^4 + 18x^4y^5 - 48x^{10}y^3}{6x^2y^3} = \cfrac{24x^5y^4}{6x^2y^3} + \cfrac{18x^4y^5}{6x^2y^3} - \cfrac{48x^{10}y^3}{6x^2y^3}}
{ = 4x^3y+3x^2y^2-8x^8}

2 Dados los polinomios:

{P(x) = x^4 - 2x^2 - 6x - 1}

{Q(x) = x^3 - 6x^2 + 4}

{R(x) = 2x^4 - 2x - 2}

Calcular:

a {P(x) + Q(x) - R(x) = }
b {P(x) + 2 Q(x) - R(x) = }
c {Q(x) + R(x) - P(x) =}

Las operaciones aritméticas usuales, se siguen valiendo para las funciones, es decir, las sumas, restas y multiplicaciones por un escalar.

Comenzamos por sustituir el valor de cada función y efectuar las operaciones correspondientes.

 

a{P(x) + Q(x) - R(x) = }

{= (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + (x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2)}

{= x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + x^3 - 6x^2 + 4 - 2x^4 + 2x + 2}

{= x^4 - 2x^4 + x^3 - 2x^2 - 6x^2 - 6x + 2x - 1 + 4 + 2}

{= - x^4 + x^3 - 8x^2 - 4x + 5}

 

b{P(x) + 2 Q(x) - R(x) = }

{= (x^4 - 2x^2 - 6x - 1) + 2(x^3 - 6x^2 + 4) - (2x^4 - 2x - 2)}

{= x^4 - 2x^2 - 6x - 1 + 2x^3 - 12x^2 + 8 - 2x^4 + 2x + 2}

{= x^4 - 2x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 12x^2 - 6x + 2x - 1 + 8 + 2}

{= - x^4 + 2x^3 - 14x^2 - 4x + 9}

 

c{Q(x) + R(x) - P(x) =}

{= (x^3 - 6x^2 + 4) + (2x^4 - 2x - 2) - (x^4 - 2x^2 - 6x - 1)}

{= x^3 - 6x^2 + 4 + 2x^4 - 2x - 2 - x^4 + 2x^2 + 6x + 1 }

{= 2x^4 - x^4 + x^3- 6x^2 + 2x^2 - 2x + 6x + 4 - 2 + 1 }

{= x^4 + x^3 - 4x^2 + 4x + 3}

 

3 Calcula el valor de a, para que sea cierta la igualdad:

{(ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) = x^3 - 11x + 5}

Para encontrar el valor de a, tenemos que realizar las operaciones correspondientes y finalmente despejar a. 

{(ax^3 - 5x + 3) + (-4x^3 - 6x + 2) = x^3 - 11x + 5}

Quitamos los paréntesis

{ax^3 - 5x + 3 -4x^3 - 6x + 2 = x^3 - 11x + 5}

Agrupamos por términos semejantes

{(a - 4)x^3 - (5 + 6)x + (3 + 2) = x^3 - 11x + 5}

Realizamos las respectivas operaciones

{(a - 4)x^3 - 11x + 5 = x^3 - 11x + 5}

Podemos observar que casi tenemos la igualdad a excepción del primer término, entonces tenemos la siguiente igualdad, de dónde despejaremos el valor de a.

{a - 4 = 1 \quad \textup{ entonces } \quad a = 5

4 Multiplicar:

{(2x^2 - 5x + 6)(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3)}

Recordemos que la multiplicación de polinomios es término a término.

{(2x^2 - 5x + 6)(3x^4 - 5x^3 - 6x^2 + 4x - 3) = }

{ = 6x^6 - 10x^5 - 12x^4 + 8x^3 - 6x^2 }

{ - 15x^5 - 25x^4 + 30x^3 - 20x^2 + 15x }

{ + 18x^4 - 30x^3 - 36x^2 + 24x - 18 }

Agrupamos por términos semejantes para finalmenre llegar a la respuesta.

{= 6x^6 - 10x^5 - 15x^5 - 12x^4 + 25x^4 + 18x^4}

{+ 8x^3 - 30x^3 + 30x^3 - 6x^2 - 20x^2 - 36x^2 + 15x + 24x − 18 =}

{ = 6x^6 − 25x^5 + 31x^4 + 8x^3 - 62x^2 + 39x - 18}

5 Divide:

a {(x^5 - 32) : (x - 2)}

b {(x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x) : (x^2 - x + 3)}

Divide:

a{(x^5 - 32) : (x - 2)}

Para esta división utilizaremos el método de ruffini, suponiendo que {x = 2} es una raíz exacta el resultado será el polinomio buscado de la división

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\ & \hspace{3.5mm}2 & 4 & 8 & 16 & 32 & \hfill2 \end{matrix}}

{\rule{40mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 0 \end{matrix}}

Entonces el polinomio resultante es

{C(x) = x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 8x + 16}

Y el residuo es 0

{R= 0}

b {(x^6 + 5x^4 + 3x^2 - 2x) : (x^2 - x + 3)}

Para este ejercicio ocuparemos la división sintética

{\begin{matrix} x^6 & & +5x^4 & & +3x^2 & -2x & \underline{|x^2-x+3}\\ -x^6 & +x^5 & -3x^4 & & & & \hspace{0.4in} x^4+x^3+3x^2-6 \end{matrix}}

{\hspace{1 cm} \rule{50mm}{0.1mm}}
{\begin{matrix} 0 & & +x^5 & +2x^4 &\\ & &-x^5 & +x^4 & -3x^3 \end{matrix}}
{\hspace{1 cm} \rule{55mm}{0.1mm}}
{\begin{matrix} 0 & & 0 & & +3x^4 & -3x^3 & +3x^2\\ & & & & -3x^4 & +3x^3 & -9x^2 \end{matrix}}
{\rule{60mm}{0.1mm}}
{\begin{matrix} 0 & & 0 & & 0 & & 0 & & -6x^2 & -2x\\ & & & & & & & & 6x^2 & \hspace{0.1in} -6x +18 \end{matrix}}
{\rule{70mm}{0.1mm}}
{0 \hspace{0.3in} 0 \hspace{0.3in} 0 \hspace{0.3in} 0 \hspace{0.3in} 0 \hspace{0.4in} -8x +18}

Entonces el polinomio resultante es

{C(x) = x^4 + x^3 + 3x^2 - 6}

Y el residuo es

{R= -6x +18}

6 Calcula:

a {(3x + 2)^2}

b {(3x + 5)(3x - 5)}

Realizamos las respectivas multiplicaciones, para el primero tenemos un binomio al cuadrado y para el segundo tenemos binomios conjugados.

a {(3x + 2)^2}

{= (3 x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 }

{= 9x^2 + 12 x + 4 }

b {(3x + 5)(3x - 5)}

{= (3x)^2 - 5^2 }

{= 9x^2 - 25 }

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗