Propiedades fundamentales de los exponentes enteros

 

1 Cualquier número a elevado elevado al exponente 1 es el mismo número a:

 

\displaystyle a^1 = a

 

2 Cualquier número a \neq 0 elevado a la potencia 0 es 1:

 

\displaystyle a^0 = 1

 

Nota: La expresión 0^0 es una forma indeterminada. Es decir, no está definida.

 

3 El resultado de elevar cualquier número a en una potencia n \in \mathbb{N} par, es positivo. Es decir,

 

\displaystyle a^n > 0

 

si n = 2m para algún m \in \mathbb{N}.

 

Nota: esto se puede recordar más fácil viendo la siguiente expresión:

 

\displaystyle (+)^{\text{par}} = + \qquad \qquad (-)^{\text{par}} = +

 

que significa que cualquier número (positivo o negativo) elevado a potencia par da como resultado un número positivo.

 

4 El resultado de elevar cualquier número a en una potencia n \in \mathbb{N} impar, tiene el mismo signo que a. Es decir,

 

\displaystyle a > 0 \quad \Longrightarrow \quad a^n > 0

 

y

 

\displaystyle a < 0 \quad \Longrightarrow \quad a^n < 0

 

si n = 2m + 1 para algún m \in \mathbb{N}.

 

Nota: esta propiedad se puede recordar con la siguiente expresión:

 

\displaystyle (+)^{\text{impar}} = + \qquad \qquad (-)^{\text{impar}} = -

 

5 Los exponentes negativos cumplen la siguiente propiedad (para a \neq 0):

 

\displaystyle a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n

 

es decir, es igual al recíproco de la base elevado a la potencia positiva.

 

Ejemplos

 

Consideremos los siguientes ejemplos:

 

1 5^1 = 5, -4^1 = 0, 0^1 = 0

 

2 5^0 = 1, -45^0 = 1

 

3 2^6 = 64 > 0 ya que 6 es un número natural par. Asimismo,

 

\displaystyle (-2)^6 = 64 > 0

 

4 2^3 = 8 > 0 ya que 2 > 0 y 3 es un número impar. Similarmente,

 

\displaystyle (-2)^3 = -8 < 0

 

ya que -2 < 0

 

5 \displaystyle 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}

 

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Exponentes racionales

 

Definimos las raíces de los números reales de la siguiente manera:

 

Definición: dado un número b \in \mathbb{R}, la raíces n-ésima de b es aquél número a tal que

 

\displaystyle a^n = b

 

y solemos escribir a = b^{1/n} o a = \sqrt[n]{b}.

 

Es por medio de los radicales que se introducen las potencias racionales. Se tienen las siguientes propiedades:

 

1 Por definición, se tiene que

 

\displaystyle a^{\tfrac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

 

2 También por definición, se tiene que

 

\displaystyle a^{\tfrac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}

 

3 Además, se tiene que

 

\displaystyle a^{-\tfrac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}

 

Nota: la raíz par de un número negativo no está definida en los números reales. Si estamos trabajando con números reales, entonces podemos decir que esta raíz no existe.

 

Ejemplos

 

1 2^{1/2} = \sqrt{2}

 

2 \displaystyle 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8}

 

3 \displaystyle 2^{-5/3} = \frac{1}{\sqrt[3]{2^5}} = \frac{1}{\sqrt[3]{32}}

 

Leyes de los exponentes con misma base

 

Las siguientes leyes se cumplen para cualesquiera n, m \in \mathbb{R} y cualquiera a \in \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}. Notemos que, en algunos casos, utilizar a = 0 nos pueda conducir a indeterminaciones.

 

1 El producto de dos potencias con la misma base es igual a la base elevada a la suma de los exponentes:

 

\displaystyle a^m \cdot a^n = a^{m + n}

 

2 La división de dos potencias con la misma base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes:

 

\displaystyle \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}

 

3 Elevar una potencia a otra potencia es igual a elevar la base al producto de los exponentes:

 

\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n \cdot m}

 

Nota: presta atención a los paréntesis de la expresión anterior. Primero se realiza la operación a^n y luego se eleva a la potencia m. Esto es diferente a la siguiente operación:

 

\displaystyle a^{n^m}

 

y casi nunca son iguales, es decir,

 

\displaystyle \left( a^n \right)^m = a^{n^m}

 

Ejemplos

 

Considera los siguientes ejemplos:

 

1 2^5 \cdot 2^2 = 2^{5 + 2} = 2^7 = 128

 

2 \displaystyle \frac{2^5}{2^2} = 2^{5 - 2} = 2^3 = 8

 

3 \displaystyle \left( 2^5 \right)^3 = 2^{5 \cdot 3} = 2^{15}

 

Operaciones con potencias con el mismo exponente

 

Las siguientes leyes se cumplen para cualesquiera n \in \mathbb{R} y cualquiera a, b \in \mathbb{R} y b \neq 0.

 

1 El producto de dos potencias con el mismo exponente es igual al producto de las bases elevados al exponente. Es decir,

 

\displaystyle a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^{n}

 

2 La división de dos potencias con mismo exponente es igual a la división de las bases elevadas al exponente:

 

\displaystyle \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n}

 

Ejemplos

 

Considera los siguientes ejemplos:

 

1 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 216

 

2 \displaystyle \frac{6^4}{3^4} = \left( \frac{6}{3}\right)^4 = 2^4 = 16

 

Ejercicios

 

1 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma a^b:

 

a 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3

 

b \displaystyle \frac{5^7}{5^3}

 

c \displaystyle \left( 5^3 \right)^4

 

d 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4

 

a Notemos que tenemos multiplicaciones de puros exponentes con la misma base. Por lo tanto, los exponentes se suman:

 

\displaystyle 3^3 \cdot 3^4 \cdot 3 = 3^{3 + 4 + 1} = 3^8

 

b Ahora tenemos una división entre dos potencias con la misma base. Por tanto, los exponentes se restan:

 

\displaystyle \frac{5^7}{5^3} = 5^{7 - 3} = 5^4

 

c Tenemos, ahora, una potencia elevada a otra potencia. Por lo tanto, los exponentes se multiplican:

 

\displaystyle \left( 5^3 \right)^4 = 5^{3 \cdot 4} = 5^{12}

 

d Notemos que, en este caso, tenemos tres potencias con el mismo exponente. Por tanto, podemos multiplicar las bases:

 

\displaystyle 5^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = \left( 5 \cdot 2 \cdot 3 \right)^4 = 30^4

 

2 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma a^b:

 

a \left( 3^4 \right)^4

 

b \displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2

 

c \displaystyle \left( 8^2 \right)^3

 

d \displaystyle \left( 9^3 \right)^2

 

a El primer caso se trata de una potencia elevada a otra potencia. Así, los exponentes se multiplican:

 

\displaystyle \left( 3^4 \right)^4 = 3^{4 \cdot 4} = 3^{16}

 

b Este caso es similar al anterior. Tenemos una potencia elevada a otra potencia, y esta elevada a su vez a otra potencia. De este modo, los exponentes se multiplican:

 

\displaystyle \left[ \left( 5^3 \right)^4 \right]^2 = 5^{3 \cdot 4 \cdot 2} = 5^{24}

 

c Tenemos, de nuevo, una potencia elevada a otra potencia:

 

\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{2 \cdot 3} = 8^{6}

 

Sin embargo, notemos que 8 = 2^3. Así, podemos simplificar todavía un poco más:

 

\displaystyle \left( 8^2 \right)^3 = 8^{6} = \left( 2^3 \right)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}

 

d Tenemos, de nuevo, una potencia elevada a otra potencia. Además, observemos que 9 = 3^2. Por tanto,

 

\displaystyle \left( 9^3 \right)^2 = 9^{3 \cdot 2} = 9^{6} = \left( 3^2 \right)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}

 

3 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma a^b:

 

a 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2

 

b \displaystyle \frac{2^7}{2^6}

 

c \displaystyle \left( 2^2 \right)^4

 

d 4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4

 

a Tenemos una multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, se suman los exponentes,

 

\displaystyle 2^5 \cdot 2^4 \cdot 2 = 2^{5 + 4 + 1} = 2^{10}

 

b Ahora tenemos una división entre potencias con la misma base, por lo que los exponentes se restarán:

 

\displaystyle \frac{2^7}{2^6} = 2^{7 - 6} = 2^1 = 2

 

c Observemos que tenemos una potencia elevada a otra potencia. De este modo, los exponentes se suman,

 

\displaystyle \left( 2^2 \right)^4 = 2^{2 \cdot 4} = 2^8

 

d Tenemos, ahora, multiplicación de potencias con el mismo exponente. Por tanto, podemos multiplicar las bases,

 

\displaystyle 4^4 \cdot 2^4 \cdot 3^4 = (4 \cdot 2 \cdot 3)^4 = 24^4

 

4 Escribe las siguientes operaciones como una única potencia. Es decir, de la forma a^b:

 

a \left( 2^5 \right)^4

 

b \displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0

 

c \displaystyle \left( 27^2 \right)^5

 

d \displaystyle \left( 4^3 \right)^2

 

a Tenemos una potencia elevada a otra potencia. Por tanto, los exponentes se multiplican

 

\displaystyle \left( 2^5 \right)^4 = 2^{5 \cdot 4} = 2^{20}

 

b Observemos que tenemos una potencia elevada al exponente 0. Como

 

\displaystyle \left( 2^3 \right)^4 \neq 0

 

entonces podemos concluir que

 

\displaystyle \left[ \left( 2^3 \right)^4 \right]^0 = 1

 

c Tenemos una potencia elevada a otra potencia. Asimismo, 27 = 3^3

 

\displaystyle \left( 27^2 \right)^5 = 27^{2 \cdot 5} = 27^{10} = \left( 3^3 \right)^{10} = 3^{3 \cdot 10} = 3^{30}

 

d De nuevo tenemos una potencia elevada a otra potencia. Además, 4 = 2^2:

 

\displaystyle \left( 4^3 \right)^2 = 4^{3 \cdot 2} = 4^6 = \left( 2^2 \right)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}

 

5 Realiza por completo las siguientes operaciones con potencias:

 

a \left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4

 

b \left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4

 

c 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4

 

d \displaystyle \frac{2^2}{2^3}

 

a Observemos que tenemos multiplicación de potencias con la misma base. Por tanto, los exponentes se suman:

 

\displaystyle \left( - 2 \right)^2 \cdot \left( -2 \right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^{9} = -2^9 = -512

 

donde sacamos el signo ya que estamos elevando a una potencia impar.

 

b Al igual que en el caso anterior, tenemos multiplicación de potencias con la misma base,

 

\displaystyle \left( -2 \right)^{-2} \cdot \left( -2\right)^3 \cdot \left( -2 \right)^4 = \left( -2 \right)^{-2 + 3 + 4} = \left( -2 \right)^5 = -2^5 = -32

 

De nuevo sacamos el signo ya que estamos elevando a una potencia impar.

 

c Una vez más, tenemos multiplicación de potencias con la misma base:

 

\displaystyle 2^{-2} \cdot 2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-2 -3 + 4} = 2^{-1} = \frac{1}{2}

 

d Ahora tenemos una división de potencias con la misma base. Así, los exponentes se restan:

 

\displaystyle \frac{2^2}{2^3} = 2^{2 - 3} = 2^{-1} = \frac{1}{2}

 

6 Realiza por completo las siguientes operaciones con potencias:

 

a \displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3}

 

b \displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}}

 

c \displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}}

 

a Tenemos división de potencias con la misma base:

 

\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^3} = 2^{-2 - 3} = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}

 

b De nuevo, tenemos división de potencias con la misma base:

 

\displaystyle \frac{2^2}{2^{-3}} = 2^{2 - (-3)} = 2^{2 + 3} = 2^5 = 32

 

c Una vez más, se trata de una división de potencias con la misma base:

 

\displaystyle \frac{2^{-2}}{2^{-3}} = 2^{-2 - (-3)} = 2^{-2 + 3} = 2^1 = 2

 

7 Calcula las siguientes potencias:

 

a \displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}}

 

b \displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}}

 

c \displaystyle 81^{0.75}

 

d \displaystyle 8^{0.333\dots}

 

Recordemos que los exponentes fraccionales implican raíces.

 

a Esta expresión se puede escribir como

 

\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3}

 

Luego, utilizando la propiedad de la multiplicación de exponentes,

 

\displaystyle 16^{\tfrac{3}{2}} = 16^{\tfrac{1}{2} \cdot 3} = \left( 16^{\tfrac{1}{2}} \right)^3 = \sqrt{16}^3 = 4^3 = 64

 

b Podemos escribir la expresión como

 

\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2}

 

Si utilizamos la propieda de multiplicación de exponentes:

 

\displaystyle 8^{\tfrac{2}{3}} = 8^{\tfrac{1}{3} \cdot 2} = \left( 8^{\tfrac{1}{3}} \right)^2 = \left(\sqrt[3]{8} \right)^2 = 2^2 = 4

 

c Notemos que 0.75 = 3/4. Por tanto,

 

\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}}

 

Luego,

 

\displaystyle 81^{0.75} = 81^{\tfrac{3}{4}} = \left( \sqrt[4]{81} \right)^3 = 3^3 = 27

 

d Ahora el exponente es 0.333\dots = 1/3. Así

 

\displaystyle 8^{0.333\dots} = 8^{\tfrac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2

 

8 Simplifica la siguiente expresión,

 

\displaystyle \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Debemos simplificar la siguiente expresión, la cual denotaremos como A:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \left( \frac{2}{3} \right)^0 \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left[ \left( \frac{2}{3} \right)^5 \right]^2 \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Empezamos notando que cualquier número elevado al exponente 0 es 1 (en el numerador). Además, en el denominador podemos utilizar la propiedad de multiplicación de exponentes:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^5 \cdot 1 \cdot \left( \frac{2}{3} \right)^{-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{5 \cdot 2} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Después sumamos los exponentes que tengan la misma base:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{5-3} \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

es decir,

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{81}{16} \right)^{-2} }{\left( \frac{3}{2} \right)^{-5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Convertimos aquellos exponentes que estén elevados a exponente negativo, utilizando el recíproco de la base:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^2 \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{\left( \frac{2}{3} \right)^{5} \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right)^{10} \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

De nuevo, sumamos/restamos los índices de aquellas potencias con la misma base:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{2 - 5 - 1 - 10} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{16}{81} \right)^{2} }{ \left( \frac{8}{27} \right)^3 }

 

Ahora notemos que

 

\displaystyle \frac{16}{81} = \left( \frac{2}{3} \right)^4

 

y que

 

\displaystyle \frac{8}{27} = \left( \frac{2}{3} \right)^3

 

Por lo tanto, la expresión se convierte en

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left[\left( \frac{2}{3} \right)^4 \right]^{2} }{ \left[\left( \frac{2}{3} \right)^3 \right]^3 }

 

Utilizamos de nuevo la propiedad de multiplicación de exponentes:

 

\displaystyle A = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{4 \cdot 2} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{3 \cdot 3} } = \frac{\left( \frac{2}{3} \right)^{- 14} \left( \frac{2}{3} \right)^{8} }{ \left( \frac{2}{3} \right)^{9} }

 

Sumamos/restamos los exponentes:

 

\displaystyle A = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 14 + 8 - 9} = \left( \frac{2}{3} \right)^{- 15}

 

Por lo tanto, tenemos que

 

\displaystyle A = \left( \frac{3}{2} \right)^{15}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗