Elige la opción correcta para los siguientes ejercicios:

1 Encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de (x + 1, x^2 - 1) =

Descomponemos en factores para hallar el mínimo común múltiplo,

     \[ x + 1 \]

     \[ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \]

Entonces

     \[ m.c.m.(x + 1, x^2 - 1) = \bf{(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1} \]

2  m.c.m.(4x + 12, x^2 + 6x + 9) =

Comenzamos descomponiendo en factores para hallar el mínimo común múltiplo,

     \[ 4x + 12 = 4(x + 3) \]

     \[ x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \]

Entonces

     \[ m.c.m.(4x + 12, x^2 + 6x+ 9) = \bf{4(x + 3)^2} \]

3 Buscamos m.c.m.(25x, 5x^2 + 5x, x^2 + 2x + 1) =

Descomponemos para encontrer el m.c.m

     \[ 25x = 5^2 \cdot x \]

     \[ 5x^2 + 5x = 5x(x + 1) \]

     \[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]

Entonces, obtenemos que

     \[ m.c.m.(25x, 5x^2 + 5x, x^2 + 2x + 1) = \bf{5^2x(x + 1)^2 = 25x(x + 1)^2}\]

4Al reducir las fracciones \frac{x-1}{x+1} , \frac{2x}{x^2 - 1} a común denominador queda:

Descomponemos los denominadores en factores para hallar el mínimo común múltiplo, que será el común denominador:

     \[ x + 1 \]

     \[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\]

entonces el m.c.m es

     \[ m.c.m (x+ 1, x^2 - 1) = (x - 1)(x + 1) = x^2 - 1 \]

Ahora, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente. Y obtenemos

     \begin{align*} \frac{x-1}{x+1} &= \frac{x-1}{x+1} \left( \frac{x-1}{x-1}\right) \\ &= \frac{(x-1)^2 }{( (x - 1)(x + 1))}\\ &= \bf{\frac{x^2 - 2x + 1}{x^1 - 1}} \end{align*}

y

    \[ \bf{\frac{2x}{x^2 - 1}}\]

5Al reducir las fracciones \frac{3 x^{2}}{4 x+12}, \frac{4+x}{x^{2}+6 x+9} a común denominador queda:

Descomponemos los denominadores en factores para hallar el mínimo común múltiplo, que será el común denominador:

     \[4 x+12 = 4(x + 3) \]

     \[ x^{2}+6 x+9 = (x +3)^2\]

entonces el m.c.m es

     \[ m.c.m ({4 x+12}, {x^{2}+6 x+9}) = 4(x + 3)^2 \]

Ahora, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

     \begin{align*} \frac{3 x^{2}}{4 x+12} &= \frac{3 x^{2}}{4(x+3)} \left(\frac{x+3}{x+3}\right) \\ &= \frac{3x^{2}(x+3)}{4(x+3)^2}\\ &= \bf{\frac{3x^3 +9x^2}{4(x+3)^2}} \end{align*}

     \begin{align*} \frac{4+x}{x^{2}+6 x+9} &= \frac{4+x}{(x+3)^2} \left(\frac{4}{4}\right) \\ &= \frac{4(4+x)}{4(x+3)^2}\\ &= \bf{\frac{16+ 4x}{4(x+3)^2}} \end{align*}

6Al reducir las fracciones \frac{2}{25 x}, \frac{3 x+2}{5 x^{2}+5 x}, \frac{x^{3}-5 x}{x^{2}+2 x+1} a común denominador queda:

Descomponemos los denominadores en factores para hallar el mínimo común múltiplo, que será el común denominador:

     \[25 x \]

     \[ 5x^{2}+5 x = 5x(x +1)\]

     \[ x^{2}+2 x+1 = (x +1)^2\]

entonces el m.c.m es

     \[ m.c.m (25 x, 5x^{2}+5 x, x^{2}+2 x+1 ) = 25(x+1)^2\]

Ahora, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

     \begin{align*} \frac{2}{25 x} &= \frac{2}{25 x} \left(\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}\right) \\ &= \bf{\frac{2(x+1)^2}{25x(x+1)^2}} \end{align*}

     \begin{align*} \frac{3x+2}{5 x^{2}+5 x} &= \frac{3 x+2}{5x(x+1)} \left(\frac{5(x+1)}{5(x+1)}\right) \\ &= \bf{\frac{5(3 x+2)(x+1)}{25x(x+1)^2}} \end{align*}

     \begin{align*} \frac{x^{3}-5 x}{x^{2}+2 x+1} &= \frac{x^{3}-5 x}{(x+1)^2} \left(\frac{25x}{25x}\right) \\ &= \bf{\frac{25x(x^{3}-5 x)}{25x(x+1)^2}} \end{align*}

7 Calcular m.c.m(x^2 - 1, x^2 + 3x + 2) =

Descomponemos en factores para hallar el mínimo común múltiplo

     \[x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) \]

     \[x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)\]

entonces el m.c.m es

     \[ m.c.m (x^2 - 1, x^2 + 3x + 2) = \bf{(x - 1)(x + 1)(x + 2) }\]

8Dadas las fracciones algebraicas \dfrac{1}{x^2-1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x+2}{x-2} , encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.

Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

    \[ x^2-1=(x-1)\cdot(x+1) \]

     \[ x- 2\]

Entonces

     \[ m.c.m.(x^2-1,x-2)=(x-1)(x+1)\cdot(x-2)\]

Ahora, dividimos el común denominador entre los denominadores de las fracciones dadas y el resultado lo multiplicamos por el numerador correspondiente.

     \begin{align*} \frac{1}{x^{2}+3 x+2} &= \frac{x}{(x+1)(x-1)} \left(\frac{x+2}{x+2}\right) \\ &= \frac{x(x+2)}{(x+1)(x-1)(x+2)}\\ &= \bf{\frac{x^2 + 2}{(x+1)(x-1)(x+2)}} \end{align*}

     \begin{align*} \frac{1}{x^{2}+3 x+2} &= \frac{1}{(x+1)(x+2)} \left(\frac{x-1}{x-1}\right) \\ &= \bf{\frac{x-1}{(x-1)(x+1)(x+2)}} \end{align*}

9Dadas las fracciones algebraicas \dfrac{1}{x^2-1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x+2}{x-2} , encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.

Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

     \[ x^2-1=(x-1)(x+1) \]

     \[ x-2 \]

Entonces

     \[ m.c.m(x^2-1,x-2)=(x-1)(x+1)(x-2)\]

A continuacion, dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.

     \begin{align*} \dfrac{1}{x^2-1} &= \dfrac{1}{(x+1)(x-1)} \left(\frac{x-2}{x-2}\right) \\ &= \bf{ \frac{x-2}{(x+1)(x-1)(x-2)}} \end{align*}

     \begin{align*} \dfrac{x+2}{x-2} &= \dfrac{x+2}{x-2} \left(\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\right) \\ &= \bf{\dfrac{(x+2)(x-1)(x+1)}{(x-2)(x-1)(x+1)}} \end{align*}

10Dadas las fracciones algebraicas \dfrac{3x}{x^2-9} \ \mbox{y} \ \dfrac{2x-1}{x-3} , encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.

Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

     \[ x^2-9=(x-3)\cdot(x+3) \]

     \[ x - 3 \]

Entonces

     \[ m.c.m(x^2-9,x+3) = (x-3)(x+3)\]

A continuacion, dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.

     \[ \dfrac{3x}{x^2-9} &= \bf{\dfrac{3x}{(x-3)(x+3)}} \]

     \begin{align*} \dfrac{2x-1}{x-3} &= \dfrac{2x-1}{x-3} \left(\frac{x+3}{x+3}\right) \\ &= \dfrac{(2x-1)(x+3)}{(x-3)(x+3)}\\ &= \bf{\dfrac{2x^2 + 5x -3}{(x-3)(x+3)}} \end{align*}

11Dadas las fracciones algebraicas \dfrac{x^2+3}{x-1} \ \mbox{y} \ \dfrac{x-1}{x+1}, encontrar dos fracciones algebraicas equivalentes con común denominador.

Calculamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores.

     \[ x-1 \]

     \[ x +1 \]

Entonces

     \[ m.c.m(x-1,x+1) = (x-1)(x+1) = x^2 - 1\]

A continuacion, dividimos el m.c.m. por cada denominador y lo multiplicamos por el numerador respectivo. El resultado es el numerador de la fracción algebraica, el denominador es el mismo m.c.m.

     \begin{align*} \dfrac{x^2+3}{x-1} &= \dfrac{x^2+3}{x-1} \left(\frac{x+1}{x+1}\right) \\ &= \dfrac{(x^2 +3)(x+1)}{(x-1)(x+1)}\\ &= \bf{\dfrac{x^3 + x^2 + 3 x + 3}{x^2 - 1}} \end{align*}

 

     \begin{align*} \dfrac{x-1}{x+1} &= \dfrac{x-1}{x+1} \left(\frac{x-1}{x-1}\right) \\ &= \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)}\\ &= \bf{\dfrac{x^2 - 2 x + 1}{x^2 - 1}} \end{align*}

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗