Paolo Ruffini (1765, 1822) fue un matemático italiano, que estableción un método más breve para hacer la división de polinomios, cuando el divisor es un binomio de la forma x — a.

 

Regla de Ruffini

 

Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar dos ejemplos:

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Primer ejemplo de la regla de Ruffini

 

Dividir: x^{4}-3x^{2}+2 \div (x-3)

 

1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

 

x^{4}-ox^{3}-3x^{2}+ox +2 \div (x-3)

 

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

 

{ \begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix} }

 

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor: -(-3) = 3.

 

{\begin{matrix} \qquad & \qquad1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{3}

 

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{ 3}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

 

5Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (3) y lo colocamos debajo del siguiente término (0).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

 

6Sumamos los dos coeficientes (0 + 3).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 \end{matrix}}

 

7Repetimos el proceso anterior 3\cdot 3=9 et -3+9=6).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 & \hspace{2mm}9 & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 \end{matrix}}

 

Volvemos a repetir el proceso 3\cdot 6=18 et 0+18=18(.

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 &\hspace{2mm}9 &18 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 & 18 \end{matrix}}

 

Volvemos a repetir 3\cdot 18=54 et 2+54=56.

{\begin{matrix} 1 & 0 & -3 & 0 & 2 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 3 & & \hspace{3.5mm}3 &\hspace{2mm}9 & 18 & 54 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 & 3 & 6 & 18 & 56 \end{matrix}}

 

8El último número obtenido, 56, es el resto.

 

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

 

Cociente: x^{3}+3x^{2}+6x+18

Resto: 56

 

Segundo ejemplo de la regla de Ruffini

 

Dividir por la regla de Ruffini: (x^{5}-32)\div (x-2)

 

1 Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

 

(x^{5}-ox^{4}+ox^{3}-ox^{2}+ox-32)\div (x-2)

 

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

{ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix} }

 

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independiente del divisor: -(-2) = 2.

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{2}

 

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente (1).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{2}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{\begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

 

5Multiplicamos ese coeficiente (1) por el divisor (2) y lo colocamos debajo del siguiente término (0).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 \end{matrix}}

 

6Sumamos los dos coeficientes (0 + 2).

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & & \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 &2 \end{matrix}}

 

7 Repetimos los pasos 5 y 6 hasta el final.

 

{\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32 \end{matrix}}

{\begin{matrix} 2 & & \hspace{3.5mm}2 & 4 &8&16 &32 \end{matrix}}

{\rule{38mm}{0.1mm}}

{ \begin{matrix} & 1 &2 & 4&8 &16 & 0 \end{matrix}}

 

8 El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

Cociente: x^{4}+2x^{3}+4x^{2}+8x+16

Resto: 0

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗