Definición del polinomio

Un monomio es una expresión algebraica conformada por un coeficiente, una variable (generalmente x) y un exponente, por ejemplo:

{\color{Red} 5}{\color{DarkGreen} x}^{{\color{Blue} 3}}

Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma de un número finito de monomios

 

P(x) = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2}+ ... + a_2x^2+a_1 x + a_0

 

donde, n es un número natural y

Coeficientes: a_n, a_{n-1},... ,a_1, a_0

Variable o indeterminada: x

Coeficiente principal: a_n

Término independiente: a_0

 

Ejemplo

 

  • P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

Coeficientes: 2, 3,5, -3

Variable o indeterminada: x

Coeficiente principal: 2

Término independiente: -3

 

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x

Según su grado los polinomios pueden ser de:

 

TIPO EJEMPLO
Grado cero P(x) = -2
Primer grado P(x) = 3x + 2
Segundo grado P(x) = 2x^2+ 3x + 2
Tercer grado P(x) = x^3-2x^2+ 3x + 2
Cuarto grado P(x) = 5x^4 + x^3-2x^2+ 3x + 2
Quinto grado P(x) = 2x^5 -5x^4 + x^3- 2x^2+ 3x + 2

 

Tipos de polinomios

 

1 Polinomio nulo

Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x^2 + 0x + 0

 

2 Polinomio homogéneo
Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x^2+ 3x^2

 

3Polinomio heterogéneo

Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x^3+ 3x^2- 3

 

4 Polinomio completo

Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3+ 3x^2 + 5x - 3

 

5 Polinomio incompleto

Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x^3+ 5x -3

 

6 Polinomio ordenado

Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

 

7 Polinomios iguales
Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

Los coeficientes de los términos del mismo grado son iguales.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 5x - 3 + 2x^3

 

8 Polinomios semejantes
Dos polinomios son semejantes si verifican que tienen la misma parte literal.

P(x) = 2x^3+ 5x - 3

Q(x) = 3x^3+ 7x -2

 

9Polinomio mónico

Un polinomio es mónico si su coeficiente principal es 1, por ejemplo

P(x)=x^4-5x^2+3

 

 

Monomio

Es un polinomio que consta de un sólo monomio.

P(x) = 2x^2

 

Binomio

Es un polinomio que consta de dos monomios.

P(x) = 2x^2+ 3x

 

Trinomio

Es un polinomio que consta de tres monomios.

P(x) = 2x^2+ 3x + 5

 

Valor numérico de un polinomio

 

El valor numérico de un polinomio es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

Ejemplo:

Calcular el valor numérico del polinomio: P(x) = 2x^3+ 5x - 3, para los valores

    • x = -1

 

P(-1) = 2 \cdot (-1)^3+ 5 \cdot (-1)-3 = 2 \cdot (-1) - 5 - 3 = -2 - 5 - 3 = -10

 

    • x = 0

 

P(0) = 2 \cdot 0^3+ 5 \cdot 0 - 3 = -3

 

    • x = 1

 

P(1) = 2 \cdot 1^3+ 5 \cdot 1 - 3 = 2 + 5 - 3 = 4

 

Polinomio de varias variables

 

Un polinomio puede tener varias variables. En este caso, los monomios, de manera análoga, cuetan con un coeficiente y varias variables cada una con un respectivo exponente. Por ejemplo

4x^3yz

 

Ejemplos:

 

\text{Una variable} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x)=x^4-x+3

\text{Dos variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y)=2x^2y-3x^5+3

\text{Tres variables} \hspace{.5cm} \rightarrow \hspace{.5cm} P(x,y,z)= xz-3x^5y^2z^2+3z

 

También se puede obtener el valor numérico de estos

P(x,y)=2x^2y-3x^3+3

P(2,1)=2 (2)^2(1)-3(2)^3+3=8-24+3=-13

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗