Cuando hablamos de factorizar polinomios, hay varias características que tenemos que tener en cuenta.

 

 

Si no hay término independiente

 

Si no hay término independiente hay que sacar factor común. Sacar factor común de una suma (o resta) consiste en trasformarla en un producto.

 

Aplicaríamos la propiedad distributiva:

 

a \cdot b + a \cdot c - a \cdot d  =  a (b + c -d)

 

 

Ejemplo de factorización de polinomio sin termino independente

 

Descomponer en factores sacando factor común y hallar las raíces.

 

 

1 x^{3} + x^{2} = x^{2} (x + 1)

 

La raíces son: x = 0  y  x = -1

 

 

2  2x^{4} + 4x^{2} = 2x^{2} (x^{2} + 2)

 

Sólo tiene una raíz x = 0 porque que el polinomio, x^{2} + 2, no tiene ningún valor que lo anule. Como la x es al cuadrado, el resultado siempre será un número positivo, entonces es irreducible.

 

Doble extracción de factor común

 

1 x^{2} - ax - bx + ab = x (x - a) - b (x - a)

 

Sacamos factor común de x y y.

 

Como (x-a) es ahora un factor común, sacamos factor común de (x-a) .

 

x (x - a) - b (x - a) = (x - a) \cdot (x - b)

 

La raíces son x=a y x=b.

 

Si tenemos un binomio

 

Cuando tenemos un binomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos:

 

Diferencia de cuadrados

 

Una diferencia de cuadrados es igual a suma por diferencia.

 

a^{2} - b^{2} = (a + b) \cdot (a - b)

 

 

Ejemplos de ejercicios con diferencia de cuadrados:

 

Descomponer en factores y hallar las raíces

 

1 x^{2} - 4 = (x + 2) \cdot (x - 2)

 

Las raíces son x=-2 y x=2

 

 

2 x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) \cdot (x^{2} - 4) =

 

El ultimo termino es también una diferencia de cuadrados, entonces:

 

(x^{2} + 4) \cdot (x^{2} − 4) = (x + 2) \cdot (x − 2) \cdot (x^{2} + 4)

 

Las raíces son x=-2   y  x=2

Suma de cubos

 

a^{3} + b^{3} = (a + b) \cdot (a+b)^{2} =(a+b) \cdot (a^{2} - ab + b)

 

 

Ejemplo de ejercicio con suma de cubos:

 

8x^{3} + 27 = (2x + 3) \cdot (2x + 3)^{2} = (2x + 3) \cdot (4x^{2} - 6x + 9)

Diferencia de cubos

 

a^{3} - b^{3}= (a - b) \cdot (a^{2} + ab + b^{2})

 

 

Ejemplo de ejercicio con diferencia de cubos :

 

8x^{3} - 27 = (2x - 3) (4x^{2} + 6x + 9)

 

Si tenemos un trinomio

 

Cuando tenemos un trinomio, puede ocurrir alguno de los siguientes casos

 

Trinomio cuadrado perfecto

 

Un trinomio cuadrado perfecto es igual a un binomio al cuadrado.

 

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

 

 

Ejemplos de trinomios cuadrados perfectos 

 

Descomponer en factores y hallar las raíces

 

1 Estructura de un binomio al cuadrado grafica

 

Tenemos que preguntarnos:

 

  • ¿Qué número elevado al cuadrado da 9? La respuesta es 3?
  • ¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}?La respuesta es x.

 

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot 3 \cdot x = 6x

 

La raíz esx=-3, y se dice que es una raíz doble.

 

 

2 estructura de un binomio elevando al cuadrado dibujo

 

  • ¿Qué número elevado al cuadrado da x^{2}? x
  • ¿Qué número elevado al cuadrado da 4? 2

 

Y tenemos que comprobar que 2 \cdot x \cdot 2 = 4x

 

La raíz doble es x = 2.

Trinomio de segundo grado

 

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax^{2} + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de segundo grado.

 

Si las soluciones a la ecuación son x_1 y x_2 , el polinomio descompuesto será:

 

ax^{2} + bx + c = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)

 

 

Ejemplos de trinomios de segundo grado 

 

Descomponer en factores y hallar las raíces

 

 

1 x^{2}-5x+6

 

Igualamos el trinomio a cero

 

x^{2}-5x+6=0

 

Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:

 

x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

 

Aplicación de la formula general para ecuaciones de segundo grado

 

Factorizamos

 

x^{2}-5x+6=(x-2)\cdot (x-3)

 

Las raíces son x=3 y x=2 .

 

 

2 x^{2}-x-6

 

Igualamos el trinomio a cero

 

x^{2}-x-6=0

 

Resolvemos la ecuación

 

Aplicacion de la formula general para ecuaciones de 2do grado

 

Factorizamos

 

x^{2}-x-6=(x+2)\cdot (x-3)

 

Las raíces son x=3 y x=-2 .

Trinomios de cuarto grado de exponentes pares

 

Para hallar las raíces se iguala a cero y se resuelve la ecuación bicuadrada.

 

Ejemplos de trinomios de cuarto grado de exponentes partes

 

1 x^{4} - 10x^{2} + 9

 

Igualamos el polinomio a cero

 

x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

 

Realizamos un cambio de variable

 

x^{2} = t

 

t^{2} - 10t + 9 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

Aplicación de la formula general a una ecuación con cambio de variable

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

x^{2}=9 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{9}=\pm 3

 

x^{2}=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{1}=\pm 1

 

x^{4} - 10x^{2} + 9 = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot (x + 3) \cdot (x - 3)

 

 

2 x^{4} - 2x^{2} -3

Igualamos el polinomio a cero

 

x^{4} - 2x^{2} -3 = 0

 

Realizamos un cambio de variable

 

x^{2} = t

 

t^{2} - 2t -3 = 0

 

Resolvemos la ecuación de segundo grado

 

Uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado

 

Deshacemos el cambio de variable y obtenemos las raíces

 

x^{2} =3 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{3}

 

x^{2} = −1, no tiene raíces reales, ya que no existe ningún número que elevado al cuadrado sea negativo

 

Se factoriza como (x^{2} + 1)

 

x^{2} =- 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\pm \sqrt{-1}\notin \mathbb{R}

 

x^{4} - 2x^{2} + 3 = (x^{2} + 1) \cdot (x +\sqrt{3}) \cdot (x −\sqrt{3})

 

 

Factorización de un polinomio de grado superior a dos

 

Utilizamos el teorema del resto y la regla de Ruffini para encontrar las raíces enteras.

 

Los pasos a seguir los veremos con el polinomio:

 

P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x^{2}-x+6

 

Tomamos los divisores del término independiente:\pm 1, \pm 2, \pm 3.

 

Aplicando el teorema del resto sabremos para qué valores la división es exacta.

 

P(1)=2 \cdot 1^{4}+1^{3}-8\cdot 1^{2}-1+6=2+1-8-1+6=0

 

Dividimos por Ruffini.

 

Método de ruffini para dividir

Por ser la división exacta, D=d \cdot c

 

(x-1)\cdot(2x^{3}+3x^{2}-5x-6)

 

Una raíz es x=1 .

 

Continuamos realizando las mismas operaciones para encontrar el segundo factor.

 

Volvemos a probar por 1 porque el primer factor podría estar elevado al cuadrado.

 

P(1)=2\cdot 1^{3}+3 \cdot 1^{2}-5 \cdot 1 -6\neq 0

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{3}+3 \cdot (-1)^{2}-5 \cdot (-1) -6=-2+3+5-6=0

 

División usando el método de Ruffini

 

(x-1)\cdot (x+1)\cdot (2x^{2}+x+6)

 

Otra raíz es x=-1 .

 

El tercer factor lo podemos encontrar aplicando la ecuación de segundo grado o tal como venimos haciéndolo, aunque tiene el inconveniente de que sólo podemos encontrar
raíces enteras.

 

El 1 lo descartamos y seguimos probando por -1 .

 

P(-1)=2\cdot (-1)^{2}+(-1)-6\neq 0

 

P(2)=2 \cdot 2^{2}+2-6\neq 0

 

P(-2)=2 \cdot (-2)^{2}+(-2)-6=2 \cdot 4-2-6= 0

 

División usando Ruffini

 

(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (2x-3)

 

Sacamos factor común 2 en último binomio y encontramos una raíz racional.

 

\displaystyle (2x-3)=2(x-\frac{3}{2})

 

La factorización del polinomio queda:

 

\displaystyle P(x)=2x^{4}+x^{3}-8x-x+6=2(x-1)\cdot(x+1)\cdot (x+2)\cdot (x-\frac{3}{2})

 

\displaystyle x=1, x=-1, x=-2, x=\frac{3}{2}

 

 

Raíces racionales

 

Puede suceder que el polinomio no tenga raíces enteras y sólo tenga raíces racionales. En este caso tomamos los divisores del término independiente dividido entre los divisores del término con mayor grado, y aplicamos el teorema del resto y la regla de Ruffini.

 

P(x)=12x^{3}+8x^{2}-3x-2

 

Probamos por:

 

\displaystyle \pm\frac{1}{2}, \pm\frac{1}{3}, \pm\frac{1}{6}, \pm\frac{2}{3} .

 

\displaystyle P \left ( \frac{1}{2} \right )=12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{3}+8\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}- 3\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )-2=0

 

Primera división de Ruffini

 

Factorizamos. D=d\cdot c

 

\left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot (12x^{2}+14x+4)

 

Volvemos a probar por \displaystyle \frac{1}{2}

 

\displaystyle 12 \cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \frac{1}{2}+4\neq 0

 

Probamos por \displaystyle -\frac{1}{2}

 

\displaystyle 12 \cdot \left (- \frac{1}{2} \right )^{2}+14 \cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )+4= 0

 

Segunda división de Ruffini

 

Factorizamos: D=d \cdot c

 

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( 12x+8 \right )

 

Sacamos factor común 12 en el tercer factor.

 

\displaystyle \left ( x-\frac{1}{2} \right )\cdot\left ( x+\frac{1}{2} \right )\cdot \left ( x+\frac{2}{3} \right )

 

En Superprof puedes encontrar tu curso de matematicas.

¿Te ha gustado el artículo?

¿Ninguna información? ¿En serio?Ok, intentaremos hacerlo mejor la próxima vezAprobado por los pelos. ¿Puedes hacerlo mejor?Gracias. Haznos cualquier pregunta en los comentar¡Un placer poder ayudarte! :) (35 votes, average: 4,31 out of 5)
Cargando…

Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

¿Te ha gustado
este material?

¡Bravo!

¡Descárgatelo en formato PDF poniendo tu correo electrónico!

{{ downloadEmailSaved }}

Tu correo electrónico no es válido