12 noviembre 2020
Enunciado del teorema
Recordemos que al dividir un polinomio por otro
obtenemos un cociente
y un residuo
tales que
en donde el grado de es estrictamente menor al grado de
. Otra forma de escribir la división es:
El teorema del resto nos ayuda a determinar el residuo o resto al dividir
por un polinomio de la forma
. El teorema enuncia lo siguiente:
Teorema: Sea un polinomio. Entonces el residuo resultante al dividir
entre
es igual que el resultado de evaluar el polinomio
en
. Es decir,
Ejemplo: Consideremos los polinomios y
. Tenemos que
Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir entre
debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio
en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:
Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de ) debajo de la línea horizontal:
Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de :
Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente () y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:
Repetimos el procedimiento anterior. Multiplicamos el número que obtuvimos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado será 9); lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de y luego sumamos los números:
Repetimos el procedimiento, ahora con el 6:
Finalmente, repetimos el procedimiento una vez más, pero ahora con el 18:
De este último arreglo podemos ver que , que era lo que esperábamos.
Nota: como podemos ver en el ejemplo anterior, el teorema del resto sólo nos dice el residuo que resulta al dividir por un polinomio. Si queremos encontrar el cociente debemos realizar la división completa.
Nota: el teorema asume que estamos dividiendo por un polinomio de la forma . Si tenemos algún polinomio de la forma
, entonces notemos que
Por tanto, para encontrar el residuo, simplemente evaluamos . En otras palabras, debemos evaluar en el término independiente de
pero con signo cambiado.
Nota: Este teorema es muy importante, pues no permite saber si un polinomio es factor de . Sabremos que
es factor de
si
. Esto se conoce como teorema del factor.
Ejercicios
1 Calcula, utilizando el teorema del resto, el residuo de la división de entre
. Luego, comprueba con la regla de Ruffini.
1 Primero utilizaremos el teorema del resto. Para esto, debemos evaluar el polinomio en :
Por lo que el residuo es 0, lo cual nos indica que es factor de
.
2 Ahora verificaremos utilizando la regla de Ruffini. Empezamos colocando los coeficientes del polinomio en la primera fila (recordemos que debemos colocar todos los coeficientes, incluso los de los términos ,
, etcétera); luego colocamos el 2 ligeramente a la izquierda y bajamos el primer coeficiente del polinomio:
Multiplicamos el número que está debajo de la línea horizonal por el 2, y lo colocamos debajo del coeficiente del segundo término. Después, sumamos los términos de esa columna:
Repetimos el procedimiento para el siguiente número que está debajo de la línea horizontal:
Repetimos de nuevo:
y por último, obtenemos:
Donde podemos comprobar que, efectivamente, el residuo de la división es 0.
2 Considera el polinomio . Encuentra el residuo que resulta al dividir por:
a
b
c
d
Utilizaremos el teorema del residuo para todos los casos:
a
Para determinar el residuo, sólo basta con evaluar en
. Es decir,
Por tanto, el residuo es 0.
b
En este caso, debemos evaluar en . Así,
Así, el residuo también es 0.
c
Ahora debemos evaluar en . Esto es,
Por lo que el residuo es 0.
d
Por último, debemos evaluar en para encontrar el residuo en este caso. Así,
De manera que, en este último caso, el residuo es 12.
Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.
Buenísimo
¡Gracias!
(X³+x²+x+1)÷(x+1)
Hola
Si conozco el polinomio cociente y el polinomio resto, como puedo conocer los polinomios dividendo y divisor ?
lcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en cada caso, usando el teorema del resto: *
Imagen sin leyenda
Esta pregunta es obligatoria
Aplicando las identidades notables : *
Imagen sin leyenda
A
B
C
D
Calcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en cada caso, usando el teorema del resto: *
Imagen sin leyenda
Hola, desafortunadamente faltan datos del ejercicio. ¡Un saludo!
Calcular el resto al dividir X^5 – 7x²+3x+6/x+2
Hallar el valor numéricos indicado para P(-1)= *
Imagen sin leyenda
Hola Marin, desafortunadamente no tenemos información suficiente para poder contestar a tu pregunta. ¡Un saludo!
Calcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en este caso, usando el teorema del resto: *
Me encanta esta página, solo tienen que explicar más ejercicios y otras situaciones
Muchas gracias por el comentario. Es un placer añadir contenido nuevo para ayudar a nuestros alumnos. ¿Qué tipo de nuevos ejercicios te gustaría ver en nuestra página?
me hizo de mucha ayuda. Gracias.
Es nuestra placer Maite. 🙂
el teorema del resto para que me serviría en la vida cotidiana? necesito ayuda para comprender.
Hola,
Como el teorema del resto lo aplicamos a polinomios de la forma p(x), este nos ayuda a saber cuando (x-a) es un factor del polinomio sin necesidad de dividir p(x) entre (x-a) y verificar que el resultado sea exacto. Basta con calcular p(a) y si p(a)=0, entonces (x-a) es un factor de p(x); en caso contrario (x-a) no es un factor de p(x).
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo
Qué pasa si el resto de la regla de Ruffini no me da igual al resultado del teorema del resto? Por ejemplo en la regla de Rufini me da de resto 84 y en el teorema del resto meds 192
El teorema, por el hecho de ser un teorema, siempre se cumple —bajo las hipótesis en las que fue probado, es decir, polinomios en los complejos o reales—.
Si hay un resultado distinto entre la regla de Ruffini y el teorema del resto, significa que ha de haber un error en el procedimiento. Dos errores comunes pueden ser:
debes evaluar
(observa que cambia el signo); de la misma forma, si quieres conocer el residuo al dividir por
debes evaluar en
.
– Algún error de cálculo en la regla de Ruffini (por ejemplo, un signo). Revisa de nuevo con más cuidado.
– Cambiarle el signo al momento de evaluar el polinomio. Es decir, si quieres conocer el residuo al dividir por
Si tienes más dudas, comenta y con gusto te ayudamos. ¡Un saludo!
Hola, tengo una duda. Cuando el término independiente es una fracción, como 1/2, se usa 2 o -1/2?
¡Hola, Fátima!
Si te refieres a que deseamos dividir por
, entonces debemos evaluar el polinomio en
. Debemos evaluar en el mismo número pero con signo cambiado: si es fracción, también será fracción. Incluso si se trata de un número irracional, debemos evaluar en el número irracional pero con signo cambiado (por ejemplo, si quisiéramos conocer el residuo al dividir por
, entonces evaluamos
).
Excelente página
me podrían ayudar con este ejercicio:
Dado el polinomio P(x); si (P(x) – 5) es divisible por (x + 5) y
(P(x) + 5) es divisible por (x – 5). ¿Cuál es el resto de dividir
P(x) entre (x2 – 25)
Saludos, muy bien por el materia, pero tengo una duda de cuales son los elementos del teorema del res… Gracias por ayudarme.. Soy Raúl