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Teorema del resto
Ejemplo:
P(x) = x4 − 3x2 +2
Q(x) = x − 3
Si calculamos P(x) : Q(x) usando la regla de Ruffini, obtenemos
El último número (marcado con verde) indica el resto. Es 56.
Ahora, al evaluar P(x) en x=a,
P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Por tanto el teorema del resto nos permite conocer el resto de la división por un binomio del tipo (x − a).Basta con hallar el valor numérico de P(x) en x = a, es decir, por el valor del término independiente del binomio cambiado de signo.
El teorema del resto nos será muy útil para la descomposición en factores de un polinomio y para resolver determinado tipo de ecuaciones.
Ejercicios
1 Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división (x5 − 32) : (x − 2). Comprueba con la regla de Ruffini.
Tenemos que hallar el valor numérico del polinomio para x = 2, es decir, para el término independiente del binomio cambiado de signo.
P(2) = (25 − 32)=32-32=0
Como el resto es nulo, esto nos indica que la división es exacta.
2 Comprobación vía Ruffini
Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.
2 Dado el polinomio: P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6, halla el resto que se obtiene al dividirlo por:
- (x + 1)
- (x-1)
- (x+2)
- (x-2)
En este caso x = −1
P(−1) = 2 · (−1)4 + (−1)³ − 8 · (−1)² − (−1) + 6 =
= 2 · 1 − 1 − 8 · 1 + 1 + 6 = 2 − 1 − 8 + 1 + 6 = 0
2 (x - 1)
Hallamos el valor numérico para x = 1
P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0
3 (x +2)
Hallamos el valor numérico para x = −2
P(−2) = 2 · (−2)4 + (−2)³ − 8 · (−2)² − (−2) + 6 =
= 2 · 16 − 8 − 8 · 4 + 2 + 6 = 32 − 8 − 32 + 2 + 6 = 0
4 (x - 2)
Hallamos el valor numérico para x = 2
P(2) = 2 · 24 + 2³ − 8 · 2² − 2 + 6 = 2 · 16 + 8 − 8 · 4 − 2 + 6 =
=32 + 8 − 32 − 2 + 6 = 12
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