Name: Teorema del resto
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Enunciado del teorema
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Enunciado del teorema

Recordemos que al dividir un polinomio $P(x)$ por otro $F(x)$ obtenemos un cociente $Q(x)$ y un residuo $R(x)$ tales que

$\displaystyle P(x) = F(x)Q(x) + R(x)$

en donde el grado de $R(x)$ es estrictamente menor al grado de $F(x)$ . Otra forma de escribir la división es:

$\displaystyle \frac{P(x)}{F(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{F(x)}$

El teorema del resto nos ayuda a determinar el residuo o resto $R(x)$ al dividir $P(x)$ por un polinomio de la forma $F(x) = x - a$ . El teorema enuncia lo siguiente:

Teorema: Sea $P(x)$ un polinomio. Entonces el residuo resultante al dividir $P(x)$ entre $F(x) = x - a$ es igual que el resultado de evaluar el polinomio $P(x)$ en $a$ . Es decir,

$\displaystyle R(x) = P(a)$

Ejemplo: Consideremos los polinomios $P(x) = x^4 - 3x^2 + 2$ y $F(x) = x - 3$ . Tenemos que

$\displaystyle P(3) = 3^4 - 3\cdot 3^2 + 2 = 56$

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir $P(x)$ entre $F(x)$ debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio $P(x)$ en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& & & & &\end{array}$

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de $P(x)$ ) debajo de la línea horizontal:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}$

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de $P(x)$ :

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}$

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente ( $0 + 3 = 3$ ) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & 3 & & &\end{array}$

Repetimos el procedimiento anterior. Multiplicamos el número que obtuvimos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado será 9); lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de $P(x)$ y luego sumamos los números:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & & \\\hline& 1 & 3 & 6 & &\end{array}$

Repetimos el procedimiento, ahora con el 6:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & \\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 &\end{array}$

Finalmente, repetimos el procedimiento una vez más, pero ahora con el 18:

$\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline \; 56\end{array}$

De este último arreglo podemos ver que $R(x) = 56$ , que era lo que esperábamos.

Nota: como podemos ver en el ejemplo anterior, el teorema del resto sólo nos dice el residuo que resulta al dividir por un polinomio. Si queremos encontrar el cociente $Q(x)$ debemos realizar la división completa.

Nota: el teorema asume que estamos dividiendo por un polinomio de la forma $F(x) = x - a$ . Si tenemos algún polinomio de la forma $F(x) = x + a$ , entonces notemos que

$\displaystyle F(x) = x + a = x - (-a)$

Por tanto, para encontrar el residuo, simplemente evaluamos $P(-a)$ . En otras palabras, debemos evaluar en el término independiente de $F(x)$ pero con signo cambiado.

Nota: Este teorema es muy importante, pues no permite saber si un polinomio es factor de $P(x)$ . Sabremos que $x - a$ es factor de $P(x)$ si $P(a) = 0$ . Esto se conoce como teorema del factor.

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Ejercicios

1 Calcula, utilizando el teorema del resto, el residuo de la división de $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$ . Luego, comprueba con la regla de Ruffini.

1 Primero utilizaremos el teorema del resto. Para esto, debemos evaluar el polinomio en $x = 2$ :

$\displaystyle P(2) = 2^5 - 32 = 32 - 32 = 0$

Por lo que el residuo es 0, lo cual nos indica que $x - 2$ es factor de $P(x)$ .

2 Ahora verificaremos utilizando la regla de Ruffini. Empezamos colocando los coeficientes del polinomio en la primera fila (recordemos que debemos colocar todos los coeficientes, incluso los de los términos $x^4$ , $x^3$ , etcétera); luego colocamos el 2 ligeramente a la izquierda y bajamos el primer coeficiente del polinomio:

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & & & & & \\\hline& 1 & & & & &\end{array}}$

Multiplicamos el número que está debajo de la línea horizonal por el 2, y lo colocamos debajo del coeficiente del segundo término. Después, sumamos los términos de esa columna:

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & & & & \\\hline& 1 & 2 & & & &\end{array}}$

Repetimos el procedimiento para el siguiente número que está debajo de la línea horizontal:

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & & &\end{array}}$

Repetimos de nuevo:

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & &\end{array}}$

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 &\end{array}}$

y por último, obtenemos:

$\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & 32\\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & \vline \; 0\end{array}}$

Donde podemos comprobar que, efectivamente, el residuo de la división es 0.

2 Considera el polinomio $P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6$ . Encuentra el residuo que resulta al dividir por:

a $x + 1$

b $x - 1$

c $x + 2$

d $x - 2$

Utilizaremos el teorema del residuo para todos los casos:

a $x + 1$

Para determinar el residuo, sólo basta con evaluar $P(x)$ en $x = -1$ . Es decir,

$\displaystyle P(-1) = 2(-1)^4 + (-1)^3 - 8(-1)^2 - (-1) + 6 = 0$

Por tanto, el residuo es 0.

b $x - 1$

En este caso, debemos evaluar en $x = 1$ . Así,

$\displaystyle P(1) = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0$

Así, el residuo también es 0.

c $x + 2$

Ahora debemos evaluar en $x = -2$ . Esto es,

$\displaystyle P(-2) = 2(-2)^4 + (-2)^3 - 8(-2)^2 - (-2) + 6 = 0$

Por lo que el residuo es 0.

d $x - 2$

Por último, debemos evaluar en $x = 2$ para encontrar el residuo en este caso. Así,

$\displaystyle P(2) = 2(2)^4 + 2^3 - 8(2)^2 - 2 + 6 = 12$

De manera que, en este último caso, el residuo es 12.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Rodríguez

Mayo 2020

Buenísimo

Superprof

Mayo 2020

¡Gracias!

Tatiana

Junio 2021

P(x) = x^5-32
y
Q(x)=x-2
Ayuda pliss

Wilson

Noviembre 2021

(X-1)^5+(x+1)^3-12x+8/2x^2+2x+2 hallar el resto ….
Ayuda

Amilcar

Noviembre 2020

(X³+x²+x+1)÷(x+1)

Jesus

Febrero 2021

Tatiana

Junio 2021

P(x) = x^5-32
y
Q(x)=x-2
Ayuda pliss

Alejandra Ajhuacho Condori

Mayo 2021

3×

Loreto pulido

Noviembre 2020

Hola
Si conozco el polinomio cociente y el polinomio resto, como puedo conocer los polinomios dividendo y divisor ?

Alejandra Ajhuacho Condori

Mayo 2021

Quiero saber si mi resultado es correcto
Es el tema teorema del resto

cande

Mayo 2021

( 2 x
3
– 4 x
2
– 3) : ( x – 1)

Liz Rodríguez

Julio 2021

Disculpe, mi nombre es Liz y quisiera preguntarle si me pueden ayudarme con unas de mi tareas de matemáticas sobre el teorema de la división con el residuo, estos son los ejercicios de mi tarea, P(x)= X³+3X²+X+5 entre X-2 y el otro es P(x)= X³-4X²+3X-20 entre X+2
Y lo otro es…le quedó buenísimo esa respuesta de matemáticas del teorema de la división.

Marin

Mayo 2020

lcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en cada caso, usando el teorema del resto: *
Imagen sin leyenda

Esta pregunta es obligatoria
Aplicando las identidades notables : *
Imagen sin leyenda

D
Calcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en cada caso, usando el teorema del resto: *
Imagen sin leyenda

Superprof

Junio 2020

Hola, desafortunadamente faltan datos del ejercicio. ¡Un saludo!

Ariana

Octubre 2020

Calcular el resto al dividir X^5 – 7x²+3x+6/x+2

María

Mayo 2021

Cómo se calcula esta….??? Encontrar el valor «a» en el polinomio P(×)= 4x^4-3x^3+ax-1 para que P(2)=3

Marin

Mayo 2020

Hallar el valor numéricos indicado para P(-1)= *
Imagen sin leyenda

Superprof

Junio 2020

Hola Marin, desafortunadamente no tenemos información suficiente para poder contestar a tu pregunta. ¡Un saludo!

Marin

Mayo 2020

Calcula el resto de la división de polinomios P(x) : Q(x) en este caso, usando el teorema del resto: *

Troche

Mayo 2020

Me encanta esta página, solo tienen que explicar más ejercicios y otras situaciones

Superprof

Junio 2020

Muchas gracias por el comentario. Es un placer añadir contenido nuevo para ayudar a nuestros alumnos. ¿Qué tipo de nuevos ejercicios te gustaría ver en nuestra página?

Maite

Mayo 2020

me hizo de mucha ayuda. Gracias.

Superprof

Junio 2020

Es nuestra placer Maite. 🙂

eren

Junio 2020

el teorema del resto para que me serviría en la vida cotidiana? necesito ayuda para comprender.

Gaspar Leon

Julio 2020

Hola,
Como el teorema del resto lo aplicamos a polinomios de la forma p(x), este nos ayuda a saber cuando (x-a) es un factor del polinomio sin necesidad de dividir p(x) entre (x-a) y verificar que el resultado sea exacto. Basta con calcular p(a) y si p(a)=0, entonces (x-a) es un factor de p(x); en caso contrario (x-a) no es un factor de p(x).
Espero haber sido de ayuda.
Un saludo

Mónica Lugo

Junio 2021

Como se calcula el valor de m para q un polinomio sea divisible entre x-3
Polinomio p (x)=2.x ala3 +m.x+6 sea divisible entre x-3

Gandolfo

Julio 2020

Qué pasa si el resto de la regla de Ruffini no me da igual al resultado del teorema del resto? Por ejemplo en la regla de Rufini me da de resto 84 y en el teorema del resto meds 192

Juan Manuel Sanchez Perez

Agosto 2020

El teorema, por el hecho de ser un teorema, siempre se cumple —bajo las hipótesis en las que fue probado, es decir, polinomios en los complejos o reales—.

Si hay un resultado distinto entre la regla de Ruffini y el teorema del resto, significa que ha de haber un error en el procedimiento. Dos errores comunes pueden ser:
– Algún error de cálculo en la regla de Ruffini (por ejemplo, un signo). Revisa de nuevo con más cuidado.
– Cambiarle el signo al momento de evaluar el polinomio. Es decir, si quieres conocer el residuo al dividir por $(x - a)$ debes evaluar $P(a)$ (observa que cambia el signo); de la misma forma, si quieres conocer el residuo al dividir por $(x + a)$ debes evaluar en $P(-a)$ .

Si tienes más dudas, comenta y con gusto te ayudamos. ¡Un saludo!

Fátima

Septiembre 2020

Hola, tengo una duda. Cuando el término independiente es una fracción, como 1/2, se usa 2 o -1/2?

Juan Manuel Sanchez Perez

Septiembre 2020

¡Hola, Fátima!

Si te refieres a que deseamos dividir por $x + 1/2$ , entonces debemos evaluar el polinomio en $-1/2$ . Debemos evaluar en el mismo número pero con signo cambiado: si es fracción, también será fracción. Incluso si se trata de un número irracional, debemos evaluar en el número irracional pero con signo cambiado (por ejemplo, si quisiéramos conocer el residuo al dividir por $x - \pi$ , entonces evaluamos $P(\pi)$ ).

Juan Villanueva

Septiembre 2020

Excelente página
me podrían ayudar con este ejercicio:
Dado el polinomio P(x); si (P(x) – 5) es divisible por (x + 5) y
(P(x) + 5) es divisible por (x – 5). ¿Cuál es el resto de dividir
P(x) entre (x2 – 25)

Raúl Hernández

Noviembre 2020

Saludos, muy bien por el materia, pero tengo una duda de cuales son los elementos del teorema del res… Gracias por ayudarme.. Soy Raúl

victroe manuel martinez

Enero 2021

¿Cuál es el residuo de la división de polinomios P(x) : Q(x), usando el teorema del resto: 1 P(X) = 5×2 − x + 1 y Q(x) = x – 1?

Luna

Enero 2021

Porque en el ejercicio dos, apartado d en vez de elevarlo a la cuarta el primer monomio se eleva a dos?

Superprof

Enero 2021

Hola Luna, gracias por el comentario, hemos corregido el error. ¡Un saludo!

Sandra

Enero 2021

243x⁵ -1 ÷ 3x + 1

Eros Flugel

Febrero 2021

Me parece que la respuesta de la ecuación d tiene un error en la última suma, me gusta mucho esta página, ha sido muy útil para mi, muchas gracias

Superprof

Febrero 2021

Hola Eros, gracias por tu comentario y por ayudarnos a mejorar nuestra página. ¡Un saludo!

Victor Cajas Hermosa

Marzo 2021

muy didactico

yenny

Marzo 2021

Determinar m para que el polinomio P(x) sea divisible por Q(x):

P(x) = mx3 – 7mx + 2
Q(x) = x + 3

jadhira

Abril 2021

al dividir p(x) por (2x-1) y (x+1) se obtiene los residuos 6 y 3 respectivamente.halla el residuo de divisor P(x) por (2x-1)(x+1)

pippa

Abril 2021

Hallar el residuo aplicando Ruffini

x4 – 3×3 + 5x – 8 entre x + 2

cristina

Mayo 2021

Mediante el teorema del resto, calcular el
residuo de dividir :
(x2 − 3x − 1)4 + 2(x − 3)5 + x / x − 4

Ana Laura

Mayo 2021

Cual es el resto de:
(x3+ 10×2 – 2000) : ( x + 10)

Oma f.

Junio 2021

Hola, será que me pueden ayuda con este ejercicio.
Determine el cociente y el resto de la división 2𝑥
7 + 2𝑥
4 + 𝑥
2 + 3𝑥
8 − 𝑥
6 − 𝑥
3 − 1 ∶
(𝑥
3 − 1). . Aplicando la regla de ruffini cuando el divisor es de grado mayor que 1 y los
exponentes de la variable no son múltiplos del exponentes de la variable del divisor.

krisbell

Junio 2021

Hola, por favor me puede ayudar con este ejercicio que por mas que intento no logro entenderlo: P(x)=mx^3-x+3m para que sea divisible por(2x+1)

NATALIA

Junio 2021

Buena tarde podrán ayudarme con este problema hallar sin efectuar la división de
de 〖2x〗^5+x^4-3x^3+4x+8 entre x+2
2x a la 5ta +X a la 4ta -3X al cubo +4X +8 entre x +2 UTILIZANDO LA DIVISIÓN SINTETICA POR FAVOR

El enrrique

Junio 2021

(2x^2+x^2-x+1)/(x-2) calcula el resto cuanto es

sebastian

Julio 2021

1) Calcular el cociente y el residuo:
𝑥6 − 2𝑥5 + 6𝑥3 − 7𝑥2 − 4𝑥 + 6

4 − 3𝑥2 + 2
𝑥

Diana

Agosto 2021

Los residuos obtenidos al dividir el polinomio P (x); (x + 2) * y * (x – 4) son 2 y 14 respectivamente.
Determine el residuo que se obtiene al efectuar la división P (x) / (x-2)(x-4).
Necesito ayudo por favor.

Ezequiel

Octubre 2021

30-13x-3×2
Como resuelve

Teorema del resto

Enunciado del teorema

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