Teorema del resto

 

El teorema del resto nos dice que el resto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma (x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a, es decir P(a).
 
Ejemplo:

P(x) = x4 − 3x2 +2

Q(x) = x − 3

Si calculamos P(x) : Q(x) usando la regla de Ruffini, obtenemos

 

teorema del resto

 

El último número (marcado con verde) indica el resto. Es 56.

Ahora, al evaluar P(x) en x=a,

P(3) = 34 − 3 · 32 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Notamos que también obtuvimos 56, lo que concuerda con el resultado de la regla de Ruffini.
 
Por tanto el teorema del resto nos permite conocer el resto de la división por un binomio del tipo (x − a).Basta con hallar el valor numérico de P(x) en x = a, es decir, por el valor del término independiente del binomio cambiado de signo.
 
El teorema del resto nos será muy útil para la descomposición en factores de un polinomio y para resolver determinado tipo de ecuaciones.

Ejercicios

 

1 Calcular, por el teorema del resto, el resto de la división (x5 − 32) : (x − 2). Comprueba con la regla de Ruffini.

 

1 Evaluar en x=2

Tenemos que hallar el valor numérico del polinomio para x = 2, es decir, para el término independiente del binomio cambiado de signo.

P(2) = (25 − 32)=32-32=0

Como el resto es nulo, esto nos indica que la división es exacta.

2 Comprobación vía Ruffini

Comprobamos la solución efectuando la división por Ruffini.

ruffini

 

2 Dado el polinomio: P(x) = 2x4 + x³ − 8x² − x + 6, halla el resto que se obtiene al dividirlo por:

  • (x + 1)
  • (x-1)
  • (x+2)
  • (x-2)

 

1 (x + 1)

En este caso x = −1

P(−1) = 2 · (−1)4 + (−1)³ − 8 · (−1)² − (−1) + 6 =

= 2 · 1 − 1 − 8 · 1 + 1 + 6 = 2 − 1 − 8 + 1 + 6 = 0

2 (x - 1)

Hallamos el valor numérico para x = 1

P(1) = 2 · 14 + 1³ − 8 · 1² − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3 (x +2)

Hallamos el valor numérico para x = −2

P(−2) = 2 · (−2)4 + (−2)³ − 8 · (−2)² − (−2) + 6 =

= 2 · 16 − 8 − 8 · 4 + 2 + 6 = 32 − 8 − 32 + 2 + 6 = 0

4 (x - 2)

Hallamos el valor numérico para x = 2

P(2) = 2 · 24 + 2³ − 8 · 2² − 2 + 6 = 2 · 16 + 8 − 8 · 4 − 2 + 6 =

=32 + 8 − 32 − 2 + 6 = 12

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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