Marta

12 noviembre 2020

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Enunciado del teorema

 

Recordemos que al dividir un polinomio P(x) por otro F(x) obtenemos un cociente Q(x) y un residuo R(x) tales que

 

\displaystyle P(x) = F(x)Q(x) + R(x)

 

en donde el grado de R(x) es estrictamente menor al grado de F(x). Otra forma de escribir la división es:

 

\displaystyle \frac{P(x)}{F(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{F(x)}

 

El teorema del resto nos ayuda a determinar el residuo o resto R(x) al dividir P(x) por un polinomio de la forma F(x) = x - a. El teorema enuncia lo siguiente:

 

Teorema: Sea P(x) un polinomio. Entonces el residuo resultante al dividir P(x) entre F(x) = x - a es igual que el resultado de evaluar el polinomio P(x) en a. Es decir,

 

\displaystyle R(x) = P(a)

 

Ejemplo: Consideremos los polinomios P(x) = x^4 - 3x^2 + 2 y F(x) = x - 3. Tenemos que

 

\displaystyle P(3) = 3^4 - 3\cdot 3^2 + 2 = 56

 

Por lo tanto, el residuo que resulta al dividir P(x) entre F(x) debería ser 56. Para verificarlo, utilizaremos la regla de Ruffini; primero colocamos los coeficientes del polinomio P(x) en la primera fila de nuestro arreglo y colocamos el 3 ligeramente a la izquierda:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& & & & &\end{array}

 

Luego, bajamos el 1 (el primer coeficiente de P(x)) debajo de la línea horizontal:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}

 

Después multiplicamos el 1 que tenemos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado es 3) y lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x):

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & & & &\end{array}

 

Después realizamos la resta de los números que están en la columna del segundo coeficiente (0 + 3 = 3) y colocamos el resultado debajo de la línea horizontal:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & & & \\\hline& 1 & 3 & & &\end{array}

 

Repetimos el procedimiento anterior. Multiplicamos el número que obtuvimos debajo de la línea horizontal por el 3 (cuyo resultado será 9); lo colocamos debajo del siguiente coeficiente de P(x) y luego sumamos los números:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & & \\\hline& 1 & 3 & 6 & &\end{array}

 

Repetimos el procedimiento, ahora con el 6:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & \\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 &\end{array}

 

Finalmente, repetimos el procedimiento una vez más, pero ahora con el 18:

 

\displaystyle \begin{array}{cccccc}& 1 & 0 & -3 & 0 & 2\\3 & & 3 & 9 & 18 & 54\\\hline& 1 & 3 & 6 & 18 & \vline \; 56\end{array}

 

De este último arreglo podemos ver que R(x) = 56, que era lo que esperábamos.

 

Nota: como podemos ver en el ejemplo anterior, el teorema del resto sólo nos dice el residuo que resulta al dividir por un polinomio. Si queremos encontrar el cociente Q(x) debemos realizar la división completa.

 

Nota: el teorema asume que estamos dividiendo por un polinomio de la forma F(x) = x - a. Si tenemos algún polinomio de la forma F(x) = x + a, entonces notemos que

 

\displaystyle F(x) = x + a = x - (-a)

 

Por tanto, para encontrar el residuo, simplemente evaluamos P(-a). En otras palabras, debemos evaluar en el término independiente de F(x) pero con signo cambiado.

 

Nota: Este teorema es muy importante, pues no permite saber si un polinomio es factor de P(x). Sabremos que x - a es factor de P(x) si P(a) = 0. Esto se conoce como teorema del factor.

 

Ejercicios

 

1 Calcula, utilizando el teorema del resto, el residuo de la división de P(x) = x^5 - 32 entre x - 2. Luego, comprueba con la regla de Ruffini.

 

1 Primero utilizaremos el teorema del resto. Para esto, debemos evaluar el polinomio en x = 2:

 

\displaystyle P(2) = 2^5 - 32 = 32 - 32 = 0

 

Por lo que el residuo es 0, lo cual nos indica que x - 2 es factor de P(x).

 

2 Ahora verificaremos utilizando la regla de Ruffini. Empezamos colocando los coeficientes del polinomio en la primera fila (recordemos que debemos colocar todos los coeficientes, incluso los de los términos x^4, x^3, etcétera); luego colocamos el 2 ligeramente a la izquierda y bajamos el primer coeficiente del polinomio:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & & & & & \\\hline& 1 & & & & &\end{array}}

 

Multiplicamos el número que está debajo de la línea horizonal por el 2, y lo colocamos debajo del coeficiente del segundo término. Después, sumamos los términos de esa columna:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & & & & \\\hline& 1 & 2 & & & &\end{array}}

 

Repetimos el procedimiento para el siguiente número que está debajo de la línea horizontal:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & & &\end{array}}

 

Repetimos de nuevo:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & &\end{array}}

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & \\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 &\end{array}}

 

y por último, obtenemos:

 

\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}& 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -32\\2 & & 2 & 4 & 8 & 16 & 32\\\hline& 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & \vline \; 0\end{array}}

 

Donde podemos comprobar que, efectivamente, el residuo de la división es 0.

 

2 Considera el polinomio P(x) = 2x^4 + x^3 - 8x^2 - x + 6. Encuentra el residuo que resulta al dividir por:

 

a x + 1

 

b x - 1

 

c x + 2

 

d x - 2

 

Utilizaremos el teorema del residuo para todos los casos:

 

a x + 1

 

Para determinar el residuo, sólo basta con evaluar P(x) en x = -1. Es decir,

 

\displaystyle P(-1) = 2(-1)^4 + (-1)^3 - 8(-1)^2 - (-1) + 6 = 0

 

Por tanto, el residuo es 0.

 

b x - 1

 

En este caso, debemos evaluar en x = 1. Así,

 

\displaystyle P(1) = 2 + 1 - 8 - 1 + 6 = 0

 

Así, el residuo también es 0.

 

c x + 2

 

Ahora debemos evaluar en x = -2. Esto es,

 

\displaystyle P(-2) = 2(-2)^4 + (-2)^3 - 8(-2)^2 - (-2) + 6 = 0

 

Por lo que el residuo es 0.

 

d x - 2

 

Por último, debemos evaluar en x = 2 para encontrar el residuo en este caso. Así,

 

\displaystyle P(2) = 2(2)^2 + 2^3 - 8(2)^2 - 2 + 6 = 12

 

De manera que, en este último caso, el residuo es 12.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗