Marta

9 noviembre 2020

Temas

 

En esta sección aprenderemos la definición de monomio, sus características, propiedades y algunas operaciones entre ellos.

 

¿Qué es un monomio?

 

Un monomio es una expresión algebraica de un sólo término que se compone del producto de incógnitas de variables (literales) cuyos exponentes son números enteros no negativos, y un número llamado coeficiente. Se denomina polinomio a la suma de varios monomios, por lo tanto podemos ver a un monomio como una clase de polinomio la cual poseé un único término.

 

El grado del monomio es la potencia más grande entre las variables.

 

Ejemplos de monomios son 7x, cuyo literal es x, su coeficiente es 7 y su grado es 1. Otro ejemplo es \frac{1}{2}z^5, cuyo literal es z, su coeficiente es \frac{1}{2} y su grado es 5. Un último ejemplo es 2x^4y en donde los literales son x y y, el coeficiente es 2 y su grado es 4. Por otro lado, 4x^{\frac{1}{3}} no es un monomio ya que su exponente es una fracción, de igual manera, \frac{1}{7}y^{-2} no es un monomio ya que su exponente es negativo.

 

Identifica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son monomios, además indica cuál es su grado y su coeficiente.

 

1 3x^3

 

2 5x^{-3}

 

3 3x + 1

 

4 \sqrt{2}x

 

5 -\frac{3}{x^4}

 

6 2 \sqrt{x}

 

Analizaremos si las exrpesiones cumplen con la definición, en caso de hacerlo, procederemos a identificar su grado y su coeficiente.

 

1 3x^3

 

Notemos que cumple con la definición de monomio. Además, dado que solo hay un literal y su pontencia es 3, entonces el grado del monomio es 3, además, su coeficiente también es 3.

 

2 5x^{-3}

 

Notemos que la potencia de la variable x es -3, por lo tanto no cumple la definición de monomio ya que no pueden tener potencias negativas.

 

3 3x + 1

 

No cumple la definición de monomio ya que un monomio debe componerse por un único término, aquí tenemos dos términos, 3x y 1. De hecho, éste es un binomio.

 

4 \sqrt{2}x

 

Cumple con la definición de monomio. Además el grado es 1 ya que el exponente de x es 1. El coeficiente es \sqrt{2}.

 

5 -\frac{3}{x^4}

 

No cumple con la definición de monomio ya que esta expresión es equivalente a -3x^{-4}, cuyo exponente es negativo.

 

6 2 \sqrt{x}

 

No cumple con la definición de monomio ya que esta expresión es equivalente a 2x^{\frac{1}{2}}, cuyo exponente no es entero, recordemos que el exponente debe ser entero no negativo.

 

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Operaciones básicas de monomios

 

Suma y resta de monomios

 

Para sumar o restar dos monomios y poder juntar los términos (simplificar), las variables que hay en ellos deben ser las mismas y, además, tener las mismas potencias. El resultado de la suma o resta será un monomio cuyo coeficiente será la suma o resta de los coeficientes que se estén sumando o restando multiplicando las variables con sus respectivas potencias. Por ejemplo, la suma 3xy^2 + 7xy^2 se puede simplificar ya que las variables o literales son las mismas, x y y, además estas tienen las mismas potencias, x tiene potencia 1 y y tiene potencia 2 en ambos monomios, por lo tanto la suma sería igual a

 

\displaystyle 3xy^2 + 7xy^2 = (3 + 7)xy^2 = 10xy^2

 

Por otro lado, la suma 2x^2y + 3xy no se puede simplificar ya que las potencias del literal x no son iguales, por lo tanto esta suma solo la podemos expresar como 2x^2y + 3xy. Si bien es cierto que podemos despejar una x de ambos monomios ese no es un tema que trataremos en este artículo.

 

Multiplicación y división de monomios

 

Sabemos que al multiplicar dos términos con misma base, el resultado es la base elevado a la suma de las potencias, en otras palabras, dados las expresiones con misma base a^w y a^v, su producto es

 

\displaystyle (a^w)(a^v) = a^{w + v}

 

Así, por ejemplo, el producto de 4^2 y 4^5 es

 

\displaystyle (4^{2})(4^{5}) = 4^{2 + 5} = 4^{7}

 

Ahora, con monomios es muy parecido, dados dos monomios, al hacer su producto, el coeficiente resultante será el producto de los respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas con la misma base y hacemos sus respectivos productos, en caso de haber variables que solo aparezcan en un monomio pero no el otro, entonces lo pasamos directamente. Así, por ejemplo, tomemos los monomios 3xy^2 z y 7 x^2, entonce sus producto es

 

\displaystyle (3xy^2 z)(7x^2) =(3)(7)(xx^2)y^2z = 21x^{3}y^2z

 

De manera análoga, sabemos que al dividir dos términos con misma base, el resultado es la base elevado a la resta de las potencias (la potencia del numerador menos la potencia del denominador), en otras palabras, dados las expresiones con misma base a^w y a^v, su división es

 

\displaystyle \frac{a^w}{a^v} = a^{w - v}

 

Así, por ejemplo, el producto de 4^2 y 4^5 es

 

\displaystyle \frac{4^2}{4^5} = 4^{2 - 5} = 4^{-3}

 

Ahora, con monomios es muy parecido, dados dos monomios, al hacer su división, el coeficiente resultante será división de los respectivos coeficientes y respecto a las variables simplemente agrupamos aquellas con la misma base y hacemos sus respectivas divisiones, en caso de haber variables en el numerador que no estén en el denominador, entonces las pasamos directamente, sin embargo, si hay variables en el denominador que no estén en el numerador, entonces las pasamos pero cambiando el signo de la potencia. Así, por ejemplo, tomemos los monomios 3xy^2 y 7 x^2z, entonce sus división es

 

\displaystyle \frac{3xy^2}{7 x^2z} = \frac{3}{7} \frac{x}{x^2}y^2 z^{-1} = \frac{3}{7} x^{-1}y^2 z^{-1}

 

Potencias de monomios

 

Las potencias de monomios son simples. Simplemente es elevar tanto el coeficiente como cada literal a la potencia a la cual elevamos todo el monomio. Claro, siempre aplicando las propiedades de exponente. Así, si queremos elevar, por ejemplo, el monomio 3xy^2 a la potencia 4, tenemos que

 

\displaystyle \left( 3xy^2 \right)^4 = 3^4 x^4 \left( y^2 \right)^4 = 81 x^4 y^{(2)(4)} = 81 x^4 y^{8}

 

Ejercicios sobre operaciones de monomios

 

Ejercicios de sumas y restas de monomios

 

1 2x^2y^3z + 3x^2y^3z

 

2 2x^3 - 5x^3

 

3 3x^4 - 2x^4 + 3x^3

 

4 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c

 

Para resolver estos ejercicio haceremos uso de la explicación de suma y resta de monomios que vimos previamente.

 

1 2x^2y^3z + 3x^2y^3z

 

Como ambos monomios tienen los mismos literales y estos tienen las mismas potencias, podemos simplificar directamente

 

    \begin{align*} 2x^2y^3z + 3x^2y^3z &= (2 + 3)x^2y^3z\\&= 5x^2y^3z\end{align*}

 

2 2x^3 - 5x^3

 

Como ambos monomios tienen los mismos literales y estos tienen las mismas potencias, podemos simplificar directamente

 

    \begin{align*} 2x^3 - 5x^3&= (2 - 5)x^3\\&= -3x^3\end{align*}

 

3 3x^4 - 2x^4 + 3x^3

 

Notemos que todos los monomios tienen lo mismo literales, sin embargo solo dos monomios tienen los literales con las mismas potencias, por lo tanto solo se pueden simplificar estos dos

 

    \begin{align*} 3x^4 - 2x^4 + 3x^3 &= (3 - 2)x^4 + 3x^3\\&= x^4 + 3x^3\\\end{align*}

 

4 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c

 

Notemos que todos los monomios tienen lo mismo literales, sin embargo, no todos tienen estos elevados a las mismas potencias. Vamos a agrupas aquellos monomios que cumplan tener los mismo literales y estos tengas las mismas potencias y así simplificaremos

 

    \begin{align*} 2a^2bc^3 - 5a^2b^3c - 3a^2bc^3 + 7a^2b^3c &= (2-3)a^2bc^3 + (-5 + 7)a^2b^3c\\&= -(1)a^2bc^3 + (2)a^2b^3c\\&= -a^2bc^3 + 2a^2b^3c\\\end{align*}

 

Ejercicios de productos de monomios

 

1 (2x^3)(5x^3)

 

2 (12x^3)(4x)

 

3 (5)(6xy^2z^5)

 

4 (3x^2y)(15y^7z^3)

 

5 (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2)

 

Para resolver estos ejercicio haceremos uso de la explicación de producto de monomios que vimos previamente. Recordemos agrupar variables iguales y coeficientes.

 

1 (2x^3)(5x^3)

 

    \begin{align*} (2x^3)(5x^3) &= ((2)(5))(x^3x^3)\\&= 10x^{3 + 3}\\&= 10x^{6}\\\end{align*}

 

2 (12x^3)(4x)

 

    \begin{align*} (12x^3)(4x) &= ((12)(4))(x^3x)\\&= 48x^{3 + 1}\\&= 48x^{4}\\\end{align*}

 

3 (5)(6xy^2z^5)

 

    \begin{align*} (5)(6xy^2z^5) &= ((5)(6))xy^2z^5\\&= 30 xy^2z^5\\\end{align*}

 

4 (3x^2y)(15y^7z^3)

 

    \begin{align*} (3x^2y)(15y^7z^3) &= ((3)(15))x^2(yy^7)z^3\\&= (45)x^2y^{1 + 7}z^3\\&= 45x^2y^8z^3\\\end{align*}

 

5 (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2)

 

    \begin{align*} (-2x^4)(6xy^5)(-7xz^2) &= ((-2)(6)(-7))(x^4 x x)y^5 z^2\\&= (84)x^{4 +1 + 1}y^5 z^2\\&= 84x^6y^5 z^2\\\end{align*}

 

Ejercicios de divisiones de monomios

 

1 (12x^3) : (4x)

 

2 (18x^6y^2z^5) : (6x^3y)

 

3 \displaystyle \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2}

 

4 \displaystyle \frac{3x^2y}{15y^7z^3}

 

5 \displaystyle \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4}

 

Para resolver estos ejercicio haceremos uso de la explicación de división de monomios que vimos previamente. Recordemos agrupar variables iguales y coeficientes.

 

1 (12x^3) : (4x)

 

    \begin{align*} (12x^3) : (4x) &= \frac{12x^3}{4x}\\&= \frac{12}{4}\frac{x^3}{x}\\&= 3 x^{3 - 1}\\&= 3 x^{2}\\\end{align*}

 

2 (18x^6y^2z^5) : (6x^3y)

 

    \begin{align*} (18x^6y^2z^5) : (6x^3y) &= \frac{18x^6y^2z^5}{6x^3y}\\&= \frac{18}{6}\frac{x^6}{x^3}\frac{y^2}{y} z^5\\&= 3 x^{6-3} y^{2 - 1} z^5\\&= 3 x^{3} y z^5\\\end{align*}

 

3 \displaystyle \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2}

 

    \begin{align*} \frac{6x^3y^4z^2}{3x^2y^2z^2} &= \frac{6}{3}\frac{x^3}{x^2}\frac{y^4}{y^2}\frac{z^2}{z^2}\\&= 2 x^{3 - 2} y^{4 - 2} z^{2 - 2}\\&= 2 x y^{2} z^{0}\\&= 2 x y^{2}\end{align*}

 

4 \displaystyle \frac{3x^2y}{15y^7z^3}

 

    \begin{align*} \frac{3x^2y}{15y^7z^3} &= \frac{3}{15}x^2\frac{y}{y^7} z^{-3}\\&= \frac{3}{15}x^2 y^{1 - 7} z^{-3}\\&= \frac{1}{5}x^2 y^{- 6} z^{-3}\\\end{align*}

 

5 \displaystyle \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4}

 

    \begin{align*} \frac{12x^3y^5 + 18x^4y^5 - 48y^3}{6x^4y^4} &= \frac{12x^3y^5}{6x^4y^4} + \frac{18x^4y^5}{6x^4y^4} - \frac{48y^3}{6x^4y^4}\\&=\frac{12}{6}\frac{x^3}{x^4}\frac{y^5}{y^4} + \frac{18}{6}\frac{x^4}{x^4}\frac{y^5}{y^4} - \frac{48}{6}x^{-4}\frac{y^3}{y^4} \\&=2x^{3 - 4}y^{5 - 4} + 3x^{4 - 4}y^{5 - 4} - 8 x^{-4}y^{3-4} \\&=2x^{-1}y+ 3x^{0}y - 8 x^{-4}y^{-1} \\&=2x^{-1}y+ 3y - 8 x^{-4}y^{-1} \\\end{align*}

 

Ejercicios de potencias de monomios

 

1 \left( 2x^3\right)^{3}

 

2 \left( -3 x^2\right)^{3}

 

3 \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2}

 

Para resolver estos ejercicio haceremos uso de la explicación de potencias de monomios que vimos previamente. Recordemos elevar a dicha potencia variables y coeficientes.

 

1 \left( 2x^3\right)^{3}

 

    \begin{align*} \left( 2x^3\right)^{3} &= 2^3\left( x^3\right)^{3}\\&= 8x^{(3)(3)}\\&= 8x^{9}\\\end{align*}

 

2 \left( -3 x^2\right)^{3}

 

    \begin{align*} \left(-3 x^2\right)^{3} &= (-3)^3\left( x^2\right)^{3}\\&= -27x^{(2)(3)}\\&= -27x^{6}\\\end{align*}

 

3 \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2}

 

    \begin{align*} \left( \frac{2}{3} x^3\right)^{2} &= \left( \frac{2}{3}\right)^{2}\left( x^3\right)^{2}\\&= \frac{2^2}{3^2} x^{(3)(2)}\\&= \frac{4}{9} x^{6}\\\end{align*}

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗