Marta

9 diciembre 2019

Temas

Existen diversos tipos de sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas. La razón de esto es porque cada ecuación lineal de dos variables, puede ser representada por una recta en el plano, y si son dos ecuaciones entonces tenemos a dos rectas, las cuales pueden aparecer de las siguientes tres maneras:

 

  • Dos rectas que se cortan en un solo punto
  • Dos rectas que coinciden en una infinidad de puntos
  • Dos rectas que son paralelas, no coinciden en algún punto

 

Debido a estas razones, es necesario clasificar a los sistemas de ecuaciones, ya que cada uno presenta diferente situación.

 

Sistema compatible determinado

 

Este sistema, es aquel que tiene una única solución, es decir, las dos rectas  se cortan en un sólo punto del plano.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3x-4y & = & -6 \\ 2x+4y & = & 16 \end{matrix}\right.

 

Busquemos primero su solución analítica por el método de reducción de variables, recordemos que consiste en multiplicar a una ecuación por un número adecuado, como para lograr cancelar una variable al sumar ambas ecuaciones

 

\displaystyle\left\{\begin{matrix} 3x-4y & = & -6 \\ 2x+4y & = & 16 \end{matrix}\right. \Rightarrow 5x=10 \Rightarrow x=2

 

y como este resultado ya podemos encontrar el otro valor

 

\displaystyle y=\frac{3x+6}{4} \Rightarrow y=\frac{3(2)+6}{4}=\frac{12}{4}=3

 

por lo tanto, el punto de intersección entre las dos rectas es

 

\displaystyle \left ( x,y \right )=\left ( 2,3 \right )

 

Gráficamente la solución es el punto de corte (intersección) de las dos rectas.

 

 

grafica de la interseccion finita de dos rectas

 

 

Sistema compatible indeterminado

 

La característica principal de este sistema es que tiene infinitas soluciones, en otras palabras, las dos rectas tienen la misma gráfica, significa que cualquier punto de una recta también será de la otra, de ahí que existan infinitas soluciones.

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y & = & 1 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right.

 

Veamos la solución analítica

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y & = & 1 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}-2x-2y & = &-2 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow 0=0

 

nos damos cuanta de que llegamos a una igualdad que siempre ocurrirá, indicando que cualesquiera puntos \displaystyley (x,y) serán solución del sistema siempre y cuando pertenezcan a una recta, por ejemplo \displaystyle x+y=1

 

Gráficamente obtenemos dos rectas coincidentes. Cualquier punto de la recta es solución.

 

 

grafica de dos rectas coincidentes

 

 

Sistema incompatible

 

Aquí ambas rectas son paralelas, no hay puntos en común, significa que no tiene solución el sistema

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y & = & 3 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right.

 

veamos la solución analítica

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} x+y & = & 3 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} -2x-2y & = & -6 \\ 2x+2y & = & 2 \end{matrix}\right. \Rightarrow 0=-4

 

llegando a que \displaystyle 0=-4 lo cual es notablemente una contradicción. Indicando que NO existen puntos en el plano que satisfagan a las dos ecuaciones de las rectas al mismo tiempo.

Gráficamente obtenemos dos rectas paralelas.

 

 

grafica de dos rectas paralelas

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗