Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

 

\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots +a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots +a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right.

 

Este tipo de sistemas sólo admite la solución trivial: x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0.

 

La expresión en forma matricial viene dada por

 

\left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)

 

Observamos que todo sistema lineal homogéneo es compatible, ya que admite la solución trivial, pero ¿cómo determinamos si es determinado o indeterminado?

 

La respuesta a la pregunta anterior fue dada en 1875 por el matemático frances Eugène Rouché en su artículo, Sur la discussion des equations du premier degré, publicado en el volume 81 de Comptes Rendus de la Académie des Sciences. Actualmente el resultado de Rouché se conoce como el Teorema de Rouché - Frobënius y aunque no se encuentra escrito como originalmente fue formulado, su esencia se sigue preservando.

 

Teorema de Rouché - Frobënius

 

Sean  A la matriz de coeficientes y  A' la matriz ampliada del sistema de  m ecuaciones lineales con  n incógnitas. Si r y  r' son el rango de  A y  A' , respectivamente:

 

El sistema es compatible si los rangos coinciden r = r'. Además, si r = n, el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única.

 

Si el sistema es compatible, r = r', pero r < n, el sistema es compatible indeterminado; es decir, tiene una infinidad de soluciones.

 

El sistema es incompatible si los rangos son distintos r \neq r', es decir, el sistema no tiene solución.

 

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas, o dicho de otra forma, que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo.

r < n

Observemos que esto se debe a que:

De este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A)=r(A') y su valor es menor al número de incógnias, siendo así el sistema compatible indeterminado.

 

Ejemplos

 

 

 

 

 

 

 

 

r = 3 n = 3

 

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗