Si un sistema de m ecuaciones y n incógnitas tiene todos los términos independientes nulos se dice que es homogéneo.

 

\left \{ \begin{array}{c} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots +a_{1n}x_n = 0 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots +a_{2n}x_n = 0 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots +a_{mn}x_n = 0 \end{array} \right.

 

Este tipo de sistemas sólo admite la solución trivial: x_1 = x_2 = \dots = x_n = 0.

 

La expresión en forma matricial viene dada por

 

\left ( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right) \cdot \left ( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)

 

Observamos que todo sistema lineal homogéneo es compatible, ya que admite la solución trivial, pero ¿cómo determinamos si es determinado o indeterminado?

 

La respuesta a la pregunta anterior fue dada en 1875 por el matemático frances Eugène Rouché en su artículo, Sur la discussion des equations du premier degré, publicado en el volume 81 de Comptes Rendus de la Académie des Sciences. Actualmente el resultado de Rouché se conoce como el Teorema de Rouché - Frobënius y aunque no se encuentra escrito como originalmente fue formulado, su esencia se sigue preservando.

 

Teorema de Rouché - Frobënius

 

Sean  A la matriz de coeficientes y  A' la matriz ampliada del sistema de  m ecuaciones lineales con  n incógnitas. Si r y  r' son el rango de  A y  A' , respectivamente:

 

El sistema es compatible si los rangos coinciden r = r'. Además, si r = n, el sistema es compatible determinado; es decir, tiene solución única.

 

Si el sistema es compatible, r = r', pero r < n, el sistema es compatible indeterminado; es decir, tiene una infinidad de soluciones.

 

El sistema es incompatible si los rangos son distintos r \neq r', es decir, el sistema no tiene solución.

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Vamos

Teorema de Rouché - Frobënius en sistemas homegéneos

La condición necesaria y suficiente para que un sistema homogéneo tenga soluciones distintas de la trivial es que el rango de la matriz de los coeficientes sea menor que el número de incógnitas.

 

r < n

 

Para el caso m = n, basta con que el determinante de la matriz de los coeficientes sea nulo

 

Observemos que esto se debe a que de este modo estamos en el caso del teorema de Rouche en el que r(A) = r(A') y su valor es menor al número de incógnitas, siendo así el sistema compatible indeterminado.

 

Ejemplo: Determinar si el siguiente sistema es compatible determinado o indeterminado

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0 \\ x - y = 0 \\ x + 3y + 2z = 0 \end{array} \right.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& -1& 0 \\ 1& 3& 2 \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el rango de la matriz de coeficientes.

 

Tiene rango al menos 1, ya que

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

Tiene rango al menos 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0.

 

No tiene rango 3, ya que

 

\begin{array}{rcl}\begin{vmatrix} 1& 1& 1 \\ 1& -1& 0 \\ 1& 3& 2 \end{vmatrix} & =  & \begin{vmatrix} 1& 1 \\ 3& 2 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1& 1 \\ 1& 2 \end{vmatrix} \\\\  & = &  -1 + 1 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

3 Como r = 2, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible indeterminado, esto es, posee infinitas soluciones.

 

Ejemplo: Determinar si el siguiente sistema es compatible determinado o indeterminado

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + z = 0 \end{array} \right.

 

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 2 \\ 3& -1& -2 \\ -1& 2& 1 \end{pmatrix}

 

2 Ahora como m = n, en vez de calcular el rango de la matriz de coeficientes, calculamos su determinante

 

\begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1& 1& 2 \\ 3& -1& -2 \\ -1& 2& 1 \end{vmatrix} & =  & \begin{vmatrix} -1& -2 \\ 2& 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \\\\  & = &  3 - 1 + 10 \\\\ & = & 12 \end{array}

 

3 Como r = 3, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible indeterminado, esto es, posee solución única

 

x = y = z = 0

 

 

Ejercicios propuestos

 

Determinar si los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneas son compatibles determinados o compatibles indeterminados

 

1\left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0 \end{array} \right.

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 3& -2 \end{pmatrix}

 

2 El rango de la matriz de coeficientes es 1, ya que

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

3 Como r = 1, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible indeterminado, esto es, posee infinitas soluciones.

 

4 Calculamos las soluciones, para esto expresamos una variable en término de las dos restantes ya que el sistema consta de una sola ecuación

 

 x = -3y + 2z

 

Hacemos  y = \lambda, \  z = \mu con \lambda, \mu números reales

 

luego las soluciones son de la forma  x = 2 \mu - 3\lambda, \ y = \lambda, \ z = \mu

 

 

2\left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0  \\ x - y + z = 0 \end{array} \right.

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 3& -2 \\  1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 El rango de la matriz de coeficientes es 2, ya que

 

 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\  1 & -1 \end{vmatrix} = -4 \neq 0 .

 

3 Como r = 2, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible indeterminado, esto es, posee infinitas soluciones.

 

4 Calculamos las soluciones, para esto aplicamos la reducción de Gauss. Cambiamos la fila f_2 por f_2 - f_1

 

 \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\  1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 \\  0 & -4 & 3 \end{pmatrix}

 

Obtenemos el sistema equivalente

 

Hacemos \left \{ \begin{array}{c} x + 3y - 2z = 0  \\ - 4y + 3z = 0 \end{array} \right.

 

Hacemos  z = \mu y obtenemos

 

 y = \cfrac{3 \mu}{4} .

 

Sustituimoslos valores de  y, z y obtenemos

 

 x = -\cfrac{\mu}{4} .

 

luego las soluciones son de la forma  x = -\cfrac{\mu}{4}, \ y = \cfrac{3 \mu}{4}, \ z = \mu

 

 

3\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0  \\ 2x + 4y + 3z = 0 \\ -x + y = 0 \end{array} \right.

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} & =  & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} \\\\  & = &  1 - 1 \\\\ & = & 0 \end{array}

 

3 Como r \leq 2, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible indeterminado, esto es, posee infinitas soluciones.

 

4 Calculamos las soluciones, para esto aplicamos la reducción de Gauss. Cambiamos las filas f_2, f_3 por f_2 - 2f_1, f_3 + f_1

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}

 

Cambiamos la fila f_3 por f_3 - f_2

 

 \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  0 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

 

Obtenemos el sistema equivalente

 

\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0  \\ 2y + z = 0 \end{array} \right.

 

Hacemos  z = \lambda y obtenemos

 

 y = -\cfrac{\lambda}{2} .

 

Sustituimoslos valores de  y, z en la primera ecuación y obtenemos

 

 x = -\cfrac{3 \lambda}{2} .

 

luego las soluciones son de la forma  x = -\cfrac{3 \lambda}{2}, \ y = -\cfrac{\lambda}{2}, \ z = \lambda

 

 

4\left \{ \begin{array}{c} x + y + z = 0  \\ 2x + 4y + 3z = 0 \\ -x + y + z = 0 \end{array} \right.

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & =  & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} \\\\  & = &  1 - 1 + 2 \\\\ & = & 2 \end{array}

 

3 Como r = 3, \ n = 3, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible determinado, esto es, posee solución única. Por lo tanto, la solución es x = y = z = 0.

 

 

5\left \{ \begin{array}{c} x + y + z + w = 0  \\ 2x + 4y + 3z - 4w = 0 \\ -x + y + z = 0 \\ x - z = 0\end{array} \right.

1 Formamos la matriz de coeficientes.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes

 

 \begin{array}{rcl}\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\  2 & 4 & 3 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} & =  & -\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & -4 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \\\\  & = & -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -4 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} \\\\ & = & 7 - 8 - 1 + 5 - 6 \\\\ & = & -3 \end{array}

 

3 Como r = 4, \ n = 4, por el Teorema de Rouché - Frobënius concluimos que el sistema es compatible determinado, esto es, posee solución única. Por lo tanto, la solución es x = y = z = w = 0.

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗