Explicación del método de sustitución para sistema de ecuaciones

 

El método de sustitución, como su nombre lo dice consiste en sustituir el valor de
una variable obtenido en una  de las ecuaciones y sustituirlo en la otra ecuación.

 

Los sistemas de ecuaciones tienen una característica o regla muy importante:

 

Cuando un sistema de ecuaciones tiene mas incógnitas(variables) que numero de ecuaciones, entonces el sistema tiene soluciones infinitas,  es decir, cada variable puede tomar diferentes valores, tal que cumplan siempre con la ecuación, la cantidad de valores que puede tomar cada  variable es infinita.

 

Dada la ecuación :

 

x+y=4

 

Observamos que se trata de una ecuación con dos variables.

Rápidamente podemos darnos cuenta de algunos de  los valores que son solución:

 

\displaystyle x=1; y=3

 \displaystyle x=0; y=4

 \displaystyle x=2; y=2

\displaystyle x=3; y=1

 \displaystyle x=-10; y=14

 

Notemos, que existe una cantidad infinita de valores que podemos asignar q \displaystyle x y \displaystyle y para que sean solución.

 

Por otra parte, cuando el sistema tiene mas ecuaciones que incógnitas, entonces el sistema tiene una única solución.

 

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Ejemplo del método de sustitución

 

\displaystyle\left\lbrace x+y=4 \atop x+2y=6 \right.

 

Ecuación I    \displaystyle x+y=4

Ecuación II \displaystyle x+2y=6

 

Despejamos cualquiera de las 2 variables en una de las 2 ecuaciones, (siempre debemos buscar la que requiera menos trabajo algebraico para  nuestra comodidad), en este caso, despejaremos x en la Ecuación I.

 

 \displaystyle x+y=4  \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=4-y

 

A eso se le llama "Valor de \displaystyle  x respecto a \displaystyle  y "

 

Sustituimos el valor despejado en la otra ecuación, en este caso, sustituimos el valor de \displaystyle x en la Ecuación II

 

\displaystyle x+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  (4-y)+2y=6

 

Como podemos notar, ahora en la ecuación solo esta la variable y . Esta ecuación se puede simplificar y despejar para obtener el valor de  \displaystyle y .

 

\displaystyle (4-y)+2y=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \   4+y=6 \rightarrow y=6-4 \rightarrow y=2

 

Una vez que tengamos el valor de una de las variables, en este caso el de \displaystyle y, podemos sustituirlo en cualquiera de las 2 ecuaciones para encontrar el valor  de la otra variable, en este caso \displaystyle x.

 

\displaystyle x+(2)=4 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=4-2 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=2

\displaystyle x+2(2)=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x+4=6 \ \ \ \rightarrow \ \ \  x=6-4 \ \ \ \rightarrow \ \ \ x=2

 

Y así obtenemos el valor de nuestras variables en un sistema de ecuaciones y notamos que
la solución es ÚNICA.

Ejercicios propuestos del método de sustitución

 

1 Sistema de ecuaciones 1

 

Sistema de ecuaciones 1

Despejamos la x en la segunda ecuación y se simplifica dividiendo entre 2

Despejando x. 1

Sustituimos en la otra ecuación el valor de la variable x y resolvemos la ecuación

Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación. 1

Valor de la variable y. 1

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

Valor de la variable x. 1

Resultado

 

2 Sistema de ecuaciones 2

 

Sistema de ecuaciones 2

Despejamos la x en la segunda ecuación

Despejando x. 2

Sustituimos en la otra ecuación la variable x y resolvemos la ecuación

Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación. 2

Valor de la variable y. 2

 

Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

Valor de la variable x. 2

 

3 Sistema de ecuaciones 3

 

Sistema de ecuaciones 3

Quitamos denominadores en la primera ecuación y ordenamos la segunda

Simplificación de la ecuación.3

 

Despejamos la x en la segunda ecuación

Despejando x. 3

 

Sustituimos x en la otra ecuación

(2y) + 3y = 10       5y = 10     y = 2

 

Sustituimos el valor de y en la x despejada

x = 2 · 2      x = 4

 

4 Sistema de ecuaciones 4

 

Sistema de ecuaciones 4

Quitamos denominadores

Simplificación de las ecuaciónes

 

Operamos en la segunda ecuación

Simplificación de la ecuación. 4

 

Despejamos la x en la primera ecuación

Despejando x. 4

 

Sustituimos en la segunda ecuación y la resolvemos la ecuación

Valor de la variable y. 4

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

Valor de la variable x. 4

 

5 Sistema de ecuaciones 5

 

Sistema de ecuaciones 5

Despejamos la x en la primera ecuación

Despejando x. 5

 

Sustituimos el valor de x en la otra ecuación y resolvemos la ecuación

Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación. 5

Valor de la variable y. 5

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

Valor de la variable x. 5

 

6 Sistema de ecuaciones 6

 

Sistema de ecuaciones 6

Despejamos la x en la primera ecuación

Despejando x. 6

 

Sustituimos el valor de x en la otra ecuación y resolvemos la ecuación

Sustituyendo el valor de x en la segunda ecuación. 6

Para hacer los cálculos, vamos a necesitar poner todos los elementos de la ecuación al mismo denominador (3). Para hacerlo, vamos a multiplicar el 3y por (3/3) y le -2 por (3/3).  En realidad 3/3 = 1, se trata simplemente de un truco para facilitar el cálculo. Obtenemos:

\displaystyle \frac{28-8y}{3} - \frac{9y}{3}= \frac{-6}{3}

Teniendo el mismo denominador, nos podemos deshacer de este mismo y obtenemos:

Valor de la variable y. 6

 

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

Valor de la variable x. 6

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗