Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen el mismo conjunto de soluciones, aunque tengan distinto número de ecuaciones. Los sistemas de ecuaciones equivalentes tienen que tener el mismo número de incógnitas. Dos ecuaciones con dos incógnitas por ejemplo, forman un sistema, cuándo lo que pretendemos de ellas es encontrar su solución común.

 

\left\{\begin{matrix} a_1x&+ &b_1y & = &c_1 & \\ a_2x&+ & b_2y & =&c_2 \end{matrix}\right.

La solución de un sistema es un par de números x_1, y_1 , tales que reemplazando x por x_1e y por y_1, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones. 

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

 

Todos los coeficientes son ceros.

Dos ecuaciones son iguales.

Una ecuación es proporcional a otra.

Una ecuación es combinación lineal de otras.

 

Ejemplo de sistema de ecuaciones equivalente

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right.

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

\displaystyle \left\{\begin{matrix} 3 \cdot 2&- &4 \cdot 3 & = &-6 & \\ 2 \cdot 2 &+ & 4 \cdot 3 & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 6&- &12 & = &-6 & \\ 4&+ & 12 & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} -6 & = &-6 & \\ 16 & =&16 \end{matrix}\right.

 

¿Cómo comprobar que un sistema de ecuaciones es equivalente? 

 

 1  Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 3x&- &4y &+&3& = &-6 & +&3\\ 2x&+ & 4y &-&5y &=&16&-&5y \end{matrix}\right.

 

Las soluciones del sistema siguen siendo:

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

 2  Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 3 \cdot (3x&- &4y) & = &-6 \cdot 3 & \\ \frac{2x}{2}&+ & \frac{4y}{2} &=&\frac{16}{2}& \end{matrix}\right.

 

Las soluciones del sistema siguen siendo:

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

 3  Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y &+&3x&-&4y &=&16&-6 \end{matrix}\right.

 

Las soluciones del sistema siguen siendo:

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

 4  Si en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6  & \\ \frac{2x}{2}&+ & \frac{4y}{2} &=&\frac{16}{2}& \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6  & \\ x&+ & 2y &=&8& \end{matrix}\right.

 

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y &+&x&+&2y& = &-6 &+8 \\ x&+ & 2y & =&8 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 4x&- &2y & = &2 & \\ x&+ & 2y &=&8& \end{matrix}\right. 

 

Las soluciones del sistema siguen siendo:

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

 

 5  Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} 2x&+ & 4y & =&16 \\ 3x&- &4y & = &-6 & \end{matrix}\right.

 

\left\{\begin{matrix} 3x&- &4y & = &-6 & \\ 2x&+ & 4y & =&16 \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} -4y&+ & 3x & =&-6 \\ 4y&+ &2x & = &16 & \end{matrix}\right.

 

Las soluciones del sistema siguen siendo:

 

x=2 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y=3

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗