Problemas de áreas y perímetros

 

1¿Cuál es el área de un rectángulo sabiendo que su perímetro mide 16 \ cm y que su base es el triple de su altura?

1 Establecemos las variables

 

x = base del rectángulo

y = altura del rectángulo

 

2 Escribimos las ecuaciones

 

2x + 2y = perímetro

 

3Formamos el sistema, en la primera ecuación se establece la realación entre la base con la altura y en la segunda el perímetro

 

\left\{ \begin{array}{l} x = 3y \\\\ 2x + 2y = 16 \end{array} \right.

 

4Sustituimos el valor de x de la primera ecuación en la segunda ecuación, de modo que calculmos el valor de y

 

\begin{array}{r}2(3y) + 2y = 16 \\ 8y = 16 \\ y = 2 \end{array}

 

5Para hallar el valor de x sustitimos en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x = 3(2) \\ x = 6 \end{array}

 

6Así, la base mide 6 \ cm y la altura es 2 \ cm

 

2La base de un triángulo es tres unidades mayor que su altura. Si su área es 35 \ cm^2, ¿cuáles son las medidas del triángulo?

1 Establecemos las variables

 

x = base del triángulo

y = altura del triángulo

 

2 Escribimos las ecuaciones

 

x = y + 3

 

3Formamos el sistema, en la primera ecuación se establece la realación entre la base con la altura y en la segunda el área

 

\left\{ \begin{array}{l} x = y + 3 \\\\ \cfrac{xy}{2} = 35 \end{array} \right.

 

4Sustituimos el valor de x de la primera ecuación en la segunda ecuación, de modo que calculmos el valor de y

 

\begin{array}{r} \cfrac{(y + 3)y}{2} = 35 \\ y^2 + 3y - 70 = 0 \\ (y + 10)(y - 7) = 0 \end{array}

 

luego el valor es y = 7, (el valor y = -10 no se considera ya que no se tiene medidas negativas).

 

5Para hallar el valor de x sustitimos en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x = 7 + 3 = 10 \end{array}

 

6Así, la base mide 10 \ cm y la altura es 7 \ cm

Problemas de la granja

 

1Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

1 Establecemos las variables

 

x = número de pavos

y = número de cerdos

 

2 Escribimos las ecuaciones, en la primera ecuación relacionamos las cabezas y en la segunda ecuación las patas

 

\left\{ \begin{array}{l} x  + y = 58 \\\\ 2x + 4y = 168 \end{array} \right.

 

3Resolvemos el sistema por reducción, multiplicando la primera ecuación por −2

 

\left\{ \begin{tabular}{r} -2x  - 2y = -116 \\ 2x + 4y = 168 \\ \hline 2y = 52  \\  y = 26 \end{tabular} \right.

 

4Para hallar el valor de x sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x + 26 = 58 \\ x = 32 \end{array}

 

5Así, hay 32 pavos y 26 cerdos

 

 

2Pedro y Juan tienen pavos. Juan dice: si me das 2 pavos, tendremos la misma cantidad; Pedro responde: si me das 2 pavos tendría tres veces más de lo que tu tuvieras. ¿Cuántos pavos tiene cada uno?

1 Establecemos las variables

 

x = número de pavos de Pedro

y = número de pavos de Juan

 

2 Escribimos las ecuaciones

 

\left\{ \begin{array}{l} x - 2 = y + 2 \\\\ x + 2 = 3(y - 2) \end{array} \right.

 

3Despejamos x en la primera ecuación y sustituimos en la segunda

 

\begin{array}{r} (y + 4) + 2 = 3y - 6 \\ -2y = -12 \\ y = 6 \end{array}

 

4Para hallar el valor de x sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x - 2 = 6 + 2 \\ x = 10 \end{array}

 

5Así, Pedro tiene 10 pavos y Juan tiene 6 pavos

 

 

3María va al mercado y compra 3 manzanas y 2 naranjas por 8 €. Si hubiese comprado 2 manzanas y 3 naranjas hubiéra pagado 7 €. ¿Cuál es el precio de cada fruta?

 

1 Establecemos las variables

 

x = precio de la manzana

y = precio de la naranja

 

2Formamos el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} 3x + 2y = 8 \\\\ 2x + 3y = 7 \end{array} \right.

 

3Realizamos es sistema por reducción, multiplicando la primera ecuación por −2 y la segunda por 3

 

\begin{tabular}{r} -6x - 4y = -16 \\ 6x + 9y = 21 \\ \hline 5y = 5 \\ y = 1 \end{array}

 

4Calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r} 3x + 2(1) = 8 \\ 3x = 6 \\ x = 2 \end{array}

 

5 Así, el precio de la manzana es 2 € y el de la naranja es 1

 

Problemas aritméticos

 

1La cifra de las decenas de un número de dos cifras es el doble de la cifra de las unidades, y si a dicho número le restamos 27 se obtiene el número que resulta al invertir el orden de sus cifras. ¿Cuál es ese número?

1 Establecemos las variables

 

x = cifra de las unidades

y = cifra de las decenas

 

2 Representamos el número

 

\begin{array}{l}10x + y \end{array}

 

3 Representamos el número invertido

 

\begin{array}{l}10y + x \end{array}

 

4Formamos el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} y = 2x \\\\ (10y + x) - 27 = 10x + y \end{array} \right.

 

5Sustituimos el valor de y en la segunda ecuación

 

10 \cdot 2x + x - 27 = 10x + 2x

 

6Resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{r}20x + x - 12x = 27 \\ x = 3 \end{array}

 

7Calculamos el valor de y

 

y = 2 \cdot 3 = 6

 

8El número buscado es 63

 

 

2Encuentra un número de dos cifras sabiendo que su cifra de la decena suma 5 con la cifra de su unidad y que si se invierte el orden de sus cifras se obtiene un número que es igual al primero menos 27.

1 Establecemos las variables

 

x = cifra de las unidades

y = cifra de las decenas

 

2 Escribimos las condiciones

 

10x + y número

10y + x número invertido

 

3Formamos el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 5 \\\\ 10x + y = 10y + x - 27 \end{array} \right.

 

4Despejamos y en la primera ecuación y en la segunda operamos

 

\begin{array}{r} 10x + 5 - x = 10(5 - x) + x - 27 \\ 18x = 18 \\ x = 1 \end{array}

 

5Sustituimos el valor de x en la primera ecuación

 

\begin{array}{r} y = 5 - 1 = 4 \end{array}

 

6Así, el número 41

 

Problemas costos

 

1 Juan compró un ordenador y un televisor por 2000 € y los vendió por 2260 €.

¿Cuánto le costó cada objeto, sabiendo que en la venta del ordenador ganó el 10\% y en la venta del televisor ganó el 15\%?

 

1 Establecemos las variables

 

x = precio del ordenador

y = precio del televisor

 

2 Escribimos los precios de venta

 

x + \cfrac{10x}{100}

y + \cfrac{15y}{100}

 

3Formamos un sistema con la ecuación de compra y otro con la ecuación de la venta

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2000 \\\\ x + \cfrac{10x}{100} + y + \cfrac{15y}{100} = 2260 \end{array} \right.

 

4Quitamos los denominadores

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 2000 \\ 110x + 115y = 226000 \end{array} \right.

 

5Resolvemos el sistema por reducción, multplicando la primera ecución por −110

 

\begin{tabular}{r} -110x - 110y = 2000 \\ 110x + 115y = 226000 \\ \hline 5y = 6000 \\ y = 1200 \end{tabular}

 

6Sustituimos el valor de la y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x + 1200 = 2000 \\ x = 800 \end{array}

 

Así, el precio del ordenador es 800 € y el precio del televisor es 1200 €.

 

 

2Antonio dice a Pedro: "el dinero que tengo es el doble del que tienes tú", y Pedro contesta: "si tú me das seis euros tendremos los dos igual cantidad". ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

1 Establecemos las variables

 

x = dinero de Antonio

y = dinero de Pedro

 

2Formamos el sistema, en la primera ecuación expresamos lo que dice Antonio y en la segunda expresamos el comentario de Pedro, teniendo en cuenta que si da 6 € tendrá 6 € menos

 

\left\{ \begin{array}{l} x = 2y \\\\ y + 6 = x - 6 \end{array} \right.

 

3Resolvemos el sistema por sustitución, sustituimos el valor de x en la segunda ecuación

 

\begin{array}{r}y + 6 = 2y - 6 \\ y = 12 \end{array}

 

4Calculamos el valor de x en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x = 2 \cdot 12 \\ x = 24 \end{array}

 

5Así, el dinero de Antonio es 24 € y el de Pedro es 12

 

 

3En una empresa trabajan 60 personas. Usan gafas el 16\% de los hombres y el 20\% de las mujeres. Si el número total de personas que usan gafas es 11. ¿Cuántos hombres y mujeres hay en la empresa?

1 Establecemos las variables

 

x = número de hombres

y = número de mujeres

 

2 Escribimos las condiciones para hombres y mujeres con gafas

 

\begin{array}{l}\cfrac{16x}{100} \\\\  \cfrac{20y}{100} \end{array}

 

3Formamos el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 60 \\\\ \cfrac{16x}{100} + \cfrac{20y}{100} = 11 \end{array} \right.

 

4Quitamos denominadores en la segunda ecuación

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 60 \\\\ 16x + 20y = 1100 \end{array} \right.

 

5Resolvemos el sistema por sustitución, despejando la x de la primera ecuación

 

x = 60 - y

 

6Sustituimos la x en la segunda ecuación y resolvemos la ecuación

 

\begin{array}{r}16(60 - y) + 20y = 1100 \\ 4y = 140 \\ y = 35 \end{array}

 

7Sustituimos el valor de y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r}x + 35 = 60 \\ x = 25  \end{array}

 

8Así, el número de hombres es 25 y el de mujeres es 35

 

 

4Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10\% y en el segundo un descuento del 8\% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

 

1 Establecemos las variables

 

x = precio del primero

y = precio del segundo

 

2 Escribimos las condiciones de los descuentos

 

\begin{array}{l} x - \cfrac{10x}{100} \\\\  y - \cfrac{8y}{100} \end{array}

 

3Formamos el sistema

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3500 \\\\  x - \cfrac{10x}{100} + y - \cfrac{8y}{100} = 3170 \end{array} \right.

 

4Quitamos denominadores en la segunda ecuación

 

\left\{ \begin{array}{l} x + y = 3500 \\\\ 90x + 92y = 317000 \end{array} \right.

 

5Realizamos es sistema por reducción, multiplicando la primera ecuación por −90

 

\begin{tabular}{r} -90x - 90y = 317000 \\ 90x + 92y = 317000 \\ \hline 2y = 2000  \\ y = 1000 \end{array}

 

6Calculamos el valor de x sustituyendo el valor de y en la primera ecuación

 

\begin{array}{r} x + 1000 = 3500 \\ x = 2500 \end{array}

 

7 Así, el precio del primero es 2500 € y el segundo es 1000

 

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗