Name: Ejercicios del metodo de Gauss II
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Puntuación:

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz $\text{[math]}$ es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz $\text{[math]}$ es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 5 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como no podemos obtener una submatriz de orden mayor a $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado, pues

$\text{[math]}$

4 El sistema no tiene solución única, podemos resolverlo por la regla de Cramer. Haciendo $\text{[math]}$ . Tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como no existe una submatriz de orden mayor a $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Finalmente podemos obtener el valor de $\text{[math]}$ despejando de alguna de las ecuaciones del sistema, digamos $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como existe una submatriz de orden $\text{[math]}$ con determinante diferente de cero

$\text{[math]}$

entonces $\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ y el sistema será incompatible.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Dado que la cuarta columna de la matriz $\text{[math]}$ es dos veces la primera columna de la matriz $\text{[math]}$ , entonces podemos reducir nuestra matriz $\text{[math]}$ a la matriz $\text{[math]}$ , esto es,

$\text{[math]}$

entonces $\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y el sistema será compatible indeterminado.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Luego, $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

El determinante de cualquier submatriz de orden $\text{[math]}$ es $\text{[math]}$ o $\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Luego, $\text{[math]}$ .

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

el determinante de esta matriz es

$\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , pues existen submatrices de $\text{[math]}$ de orden 2 y 3 con determinante diferente de cero. De esta forma el sistema será incompatible.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado mediante el método de Gauss.

$\text{[math]}$

Al restar la fila 3 con la fila 2 tenemos que $\text{[math]}$

Por los tanto $\text{[math]}$ . Luego $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a $\text{[math]}$ De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius. 3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y para todo $\text{[math]}$ pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3. 4 Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante $\text{[math]}$ Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible. 5 Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante $\text{[math]}$ Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 3. Los que nos dice que el sistema es incompatible nuevamente.

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

$\text{[math]}$

2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con terminante igual a

$\text{[math]}$

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3. Resolvemos el sistema para este caso, utilizando el método de la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

4 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

5 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es compatible indeterminado. Utilizando la regla de Cramer y haciendo $\text{[math]}$ podemos resolver el sistema de ecuaciones para este caso, $\text{[math]}$ Dado que

$\text{[math]}$

tenemos que

$\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Dado que el determinante de $\text{[math]}$ es

$\text{[math]}$

Entonces en el caso de que $\text{[math]}$ , tendremos que el rango de $\text{[math]}$ es 3 y $\text{[math]}$ lo que nos da que el sistema solo podrá tener la solución trivial $\text{[math]}$

2 Si $\text{[math]}$ , entonces tenemos que el rango de la matriz $\text{[math]}$ es 2, pues tenemos que

$\text{[math]}$ Dado que $\text{[math]}$ , entonces el sistema sería compatible indeterminado, el cual podemos resolver mediante la regla de Cramer haciendo $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

$\text{[math]}$

2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a 2

$\text{[math]}$

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y de que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3 con determinante nulo.

4 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 3 si $\text{[math]}$ , lo que nos dice que el sistema será incompatible. Finalmente si $\text{[math]}$ , entonces podemos decir que el sistema es compatible indeterminado, pues $\text{[math]}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Resumen de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

Resumen de Sistemas de ecuaciones II

Los tipos de ecuaciones

Resumen de Sistemas de Ecuaciones I

Teoría

Metodo de reduccion sistema de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

El metodo de sustitucion

Clasificacion de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones con dos incognitas

Metodo de igualacion para sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Ecuaciones lineales

Teorema de Rouche-Frobenius

Que son los sistemas homogeneos

Regla de Cramer

Discusion de sistemas de ecuaciones

Metodo de Gauss – Jordan

Tipos de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones escalonados

¿Como resolver problemas de sistemas de ecuaciones?

Sistemas compatibles e incompatibles

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Ejercicios de sistemas por metodo de igualacion

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Ejercicios de sistemas de ecuaciones

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Ejercicios de discusión de sistemas por Rouché

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas ecuaciones lineales

Ejercicios – sistemas homogeneos

Ejercicios y problemas de sistemas Gauss

Problemas y Soluciones de Sistemas de Ecuaciones

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones (Regla Cramer)

Ejercicios de sistemas de ecuaciones II

Ejercicios de sistemas por sustitucion

Ejercicios de sistemas por metodo de eliminacion

Ejercicios del metodo de Gauss II

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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marlene isaza

Julio 2026

no entiendo esto debe d e explicarlo mucho mejor no entiendo el método de gramer esta enredado debe mejorar para que sea entendible

Antonio Tapia de Superprof

Julio 2026

Hola lamentamos el que no puedas entender, tratamos de adaptarnos a la mayoría de personas posible, pero hay casos como el tuyo en que no lo logramos, pero nos ponemos en disposición para cualquier duda, si hay un ejercicio en particular que no entiendas por este medio podemos ayudarte a explicarlo mejor, en el caso de la regla de Cramer menciona un ejemplo que no entendiste y te lo explicamos.

Eva Moratinos

Junio 2026

es posible que en el ejercicio de discutir un sistema con parámetros, usando la forma de roche este mal copiada o haya un error en la matriz de los coeficientes, en la columna 2 fila 3 hay un 1 y creo que debería haber un 2?

Antonio Tapia de Superprof

Julio 2026

Hola revise los ejercicios y no encontré el error que mencionas, podrías decirme que numero de ejercicio es para poder rectificarlo, nos seria de mucha ayuda.

Gabriel Patiño

Noviembre 2025

Resultado de este ejercicios de sistemas de Gauss con matrices:x+y+z=3
2x+4y+z=4
3x-y+z=1

Me podrían ayudar a resolverlo

Edu

Octubre 2025

Si tengo tres rectas donde dos se superponen (hasta acá el sistema es compatible indeterminado), pero una tercer recta las cruza, es sistema se convierte es compatible determinado por haber un punto de intersección entre las tres rectas o continúa siendo compatible indeterminado por las infinitas soluciones de dos de las tres rectas?

Antonio Tapia de Superprof

Noviembre 2025

Hola como la tercera recta intercepta a las otras dos que están superpuestas, lo hace en un solo punto, entonces solo hay una sola solución que corresponde a las tres rectas, pues para que hubiera una infinidad de puntos de respuesta las tres rectas tendrían que ser superpuestas.

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