Name: Ejercicios del metodo de Gauss II
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Puntuación:

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz $\text{[math]}$ es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz $\text{[math]}$ es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 5 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como no podemos obtener una submatriz de orden mayor a $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado, pues

$\text{[math]}$

4 El sistema no tiene solución única, podemos resolverlo por la regla de Cramer. Haciendo $\text{[math]}$ . Tomamos el subsistema de $\text{[math]}$ y su matriz correspondiente.

$\text{[math]}$

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 3, porque

$\text{[math]}$

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de $\text{[math]}$ Por tanto, $\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como no existe una submatriz de orden mayor a $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

$\text{[math]}$

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

Finalmente podemos obtener el valor de $\text{[math]}$ despejando de alguna de las ecuaciones del sistema, digamos $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Como existe una submatriz de orden $\text{[math]}$ con determinante diferente de cero

$\text{[math]}$

entonces $\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ y el sistema será incompatible.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 2, porque

$\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Dado que la cuarta columna de la matriz $\text{[math]}$ es dos veces la primera columna de la matriz $\text{[math]}$ , entonces podemos reducir nuestra matriz $\text{[math]}$ a la matriz $\text{[math]}$ , esto es,

$\text{[math]}$

entonces $\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y el sistema será compatible indeterminado.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Luego, $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Tiene rango mayor a 1, pues

$\text{[math]}$

El determinante de cualquier submatriz de orden $\text{[math]}$ es $\text{[math]}$ o $\text{[math]}$

Dado que

$\text{[math]}$

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ y Si $\text{[math]}$ , entonces el rango será $\text{[math]}$ .

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

$\text{[math]}$

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Luego, $\text{[math]}$ .

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

el determinante de esta matriz es

$\text{[math]}$

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Si $\text{[math]}$ entonces

$\text{[math]}$

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , pues existen submatrices de $\text{[math]}$ de orden 2 y 3 con determinante diferente de cero. De esta forma el sistema será incompatible.

4 Resolvemos el sistema compatible determinado mediante el método de Gauss.

$\text{[math]}$

Al restar la fila 3 con la fila 2 tenemos que $\text{[math]}$

Por los tanto $\text{[math]}$ . Luego $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada. $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a $\text{[math]}$ De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius. 3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ y para todo $\text{[math]}$ pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3. 4 Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante $\text{[math]}$ Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible. 5 Si $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ , entonces $\text{[math]}$ Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante $\text{[math]}$ Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 3. Los que nos dice que el sistema es incompatible nuevamente.

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

$\text{[math]}$

2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con terminante igual a

$\text{[math]}$

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3. Resolvemos el sistema para este caso, utilizando el método de la regla de Cramer.

$\text{[math]}$

4 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

5 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 2. Los que nos dice que el sistema es compatible indeterminado. Utilizando la regla de Cramer y haciendo $\text{[math]}$ podemos resolver el sistema de ecuaciones para este caso, $\text{[math]}$ Dado que

$\text{[math]}$

tenemos que

$\text{[math]}$

Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

$\text{[math]}$

Dado que el determinante de $\text{[math]}$ es

$\text{[math]}$

Entonces en el caso de que $\text{[math]}$ , tendremos que el rango de $\text{[math]}$ es 3 y $\text{[math]}$ lo que nos da que el sistema solo podrá tener la solución trivial $\text{[math]}$

2 Si $\text{[math]}$ , entonces tenemos que el rango de la matriz $\text{[math]}$ es 2, pues tenemos que

$\text{[math]}$ Dado que $\text{[math]}$ , entonces el sistema sería compatible indeterminado, el cual podemos resolver mediante la regla de Cramer haciendo $\text{[math]}$ ,

$\text{[math]}$

Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

$\text{[math]}$

Solución

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

$\text{[math]}$

2 Calculamos el determinante de la matriz $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Notemos también que la matriz $\text{[math]}$ tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a 2

$\text{[math]}$

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ . Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

3 El sistema es compatible determinado, si $\text{[math]}$ , pues $\text{[math]}$ y $\text{[math]}$ ; esto es consecuencia de que el determinante de $\text{[math]}$ es no nulo y de que $\text{[math]}$ no tiene una submatriz de orden mayor a 3 con determinante nulo.

4 Si $\text{[math]}$ , entonces

$\text{[math]}$

Por tanto se sigue que $\text{[math]}$ y dado que de $\text{[math]}$ podemos extraer el siguiente determinante

$\text{[math]}$

Entonces concluimos que el rango de $\text{[math]}$ es 3 si $\text{[math]}$ , lo que nos dice que el sistema será incompatible. Finalmente si $\text{[math]}$ , entonces podemos decir que el sistema es compatible indeterminado, pues $\text{[math]}$ .

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗

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Resumen de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones

Resumen de Sistemas de ecuaciones II

Los tipos de ecuaciones

Resumen de Sistemas de Ecuaciones I

Teoría

Metodo de reduccion sistema de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones lineales

El metodo de sustitucion

Clasificacion de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones con dos incognitas

Metodo de igualacion para sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Ecuaciones lineales

Teorema de Rouche-Frobenius

Que son los sistemas homogeneos

Regla de Cramer

Discusion de sistemas de ecuaciones

Metodo de Gauss – Jordan

Tipos de sistemas de ecuaciones

Sistemas de ecuaciones escalonados

¿Como resolver problemas de sistemas de ecuaciones?

Sistemas compatibles e incompatibles

Sistemas equivalentes

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Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas ecuaciones lineales

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Ejercicios y problemas de sistemas Gauss

Problemas y Soluciones de Sistemas de Ecuaciones

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Ejercicios de sistemas de ecuaciones II

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Ejercicios de sistemas por metodo de eliminacion

Ejercicios del metodo de Gauss II

Apuntes es una plataforma dirigida al estudio y la práctica de las matemáticas a través de la teoría y ejercicios interactivos que ponemos a vuestra disposición. Esta información está disponible para todo aquel/aquella que quiera profundizar en el aprendizaje de esta ciencia. Será un placer ayudaros en caso de que tengáis dudas frente algún problema, sin embargo, no realizamos un ejercicio que nos presentéis de 0 sin que hayáis si quiera intentado resolverlo. Ánimo, todo esfuerzo tiene su recompensa.

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Cindy Moon

Septiembre 2025

Me encanta su contenido, realmente me ayuda pero realmente me ayudaría incluso más si dieran un poco más de referencias para citar el documento, fecha, marta ¿Qué? Bueno, ya saben lo necesario para crear APA

Macarena Superprof

Septiembre 2025

¡Hola Cindy! 👋 Desde Superprof nos alegra que el contenido te sea útil. 😊 Para citar el artículo en formato APA, puedes referenciarlo así:

«Superprof. Ejercicios del método de Gauss II. [En línea] Disponible en: [URL del artículo].»

Por privacidad, no podemos dar datos personales del autor ni fecha exacta de publicación, pero esta referencia permite que tu cita sea válida. 📚✨

Sira

Marzo 2025

Como puedo solucionar
Y: -3x+2

MIGUEL DURAN

Marzo 2025

La novena esta mal, es x= 2 y= 0 , mega confirmado, grave error, en su pagina dice que la respuesta es x= 4 y= -3 lo cual no es verdad, por cualquier metodo que se haga, porfavor corregir gracias por los ejercicios de practica

Antonio Tapia de Superprof

Mayo 2025

Una disculpa por el error cometido, ya se corrigió.

Anghelmy

Enero 2025

como puedo resolver el siguiente sistema de ecuaciones
3x+4y+5z=35
2x+5y+3z=27
2x+ y+ z=13

Nohemí Ramírez

Noviembre 2024

Cómo puedo resolver la siguiente ecuación con el método Gauss – Jordan
5x-10y = 5x+20

Judy

Marzo 2025

[7x-3y=2 3x+4y=-15

Fátima

Marzo 2025

I+y=5
I-y=1