1Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
\begin{cases}2x-y-2z=-2\\ -x+y+z=0\\ x-2y+z=8\\ 2x-2y=6 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ 2& -2& 0& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 2\right |= 2 \neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1\\ -1 & 1 \end{vmatrix} =1 \neq 0.

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 \begin{vmatrix} 2& -1& -2& \\ -1& 1& 1& \\ 1& -2& 1& \\ \end{vmatrix} = 2 \neq 0.

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de  4\times 4. Por tanto,  r(A)=3.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{pmatrix}

 

Como

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ 2& -2& 0 & 6 \end{vmatrix}= 0,

 

 r(A')=3.

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 r(A)=3,\qquad r(A')=3, \qquad n=3.

 

4Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz  A' es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de  3 \times 3 y su matriz correspondiente.

 

 \left\{ \begin{matrix} 2x-y-2z&= -2\\ -x+y+z&= 0 \\ x-2y+z&=8 \\ \end{matrix}\right. \Rightarrow

 

\begin{pmatrix} 2 & -1& -2& -2\\ -1& 1& 1& 0\\ 1& -2& 1& 8\\ \end{pmatrix}

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} -2 & -1& -2\\ 0& 1& 1\\ 8& -2& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{8-6}{2}=1

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -2& -2\\ -1& 0& 1\\ 1& 8& 1\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2-2}{2}=-2

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 2 & -1& -2\\ -1& 1& 0\\ 1& -2& 8\\ \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{-2+8}{2}=3

 

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que  x=1, y=-2 y  z=3.

2 Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
\begin{cases}x+2y-2z=10\\ 4x-y+z=4\\ -2x+y+z=-2\\ -x-3y=-11 \end{cases}

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& -2& 2& \\ 4& -1& 1& \\ -2& 1& 1& \\ -1& -3& 0& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 4 & -1 \end{vmatrix} =-9 \neq 0.

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 \begin{vmatrix} 1& 2& -2& \\ 4& -1& 1& \\ -2& 1& 1& \\ \end{vmatrix} = -18 \neq 0.

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de  4\times 4. Por tanto,  r(A)=3.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 1 & 2& -2& 10\\ 4& -1& 1& 4\\ -2& 1& 1& -2\\ -1& -3& 0 & -11 \end{pmatrix}

 

Como

 

 \begin{vmatrix} 1 & 2& -2& 10\\ 4& -1& 1& 4\\ -2& 1& 1& -2\\ -1& -3& 0 & -11 \end{vmatrix}= 0,

 

 r(A')=3.

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 r(A)=3,\qquad r(A')=3, \qquad n=3.

 

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss. Ya que el cuarto renglón de la matriz  A' es una combinación lineal de los otros tres, tomamos el subsistema de  3 \times 3 y su matriz correspondiente.

 

 \left\{ \begin{matrix} x+2y-2z&= 10\\ 4x-y+z&= 4 \\ -2x+y+z&=-2\\ \end{matrix}\right. \Rightarrow

 

\begin{pmatrix} 1 & 2& -2& 10\\ 4& -1& 1& 4\\ -2& 1& 1& -2\\ \end{pmatrix}

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} 10& 2& -2\\ 4& -1& 1\\ -2& 1& 1\\ \end{vmatrix}}{-18} = \dfrac{-36}{-18}=2

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 1 & 10& -2\\ 4& 4& 1\\ -2& -2& 1\\ \end{vmatrix}}{-18} = \dfrac{-54}{-18}=3

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 2& 10\\ 4& -1& 4\\ -2& 1& -2\\ \end{vmatrix}}{-18} = \dfrac{18}{-18}=-1

 

Por tanto, para el sistema inicial se tiene que  x=2, y=3 y  z=-1.

3

Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
\begin{cases} x+y-z+u+v=2\\ x-2y+u=5\\ -x+z+2v=3\\ 3y+z-2u=-1 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

 

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& -1& 1& 1&\\ 1& -2& 0& 1& 0&\\ -1& 0& 1& 0& 2&\\ 0& 3& 1& -2& 0& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 1\right |= 1 \neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & -2 \end{vmatrix} =-3 \neq 0.

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 \begin{vmatrix} 1& 1& -1& \\ 1& -2& 0& \\ -1& 0& 1& \\ \end{vmatrix} = -1 \neq 0.

 

 \begin{vmatrix} 1& 1& -1& 1&\\ 1& -2& 0& 1&\\ -1& 0& 1& 0&\\ 0& 3& 1& -2&\\ \end{vmatrix} = 8 \neq 0.

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 5 porque no es una matriz de  5\times 5. Por tanto,  r(A)=4.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} 1& 1& -1& 1& 1& 2&\\ 1& -2& 0& 1& 0& 5&\\ -1& 0& 1& 0& 2& 3&\\ 0& 3& 1& -2& 0& -1& \end{pmatrix}

 

Como no podemos obtener una submatriz de orden mayor a 4, entonces

 

 r(A')=4.

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible indeterminado, pues

 

 r(A)=4,\qquad r(A')=4, \qquad n=5.

 

4 El sistema no tiene solución única, podemos resolverlo por la regla de Cramer. Haciendo v=\lambda. Tomamos el subsistema de  4\times 4 y su matriz correspondiente.

\begin{cases} x+y-z+u=2-\lambda\\ x-2y+u=5\\ -x+z=3-2\lambda\\ 3y+z-2u=-1 \end{cases}

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& -1& 1&\\ 1& -2& 0& 1&\\ -1& 0& 1& 0&\\ 0& 3& 1& -2& \end{pmatrix}

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} 2-\lambda& 1& -1& 1&\\ 5& -2& 0& 1&\\ 3-2\lambda& 0& 1& 0&\\ -1& 3& 1& -2& \end{vmatrix}}{8} = \dfrac{18+3\lambda}{8}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 2-\lambda& -1& 1&\\ 1& 5& 0& 1&\\ -1& 3-2\lambda&1& 0&\\ 0& -1& 1& -2& \end{vmatrix}}{8} = \dfrac{6-7\lambda}{8}

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 1& 2-\lambda& 1&\\ 1& -2& 5&1&\\ -1& 0& 3-2\lambda&0&\\ 0& 3& -1& -2& \end{vmatrix}}{8} = \dfrac{47-13\lambda}{8}

 

 

 u = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 1& -1&2-\lambda&\\ 1& -2& 0&5&\\ -1& 0& 1&3-2\lambda&\\ 0& 3& 1&-1& \end{vmatrix}}{8} = \dfrac{34-17\lambda}{8}

 

4Estudiar y resolver, si es posible, el sistema:
\begin{cases} 2x-y+z-2t=-5\\ 2x+2y-3z+t=-1\\ -x+y-z=-1\\ 4x-3y+2z-3t=-8 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& 1& -2&\\ 2& 2& -3&1&\\ -1& 1& -1&0&\\ 4& -3& 2&-3& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 2\right |= 2 \neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 2 & -1\\ 2 & 2 \end{vmatrix} =6 \neq 0.

 

Tiene rango mayor a 3, porque

 

 \begin{vmatrix} 2& -1& 1& \\ 2& 2& -3& \\ -1& 1& -1& \\ \end{vmatrix} = 1\neq 0.

 

 \begin{vmatrix} 2& -1& 1& -2& \\ 2& 2& -3& 1& \\ -1& 1& -1& 0& \\ 4& -3& 2& -3& \\ \end{vmatrix} = -10\neq 0.

 

No es posible calcular si tiene rango mayor a 4 porque no es una matriz de  5\times 5. Por tanto,  r(A)=4.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 2& -1& 1& -2& -5&\\ 2& 2& -3& 1& -1&\\ -1& 1& -1& 0& -1&\\ 4& -3& 2& -3& -8&\\ \end{pmatrix}

 

Como no existe una submatriz de orden mayor a 4 entonces

 

 r(A')=4.

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, pues

 

 r(A)=4,\qquad r(A')=4, \qquad n=4.

 

4 Como el sistema tiene solución única, podemos resolverlo ya sea por la regla de Cramer o por el método de Gauss.

 

En este caso, resolveremos el sistema por la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} -5& -1& 1& -2& \\ -1& 2& -3& 1& \\ -1& 1& -1& 0& \\ 8& -3& 2& -3& \\ \end{vmatrix}}{-10} = \dfrac{0}{-10}=0

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2& -5& 1& -2& \\ 2& -1& -3& 1& \\ -1& -1& -1& 0& \\ 4& 8& 2& -3& \\ \end{vmatrix}}{-10} = \dfrac{-10}{-10}=1

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 2& -1& -5& -2& \\ 2& 2& -1& 1& \\ -1& 1& -1& 0& \\ 4& -3& 8& -3& \\ \end{vmatrix}}{-10} = \dfrac{-20}{-10}=2

 

Finalmente podemos obtener el valor de t despejando
de alguna de las ecuaciones del sistema, digamos

    $$2x-y+z-2t=-5.$$

    $$2(0)-1+2-2t=-5,\quad -2t=-6,\quad t=3.$$

5Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
\begin{cases} x-y+2z=3\\ kx+5y-4z=1\\ 3x+2y-z=1 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& -1& 2&\\ k& 5& -4&\\ 3& 2& -1& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 1\right |= 1\neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} -1 & 2\\ 5 & -4 \end{vmatrix} =-6 \neq 0.

 

Dado que

 

 \begin{vmatrix} 1& -1& 2& \\ k& 5& -4& \\ 3& 2& -1& \\ \end{vmatrix} = 3k-15.

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si k=5, entonces el rango será r(A)=2 y Si k\neq 5, entonces el rango será r(A)=3.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 1& -1& 2& 3&\\ k& 5& -4& 1&\\ 3& 2& -1& 1&\\ \end{pmatrix}

 

Como existe una submatriz de orden 3 con determinante diferente de cero

 

\begin{vmatrix} -1& 2& 3&\\ 5& -4& 1&\\ 2& -1& 1&\\ \end{vmatrix}\neq 0

 

entonces  r(A')=3.

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si k\neq 5, pues r(A)=r(A'). Si k=5, entonces r(A)\neq r(A') y el sistema será incompatible.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} 3& -1& 2&\\ 1& 5& -4&\\ 1& 2& -1& \end{vmatrix}}{3k-15} = \dfrac{6}{3k-15}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 3& 2&\\ k& 1& -4&\\ 3& 1& -1& \end{vmatrix}}{3k-15} = \dfrac{5k-39}{3k-15}

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& -1& 3&\\ k& 5& 1&\\ 3& 2& 1& \end{vmatrix}}{3k-15} = \dfrac{7k-45}{3k-15}

 

6Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

\begin{cases} 2x+y+az=4\\ x+z=2\\ x+y+z=2 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& 1& a&\\ 1& 0& 1&\\ 1& 1& 1& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 2\right |= 2\neq 0 .

 

Tiene rango mayor a 2, porque

 

 \begin{vmatrix} 2 &1\\ 1 & 0 \end{vmatrix} =-1 \neq 0.

 

Dado que

 

 \begin{vmatrix} 2& 1& a& \\ 1& 0& 1& \\ 1& 1& 1& \\ \end{vmatrix} = a-2.

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si a=2, entonces el rango será r(A)=2 y Si a\neq 2, entonces el rango será r(A)=3.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 2& 1& a& 4&\\ 1& 0& 1& 2&\\ 1& 1& 1& 2&\\ \end{pmatrix}

 

Dado que la cuarta columna de la matriz A' es dos veces la primera columna de la matriz A', entonces podemos reducir nuestra matriz A' a la matriz A, esto es,

 

A'=\begin{pmatrix} 2& 1& a&\\ 1& 0& 1&\\ 1& 1& 1& \end{pmatrix}

 

entonces  r(A')=r(A).

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si a\neq 2, pues r(A)=r(A')=3 y n=3. Si a=2, entonces r(A)=r(A')=2, n=3 y el sistema será compatible indeterminado.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} 4& 1& a&\\ 2& 0& 1&\\ 2& 1& 1& \end{vmatrix}}{a-2} = \dfrac{2a-4}{a-2}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2& 4& a&\\ 1& 2& 1&\\ 1& 2& 1& \end{vmatrix}}{a-2} = \dfrac{0}{a-2}=0

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 2& 1& 4&\\ 1& 0& 2&\\ 1& 1& 2& \end{vmatrix}}{a-2} = \dfrac{0}{a-2}=0

 

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si a=2 y z=\lambda, entonces

\begin{cases} 2x+y=4-2\lambda\\ x=2-\lambda \end{cases},\quad \begin{vmatrix} 2 &1\\ 1 & 0 \end{vmatrix} =-1\neq 0.

Luego, x=2-\lambda y y=2-\lambda-2(2-\lambda)=0.

7Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

\begin{cases} x+y+z=a\\ x+(a+1)y+z=2a\\ x+y+(a+1)z=0 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1&\\ 1& 1& a+1& \end{pmatrix}

 

Tiene rango mayor a 1, pues

 

 \left | 1\right |= 1\neq 0 .

 

El determinante de cualquier submatriz de orden 2 es \pm a o  a^{2}+2a

 

Dado que

 

 \begin{vmatrix} 1& 1& 1& \\ 1& a+1& 1& \\ 1& 1& a+1& \\ \end{vmatrix} = a^{2}.

 

entonces tenemos dos casos para el rango de la matriz de coeficientes. Si a=0, entonces el rango será r(A)=1 y Si a\neq 2, entonces el rango será r(A)=3.

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

 A' = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& a&\\ 1& a+1& 1& 2a&\\ 1& 1& a+1& 0&\\ \end{pmatrix}

 

Si a=0 entonces

 

A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1& \end{pmatrix}

 

y

 A' = \begin{pmatrix} 1& 1& 1& 0&\\ 1& 1& 1& 0&\\ 1& 1& 1& 0& \end{pmatrix}

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si a\neq 0, pues r(A)=r(A')=3 y n=3. Si a=0, entonces r(A)=r(A')=1, n=3 y el sistema será compatible indeterminado.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado por la regla de Cramer (tambíén se puede resolver mediante el método de Gauss).

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} a& 1& 1&\\ 2a& a+1& 1&\\ 0& 1& a+1& \end{vmatrix}}{a^{2}} = \dfrac{a^{3}}{a^{2}}=a

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& a& 1&\\ 1& 2a& 1&\\ 1& 0& a+1& \end{vmatrix}}{a^{2}} = \dfrac{a^{2}}{a^{2}}=1

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& 1& a&\\ 1& a+1& 2a&\\ 1& 1& 0& \end{vmatrix}}{a^{2}} = \dfrac{-a^{2}}{a^{2}}=-1

 

También podemos decir algo sobre el sistema compatible indeterminado. Si a=0 y y=\mu, z=\lambda, entonces

 x+y+z=0.

Luego, x=-\lambda-\mu.

8Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

\begin{cases} ax+z+t=1\\ ay+z-t=1\\ ay+z-2t=2\\ az-t=0 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a& 0& 1& 1&\\ 0& a& 1& -1&\\ 0& a& 1& -2&\\ 0& 0& a& -1& \end{pmatrix}

 

el determinante de esta matriz es

 

\displaystyle \begin{vmatrix} a& 0& 1& 1&\\ 0& a& 1& -1&\\ 0& a& 1& -2&\\ 0& 0& a& -1& \end{vmatrix}=a^{3}

 

2 Formamos la matriz ampliada y calculamos su rango.

 

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} a& 0& 1& 1& 1&\\ 0& a& 1& -1& 1&\\ 0& a& 1& -2& 2&\\ 0& 0& a& -1& 0& \end{pmatrix}

 

Si a=0 entonces

 

\displaystyle A=\begin{pmatrix} a& 0& 1& 1&\\ 0& 0& 1& -1&\\ 0& 0& 1& -2&\\ 0& 0& 0& -1& \end{pmatrix}

 

y

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} a& 0& 1& 1& 1&\\ 0& 0& 1& -1& 1&\\ 0& 0& 1& -2& 2&\\ 0& 0& 0& -1& 0& \end{pmatrix}

 

3 Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado, si a\neq 0, pues r(A)=r(A')=4 y n=4. Si a=0, entonces r(A)=2 y r(A')=3, pues existen submatrices de A' de orden 2 y 3 con determinante diferente de cero. De esta forma el sistema será incompatible.

 

4 Resolvemos el sistema compatible determinado mediante el método de Gauss.

 

\begin{cases} ax+z+t=1\\ ay+z-t=1\\ ay+z-2t=2\\ az-t=0 \end{cases}

 

Al restar la fila 3 con la fila 2 tenemos que
\begin{cases} ax+z+t=1\\ ay+z-t=1\\ -t=1\\ az-t=0 \end{cases}.

 

Por los tanto t=-1. Luego
az-t=0,\quad z=\cfrac{-1}{a}.\quad ay+z-t=1,\quad y=\cfrac{1}{a^{2}}.
ax+z+t=1,\quad x=\cfrac{2a+1}{a^{2}}.

9 Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

\begin{cases} (a+1)x+y+z=1\\ x+(a+1)y+z=b\\ x+y+(a+1)z=b^{2} \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a+1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1&\\ 1& 1& a+1& \end{pmatrix}

 

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} a+1& 1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1& b&\\ 1& 1& a+1& b^{2}& \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz A

 

\displaystyle \begin{vmatrix} a+1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1&\\ 1& 1& a+1& \end{vmatrix}=a^{2}(a+3)

 

Notemos también que la matriz A tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a

 

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& a+1&\\ 1& 1& \end{vmatrix}=-a

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices A y A'. Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si a\neq 0, a\neq -3 y para todo b pues r(A)=r(A')=3 y n=3; esto es consecuencia de que el determinante de A es no nulo y que A' no tiene una submatriz de orden mayor a 3.

 

4 Si a=0 y b\neq 1, entonces

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1& \end{pmatrix}\qquad A'=\begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1& b&\\ 1& 1& 1& b^{2}& \end{pmatrix}

Por tanto se sigue que r(A)=1 y dado que de A' podemos extraer el siguiente determinante

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 1&\\ 1& b& \end{vmatrix}=b-1

Entonces concluimos que el rango de A' es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

 

5 Si a=-3 y \forall b, entonces

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2& 1& 1&\\ 1& -2& 1&\\ 1& 1& -2& \end{pmatrix}\qquad A'=\begin{pmatrix} -2& 1& 1& 1&\\ 1& -2& 1& b&\\ 1& 1& -2& b^{2}& \end{pmatrix}

Por tanto se sigue que r(A)=2 y dado que de A' podemos extraer el siguiente determinante

\displaystyle \begin{vmatrix} -2& 1& 1&\\ 1& -2& b&\\ 1& 1& b^{2}& \end{vmatrix}=3(b^{2}+b+1)

Entonces concluimos que el rango de A' es 3. Los que nos dice que el sistema es incompatible nuevamente.

10Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.

\begin{cases} (a+1)x+y+z=a+1\\ x+(a+1)y+z=a+3\\ x+y+(a+1)z=-2a-4 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a+1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1&\\ 1& 1& a+1& \end{pmatrix}

 

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} a+1& 1& 1& a+1&\\ 1& a+1& 1& a+3&\\ 1& 1& a+1&-2a-4& \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz A

 

\displaystyle \begin{vmatrix} a+1& 1& 1&\\ 1& a+1& 1&\\ 1& 1& a+1& \end{vmatrix}=a^{2}(a+3)

 

Notemos también que la matriz A tiene una submatriz de orden 2 con terminante igual a

 

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& a+1&\\ 1& 1& \end{vmatrix}=-a

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices A y A'. Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si a\neq 0, a\neq -3 pues r(A)=r(A')=3 y n=3; esto es consecuencia de que el determinante de A es no nulo y que A' no tiene una submatriz de orden mayor a 3. Resolvemos el sistema para este caso, utilizando el método de la regla de Cramer.

 

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} a+1& 1& 1&\\ a+3& a+1& 1&\\ -2a-4& 1& a+1& \end{vmatrix}}{a^{2}(a+3)} = \dfrac{a(a+3)(a+1)}{a^{2}(a+3)}=\cfrac{a+1}{a}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} a+1& a+1& 1&\\ 1& a+3& 1&\\ 1& -2a-4& a+1& \end{vmatrix}}{a^{2}}= \dfrac{a(a+3)^{2}}{a^{2}(a+3)}=\cfrac{a+3}{a}

 

 z = \dfrac{\begin{vmatrix} a+1& 1& a+1&\\ 1& a+1& a+3&\\ 1& 1& -2a-4& \end{vmatrix}}{a^{2}} = \dfrac{-2a(a+3)(a+2)}{a^{2}(a+3)}=\cfrac{-2(a+2)}{a}

 

4 Si a=0, entonces

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1& \end{pmatrix}\qquad A'=\begin{pmatrix} 1& 1& 1& 1&\\ 1& 1& 1& 3&\\ 1& 1& 1& -4& \end{pmatrix}

Por tanto se sigue que r(A)=1 y dado que de A' podemos extraer el siguiente determinante

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& 3&\\ 1& -4& \end{vmatrix}=-7\neq 0.

Entonces concluimos que el rango de A' es 2. Los que nos dice que el sistema es incompatible.

 

5 Si a=-3, entonces

\displaystyle A=\begin{pmatrix} -2& 1& 1&\\ 1& -2& 1&\\ 1& 1& -2& \end{pmatrix}\qquad A'=\begin{pmatrix} -2& 1& 1& -2&\\ 1& -2& 1& 0&\\ 1& 1& -2& 2& \end{pmatrix}

Por tanto se sigue que r(A)=2 y dado que de A' podemos extraer el siguiente determinante

\displaystyle \begin{vmatrix} -2& 1& -2&\\ 1& -2& 0&\\ 1& 1& 2& \end{vmatrix}=0

Entonces concluimos que el rango de A' es 2. Los que nos dice que el sistema es compatible indeterminado. Utilizando la regla de Cramer y haciendo z=\lambda podemos resolver el sistema de ecuaciones para este caso,

\begin{cases} -2x+y=-2-\lambda\\ x-2y=-\lambda \end{cases}.

Dado que

\displaystyle \begin{vmatrix} -2& 1&\\ 1& -2& \end{vmatrix}=3

tenemos que

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} -2-\lambda& 1&\\ -\lambda& -2& \end{vmatrix}}{3} = \dfrac{4+3\lambda}{3}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 2& -2-\lambda&\\ 1& -\lambda& \end{vmatrix}}{3}= \dfrac{2+3\lambda}{3}

 

11 Discutir y resolver el sistema cuando sea compatible.
\begin{cases} ax+y-z=0\\ x+3y+z=0\\ 3x+10y+4z=0 \end{cases}

 

1 Formamos la matriz de coeficientes y calculamos su rango.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} a& 1& -1&\\ 1& 3& 1&\\ 3& 10& 4& \end{pmatrix}

 

Dado que el determinante de A es

 

\displaystyle \begin{vmatrix} a& 1& -1&\\ 1& 3& 1&\\ 3& 10& 4& \end{vmatrix}=2(a-1)

Entonces en el caso de que a\neq 1, tendremos que el rango de A es 3 y n=3 lo que nos da que el sistema solo podrá tener la solución trivial x=y=z=0.

 

2 Si a=1, entonces tenemos que el rango de la matriz A es 2, pues tenemos que

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& -1&\\ 3& 1& \end{vmatrix}=4\neq 0.

Dado que n=3, entonces el sistema sería compatible indeterminado, el cual podemos resolver mediante la regla de Cramer haciendo z=\lambda,

\begin{cases} x+y=\lambda\\ x+3y=-\lambda \end{cases}

    $$\begin{vmatrix} 1& 1&\\ 1& 3& \end{vmatrix}=2$$

 x = \dfrac{\begin{vmatrix} \lambda& 1&\\ -\lambda& 3& \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{4\lambda}{2}

 

 y = \dfrac{\begin{vmatrix} 1& \lambda&\\ 1& -\lambda& \end{vmatrix}}{2}= \dfrac{-2\lambda}{2}

 

12Estudiar el siguiente sistema según los distintos valores de a y b.

\begin{cases} 2x-y+z=3\\ x-y+z=2\\ 3x-y-az=b \end{cases}

1 Formamos la matriz de coeficientes y la matriz ampliada.

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2& -1& 1&\\ 1& -1& 1&\\ 3& -1& -a& \end{pmatrix}

 

\displaystyle A' = \begin{pmatrix} 2& -1& 1& 3&\\ 1& -1& 1& 2&\\ 3& -1& -a& b& \end{pmatrix}

 

2 Calculamos el determinante de la matriz A

 

\displaystyle \begin{vmatrix} 2& -1& 1&\\ 1& -1& 1&\\ 3& -1& -a& \end{vmatrix}=a+1

 

Notemos también que la matriz A tiene una submatriz de orden 2 con determinante igual a 2

 

\displaystyle \begin{vmatrix} 1& -1&\\ 3& -1& \end{vmatrix}=2

 

De esta forma tendremos diferentes casos para calcular el rango de las matrices A y A'. Para esto aplicaremos el teorema de Rouché-Frobenius.

 

3 El sistema es compatible determinado, si a\neq -1, pues r(A)=r(A')=3 y n=3; esto es consecuencia de que el determinante de A es no nulo y de que A' no tiene una submatriz de orden mayor a 3 con determinante nulo.

 

4 Si a=-1, entonces

\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2& -1& 1&\\ 1& -1& 1&\\ 3& -1& 1& \end{pmatrix}\qquad A'=\begin{pmatrix} 2& -1& 1& 3&\\ 1& -1& 1& 2&\\ 3& -1& 1& b& \end{pmatrix}

Por tanto se sigue que r(A)=2 y dado que de A' podemos extraer el siguiente determinante

\displaystyle \begin{vmatrix} 2& -1& 3&\\ 1& -1& 2&\\ 3& -1& b& \end{vmatrix}=4-b

Entonces concluimos que el rango de A' es 3 si b\neq 4, lo que nos dice que el sistema será incompatible. Finalmente si b=4, entonces podemos decir que el sistema es compatible indeterminado, pues r(A)=r(A')=2.

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Marta

➗ Licenciada en Químicas da clase de Matemáticas, Física y Química -> Comparto aquí mi pasión por las matemáticas ➗